Magmàtica matemàgia mònica orpí

Mònica Orpí
morpi@xtec.cat
www.morpi4/mar-de-matematiques-

Màgia matemàtica o matemàtica màgica
Trucs de màgia basats en propietats matemàtiques

• Nom : Mònica Orpí Mañé
• Formació : Llicenciada en ciències exactes/ Matemàtiques (2000)
• Professió : Professora de matemàtiques ( des del 2000)
• Actualment : Professora a l’INS Torredembarra des de 2011
• Sobresou : Professora del projecte Talent Jove des de 2013
• Afició : Entre moltes altres, la matemàgia / magmática
• Edat : Si a l’any que vaig néixer (dues xifres) hi sumeu la meva edat
(finals del 2016) el resultat és 116.

Si a l’any que vaig néixer (dues xifres) hi sumeu la
meva edat el resultat és 116
7
1975-1900 + 2016 – 1975 =2016 – 1900 =116

115= 1975-1900 + 2015 – 1975 =2015 – 1900 =115
1 1 5
2015

 EL 2 UN SÚPER NÚMERO :
 TARGETES D’ADIVINACIÓ :
 SÍMBOLS : Memòria prodigiosa 1.…16
 NÚMEROS ……………………………..19
 CARES I CREUS........................................31
 UN CASTEL ENCANTAT ……………….....34
 UNA DE REIS, REINES I UN HOSTAL…..44
 UN CLÀSSIC: EL MÀGIC 7
 LES CARES OCULTES DELS 3 DAUS….47
 ELS SOBRES NUMÈRICS………………...50
 UNA CORONA MÀGICA …………………..53
 UNA DE CALENDARIS (2x2,3x3,4x4)…...59
 AQUEST ANY US CONEC MOLT BÉ…….62
 2016 UN ANY MÀGIC……………………....72
 QUIN DIA DE LA SETMANA SERÀ ?........77
 EL SÚPER MÀGIC NÚMERO 9
 NÚMEROS, GEOGRAFIA I ZOOLOGIA....86
 D’UNA XIFRA
 DE VÀRIES XIFRES
 UNA DE BRUIXES.....................................92
 JOCS DE LES XIFRES DEL 1 AL 9..........113
 UNA DE SOBRES ………………………….121

 FIBONACCI :
 MEMÒRIA PRODIGIOSA 2…………………...........127
 DIVISIBILITATS DE LA SUMA…………….............132
 LA MÀGIA DELS SEUS TERMES…………...........137
 QUE AMAGA EL SOBRE DAURAT? ……….……140
 ENCRIPTACIÓ: EL SECRET ESTÀ EN SABER-HO
OCULTAR I TROBAR LA CLAU
 MEMÒRIA PRODIGIOSA 2…………………………145
 CODIS DE BARRES……………………………..….148
 FALSIFIQUEM BITLLETS…………………............151
 EL SECRET OCULT ESTÀ EN LES EQUACIONS I
EN EL NOSTRE SISTEMA DECIMAL
 UN TRUC DE CARTES………………………..157
 UN NÚMERO DE 3 XIFRES ……………….…161
 UN ALTREDE 3 DAUS: EL VERMELL, EL BLAU
I EL VERD………………………......................164
 UN NÚMERO MOLT ESPECIAL……….…… 167
 UN ALTRE NÚMERO MOLT ESPECIAL……... 170
 173ANY DE NAIXEMENT I NÚMERO DE
SABATES…………………………………….…173
 EL SECRET ESTÀ EN DESCOMPOSICIÓ
FACTORIAL………………………………………..…176
 EL SECRET ESTÀ EN LA RESTA ……………….180
 SEMBLA MÀGIA PERÒ NO HO ÉS : MULTIPLICACIÓ
RÀPIDA……………………………………………..………183

• CAMINS MÀGICS : ELS PONTS DE
KÖNIGSBERG …………………………………………194
• RETALLAR I ENGANXAR PER DEMOSTRAR ?
• TEOREMADE PITÀGORES………………….204
• DESAPARICIÓI APARICIÓ D’ÀREA !......207
• COM ÉS QUE HI HA UN FULLET DE MÉS
?? LA PARADOXA DE HOOPER.....…….214
• LES CORDES MÀGIQUES…………………………219
• PODEM ALLIBERAR L’ARO DE LA CORDA?
• ENS PODEM DESLLIGAR ?
• ESCONGIR UNA PERSONA I FER-LA PASSAR
PER UN FORADET……………………………….…..227
• LA BANDA DE MOEBIUS: ANEM AL CIRC….229
• LA GEOMETRIA DE LES IL·LUSIONS………....234
• ESCONGIR UNA PERSONA
• IL·LUSIOS ÒPTIQUES
• FIGURES IMPOSSIBLES
• VISIÓ DOBLE

• El número 2 representa la díade, que vol dir tot allò
que afecta al ser humà que pot ser expressat en forma
dual : El bé i el mal, tancat o obert, el cel i l’infern,
l’home i la dona...
• Representava la imperfecció pels pitagòrics ja que no
era possible construir una figura amb dues línies ni
amb dos punts
• També per a ells el dos era el símbol de la dona i d’allò
tenebrós
• Actualment tots els utensilis tecnològics com els
ordenadors i els mòbils així com tots els circuits
elèctrics funcionen amb sistema binari de 0 i 1 que
representa l’apagat i encès. Tota la informació es una
seqüència de 0 i 1 que es descodificaran i
recompondran una veu o una imatge.
• Dedicarem alguns trucs de màgia i jocs basats en els
principis de paritat i en el sistema binari de numeració

Tria un objecte dels següents però no em
diguis quin has escollit

Ara només cal que em diguis
les graelles on està ?
El tei objecte és ….
1ª 2ª.
3ª 4ª.
El símbol que has escollit és ….

• Pensa un número de 1 al 63 i no em diguis quin és. A
veure si m’arriba...
• Només cal que em diguis en quina d’aquestes graelles
està el número que has pensat

ÉS EL NOMBRE ….
Tinc
màgia!!
(sóc un
mag)

• Posem 4 monedes disposades de manera que es vegin 2 cares i 2 creus
• Tenca els ulls i fes 5 voltes a les monedes, sense saber quines monedes
estàs girant. Com que només n’hi han 4 monedes, algunes d’elles les
tombaràs més d’un cop.
• Escull una d’elles i tapa-la, de manera que no vegis si hi ha una cara o
una creu.
• Obre els ulls i observa les que estan visibles:
• Si veus 3 cares la tapada serà 1 creu/ Si veus 3 creus, la tapada serà 1
cara
• Si tens 2 cares i 1 creu, la tapada mostra la que ha sortit més cops,
per tant 1 cara/ Si tens 2 creus i 1 cara, la tapada és 1 creu
• Aixeca la mà i sorprèn-te
La cara i la creu d’una moneda :

Per què podem endevinar
si será cara o creu ?
• El fonament resideix en la paritat.
• Al principi la diferència entre cares i creus és 0 (N’hi havia dos de cada tipus)
• Cada cop que girem una moneda canvia la paritat.
• Si girem una moneda que mostrava cara, ens quedarà 1 cara i 3 creus
• Si girem una moneda que mostrava creu, ens quedarà 1 creu i 3 cares
• En les dues disposicions anteriors tenim un nombre imparell de
cares
• Al tornar a girar una moneda, ara es conservarà la paritat de les cares.
• Així que al girar 5 cops haurem invertit la paritat original i hi ha d’haver
un nombre senar de cares
També es pot presentar dient CANVI cada cop que
giren una moneda i tu comptes el número de canvis
que fan i si són parells o senars

EL CASTELL ENCANTAT
Hi havia una vegada…
un fantasma que vigilava un castell
encantat.
En aquest castell hi havia 9 cases
que es comunicaven entre elles.
Els visitants d’aquest castell sou
vosaltres.
Castell del dràcula

Us podeu moure per totes les cases en direcció
horitzontal i vertical, mai en diagonal

Acomodeu-vos en una casa que estigui disponible

Tornen a aparèixer les cases inicials.
•Desplaça’t 4 cases

Eliminem dos cases
Desplaça’t 3 cases

Eliminem dos cases més
Desplaça’t 2 cases

Eliminem una casa més
Desplaça’t 1 casa

HO HEM ACONSEGUIT !!
Eliminem tres cases més

1. Donat que ens situem en una casa parell i ens desplacem 4
posicions, tornem a estar en una casa parell
2. Al desplaçar-nos 3
estem situats en una casa
senar, però cap de les que
están tatxades, per tant
momés podem estar en la
del mig o en la 7ª o 9ª.
4. A eliminar una
casa més, i
desplaçar-nos 1,
al estar abans
situats en una
senar, ara
estarem situats
en una casa
parell, però de les
que queden,
només pot ser la
8ª casa.
3. Al desplaçar-nos 2
estem situats en una
casa senar, però cap
de les que estan
tatxades, per tant
només podem estar
en la del mig o en la
7ª o 9ª.

El 7
Por què el 7 és un número màgic?
7 són els dies de la setmana, que són
nombrats segons els 5 planetes coneguts,
el Sol (Déu) i la Lluna
És el número que s’ha mitificat en totes les
cultures: Des de la antiguitat, aquesta xifra
sempre ha tingut un regust de misteri. Per
Pitàgores era “el número perfecte”, la Bíblia
el menciona amb freqüència
De les set meravelles als set pecats capitals
Quin secret oculta el 7?

LA SUMA DE LES CARES OCULTES
DE 3 DAUS
•Posa tres daus un a
sobre l’altre, com
indica la figura
•Puc endevinar la
suma de les cares
ocultes

EL PER QUÈ DE LA SUMA DE LES
CARES OCULTESDELS 3 DAUS
La suma de cares
oposades d’un dau
sumen sempre 7. Com
tenim 3 daus 7·3=21 i en
el nostre cas, on es
mostra la cara de 3 punts,
la suma de les cares
amagades serà 21-3

Sobres Numèrics
• Treu un nombre del sobre 1 GROC
• Multiplica’l per 1001
• Multiplica el resultat per 9
• Divideix-lo per 7
• Quin és el resultat?
• Obrim el sobre 2 VERMELL i…

1. Un voluntari es posa la corona i ha d’estar concentrat en les operacions que
haurà de fer el 2n voluntari. Aquest segon haurà de …
2. Triar un pal de la baralla de cartes espanyola
3. Ara haurà de treure les 6 cartes que apareguin després
de l’as del pal que ha escollit
1. Cal que les apunti a la pissarra horitzontalment
2. Un 3r voluntari ha de llançar el dau cúbic i dir el que ha sortit al 2n voluntari.
3. El 2n voluntari haurà de multiplicar el número que ha sortit pel número que
ha apuntat a la pissarra.
4. El 1r voluntari ha estat concentrat i ha traspassat el número dins la corona ??

Possibles presentacions: Amb una cinta dins d’un sobre, amb una pulsera…

UNA DE CALENDARIS i LA MÀGIA
DEL NÚMERO 7
Els calendaris tenen moltes
propietats matemàtiques, degut
a la seva periodicitat de les
seves xifres

JUGUEM AMB EL CALENDARI: Graella 2x2
• Escull el mes que vulguis del
calendari
• Tria un quadrat de dimensió 2x2
• Ensenya’l clarament al públic
• Suma els 4 nombres i digues el
resultat
• Jo t'endevino els 4 nombres i l’ordre
en que estan posats

• La suma S ens donarà
S= 4A+16, per tant ja tenim la A i
tots els altres termes:
A= (S-16)/4
A A+1
A+7 A+8
JUGUEM AMB EL CALENDARI: Graella 2x2

JUGUEM AMB EL CALENDARI
• Escull el mes que vulguis del calendari
• Ensenya'l clarament al públic i a tots els presents (a mi
TAMBÉ)
• Jo faré una predicció que posaré en un sobre
• D’ aquest quadrat encercla un nombre i suprimeix la fila i
columna on es troba el nombre escollit.
• Repeteix l’operació amb els nombres que queden sense
tatxar fins obtenir 3 nombres.
• Suma’ls……Suma els tres nombres que no queden tatxats i
digues el valor en veu alta serà el nombre que hem posat
dins del sobre

• Només cal que ens fixem en el terme
central.
• Mentre estem d’esquena, escrivim en
un paper el triple de l’element central.
i entrega’l a un espectador. El triple
del número central serà igual a la
suma dels 3 números que queden per
tatxar.
• Hi han 6 eleccions diferents d’escollir
els 3 números ( 3 per 1ª fila, 2 per la
2ª i 1 per la última fila 3·2·1=6)
Al anar tatxant de la manera que hem procedit, estem
forçant que els números escollits siguin tots de files i
columnes diferents. Així sigui quina sigui l’elecció la
suma serà A+B+C+1+2.
Com considerem calendaris, encara tenim més
informació ja que tenim que
B=A+7
C=A+14
La suma serà, per tant, 3A + 3 + 21= 3A+24 =
3A+21+3=3(A+7)+3=3B+3=3(B+1)
A A+1 A+2
B B+1 B+2
C C+1 C+2
És equivalent també a :
3x+24=
3(x+8)
x3

JUGUEM AMB EL CALENDARI
• Escull el mes que vulguis del calendari
• Ensenya se’l clarament al públic i a tots els
presents (a mi TAMBÉ)
• Jo faré una predicció que posaré en un sobre
• D’aquest quadrat encercla un nombre i
suprimeix la fila i columna on es troba el
nombre escollit.
• Repeteix l’operació amb els nombres que
queden sense tatxar fins obtenir 4 nombres.
• Suma’ls……. I digues el valor en veu alta será el
nombre que hem posat al sobre

• Només cal que ens fixem en la suma
dels dos nombres diagonalment
oposats (és indiferent considerar la
diagonal principal o secundària)
• Mentre estem d’esquena, escrivim en
un paper el doble del resultat de la
suma que has fet i entrega’l a un
espectador. El doble de la suma dels
dos diagonalment oposats serà igual
a la suma dels 4 que no ha tatxat
l’espectador.
• Hi han 24 eleccions diferents d’escollir
els 4 números ( 4 1ª fila, 3 per la 2ª, 2
per la 3ª i 1 per la 4ª fila 4·3·2·1=24)
Al anar tatxant de la manera que hem procedit, estem
forçant que els números escollits siguin tots de files i
columnes diferents. Així sigui quina sigui l’elecció la
suma serà A+B+C+D+1+2+3.
Com considerem calendaris, encara tenim més
informació ja que tenim que
B=A+7
C=A+14
D=A+21
La suma serà, per tant, 4A + 48= 2(A+D+3) que serà el
doble de la suma dels elements oposats a la diagonal
A A+1 A+2 A+3
B B+1 B+2 B+3
C C+1 C+2 C+3
D D+1 D+2 D+3
És equivalent també a :
4x+48=
4(x+12)=
2(2x+24)
+ i ·2

1975
41 Fan 2016
2011
+ 5 Fan 2016
4032
L’any vinent faran 4034 !!!

𝟑𝟐𝒙𝟑𝟐 = 𝟐 𝟓 · 𝟐 𝟓
= 𝟐 𝟏𝟎
2·16·16=
= 𝟐 · 𝟐 𝟒
· 𝟐 𝟒
= 𝟐 𝟗
4·8·8=
𝟐 𝟐 · 𝟐 𝟑· 𝟐 𝟑
= 𝟐 𝟖

• Com ho hem fet amb els 8 ? Hem dividit 2016/888= 2’…, així
2016-888·2=240 240/88=2’… Per tant 240-88·2=64
2016=888+888+88+88+8+8+8+8+8+8+8+8
• Escrivim 2016 utilitzant només 7 ?
2016/777=2’… 2016-777·2=462 462/77=6
2016=777+777+77+77+77+77+77+77+77
• Escrivim 2016 utilitzant només 3 ?
2016/333=6’… 2016-333·6=18 que 18=3·6
2016=333+333+333+333+333+333+3+3+3+3+3+3

Per calcular el dia de la setmana del any en curs cal sumar tres números:
és el valor del dia en el que acaba l’any anterior ( dilluns 1, dimarts dimecres 3, …).
Si l’any és bixest , aquesta clau serveix pel gener i pel febrer. Augmenta en una unitat per març, abril ...
La nit de cap d’any la recordes, l’any passat, 2015 era dijous, així la clau de 2016 serà 4 i 5 per ser bixest. Es
diu que té clau 5 per què són més mesos on 5 actuarà
està relacionada amb el desfàs acumulat que es produeix respecte l’inici de l’any. Així
• GENER 0
• FEBRER 3 (perquè gener té 31 dies : 4 setmanes completes més 3 dies)
• MARÇ 3 (Perquè febrer consta de 4 setmanes completes)
• ABRIL 6 (com març té 31 dies i es desfasa 3, més 3 que ja s’havia desfasat dóna 6 )
• MAIG 1 (Abril acaba en 30 i per tant aporta 2 de desfàs, més 6 fan 8. Però treballant en mòdul 7, 8 és 1)
• JUNY 4 ( Maig acaba en 31, per tant es desfasa 3, que sumat al 1 de maig és 4)
• JULIOL 6 ( Juny es desfasa 2, que sumat a 4 és 6)
• AGOST 2 (Juliol es desfasa 3 que sumat a 6 és 9 i 9 mòdul 7 és 2)
• SETEMBRE 5 (Agost té 31, per tant hem de sumar 3 a 2 i fan 5 )
• OCTUBRE 0 ( Donat que setembre té 30 dies, es desfasa només 2 que sumat a 5 fan 7 que és igual a 0)
• NOVEMBRE 3 ( Com que octubre de 31 dies, hem de sumar 3 al zero d’octubre)
• DESEMBRE 5 (Donat que novembre acaba en 30 dies només cal sumar 2 a la clau del mes anterior, així que
tindrà clau 5)

COMENTARIS
Origen de l’ordre en els dies de la setmana http://blogs.cadenaser.com/grado-
361/2013/05/23/los-dias-de-la-semana/
Sobre el calendari gregorià i el julià
http://apliense.xtec.cat/arc/sites/default/files/annex_octubre_1582_Un_paseo_por_el_origen_del_
calendario_y___a_aubanell.pdf
ME AYUDARÁ A RECORDAR LA CANTIDAD
2’ 7 1 8 2 8…

5 D’ABRIL DEL 2015
5 + 6 + 3 = 14 14 Mòdul 7 és 0
Els múltiples de 7 equivalen a DIUMENGE
Per saber la
• Els anys avancen un dia cada any ja que 365 / 7 té per quocient 52 i residu 1 52·7 +
1 =364 +1 = 365
• Si l’any és bixest avança 2 (1+1) a partir del febrer. Així per exemple 2016 té per clau 4
gener i febrer i 5 la resta de mesos.
• 1900= 0 És fàcil de recordar.
• 2032 porta 132 dies de desfàs respecte 1900.
• Cal calcular els bixests que contenen aquests 132 anys, que seran 33 bixests ja
que 132 /4 = 33 que els haurem de sumar a 132 (Com que la divisió és exacta,
2132 és Bixest !!
• Per tant 132+33=165 i fem mòdul 7, és a dir, dividim per 7 ens queda 165/7 té
per quocient 23 i residu 4, per tant aquest 4 serà la clau de 2032 (tot excepte
GENER i FEBRER que serà 3)

• A més, com que els calendaris es repeteixen cada 28 anys, ( ja que 28 té 7 bixest
per tant haurem de sumar 28+7 = 35 que resulta que dividit a 7 queda mòdul 0 i
per tant no cal sumar res)
• Així l’any 2032 és el mateix que 2004 i el mateix que 1976 i 1948 i 1920
• Per tant l’any 1920 té clau 4 com 2132 ( 28·3=112 que restat a 132 és 20)
• Tant 2032 com la resta, al ser Bixests tenen clau 4, però 3 al gener i febrer. 2033
tindrà clau 5 !!!
• Quina és la clau de 1975?
• 1975 cal sumar 75 a 1900 més els bixests que són 75/4 té per quocient
18, per tant cal sumar 75+18=93 que al fer mòdul 7 són 13 de quocient i 2
de residu
• Per tant 1975 té clau 2.
O fet d’una altra manera : 75/28 és a 2’..., per tant 28·2 cal restar-ho de 75:
1975 – 28·2= 1919. Així la clau de 1975 és la mateixa que 1919 :
19+4 ( ja que conté 4 bixest 19/4=4’...)=23/7 té 2 de residu. Per tant la clau
1975 és 2

• La clau de 2016 serà :
2016-1900=116 116/28=4’..., per tant serà la mateixa que 2016-
4·28=1904 i com que és bixest serà 4 i 5.
D’una altra manera :
2016 es porta 116 amb 1900.
Té 116 de desfàs més els bixests que seran 116/4= 29 exactes, per
tant és bixest i hem de sumar 116+29= 145 i si fem mòdul 7 serà 20’...
I té de residu 5 per tant aquesta és la clau dels mesos
que actua més, per tant gener i febrer és 4.
• La clau de 2017:
117/4=29’..., 117+29=146
146/7= 20’... 146-20·7=6 Clau és 6 !!!!

• El 9 significa l’amor i la gestació ( en
els humans, aquesta dura 9 mesos)
• També és el quadrat del primer
nombre senar
• És el protagonista en la comprovació
de moltes operacions : La prova del
9 (que comentarem més endavant )

I si en lloc de pensar una sola xifra ho
fem amb més xifres, funciona ?
Números, geografia i zoologia
• Pensa un número de les xifres
que vulguis
• Suma les seves xifres fins que
quedi reduït a una sola xifra
• Resta-li 5 unitats

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
20  21  22  23  24  25  26  27  28  29 
30  31  32  33  34  35  36  37  38  39 
40  41  42  43  44  45  46  47  48  49 
50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 
60  61  62  63  64  65  66  67  68  69 
70  71  72  73  74  75  76  77  78  79 
80  81  82  83  84  85  86  87  88  89 
90  91  92  93  94  95  96  97  98  99 
Primer mira fixament a la bruixeta !
Desprésnoméscal que pensis en un número de 2 xifres
A aquestnúmero,resta-li la suma d’ ells . Per exemple: 23 – ( 2+3)
Buscaen el quadrede sotael símbolque correspongui a aquest resultat
Pregunta-li a la bruixetaquin és el símbol i veuràs comella ho sap !!!


No és veritat que era aquest ? Ja Ja Ja !!!
Tornem a jugar ???

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
20  21  22  23  24  25  26  27  28  29 
30  31  32  33 34  35  36  37  38  39 
40  41  42  43  44  45  46  47  48  49 
50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 
60  61  62  63  64  65  66  67  68  69 
70  71  72  73  74  75  76  77  78  79 
80  81  82  83  84  85  86  87  88  89 
90  91  92  93  94  95  96  97  98  99 
Primermirafixamenta la bruixeta !
Desprésnoméscal quepensis en un númerode 2 xifres
A aquestnúmero,resta-lila sumad’ ells . Perexemple: 23 – ( 2+3 )
Buscaen el quadrede sotael símbol que corresponguia aquestresultat
Pregunta-li a la bruixeta quin és el símboli veuràs com ella ho sap !!!

Tornem a jugar ???


0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
20  21  22  23  24  25  26  27  28  29 
30  31  32  33  34  35  36  37  38  39 
40  41  42  43  44  45  46  47  48  49 
50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 
60  61  62  63  64  65  66  67  68  69 
70  71  72  73  74  75  76  77  78  79 
80  81  82  83  84  85  86  87  88  89 
90  91  92  93  94  95  96  97  98  99 

Tornem a jugar ???


0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
20  21  22  23  24  25  26  27  28  29 
30  31  32  33  34  35  36  37  38  39 
40  41  42  43  44  45  46  47  48  49 
50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 
60  61  62  63  64  65  66  67  68  69 
70  71  72  73  74  75  76  77  78  79 
80  81  82  83  84  85  86  87  88  89 
90  91  92  93  94  95  96  97  98  99 

Tornem a jugar ???


0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
20  21  22  23  24  25  26  27  28  29 
30  31  32  33  34  35  36  37  38  39 
40  41  42  43  44  45  46  47  48  49 
50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 
60  61  62  63  64  65  66  67  68  69 
70  71  72  73  74  75  76  77  78  79 
80  81  82  83  84  85  86  87  88  89 
90  91  92  93  94  95  96  97  98  99 


Tornem a jugar ???

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
20  21  22  23  24  25  26  27  28  29 
30  31  32  33  34  35  36  37  38  39 
40  41  42  43  44  45  46  47  48  49 
50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 
60  61  62  63  64  65  66  67  68  69 
70  71  72  73  74  75  76  77  78  79 
80  81  82  83  84  85  86  87  88  89 
90  91  92  93  94  95  96  97  98  99 
Després noméscal quepensis en un númerode 2 xifres
Pregunta-li a la bruixeta quin és el símboli veuràscom ella ho sap !!!


Tornem a jugar ???

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
20  21  22  23  24  25  26  27  28  29 
30  31  32  33  34  35  36  37  38  39 
40  41  42  43  44  45  46  47  48  49 
50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 
60  61  62  63  64  65  66  67  68  69 
70  71  72  73  74  75  76  77  78  79 
80  81  82  83  84  85  86  87  88  89 
90  91  92  93  94  95  96  97  98  99 


Tornem a jugar ???

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
20  21  22  23  24  25  26  27  28  29 
30  31  32  33  34  35  36  37  38  39 
40  41  42  43  44  45  46  47  48  49 
50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 
60  61  62  63  64  65  66  67  68  69 
70  71  72  73  74  75  76  77  78  79 
80  81  82  83  84  85  86  87  88  89 
90  91  92  93  94  95  96  97  98  99 
Després noméscal quepensis en un númerode 2 xifres
A aquestnúmero,resta-lila sumad’ ells. Perexemple: 23 – ( 2+3 )


Tornem a jugar ???

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
20  21  22  23  24  25  26  27  28  29 
30  31  32  33  34  35  36  37  38  39 
40  41  42  43  44  45  46  47  48  49 
50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 
60  61  62  63  64  65  66  67  68  69 
70  71  72  73  74  75  76  77  78  79 
80  81  82  83  84  85  86  87  88  89 
90  91  92  93  94  95  96  97  98  99 


Tornem a jugar ???

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
20  21  22  23  24  25  26  27  28  29 
30  31  32  33  34  35  36  37  38  39 
40  41  42  43  44  45  46  47  48  49 
50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 
60  61  62  63  64  65  66  67  68  69 
70  71  72  73  74  75  76  77  78  79 
80  81  82  83  84  85  86  87  88  89 
90  91  92  93  94  95  96  97  98  99 



• Escriu els números del 0 al 9 en una fulla de paper
• Subratlla 5 d’aquests nombres
• Amb els dígits que has subratllat, utilitza’ls en l’ordre que
vulguis formant número de 5 xifres
• Ara, amb els 5 dígits que no has utilitzat, forma un altra
número que 5 xifres
• Suma els dos números que has construït i envolta en un
cercle una de les xifres del resultat, que no sigui un zero
• Suma ara tots els dígits del resultat menys el que has
envoltat.
• Ara t’endevinaré el número que has encerclat !!!!

El número que has encerclat és aquell que et falta per
arribar al pròxim múltiple de 9.

Un nombre de vàries xifres actua igual que el residu de dividir-lo per 9 o, el que és el mateix, actua
igual que el resultat de sumar les seves xifres i reduir-les a un sol dígit
Així, per exemple :
111+ 587=698 equival a comprovar que 3 + 2 = 5
Al dividir cada nombre per 9 i sumar els seus residus es manté el resultat
111:9 té com a residu 3 111=12·9 + 3 El 111 actua com un 3 ( O també 1+1+1=3)
587:9 té com a residu 2 587=65·9 +2 El 587 actua com un 2 ( O també 5+8+7=20 i 2+0=2)
698:9 té com a residu 5 698 =77·9+5 El 698 actua com un 5 ( O també 6+9+8= 23 i 2+3=5)
Molt útil per comprovar divisions : ( Tot i que no és garantia que l’operació sigui correcta, però sí
que serveix per detectar que ens hem equivocat)
25396:48 Quocient 529 i residu 4 Comprovació de la divisió 529·48 + 4 =
Comprovació de la divisió amb un sol dígit : 7·3 + 4= 25 = 7
2+5+3+9+6=25 4+8=12 5+2+9=16
2+5=7 1+2=3 1+6=7

Per què funciona ??
3 0 4 1 9
+ 7 2 6 5 8
1 0 3 0 7 7
La suma 1+0+3+0+7= 11 falten 7 per al
pròxim múltiple de 9 que és 18
El resultat de la suma anterior ha de
ser un múltiple de 9 sempre ja que
1+2+3+…+8+9=45 que és múltiple de 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 1 3 5 7 9
3 6 9 12 = 3 6 9 3 6 9
4 8 3 7 2 6 1 5 9
5 1 6 2 7 3 8 4 9
6 3 9 6 3 9 6 3 9
7 5 3 1 8 6 4 2 9
8 7 6 3 4 3 2 1 9
9 9 9 9 9 36 = 9 9 9 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18
11 121= 4 6 8 1 3 5 7 9
12 6 9 3 6 9 3 6 9
13 8 3 7 2 6 1 5 9
14 1 6 2 196=7 3 8 4 9
15 3 9 6 3 225=9 6 3 9
16 5 3 1 8 6 4 2 9
17 7 6 3 4 3 2 289=1 9
18 9 9 9 9 9 9 9 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18
11 4 6 8 1 3 5 7 9
12 6 9 3 6 9 3 6 9
13 8 3 7 2 6 1 5 9
14 1 6 2 7 3 8 4 9
15 3 9 6 3 9 6 3 9
16 5 3 1 8 6 4 2 9
17 7 6 3 4 3 2 1 9
18 9 9 9 9 9 9 9 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 1 3 5 7 9
3 6 9 3 6 9 3 6 9
4 8 3 7 2 6 1 5 9
5 1 6 2 7 3 8 4 9
6 3 9 6 3 9 6 3 9
7 5 3 1 8 6 4 2 9
8 7 6 3 4 3 2 1 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9
19 20 21 22 23 24 24 26 27
20 4 6 8 1 3 5 7 9
21 6 9 3 6 9 3 6 9
22 8 3 7 2 6 1 5 9
23 1 6 2 7 3 8 4 9
24 3 9 6 3 9 6 3 9
25 5 3 1 8 6 4 2 9
26 7 6 3 4 3 2 1 9
27 9 9 9 9 9 9 9 9

o Un contrincant ha de posar un altre número a
sota
o Jo en posaré un 3r
o El contrincant en posarà un 4t
o I jo un 5è
o La suma dels 5 números será el que hi haurà en
el sobre

 FIBONACCI :
 MEMÒRIA PRODIGIOSA 2
 DIVISIBILITATS DE LA SUMA
 LA MÀGIA DELS SEUS TERMES
 QUE AMAGA EL SOBRE DAURAT?
 ENCRIPTACIÓ: EL SECRET ESTÀ EN SABER-HO
OCULTAR I TROBAR LA CLAU
 MEMÒRIA PRODIGIOSA 2
 CODIS DE BARRES
 BITLLETS
 EL SECRET OCULT ESTÀ EN LES
EQUACIONS I EN EL NOSTRE SISTEMA
DECIMAL
 UN TRUC DE CARTES
 UN NÚMERO DE 3 XIFRES
 UN ALTREDE 3 DAUS ; EL VERMELL, EL
BLAU I EL VERD
 UN NÚMERO MOLT ESPECIAL
 UN ALTRE NÚMERO MOLT ESPECIAL
 EL SECRET ESTÀ EN DESCOMPOSICIÓ
FACTORIAL
 EL SECRET ESTÀ EN LA RESTA
 SEMBLA MÀGIA PERÒ NO HO ÉS :
MULTIPLICACIÓ RÀPIDA

Diga’m el número encerclat i t’endevinaré els 7 números de sota !!!
MEMÒRIA PRODIGIOSA 1

El número de dalt em dóna la informació del de baix :
Al número encerclat li sumem 11 i el girem. Aquests seran els dos primers
nombres. Els 5 següents s’obtindran com Fibonacci :
Els 7 números de sota es construeixen s’obté 4+3=7 3+7=10 i ens quedem amb
l’últim 0 +7=7 i 7+7=14 i ens quedem amb el 4
Exemple :
23+11=34 i
per tant
comença
amb 43 i li
seguirà un 7

Us volem parlar de Fibonacci i de la seva successió.
• Fibonacci va néixer a Pisa sobre el 1170 el seu nom autèntic era Leonardo de Pisa.
• Era fill de Bonacci, un ric comerciant, que va despertar en Leonardo el seu interès
per les matemàtiques.
• Fibonacci va tenir un mestre àrab i va viatjar per Egipte, Síria, Grècia i Sicília i va
ampliar molt els seus coneixements matemàtics.
• Va ser un dels pioners del sistema de numeració tal com el coneixem actualment,
anomenat sistema indo-ràbic.
• Aquest sistema de numeració no es va generalitzar fins al segle XVI. El sistema de
numeració empleat, fins aleshores, eren els nombres romans que són molt
carregosos pels càlculs.
• Va estudiar el nombre de parelles de conills que es produiran cada mes si partim
d’una parella inicial de conills. Això va donar lloc a la successió de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21.....
B. Ara farem un truc utilitzant la successió de Fibonacci.
FIBONACCI

SUCCESSIÓ DE FIBONACCI
• Tria dos nombres qualssevol de 1
al 9 .
• Forma una successió de
Fibonacci de 10 termes.
• Amb una calculadora suma tots
els termes.
• Jo t'endevinaré aquesta suma

MEMÒRIA PRODIGIOSA
Tapa un nombre de la taula i te’l endevino
36 22 39 36 19 23 36 22
42 50 51 53 57 44 42 50
30 26 38 11 15 37 30 26
31 14 18 31 17 34 31 14
48 52 39 37 45 46 48 52
6 10 32 25 21 33 6 10
26 12 29 26 9 13 26 12
32 40 41 43 47 34 32 40
20 16 28 1 5 27 20 16
21 4 8 11 7 24 21 4

MEMÒRIA PRODIGIOSA
Sumo o resto 5 al nombre que dinc diagonalment 3 posicions més avall o més amunt
36 22 39 36 19 23 36 22
42 50 51 53 57 44 42 50
30 26 38 11 15 37 30 26
31 14 18 31 17 34 31 14
48 52 39 37 45 46 48 52
6 10 32 25 21 33 6 10
26 12 29 26 9 13 26 12
32 40 41 43 47 34 32 40
20 16 28 1 5 27 20 16
21 4 8 11 7 24 21 4
- 5
- 5
+ 5 + 5

Podem interpretar què representa el codi 8413000065504 gràcies a un sistema normalitzat de
representació denominat EAN (European Article Number). En aquest sistema, els dos primers dígits
identifiquen l’organització a través de la qual s’ha adscrit l’empresa fabricant del producte al sistema
EAN. El codi de l’organització que opera al nostre país, de moment Espanya és 84, per això el codi de
molts productes espanyols comença per aquests dígits. El següent tram de dígits, que està constituït
per un número comprès entre 5 i 8 dígits, identifica al propietari de la marca. Tots els dígits que queden,
excepte l’últim, representen el codi del producte.
L’últim dígit, l’anomenat dígit de control, el podem endevinar !!!

Dígit de control
El podem
endevinar !!!
Tapa’l !!!
Sumen (posicions parells) i els multipliquem per 3 i li sumem tots els
El que falti per al pròxim múltiple de 10 será DC
3 · ∑𝑝𝑎𝑟𝑒𝑙𝑙𝑠 + ∑𝑠𝑒𝑛𝑎𝑟𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑠 𝑎 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑒 10

A-2 B-3 C-4 D-5 E-6 F-7 G-8 H-9 I-10 J-11 K-12
L-13 M-14 N-15 O-16 P-17 Q-18 R-19 S-20 T-21
U-22 V-23 W-24 X-25 Y-26 Z-27

Utilitzarem el següent conveni per convertir
lletres en números:
A-2 B-3 C-4 D-5 E-6 F-7 G-8 H-9
I-10 J-11 K-12 L-13 M-14 N-15
O-16 P-17 Q-18 R-19 S-20 T-21
U-22 V-23 W-24 X-25 Y-26 Z-27
Substituint la o les lletres que apareixen en el
número de sèrie del bitllet per números, el
número de sèrie del bitllet sempre resulta ser
congruent con 0 mòdul 9. En altres paraules: si
anem sumant els dígits del número de sèrie i
cada cop que ens quedi una quantitat de més
de dos xifres, sumem aquestes entre sí, al
final, el resultat que queda és 9.

A 1 2
B 2 3
C 3 4
D 4 5
E 5 6
F 6 7
G 7 8
H 8 9
I 9 1
J 10 2
K 11 3
L 12 4
M 13 5
N 14 6
O 15 7
P 16 8
Q 17 9
R 18 1
S 19 2
T 20 3
U 21 4
V 22 5
W 23 6
X 24 7
Y 25 8
Z 26 9
I li sumem 1 per trovar el
valor de la lletra
I li sumem 1 per trobar
el valor de la lletra i el
reduïm a un dígit
Per recordar-ho ràpit :
FOX 7
CLU 4

Un Truc De Cartes
• Pensa un nombre del 1 al 9 i
dona’ m una carta que
correspongui al nombre que
has pensat.
• Jo també trio una carta i la
separo.
• Suma-li 2
• Resta-li 6

• Pensa un número del 1 al 9, o el que és el mateix, agafa una carta que no
sigui figura i jo n’agafaré una altra, o en pensaré un altre
• Suma 2 al teu número
• Multiplica per 5 el resultat
• Resta 6 al nombre que t’ha donat
• Torna a multiplicar per 2
El resultat serà un nombre de dos xifres i el primer d’ells és el que havies
pensat i el segon és un 8
Un Truc De Cartes

• Pensa un número del 1 al 9 i jo en pensaré un altre X (jo penso 8
sempre!!)
• Suma 2 al teu número X + 2
• Multiplica per 5 el resultat 5X+10
• Resta 6 al nombre que t’ha donat 5X+4
• Torna a multiplicar per 2 10X+8
El resultat serà un nombre de dos xifres i el primer d’ells és el que havies
pensat i el segon és un 8
Un Truc De Cartes

Un Altre De 3 Daus:
El Vermell, el Blau i el Verd

Un Altre De 3 Daus: El vermell, el blau i el verd
• Llança tres daus i t'endevinaré els nombres que t’han
sortit.
• Fes les següents operacions:
• Al resultat del dau vermell, suma-li 2.
• Multiplica el resultat per10.
• Suma el resultat del dau blau i al resultat suma-li 3.
• Multiplica per 5 el resultat.
• Suma-li 4.
• Multiplica’l per 2.
• Suma-li el resultat del dau verd.
• Li resto el nombre màgic 238...

Un Altre De 3 Daus: El vermell x, el blau y i el verd z
• Llança tres daus i t'endevinaré els nombres que t’han
sortit.
• Fes les següents operacions:
• Al resultat del dau vermell X, suma-li 2. x+2
• Multiplica el resultat per 10. 10x+20
• Suma el resultat del dau blau i al resultat suma-li 3.
10x+20+y+3 = 10x+y+23
• Multiplica per 5 el resultat. 50x+115+5y
• Suma-li 4. 50x+119+5y
• Multiplica’l per 2. 100x+ 238+10y
• Suma-li el resultat del dau verd. 100x+10y+z+238
• Li resto el nombre màgic 238...

• Pensa un número de 3 xifres
• Multiplica per 2 la primera d’elles
• Suma 3 al resultat anterior
• Multiplica per 5 el resultat anterior
• Al resultat, suma-li la segona xifra del número
que havies pensat inicialment
• Multiplica per 10
• Suma la 3a xifra del número que havies pensat
• Resta-li 150
• Què has obtingut ?
Un Número De 3 Xifres

• Pensa un número de 3 xifres 100x + 10y+ z
• Multiplica per 2 la primera d’elles 2x
• Suma 3 al resultat anterior 2x+3
• Multiplica per 5 el resultat anterior 10x+15
• Al resultat, suma-li la segona xifra del número
que havies pensat inicialment 10x + 15 + y
• Multiplica per 10 100x+150+10y
• Suma la 3a xifra del número que havies pensat 100x+150+10y+z
• Resta-li 150 100x+10y+z
• Què has obtingut ? EL QUE HAVIES PENSAT
Un Número De 3 Xifres

• Davant de tothom escrivim un nombre en un paper i li donem a algú per a que
se’l guardi a la butxaca. Agafem una altra persona i li diem que faci les
operacions següents:
• Que agafi un nombre de tres xifres no capicua (per exemple 543)
• Que construeixi un altre nombre a partir del primer intercanviant la primera i
la tercera xifres (345)
• Que resti el més petit dels dos al més gran dels dos (543-345=198)
• Que agafi el resultat de la resta i construeixi un nou nombre intercanviant la
primera i la tercera xifres (891)
• Que sumi el nou nombre obtingut amb el resultat de la resta(198+891=1089)
• En aquest moment diem a l'altra persona que llegeixi el nombre que ha guardat
en el sobre.
Aquest nombre coincideix amb el resultat de totes les operacions. Per que?
Un Número Molt Especial

543 Intercanviem 1ª i última (dos cops) 891
- 345 + 198
198 1089
Un Número Molt Especial 1089

Un Altre Número Molt Especial

• Davant de tothom escrivim un nombre en un paper i li donem a algú per a que
se’l guardi a la butxaca. Agafem una altra persona i li diem que faci les
operacions següents:
• Que agafi un nombre de 5 xifres no capicua ( per exemple 12345)
• Que construeixi un altre nombre a partir del primer intercanviant la primera i
la cinquena xifres.(54321)
• Que resti el més petit dels dos al més gran dels dos (54321-12345=39996)
• Que agafi el resultat de la resta i construeixi un nou nombre intercanviant la
primera i la última xifra 69993
• Que sumi el nou nombre obtingut amb el resultat de la resta
(39996+69993=109986)
• En aquest moment diem a l'altra persona que llegeixi el nombre que ha guardat
en el sobre.
Aquest nombre coincideix amb el resultat de totes les operacions. Per què?
Un Altre Número Molt Especial

Un Altre Número Molt
Especial 109989
• El nombre de 5 xifres xyzuv
• Intercanviem el 1r dígit per l’últim vyzux
• Restem el major del menor
10000x+1000y+100z+10u+v – (10000v+1000y+100z+10u+x)=
10000(x-v) + v-x = 10000(x-v-1) + 9990+10+v-x (Unitats 10+v-x ja que x>v)
• Intercanviem la 1ª i la última 10000(10+v-x) + 9990 + (x-v-1)
• Sumem els dos resultats anteriors :
10000(x-v-1) + 9990+10+v-x + 10000(10+v-x) + 9990 + (x-v-1)=109990-1 =
109989

ANY De NAIXeMENT
i NúMERo de
SABATES

EL SECRET ESTÀ EN DESCOMPOSICIÓ
FACTORIAL

Només he de
dividir per 13 el
resultat
obtingut i serà
el número que
havies pensat
al principi
Serveix per
explicar la
descomposició
factorial del
1001

Fins i tot puc endevinar divisors
• Escriu un nombre de tres xifres a
la calculadora.
• Afegeix el mateix nombre i
obtindràs un nombre de sis xifres.
• Jo t’endevinaré els divisors difícils.

La suma de les 3 xifres és 18 i a més : la xifra de les
desenes és un 9 i les centenes i les unitats sumen 9

327 327x4 + 327x80 + 327x500
X 584
190968
Unitats : 4x7 = 28 Posem un 8 i ens emportem 2
Desenes : 4x2 + 8x7+2 (que són les que ens emportem d’abans )= 66 Posem un 6 i ens
emportem 6
Centenes: 4x3 + 8x2 + 5x7 + 6 (que són les que ens emportem) = 69 Posem 9 i ens emportem 6
Unitats de milers : 8x3 + 5x2 + 6(que són les que ens emportem) = 40 Posem un 0 i ens
emportem 4
Desenes de milers : 5x3+ 4(que són les que ens emportem ) = 19

•Dibuixa una caseta amb un sol traç, és a dir, sense
aixecar el llapis del paper i sense passar per una
línia ja recorreguda :

A
E B
f F
D C
CD 1 CE 2 EA 3
AB 4 BE 5 ED 6
DB 7 BC 8

• El problema dels ponts de Königsberg,
també anomenat més
específicament problema dels set ponts de
Königsberg, és un cèlebre problema
matemàtic, resolt per Leonhard Euler en
1736 i la resolució del qual va originar la
teoria de grafs.
• El seu nom es deu a a Königsberg, la ciutat
de Prússia Oriental, més tard d'Alemanya i
que des de 1945 es va convertir en la ciutat
russa de Kaliningrad. Aquesta ciutat és
travessada pel riu Pregel que es bifurca per
envoltar amb els seus braços a la illa
Kneiphof, dividint el terreny en 4 regions
que s’uneixen per 7 ponts.

Donat el mapa de Königsberg,
amb el Pregel dividint el pla en
quatre regions diferents, que
estan unides a través dels 7
ponts. És possible donar un
passeig començant des de
qualsevol d’aquestes regions,
passant per tots els ponts,
recorrent només un cop
cadascun, i tornant al mateix
punt de sortida ?

És una branca de la matemàtica que s’ocupa de l’estudi de les formes i relacions
prescindint de la rigidesa de la geometria euclidiana.
Es coneix com la geometria de la fulla de goma. Segons aquesta filosofia, podem
fer el dibuix anterior amb el següent esquema, on cada línia representa un pont i
cada vèrtex una zona de la ciutat.

• Per a la demostració, Euler recorre a una abstracció
del mapa, enfocant-se exclusivament en les regions
terrestres i les connexions entre elles. Cada pont el
representa mitjançant una línia que uneix a dos
punts, cadascun d’ells representava una regió
diferent. Així el problema es redueix a decidir si
existeix o no un camí que comenci per un dels punts
blaus, que passi per totes les línies una única vegada
i regressi al mateix punt de sortida.

• Cada cop que passem per un vèrtex, hi ha dos camins
implicats, el d’anada i el de tornada, és a dir, el que ens
porta al vèrtex i el que ens allunya d’ell.
• Per tant, només hi pot haver dos vèrtexs units a un
nombre senar de camins, que seran el primer i l’últim.
• Donat que en el gràfic hi han més de dos vèrtexs amb un
número senar de camins, no és possible resoldre el
problema.
• Leonard Euler va ser el pare de la teoria de Grafs

• Solució de Euler
• Euler va determinar que els punts intermitjos d’un recorregut possible
necessàriament han d’estar connectats a un número parell de línies. En
efecte, si arribem a un punt des d’alguna línia, llavors l’única manera de
sortir d’aquest punt és per una línia diferent. Això significa que tant el punt
inicial com el final serien els únics que podrien estar connectats amb un
número imparell de línies. Però donat que, un dels requisits del problema
diu que el punt inicial ha de ser el mateix que el final, motiu pel qual no pot
existir cap punt connectat amb un número senar de línies.
• En particular, com que aquest diagrama els 4 punts tenen un número senar
de línies incidents (3 d’ells incideixen en 3 línies, i el restant en 5), llavors es
conclou que és IMPOSSIBLE definir un camí amb les característiques
buscades.

A
E B
f F
D C
DC 1 CE 2 EA 3 AB 4
BE 5 ED 6 DB 7 BC 8

Dibuixa la següent figura i retalla
els triangles ombrejats. Col·loca
les 3 peces resultats de manera
que facin un quadrat.

El costat del quadrat
resultant coincideix
amb la hipotenusa del
triangle ombrejat i els
costats dels quadrats
originals són,
respectivament els
catets dels triangles
ombrejats.
Mirant la conservació de
les àrees dels quadrats
𝒂 𝟐 = 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐
Àrea Quadrat gran = Àrea Quadrat mitjà+ Àrea Quadrat petit
Mirant el triangle tenim que
𝒂 𝟐 = 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐
𝑯𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 𝟐= 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕 𝟐 + 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕 𝟐

• Un altre model molt popular és el dissenyat per Pat Patterson. La idea
bàsica és mostrar una imatge i retallar la figura que la conté per, al
reordenar les peces, la imatge continguda sigui diferent.
• La solució a l’enigma és similar a la de les línies: els follets no tenen la
mateixa mida en els dos dibuixos. Hi ha un lleuger augment
exactament 1/14) que permet dissimular un d’ells i aparentar que
només hi ha 14 en el 2n dibuix. Si col·loquem els personatges en línia,
la situació queda així:

• En una fulla de paper es dibuixen 10 línies paral·leles i de la mateixa
longitud, com en la figura de l’esquerra; si es talla la fulla per la
diagonal de manera que passi per l’extrem inferior la primera línia i
l’extrem superior de la dècima: per últim es desplaça la meitat
superior com s’indica en la figura 64.
• Por què ara hi ha només 9 línies ? On està la dècima?

El conjunt dels braços i les
cordes, no constitueix
topològicament dos cercles
entrellaçats, sinó que hem
de tenir en compte què
passa amb els forats que
queden al voltant dels
canells, ja que aquestes
formen de nou
circumferències. L’ús
d’aquests forats és crucial a
l’hora de resoldre el
problema

ANEM A ESCONGIR UNA PERSONA PERQUÈ
PASSI PER UN FORADET
• Pots passar pel forat d’un
embut?
• Si això no és possible.
• Creus que podràs passar per
aquest foradet del full?
• No oblidis que amb màgia
tot és possible

Tenim dos cinturons molt estranys,
però en necessitem tres : Un per un
home molt forçut i molt gran i un
d’especial per dues noies que són
siameses.
Com ens ho fem ???

IL·LUSIONS ÒPTIQUES
• Si observes atentament durant un minut les següents diapositives
veuràs com els anells concèntrics es doten de moviment.
• On s’ origina la il·lusió a la ment o al ull?
• La il·lusió ve donada per moviments involuntaris del ull que es
produeixen durant la fixació de la vista.
• Si fixes la mirada, el moviment s’accelerarà.

Veus El Triangle De Color Negre?
No hi ha cap triangle en la figura. El nostre sistema visual interpreta l’ informació
que rep i li dona forma, de vegades el cervell percep formes que no hi són

FIGURES IMPOSSIBLES
• Les figures impossibles són figures que només és poden recrear en un
món en dues dimensions. Això vol dir que quan les intentem recrear
(o transportar) en el 3 dimensions ens resulta impossible fabricar-les.
Estan relacionades amb el món del dibuix tècnic i normalment
manipulen les perspectives reals per forçar imatges impossibles.

Cub impossible
Maqueta d’ escales impossibles

Tribar de Reutersvärd.
Trident impossible o Forquilla
del Diable.
Les columnes són circulars o rectangulars?

Quina Forma Té Una Figura?
• El nostre cervell pot interpretar la mateixa figura de formes
diferents, encara que mai de manera simultània.
• El nostre cervell saltarà d’una interpretació a l’altra per
molt que ens esforcem a veure les dues alhora.

Quina forma té aquesta figura?

• Qué hi veus?
Home gran /
Dona assentada al centre d’esquena

Un indi i una persona d’esquena, un
saxofonista i la sobra de la cara
d’una noia
Ilusiones ópticas. Victoria Skye
http://www.victoriaskye.com/opticalillusion.html
App Ilusionismo Cosmocaixa
https://itunes.apple.com/es/app/ilusionismo/id587292603
Richard Wiseman. Carta que cambia de color.
https://www.youtube.com/watch?v=dkTP7fkeIU4
Mc Gurk Illusion
https://www.youtube.com/watch?v=G-lN8vWm3m0
Caja Jerry Andruss
https://www.youtube.com/watch?v=vUebXhOspyE
Dragon illusion
https://www.youtube.com/watch?v=azSdu6QULwU
http://www.thinkfun.com/dragonillusion

8 3 4
1 5 9
6 7 2
Un quadrat és màgic quan la suma de les caselles de cadascuna de les files, de
cada columna i de cadascuna de les dues l següent quadrat 3x3 és màgic :
diagonals dóna sempre el mateix resultat i tots els números són diferents. Per
exemple:
Aquest és el més antic que es coneix. Segons diuen el va inventar un matemàtic
hindú 1000 anys aC i és un quadrat màgic d’ordre 3 de constant màgica 15.
La composició de quadrats màgics numèrics sempre ha agradat als matemàtics de
tots els temps. El seu interès consisteix en trobar per un número determinat N, el
quadrat màgic tal que la suma de cadascuna de les seves files, les seves columnes
i la de les dues diagonals donin aquest nombre N anomenada CONSTANT MÀGICA

Els antics mags de Pèrsia, que eren al mateix temps, metges, deien que posats aquests quadres màgics sobre
l’òrgan malalt del cos, feien desaparèixer la malaltia. Els quadrats màgics són els antepassats dels actuals
cataplasmes que avui en dia moltes les persones grans es posen en forma de pegat per guarir dolors.
Actualment s’ha demostrat que no guareixen cap malaltia, però no fa gaire anys, durant la guerra de Cambotja
(any??) moltes dones dibuixaven aquest quadres màgics en els seus mocadors i se’ls posaven al cap pensant que
els protegirien de les bombes. Molts observadors van comentar que aquests quadres numèrics només funcionaven
quan hi havia boira, és clar, els avions no sortien a bombardejar!!!
6 7 2
1 5 9
8 3 4
4 3 8
9 5 1
2 7 6
8 1 6
3 5 7
4 9 2
2 9 4
7 5 3
6 1 8
Donat un quadre numèric d’ordre senar, és molt fàcil construir-ne de semblants a partir de simetries i girs de l’original,
per exemple, si prenem com a original l’anterior, podem fer els següents :
1r) Simetria respecte la 2a fila (la fila actua com si fos un mirall)
2n) Simetria respecte la 2a columna
2a3r) Simetria respecte la 1a diagonal
4t) Simetria respecte la 2a diagonal /
5è) S’obté canviant files per columnes 1aF =1a C...,
8 3 4
1 5 9
6 7 2
8 1 6
3 5 7
4 9 2

Un dels quadrats màgics
interessants és el que està
representat en la Façana de la
Passió de la Sagrada Família:
Criptograma de Subirats.
Tot i que no és realment un
quadrat màgic ja que es
repeteixen dos nombres que són
10,14. INRI
L’enigmàtic criptograma és un
quadrat màgic 4 x 4 on les sumes
de cada fila, cada columna i de les
dues diagonals és 33, l’edat que
s’atribueix a Crist en el moment de
la seva mort. A més, amb els
nombres d’aquest quadrat es
poden fer més de 310
combinacions diferents que
sumen sempre 33. Unes quantes
són :
http://losclicos.wordpress.com/2011/02/03/quadrat-magic-de-la-sagrada-familia/

(Museu britànic de Londres) Els nombres 15 i 14 que apareixen a les caselles centrals de la
fila inferior i indiquen l’any en que va morir la seva mare i, a més coincideix en l’any de la
seva construcció

La 1ª fila del 1r quadre és la última del 2n quadre escrita al revés
La 2ª fila dels 1r és la 3ª del 2n i així successivament.Traslació i una simetría axial d’eix vertical

1 14 14 4
11 7 6 9
8 10 10 5
13 2 3 15

14
14
14
14
14
14
14
1 14 14 4
11 7 6 9
8 10 10 5
13 2 3 15
1 14 14 4
11 7 6 9
8 10 10 5
13 2 3 15

1 14 14 4
11 7 6 9
8 10 10 5
13 2 3 15
1 14 14 4
11 7 6 9
8 10 10 5
13 2 3 15

1 14 14 4
11 7 6 9
8 10 10 5
13 2 3 15
1 12 7
11 8 2
5 10 3
4 6 9

N-20 1 12 7
11 8 N-21 2
5 10 3 N-18
4 N-19 6 9

11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
4 9 2
3 5 7
8 1 6

11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
11 7 3
12 8
17 13 9
18 14
23 19 15
66 2
24 20
4
10
16
22
521
25
1

11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
6 2
24 20
4
10
16
22
521
25
1

11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
23 6 19 2 15

En construirem un de 5x5 utilitzant els següents passos.( Pots començar per 1 el
nombre que vulguis ) Nosaltres començarem per 1
1. Es col·loca el primer nombre ( 1 en l’exemple) a la casella central de la darrera fila
2. Després cal que et desplacis a la primera fila i et moguis una casella a la dreta i
escriguis el nombre consecutiu al que hagis escrit, en el nostre exemple 2
3. Sempre que sigui possible, s’omplen les caselles en diagonal, de dalt a baix i
d’esquerra a dreta
4. Quan hagis emplenat una casella de l’última columna, salta a la primera columna i
mou-te una casella cap avall
1
2
1
2
3
4
5
1
2
3
1

5. Si, en baixar en diagonal et trobes en una casella plena, salta a
la casella immediatament superior a l’última casella que has
emplenat
6. Després d’omplir l’última casella del racó inferior dret, salta a la
casella immediatament superior
2
3
4 6
5
1
2 9
3
4 6
5 7
1 8
11 18 25 2 9
10 12 19 21 3
4 6 13 20 22
23 5 7 14 16
17 24 1 8 15

Enigma :
“Els presos avispats o el vigilant pardillo”
En una presó hi ha 32 presos repartits en 8 cel·les dins d’una planta quadrada. En
cadascuna de les cel·les dels angles hi ha un pres i en les cel·les que no formen
angle, n’hi ha 7.
El vigilant compta cada nit els presos que hi ha en cadascuna de les fileres,
assegurant-se que sumen 9.
Cert dia se’n foguen 4. Quan el vigilant fa el recompte no se n’adona de res, ja
que els presos han adoptat una nova disposició en que la suma de les fileres és 9
•Que van fer els presos per burlar-se del vigilant i fogar-se? Com estaven situats
en les cel·les ?
1 7 1
7 7
1 7 1

Enigma :
De 32 han passat a ser 28 presos.
Tres dies més tard se’n foguen 4 més. Aquest cop, el vigilant
tampoc se n’adona, doncs, com cada nit sumaven 9 cada filera.
Com van tornar a burlar el vigilant ?
5 3 1
3 7
1 7 1

Enigma :
De 32 inicials, a 28 i ara a 24 presos.
Una setmana després, el vigilant se n’adona que només queden 20
presos!!!, però el recompte continuava essent de 9.
5 3 1
1 5
3 5 1

Enigma :
De 32 inicials, a 28, 24 i ara 20 presos!!!
Hauria estat possible una fuga més ???
5 1 3
1 1
3 1 5
4 1 4
1 1
4 1 4
No,jaquehaguésquedatbuidaalgunacel·laisen’hauriaadonatelvigilant.

A 8 B
C D E
9 16 11
Acaba el quadrat numèric per a que sigui màgic, és a dir, cal que la suma de cada fila,
cada columna i les dos diagonals han de sumar el mateix.Quan valen A, B, C, D, E ?

13 8 15
14 12 10
9 16 11
A 8 B
C D E
9 16 11

Suposem que tenim un grup de 23 persones i calculem la probabilitat de que cap d’elles celebri el
seu aniversari el mateix dia:
Persona 1: tinc 365 possibilitats per al seu naixement
Persona 2: hi ha 364 possibilitats, ja que no ha d’haver nascut en la mateixa data que la persona 1.
Persona 3: queden 363 possibilitats, donat que no pot néixer en les dates dels anteriors. Si seguim
avançant de la mateixa manera arribarem a :
Persona 22: hi ha 344 possibilitat de no coincidència amb els anteriors.
Persona 23: queden 343 possibilitats d’elecció per a que el seu aniversari no coincideixi amb alguna
de les persones anteriors. Així la probabilitat de que en un grup de 23 persones NO hi hagi dos que
celebrin el seu aniversari en la mateixa data és :
Per calcular la probabilitat que dues persones celebrin el seu aniversari en la mateixa data, quant
ambdós pertanyen al grup de n persones, es procedeix de manera anàloga a com ho hem fet
abans.
Per exemple, per a un grup de 46 persones, la probabilitat de que dues d’elles compleixin anys el
mateix dia és de 0,948252843
Enllaç Video BATxillerat Mc Grawn Hill Probabilitat

http://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html
Let’s Make a Deal va ser un famós concurs en les dècades 60-70 de la televisió de EEUU
presentat per Monty Hall i Carol Merril.

¡Benvinguts al
show de Monty Hall!
Darrera d’una d’aquestes
portes hi ha un cotxe.
I darrera de les dues restants,
Hi ha una cabra.

A B C
Escullo la
porta A
El nostre concursant
seleccionarà una porta ...

A B C
PORTA
SELECCIONADA
Monty Hall (que
coneix on està el
cotxe) obre la porta
C.
Ara sabem que el
coxte està o bé en A
o bé en B.
Monty Hall ens permet canviar d’elecció
si volem …
És més probable guanyar el cotxe si canviem de
porta? (En aquest cas de A a B).

Si el concursante
CANVIA
La seva elecció original
Perd
GuanyaPerd
Perd
Guanya
Guanya
Guanya
Guanya Guanya

Si el concursant CANVIA la seva elecció original guanya 6 cops de les 9: la seva
probabilitat de guanyar és 6/9 = 2/3. Si no canvia, la seva probabilitat de guanyar és de
3/9 = 1/3. ¡Té el doble de possibilitats de guanyar si canvia de porta!
Gana Gana
Gana
Gana
Pierde
PierdeGana
Gana
Juga I comprova-ho estadísticament en
http://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html

Aquesta la sé que
és fàcil
Conclusió : Mai
deixar l’examen
en blanc

Només
disposeu de
2 minuts !!!

Magmàtica matemàgia mònica orpí

Magmàtica matemàgia mònica orpí

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (6)

Ähnlich wie Magmàtica matemàgia mònica orpí

Ähnlich wie Magmàtica matemàgia mònica orpí (20)

Mehr von Mònica Orpí Mañé

Mehr von Mònica Orpí Mañé (20)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (7)

Magmàtica matemàgia mònica orpí