1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN
PROCESOS INDUSTRIALES
EJEMPLOS:
Distribución Binomial
Distribución de Bernoulli
Distribución Gamma
Distribución Poisson
Distribución Normal
Distribución T de Student
Monserrat Pantoja Castellanos
2 “A”

2. DISTRIBUCION BINOMIAL

6. En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales se responde
declarando “verdadero” o “falso”, el alumno sabe que, históricamente, en el
75% de los casos la respuesta correcta es “verdadero” y decide responder al
examen tirando dos monedas, pone “falso” si ambas monedas muestran una cara
y “verdadero” si al menos hay una cruz.
Se desea saber qué probabilidad hay de que tenga al menos 14 aciertos.
Hay que proporcionarle a 3.1 los parámetros de la distribución y el punto k a
partir del cual se calculará la probabilidad. En este caso n=20, p=0,75 y el
punto k=14.
Resultados con Epidat 3.1
Cálculo de probabilidades. Distribuciones discretas
Binomial (n,p)
n: Número de pruebas 20
p: Probabilidad de éxito 0,7500
Punto K 14
Probabilidad Pr [X=k] 0,1686
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,3828
Cola Derecha Pr [X>k] 0,6172
Media 15,0000
Varianza 3,7500
La probabilidad de que el alumno tenga más de 14 aciertos se sitúa en 0,61.

7. DISTRIBUCION BERNOULLI
1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la probabilidad de
sacar la carta 9?
° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.
P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0
= 1/9 = 0.111
° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.
P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888
2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder darles un
premio, pero la maestra los seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es la
probabilidad de que salga el alumno numero 16?
° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16.
P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0
= 1/16 =
0.0625
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16.
P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 =
0.9375
3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al momento de sacar
alguno de ellos ¿que probabilidad hay para que pueda salir premiado el boleto
número 342?
° La probabilidad de que saque el boleto número 342.
P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0
= 1/342
= 0.00292

8. ° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342.
P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342
= 0.99707
4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se
considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 -
p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento",
y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y
1 (una cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los
requisitos.
° La probabilidad de obtener cruz.
P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0
= 0.5 = 0.5
° La probabilidad de no obtener cruz.
P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5

9. DISTRIBUCION GAMMA
1) El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una
distribución de
Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que
transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta
la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).
Solución:
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a
p)
a : Escala 60000
p : Forma 20000
Punto X 10000
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,0174
Media 0,3333
Varianza 0,0556
Moda 0,1667
La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el
segundo paciente es 0,98.
2) Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son
sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una
distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:
1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que
0,1.
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a, p)

10. a: Escala 0,8100
p: Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
DISTRIBUCION POISSON
1) Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de contabilidad son muy
inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al
azar 5 de ellos sean muy inteligentes
n= 100
P=0.03
=100*0.03=3
x=5
2) La producción de televisores en Samsung trae asociada una probabilidad
de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores,
obtener la probabilidad que existan 4 televisores con defectos.
n=85
P=0.02
P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746

11. X=4
=1.7
3) Una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la
probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruso
n=20
P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418
X=3
=3
4) El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún
problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular
probabilidad de que existan 5 registros con problemas?
n=40
P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793
=3.2
X=5
5) Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la
vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular
Probabilidad que existan 5 registros con problemas?
n=40
P=0.08
=10

12. DISTRIBUCION NORMAL
1) Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de
14.0
µ = 80
σ = 14 z
a) Calcule la probabilidad de un valor
localizado entre 75.0 y 90.0
p (75 ≤ x ≤ 90)
Probabilidad
acumulada.
75 80 90
0.7611 μ
z =
0.3594
z =
p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017
b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.
p(x ≤ 75)
Probabilidad
acumulada.
0.3594
z
p(x ≤ 75) = 0.3594
75 80
μ
c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0

13. p (55 ≤ x ≤ 70)
Probabilidad
acumulada.
0.2389
z =
0.0367
z =
55 70 80
μ
p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022
2) Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en
Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de
$70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió
una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:
µ= $70,00
σ =$20,0 z
a) El monto solicitado sea de $80,000 o
superior?
p(x ≥ 80,000)
Probabilidad
acumulada.
0.6915
z =

14. p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085
70000 80000
μ
b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000?
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)
Probabilidad
acumulada.
0.6915
z =
0.4013
z =
65000 70000 80000
μ
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902
c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.
p(x ≥ 65,000)
Probabilidad
acumulada.
0.4013
z =
65000 70000
p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987 μ

15. 3) Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de
250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de
24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de
Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la
distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una
distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5
minutos.
µ = 38.3 min.
σ = 7.5 min. z
a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen
menos de 30 minutos?
p( x ≤ 30)
Probabilidad
acumulada.
0.1335
z =
p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3
μ
b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?
p(30 ≤ x ≤ 35)
Probabilidad
acumulada.
0.3300
z =
0.1335
z =
30 35 38.3
μ

16. p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%
c) ¿Qué porcentaje de viajes
consumen entre 30 y 40 minutos? µ = 1,200
p(30 ≤ x ≤ 40) σ = 225
Probabilidad Probabilidad
acumulada. acumulada.
0.5910 z 5% = .0500
z =
0.1335
z =
30 38.3
μ
p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 –
0.1335 = 0.4575 = 45.75%
4) Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond, Virginia,
tiene una distribución normal, con una media de $1,200 y una desviación
estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer niveles de
inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se
agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de
inventario?

17. 1 - 0.0500 = 0.9500
Valor z = 1.65
5% ó 0.0500
z 1.65
X=
1,571.25
x = 1,571.25
5) En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad
privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución
de los costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad
normal y que la desviación estándar es de $4,500. El 95% de los
estudiantes de universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad?
z
95% ó 0.9500
z 1.64

18. x = 27,462. X=
27,46275
µ = 20,082
σ = 4,500
Probabilidad Valor
acumulada. de z
95% = .9500 =
DISTRIBUCION T-STUDENT
1) Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de
500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona
verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t

19. 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión
deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:
520 521 511 513 510 µ=500 h
513 522 500 521 495 n=25
496 488 500 502 512 Nc=90%
510 510 475 505 521 X=505.36
506 503 487 493 500 S=12.07
SOLUCIÓN.
t= x -μ
SI n α = 1- Nc = 10%
v = n-1 = 24
t = 2.22
Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.

20. 2) El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10 días.
Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone el
despertador acaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase,
mientras que 2 de cada 10 días en los que olvida poner el despertador,
llega a tiempo adar su primera clase.
(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.
(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar su
primera clase?
Solución: En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que
estamos realizando. Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del
profesor Pérez y analizarlo en base a los siguientes sucesos.
(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:
O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertador
T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.
Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos.
A continuación traducimos en términos de probabilidad de los sucesos
anteriores todos los datos que nos dan en el enunciado.

21. P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .
(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto
nos piden que calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema completo de
sucesos, podemos aplicar la formulas de la probabilidad total, de donde
tenemos que:
P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).
En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha
proporcionando el enunciado, sin embargo no conocemos directamente el valor
de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos que
P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se
puede escribir como: P(T¯) = + =0.69
3) La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media μ=10
mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra
de tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:
P (μ<20.5)
Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de
libertad
T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5
P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)
P (T<2.5) = 0.9902
P (μ<20.5)=0.9902

22. La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior
a 20.5 mm es del 99.02%
4) Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los siguientes casos:
1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.
2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.
Solución.
1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica:
S [W · w0=95] = 0=95
Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:
- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.
- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso:
0=95=
- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores hasta
cruzarnos en el punto w0=95.
Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad será
el valor:
w0=95 = 2=3534
Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la
primera columna, llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos
verticalmente hacia la primera fila la llegaremos al valor 0.95 (probabilidad
acumulada).
Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas
probabilísticas que van desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentil
w0=25, tendremos que realizar la siguiente consideración:
S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]

23. Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica:
w0=25 = ¡w0=75
Y resulta: s [W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]
Por tanto, buscando en la tabla con los datos:
Grados de libertad: 3
Cola de probabilidad: 0.75
Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649
2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso
anterior, pero buscando en la fila 30 de la tabla. Resultando:
w0=95 = 1=6973
Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828
5) Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01
Solución.
Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de
tener en cuenta que:
df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)
df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)
0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)
El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado.
Por tanto: I9>7; 099 = 6=840