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Expresiones
Algebraicas
Matemática
Inicial
Contenido:
Suma, Resta y Valor numérico
de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de
Expresiones algebraicas.
Productos Notables de
Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos
Notables.
Trayecto: Inicial Nombre: Moisés Mendoza Cédula: 31.099.415 Sección: IN0114
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¿Quéesunaexpresión algebraica?
Son las operaciones con relaciones numéricas en
las que uno o más valores son desconocidos.
Se les llama estos valores como: Variables o
Incógnitas, y se representa con una letra.
Básicamente es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las
operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Valor numérico de una expresión algebraica
Es el número que se obtiene al sustituir la variable por el valor numérico dado, siempre y
cuando se mantenga la coherencia en las operaciones y se realicen adecuadamente.
Con los ejemplos anteriores podríamos suponer...
Antes de seguir avanzando deberíamos saber que es un Monomio y un Polinomio.
Monomio Polinomio
PorEjemplo:
Longituddelacircunferencia:L=2 πr,dondereselradio
delacircunferencia.
Áreadelcuadrado:S= I2
,dondeleselladodelcuadrado.
Volumendelcubo:V=a3
,dondea eslaaristadelcubo
1-
L = 2πr
(reselvalor
desconocido)
Sir= 5cm
L = 2· π·5cm
= 10·πcm
3-
V= a 3
(a eselvalor
desconocido)
Sia =5 cm
V= 5 3
cm
= 125 cm 3
2-
S= I 2
(I eselvalor
desconocido)
SiI =5 cm
I =5 2
= 25 cm 2
UnMonomioesunaexpresiónalgebraicaenla
quelasúnicasoperacionesqueaparecenentre
lasvariablessonelproductoylapotenciade
exponentenatural. Ejemplo:2x2y3z
Unpolinomioesunaexpresiónalgebraica
formadapormásdeunmonomio.Ejemplo:2x2y3
+3x2y3z
Bibliografía: https://www.matematicasonline.es/pdf/Temas/3_ESO/Expresiones%20algebraicas.pdf
(Páginas 1 y 2 – Autor y año: Desconocidos)
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Sumadeexpresiones algebraicas(Monomios yPolinomios)
A continuación un par de ejercicios de adición de polimonios con
su respectiva explicación:
Ejercicio Resolución
Siguiendo este mismo procedimiento hagamos otro ejercicio para perfeccionar:
Ejercicio
P(x) = 2x 3
+ 5x - 3
Q(x) = 4x - 3x 2
+ 2x 3
Q(x) = 2x 3
- 3x 2
+ 4x
P(x) + Q(x) = (2x3
+ 5x - 3) + (2x 3
- 3x 2
+ 4x)
P(x) + Q(x) = 2x 3
+ 2x 3
- 3 x 2
+ 5x + 4x - 3
P(x) + Q(x) = 4x 3
- 3x 2
+ 9x - 3
1- Examinamos los polinomios
2- Ordenar si uno lo esta
3- Detectar monomios semejantes
4- Agruparlos por su grado
5- Sumamos sus coeficientes
Y ya está!!
T(x) = 3x 2
+ 4x – 8
G(x) = 5x – 2x 2
+ 4x 3
G(x) = 4x 3
– 2x 2
+ 5x
T(x) + G(x) = (3x 2
+ 4x – 8)+(4x 3
– 2x 2
+ 5x)
T(x) + G(x) = 4x 3
+ 3x 2
- 2x 2
+ 4x + 5x – 8
T(x) + G(x) = 4x 3
+ x 2
+ 9x – 8
1- Examinamos los polinomios
2- Ordenar si uno lo esta
3- Detectar monomios semejantes
4- Agruparlos por su grado
5- Sumamos sus coeficientes
Y ya está!!
Resolución
Bibliografía: https://www.matematicasonline.es/pdf/Temas/3_ESO/Expresiones%20algebraicas.pdf
(Página 7 – Autor y año: Desconocidos)
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P(x) − Q(x) = (2x 3
+ 5x - 3) − (2x 3
- 3x 2
+ 4x)
P(x) − Q(x) = 2x 3
+ 5x - 3 − 2x 3
+ 3x 2
− 4x
P(x) − Q(x) = 2x 3
− 2x 3
+ 3x 2
+ 5x− 4x – 3
P(x) − Q(x) = 3 x 2
+ x - 3
T(x) - G(x) = (3x 2
+ 4x – 8) - (4x 3
– 2x 2
+ 5x)
T(x) - G(x) = 3x 2
+ 4x – 8 - 4x 3
+ 2x 2
- 5x
T(x) - G(x) = - 4x3
+ 3x 2
+ 2x2
+ 4x – 5x – 8
T(x) - G(x) = - 4x3
+ 5x2
– x – 8
Restadeexpresiones algebraicas(Monomios yPolinomios)
La sustracción de monomios y polinomios sigue casi las mismas reglas que la adición, se
ordenan los monomios por su grado; se juntan los semejantes, pero se tiene en cuenta el
signo negativo a la hora de realizar la operación, he aquí 2 ejercicios de resta con los
mismos términos de los ejemplos de la adición:
Multiplicacióndeexpresiones algebraicas (Monomiosy Polinomios)
En todos los casos ya sea multiplicación de un número, o de monomio o de otro polinomio
por un polinomio, se aplicara la propiedad distributiva, es decir se multiplicara uno por
uno los términos de un lado con los del otro, luego (en el caso de la multiplicación entre
polinomios) los términos semejantes se agrupan y se suman, el polinomio que quede será el
resultado.
Ejercicio1 Ejercicio2
3 x 2
· (2x 3
- 3x 2
+ 4x - 2) = 6x 5
- 9x 4
+ 12x 3
- 6x 2
P(x) = 2x 2
– 3 · Q(x) = 2x 3
- 3x 2
+ 4x
P(x) · Q(x) = (2x 2
- 3) · (2x 3
- 3x 2
+ 4x) =
= 4x 5
− 6x 4
+ 8x 3
− 6x 3
+ 9x 2
− 12x =
= 4x 5
− 6x 4
+ 2x 3
+ 9x 2
− 12x
Producto
de
Monomio
Producto
de
Polinomio
Bibliografía: https://www.matematicasonline.es/pdf/Temas/3_ESO/Expresiones%20algebraicas.pdf
(Página 8 – Autor y año: Desconocidos)
5. |
Divisióndeexpresiones algebraicas (MonomiosyPolinomios)
Convencional Ruffini
A la izquierda situamos el dividendo. Si el
polinomio no es completo dejamos huecos en
los lugares que correspondan. A la derecha
situamos el divisor dentro de una caja.
Realizamos el cociente entre el primer monomio
del dividendo y el primer monomio del divisor.
3X2
÷ X = 3X. Y multiplicamos cada término del
polinomio divisor por el resultado anterior y lo
restamos del polinomio dividendo:
Continuamos el mismo proceso hasta acabar
Este ejemplo nos da exacto, pero en caso
de que quede monomio menor al
dividendo, ese sería el resto
Existen 2
métodos de
resolución de
divisiones de
Polinomios
( -3x + 4x -5x + 1) ÷ (x - 2)
En la primera fila colocamos los coeficientes del
dividendo ordenados según las potencias
decrecientes. El término independiente del
divisor cambiado de signo
Los números de la segunda fila se consiguen
multiplicando el término independiente del divisor
por el último número conseguido de la tercera fila:
2·(−3)=−6 2·(−6)=−12 2·(−8)=−16 2·(−16)=−32
2·(−37)=−74
Los coeficientes del polinomio cociente son los
números de la tercera fila menos el último que
es el resto. En este caso los coeficientes
son:(−3,−6,−8,−16,−37)
Por tanto el resto sería -73
Convencional: Bibliografía: https://www.matematicasonline.es/pdf/Temas/3_ESO/Expresiones%20algebraicas.pdf
(Página 9 y 10 – Autor y año: Desconocidos)
Ruffini: Bibliografía: https://www.uv.es/lonjedo/esoProblemas/unidad2polinomios.pdf
(Página 3 – Autor y año: Desconocidos)
PaoloRuffini(1765,1822)fueunmatemáticoitaliano,que
estableciónunmétodomásbreveparahacerla divisiónde
polinomios,cuandoeldivisoresunbinomiodelaformax
—a.
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ProductosNotablesde ExpresionesAlgebraicas
Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen
reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple
inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.
Factor Común: El
resultado de multiplicar
un binomio por un
término se obtiene
aplicando la propiedad
distributiva:
¿Cual es el factor común monomio en : 5a2
- 15ab - 10 ac? El factor común entre los
coeficientes es 5 y entre los factores
literales es a, por lo tanto 5a2 - 15ab - 10
ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c)
Cuadrado de un Binomio:
Para elevar un binomio al
cuadrado se suman los
cuadrados de cada
término más el doble del
producto de ellos
Dos binomios de Término
Común: Para efectuar un
producto de dos binomios
con término común se tiene
que identificar el término
común, en este caso x, luego
se aplica esta fórmula:
Cuadrado de un
polinomio: se suman los
cuadrados de cada término
individual y luego se
añade el doble de la suma
de los productos:
(a + b + c)² = a² +
b² + c² + 2(ab + ac
+ be)
(3x+2y-5x)²=(3x+2y-5x)(3x+2y-5z)
Multiplicando los monomios: (3x+2y-5x)=3x-
3x+3x-2y+3x-(-52) +2y 3x+2y 2y+2y.(-5x) +(-5x)-
3x+(-5x) - 2y+(-5x)-(-5z)
Agrupando términos: (3x+2y-5x)² y²+252 +2(6xy-
15xx-10yz)
Luego:(3x+2y-52)²=9x+4y²+25% +12xy - 30xz-
20yz
Hay muchasfórmulasdeesteestilo,peroa continuación resaltaréunosdelosmás
importantes
Bibliografía: https://www.mineduc.gob.gt/DIGECADE/documents/Telesecundaria/Recursos%20Digitales/2o%20Recursos%20Digitales%20TS%20BY-
SA%203.0/06%20MATEMATICA/U8%20pp%20180%20productos%20notables.pdf
(Páginas 1- 3 – Año: Desconocidos)
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Factorizaciónpor ProductosNotables:La factorizacióneselprocesoalgebraico pormediodelcualse
transforma una suma oresta de términos algebraicos enun producto algebraico. Hay muchos metodos defactorización,
peroa continuación resaltaremos algunosimportantes:
Por Agrupación: En la factorización por agrupación, no
todos los elementos del polinomio comparten un factor
común, por lo que se deben identificar primero los grupos
de elementos que si comparten términos comunes y después
factorizar cada grupo de elementos. Otro ejemplo:
Factorizar: m²+mp+mx+px
Agrupamos: m² + mp + mx + px = (m² + mp) + (mx + px)
Y factorizamos los grupos: m(m + p) + x(m + p)
Diferecia de Cuadros: La diferencia de cuadrados
tiene la forma de x² - y2 y su factorización es el producto
de binomios conjugados. Otro Ejemplo:
Factorizar: 4x²-9
Primero obtenemos la raíz de cada elemento del binomio.
√4x2 = 2x √9=3
Y Factorizamos: (2x + 3)(2x – 3)
Trinomio Al cuadrado perfecto. Reglas: Ejemplo 1
1. Se ordenan los términos del trinomio en orden
descendente a una de las literales, de forma que los
extremos sean expresiones que tengan raíz cuadrada
exacta
2. Se obtiene la raíz del primer y tercer termino
3.-Para comprobar que
haya sido un trinomio al
cuadrado "perfecto", se
realiza el doble producto
de los términos
obtenidos en el paso dos y debe ser igual al 2do término del
trinomio.
4.-El signo del binomio que die resultado es el mismo que
el signo del 2do término del trinomio original.
Bibliografía: https://cursoparalaunam.com/productos-notables-y-
factorizacion#:~:text=La%20factorizaci%C3%B3n%20es%20el%20proceso,del%20desarrollo%20de%20productos%20notables.
(Página, Autor y año: Desconocidos)
