Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Die SlideShare-Präsentation wird heruntergeladen. ×

La màgia del nombre d'or i de la successió de Fibonacci Mònica Orpí

Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Wird geladen in …3
×

Hier ansehen

1 von 146 Anzeige

La màgia del nombre d'or i de la successió de Fibonacci Mònica Orpí

Herunterladen, um offline zu lesen

Propietats geomètriques i aritmètiques de la successió de Fibonacci i den nombre d'or.
Demostracions d'aquestes propietats.
Relació del nombre d'or amb la naturalesa, l'arquitectura, la pintura i en la bellesa i les proporcions humanes.
Activitats que mostren màgicament relacions que es donen entre el nombre d'or i la successió de Fibonacci.

Propietats geomètriques i aritmètiques de la successió de Fibonacci i den nombre d'or.
Demostracions d'aquestes propietats.
Relació del nombre d'or amb la naturalesa, l'arquitectura, la pintura i en la bellesa i les proporcions humanes.
Activitats que mostren màgicament relacions que es donen entre el nombre d'or i la successió de Fibonacci.

Anzeige
Anzeige

Weitere Verwandte Inhalte

Anzeige

Ähnlich wie La màgia del nombre d'or i de la successió de Fibonacci Mònica Orpí (20)

Weitere von Mònica Orpí Mañé (20)

Anzeige

La màgia del nombre d'or i de la successió de Fibonacci Mònica Orpí

  1. 1. Les matemàtiques de la natura : La màgia del nombre d’ 𝚽𝐫
  2. 2. Galileu Galilei 1564-1642 Físic i astrònom italià Les matemàtiques són l’alfabet amb el qual Déu ha escrit l’univers https://vimeo.com/9953368
  3. 3. Començarem amb una petita enquesta : 1. Quin rectangle escolliríeu :
  4. 4. 2. Quin triangle escolliríeu :
  5. 5. 3. En quina fotografia es veu millor el paisatge?
  6. 6. 4. Quina flor escolliries ? a) b) c)
  7. 7. En una enquesta a 150 persones d’edats Pregunta Opció 1. Rectangle 2. Triangle 3. Paisatge 4. Flor
  8. 8.  Raó entre el costat llarg i el petit :  Essent 1 unitat  A) 5’4/3=1’8  B) 5/3’5 =1’43  C) 5’3/3’7=1’43  D) 5’8/3’6 =1’61 1. Quin rectangle escolliríeu :
  9. 9. Raó entre la longitud del costat igual i el costat desigual : (gran/petit) : Essent 1 unitat A) 4’2/2= 2’1 B) 4/2’5= 1’6 C) 3’9/2’1= 1’86 D) 4’7/2’1 = 2’23 2. Quin triangle escolliríeu :
  10. 10. 3. En quina fotografia es veu millor el paisatge? Raó entre el costat llarg i el petit : Essent 1 unitat A) 7’4/4’6=1’61 B) 7/5’1 =1’37 C) 9’1/4’2 =2’17
  11. 11. 4. Quina flor escolliries ? a) 23 pètals b) 21 pètals c)14 pètals
  12. 12. L’explicació del resultats d’aquesta estadística només la pot donar un nombre...
  13. 13. QUÈ ÉS EL NOMBRE D’OR?
  14. 14. El nombre d’or es representa amb la lletra grega Φ (phi), però antigament es representava per la lletra Tau (Τ τ) del grec τομή que significava tall o secció. No va ser fins 1900 que es va canviar a Φ, en majúscula (φ en minúscula). Aquest canvi el va realitzar el matemàtic Mark Barr i va escollir la lletra grega Φ en honor a Fídies, en grec Φειδίας, per ser el creador de les escultures amb major nivell estètic ( va ser l’escultor que dissenyà gegantesques estàtues de la deessa Atenea, també el Partenó d’Atenes i la colossal Estàtua de Zeus a l’Olímpia al s.V aC) Nota : Hi ha moltes maneres d’anomenar aquest nombre : Nombre d’or, secció àuria, proporció àuria , divina proporció, raó àuria, mida àuria o nombre daurat i també proporció de Déu
  15. 15. De la definició euclidiana, on diu que el número d’or és el resultat de dividir en dues parts desiguals un segment de manera que els segments major a i menor b mantinguin la mateixa proporció que la totalitat dels dos segments junts a+b i el segment major a. Podem obtenir el seu resultat exacte d’aquest nombre i observarem que es tracta d’un número irracional, és a dir, és un nombre amb infinits decimals i no és periòdic. És per aquesta raó que es diu que dos números positius a i b estan en proporció àuria si i només si: Pots trobar-ne el valor exacte de Φ ? ACTIVITAT 1 QUÈ ÉS EL NOMBRE D’OR?    a ba b a
  16. 16.                           b a b a x 2 51 2 51 2 51 2 411 ...618033'1 2 51    ...618033'0 2 51    CALCULEM QUI ÉS EL NOMBRE D’OR? 01: 1 1 2     xxobtenimxperntMultiplica x x a b a a b a a ba b a x b a Donat que a i b són valors positius ja que fan referència a la longitud de segments, el nombre d’or és el primer dos valors obtinguts Podem observar que les dues solucions i són nombres inversos i oposats, és a dir Φ = - 1 𝜙  SOLUCIÓ ACTIVITAT 1 a) Guarda’t aquest nombre a la memòria de la teva calucladora (SHIFT RCL i la letra)
  17. 17. 2134... 1321... 813... 58... 351223 23112 121 1 9 8 7 6 345 234 23 2         Les potències del nombre d’or 012  xx Donat que és solució de l’equació tenim que d’on podem observar les següents relacions :  012  Dividint per  SOLUCIÓ ACTIVITAT 1 b,c,…l ACTIVITAT 2
  18. 18. SUCCESSIÓ DE FIBONACCI “ Certa persona va posar una parella de conills en un corral tancat completament per un mur. Quants parells de conills hi haurà al corral en un any, si posem una parella de conills no productius que, tardarà un mes a ser productiva i llavors engendrarà una nova parella de conills?” Leonardo de Pisa (Itàlia 1170 1250), conegut com a Leonardo Fibonacci, fou un dels matemàtics amb més talent de l’Edat Mitjana. És conegut actualment per haver contribuït a la difusió del Sistema de Numeració hindú-aràbic a Europa gràcies a la publlicació al sXIII del seu llibre de càlculs Liber Abaci
  19. 19. 21 21 1    nnn aaa aa SUCCESSIÓ DE FIBONACCI SOLUCIÓ ACTIVITAT 3 a) Temps inicial : 1 parella de conills no productiva Passat 1r mes : 1 parella productiva Passat el 2n mes : 2 parelles =1 productiva i l’altra no Passat el 3r mes : 3 parelles = 2 productives i 1 no Passat el 4t mes : 5 parelles : 3 productives i 2 no … Passat 12è mes : 233 parelles de conills http://maralboran.org/web_ma/videos/fibonacci/fibonacci.htm
  20. 20. Donat que el nombre d’or és solució de l’equació : En podem extreure unes propietats aritmètiques curioses : Si multipliques l’expressió anterior per què obtens ... Pots expressar la potència n-èssima de , és a dir, Φ 𝑛 en funció de  012 xx 101 22  12     ACTIVITAT 3 b
  21. 21. 21   nnn 1321... 813... 58... 351223 23112 121 8 7 6 345 234 23       1 nn n aa SOLUCIÓ ACTIVITAT 3 b)
  22. 22. 21   nnn 1321... 813... 58... 351223 23112 121 8 7 6 345 234 23       1 nn n aa 21 21 1    nnn aaa aa Quanta similitud !!!
  23. 23. 1. Escriu un nombre natural, el que vulguis 2. Escriu-ne un altre sota d’aquest 3. Escriu un tercer nombre sota del segon, de manera que resulti de la suma dels dos anteriors 4. Escriu un quart nombre obtingut de la suma de 3r i el 2n 5. I així successivament fins a tenir-ne 10 nombres 6. Suma’ls Pronostico que la SUMA és divisible per 11 ACTIVITAT 4
  24. 24. I a més, si em dones el 7è terme i jo et donaré en un segon la suma de tots els 10
  25. 25. Aprofitant els 10 termes que has escrit, construeix dos termes més, fins 𝒂 𝟏𝟐 : Pronostico que: La suma dels 10 primers termes és igual al 12è terme menys el 2n terme ACTIVITAT 4 a)
  26. 26. Aprofitant els 12 termes que has escrit, construeix-ne 8 més, fins 𝒂 𝟐𝟎 i divideix el terme 𝒂 𝟐𝟎/𝒂 𝟏𝟗 Pronostico que: El nombre obtingut, aproximat al 3r decimal és 1’618… ACTIVITAT 4 b)
  27. 27. ACTIVITAT 4 c)
  28. 28. ACTIVITAT 4 d)
  29. 29. 1) Si sumem 10 números consecutius de la successió de Fibonacci triats a l' atzar , el resultat sempre és múltiple d'11: Exemples : 21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 897 + 1.597 = 4.147 = 11x377 89+ 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1.597 + 2.584 + 4.181 + 6.765 = 17.567 = 11x1.597 De fet , els resultats són iguals a multiplicar per 11 el setè número elegit, en aquests dos casos, 377 i 1.597 Saps perquè passa i això ?? Propietats de la successió de Fibonacci ACTIVITAT 4
  30. 30. De fet passa per a qualsevol successió de la forma 𝑎1 = 𝑎 𝑎2 = 𝑏 𝑎3 = 𝑎 + 𝑏 𝑎4= 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 = 𝑎 + 2𝑏 𝑎5= 2𝑎 + 3𝑏 𝑎6= 3𝑎 + 5𝑏 𝑎7 = 5𝑎 + 8𝑏 𝑎8= 8𝑎 + 13𝑏 𝑎9= 13𝑎 + 21𝑏 + 𝑎10 = 21𝑎 + 34𝑏 𝒊=𝟏 𝟏𝟎 𝒂𝒊 = 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝟏𝟎 = 𝟓𝟓𝒂 + 𝟖𝟖𝒃 = 𝟏𝟏 𝟓𝒂 + 𝟖𝒃 = 𝟏𝟏𝒂 𝟕 SOLUCIÓ ACTIVITAT 4
  31. 31. 𝑎1 = 𝑎 𝑎2 = 𝑏 𝑎3 = 𝑎 + 𝑏 𝑎4= 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 = 𝑎 + 2𝑏 𝑎5= 2𝑎 + 3𝑏 𝑎6= 3𝑎 + 5𝑏 𝑎7 = 5𝑎 + 8𝑏 𝑎8= 8𝑎 + 13𝑏 𝑎9= 13𝑎 + 21𝑏 𝑎10 = 21𝑎 + 34𝑏 𝑎11 = 34𝑎 + 55𝑏 𝑎12 = 55𝑎 + 89𝑏 𝒊=𝟏 𝟏𝟎 𝒂𝒊 = 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝟏𝟎 = 𝟓𝟓𝒂 + 𝟖𝟖𝒃 = 𝒂 𝟏𝟐 − 𝒂 𝟐 En particular, en la successió de Fibonacci, com que el 2n terme és 1 es dóna que : 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + ⋯ 𝒂 𝒏 = 𝒂 𝒏+𝟐 − 𝟏 SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 a)
  32. 32. La successió de Fibonacci és plena d'anècdotes matemàtiques que faran les delícies dels més curiosos.
  33. 33. Demostració que la successió de Fibonacci tendeix al nombre d’or : SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 b)
  34. 34. No es compleix !!! 𝟏𝟑 𝟓 ≠ 𝟖 𝟑 ≠ 𝟓 𝟐 però s’assemblen molt 2’6, 2’666 i 2’5 i per això ens enganya la vista Fixeu-vos que són fraccions de termes de la successió de Fibonacci de la forma 𝑎 𝑛+2 𝑎 𝑛 i com que 𝑎 𝑛+1+𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 + 1 i s’assemblen molt a 1 SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 c)
  35. 35. 5𝑥13 = 82 -1 SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 d)
  36. 36. n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 n=11 n=12 𝒂) 𝒂 𝒏−𝟏 · 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝒏 𝟐 − 𝟏 𝒏 𝒔𝒆𝒏𝒂𝒓 1· 3= 3·8= 8·21= 21·55= 55·144= 𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟓 𝟐 − 𝟏 = 𝟏𝟑 𝟐 − 𝟏 = 𝟑𝟒 𝟐 − 𝟏 = 𝟖𝟗 𝟐 − 𝟏= 3 24 168 1155 7920 𝐛) 𝒂 𝒏−𝟏 · 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝒏 𝟐 + 𝟏 𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒍𝒍 1· 2= 2·5= 5·13= 13·34= 34·89= 𝟏 𝟐 + 𝟏 = 𝟑 𝟐 + 𝟏 = 𝟖 𝟐 + 𝟏 = 𝟐𝟏 𝟐 + 𝟏 = 𝟓𝟓 𝟐 + 𝟏= 2 10 65 442 3026 SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 e) f)
  37. 37. n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 n=11 n=12 𝒂) 𝒂 𝒏−𝟏 · 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝒏 𝟐 − 𝟏 𝒏 𝒔𝒆𝒏𝒂𝒓 1· 3= 3·8= 8·21= 21·55= 55·144= 𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟓 𝟐 − 𝟏 = 𝟏𝟑 𝟐 − 𝟏 = 𝟑𝟒 𝟐 − 𝟏 = 𝟖𝟗 𝟐 − 𝟏= 3 24 168 1155 7920 𝐛) 𝒂 𝒏−𝟏 · 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝒏 𝟐 + 𝟏 𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒍𝒍 1· 2= 2·5= 5·13= 13·34= 34·89= 𝟏 𝟐 + 𝟏 = 𝟑 𝟐 + 𝟏 = 𝟖 𝟐 + 𝟏 = 𝟐𝟏 𝟐 + 𝟏 = 𝟓𝟓 𝟐 + 𝟏= 2 10 65 442 3026 𝒂 𝒏−𝟏· 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝒏 𝟐 + −𝟏 𝒏 per qualsevol n SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 g)
  38. 38. 1) 𝒊=𝟏 𝟏𝟎 𝒂𝒊 = 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝟏𝟎 = 𝟓𝟓𝒂 + 𝟖𝟖𝒃 = 𝟏𝟏 𝟓𝒂 + 𝟖𝒃 = 𝟏𝟏𝒂 𝟕 2) 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛+2 − 1 3) El quocient del 20è i 19è termes és 1’618 ja que s’aproxima a lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 = Φ 4) Donat que es compleix 𝑎) 𝑎 𝑛−1 · 𝑎 𝑛+1 = 𝑎 𝑛 2 − 1 𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑟 𝒂 𝒏−𝟏· 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝒏 𝟐 + −𝟏 𝒏 per qualsevol n I aquestes propietats fan que el nombre d’𝚽 resulti màgic !!! http://www.slideshare.net/tmartine/fibonacci-2-28764288 Propietats de la successió de Fibonacci n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 n=11 n=12 b) 𝑎 𝑛−1 · 𝑎 𝑛+1 = 𝑎 𝑛 2 + 1 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑙𝑙 SOLUCIÓ 4 a, b… g, h i
  39. 39. N 𝑎 𝑛 Successió 𝑎 𝑛−1 Proporció entre dos nombres consecutius: 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 2 4 3 2 1’5 5 5 3 1’66... 6 8 5 1’6 7 13 8 1’625 8 21 13 1’615384615... 9 34 21 1’619047619... 10 55 34 1’6176747059... 11 89 55 1’6181818... 12 144 89 ...       1n n a a lím RELACIÓ ENTRE EL NOMBRE D’OR I LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI SOLUCIÓ 4 i
  40. 40. Demostració que la successió de Fibonacci tendeix al nombre d’or : SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 j)
  41. 41. Vegem més propietats de la successió de Fibonacci !!!
  42. 42. I què passa amb la successió dels quadrats dels nombres Fibonacci ? Quant sumen dos nombres consecutius de la successió de Fibonacci obtenim un nombre de la successió, però … https://www.ted.com/talks/arthur_benjamin_the_magic_of_fibonacci_numbers?language=es#t-139288 ACTIVITAT 4 k
  43. 43. Què passa quant sumem els quadrats de dos nombres consecutius de la successió de Fibonacci ? Obtenim un altre nombre de la successió !!! SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 K
  44. 44. I si anem sumant la successió dels quadrats ? Què passarà ?? ACTIVITAT 4 l)
  45. 45. Que el seu resultat és el producte de dos nombres de la successió de Fibonacci !!! I això, per què passa ? SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 l)
  46. 46. Fixeu-vos que està passant … 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 = 104 = 8x13 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82 = 8𝑥13 Però per què ???? SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 l)
  47. 47. Us ho mostraré amb un dibuix …. Qu Quina és l’área d’aquest rectangle ?? ACTIVITAT 4 m) En un full quadriculat comenceu a dibuixar un quadrat de costat 34, després el de costat 21. Tot seguit el de costat 13, el de costat 8,5,3,2, 1 i 1
  48. 48. Per una banda , l’àrea del rectangle és la suma de les àrees del quadrats que el formen 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐 + 𝟓 𝟐 + 𝟖 𝟐 SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 m)
  49. 49. Per una altra banda , l’àrea del rectangle és base per altura, 13 x 8 SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 m)
  50. 50. Àrea = 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐 + 𝟓 𝟐 + 𝟖 𝟐 = 𝟖𝒙 𝟓 + 𝟖 = 𝟖𝒙𝟏𝟑 Ara ja sabem el perquè passa : Hem calculat bé l’àrea SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 m)
  51. 51. I si això ho fem indefinidament… aquests rectangles cada cop són més auris !!! Però a més, s’uneixen les propietats matemàtiques amb la bellesa geomètrica ACTIVITAT 4 N)
  52. 52. La bellesa d’una espiral… la bellesa en què està escrita la natura !!! ACTIVITAT 4 o)
  53. 53. ESPIRALS LOGARÍTMIQUES
  54. 54. http://naukas.com/2012/11/02/por-que-los-huracanes- tienden-a-formar-una-espiral-logaritmica/
  55. 55. La bellesa del nombre d’ a l’arquitectura !!! 𝜱r
  56. 56. ESPIRALS LOGARÍTMIQUES i ELS RECTANGLES DINÀMICS
  57. 57. https://www.youtube.com/watch?v=-n1K_gKP_7Q
  58. 58. Però veiem més llocs on apareix la successió de Fibonacci En el triangle de Pascal
  59. 59. Més curiositats de la successió de Fibonacci : S’ha estudiat molt la successió de Fibonacci i el coneixement sobre ella és ampli, però no complet. De fet, hi ha una conjectura encara sense demostrar : La successió de Fibonacci conté infinits nombres primers. Es coneix com a estrella pentagonal a la qual està inscrita en un pentàgon regular, i també està relacionada amb la proporció àuria : el segment D que forma la diagonal del pentàgon ( o un costat de l'estrella ), al dividir-lo entre un costat del pentàgon C, dóna com a resultat la proporció àuria. Aquesta estrella també ha estat profusament representada, té molt simbolisme i és fins i tot la base de molts jocs populars, ja que és una de les formes de tauler més antigues que es coneixen.
  60. 60. És per aquest motiu que fa belles certes pintures ? LEDA ATÒMICA
  61. 61. SALVADOR DALÍ MITJA TASSA GEGANT VOLADORA L’ÚLTIM SOPAR LEONARDO DA VINCI LA GIOCONDA
  62. 62. ESPIRALS LOGARÍTMIQUES
  63. 63. La disposició dels pètals de les flors, el cargol de mar, la forma de les pinyes que donen alguns arbres , la distribució de les pipes en un gira-sol, el gruix que tenen les branques dels arbres ... Totes aquestes coses tenen en comú que d'una forma o una altra estan relacionades amb la proporció àuria o la sèrie de Fibonacci. Per això alguns experts postulen que el nombre Phi 𝚽 sigui al creixement orgànic el que Pi 𝝅 és al mesurament del cercle: el número en què estan basats tots els càlculs i fenòmens. Quina relació matemàtica relaciona el nombre d’Or amb la natura ? Cap on tendeix el lim 𝒏→+∞ 𝒂 𝒏 𝒂 𝒏+𝟐 ? LA PROPORCIÓ ÀURIA A LA NATURALESA ACTIVITAT 4 p)
  64. 64. Cap on tendeix el lim 𝒏→+∞ 𝒂 𝒏 𝒂 𝒏+𝟐 ? Pots fer-ho de dues formes diferents : 1. Agafar termes avançats en la successió : Per exemple 55/144= ??? 2. Demostrant-ho en general : Pots ajudar-te fent servir la següent relació : 𝒂 𝒏 𝒂 𝒏+𝟐 = 𝒂 𝒏 𝒂 𝒏+𝟏 . 𝒂 𝒏+𝟏 𝒂 𝒏+𝟐 ACTIVITAT 4 p)
  65. 65. SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 p) 1. Agafar termes avançats en la successió : Per exemple 55/144= 0’38194… 89/233=0’38197… 2. Demostrant-ho en general : Pots ajudar-te fent servir la següent relació : 𝒂 𝒏 𝒂 𝒏+𝟐 = 𝒂 𝒏 𝒂 𝒏+𝟏 ∙ 𝒂 𝒏+𝟏 𝒂 𝒏+𝟐 = 𝟏 𝒂 𝒏+𝟏 𝒂 𝒏 ∙ 𝟏 𝒂 𝒏+𝟐 𝒂 𝒏+𝟏 Aplicant límits a cada costat : lim 𝒏→∞ 𝒂 𝒏 𝒂 𝒏+𝟐 = lim 𝒏→∞ 𝟏 𝒂 𝒏+𝟏 𝒂 𝒏 ∙ 𝟏 𝒂 𝒏+𝟐 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝟏 𝚽 ∙ 𝟏 𝚽 = 𝟏 𝚽 𝟐 = 𝟎′ 𝟑𝟗𝟏𝟗𝟏𝟔𝟔….
  66. 66. L’angle d’or mesura 𝟏𝟑𝟕′ 𝟓 𝝄 = 𝟑𝟔𝟎° 𝜱 𝟐 SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 q)
  67. 67. LES LLAVORS DELS GIRA-SOLS i LES ESPIRALS DE LES PINYES A més, si dividim 360º /  = 222’5º 360º - 222’5º = 137’5º tornarem a tenir l’angle auri
  68. 68. ELS PÈTALS DE LES FLORS
  69. 69. Un dels motius pels quals aquesta xifra porta segles fascinant els que l'estudien és que es troba de forma natural en els llocs més insospitats. Per exemple, la proporció entre abelles femella i mascle en un rusc sol ser similar a la proporció àuria.
  70. 70. Ja que parlem d'abelles, aquestes compleixen amb una altra regla , en aquesta ocasió relacionada amb la successió de Fibonacci : els mascles tenen un arbre genealògic que la compleix : Un abellot ( 1) neix d'un ou no fecundat, de manera que només té mare ( 1) i no pare. La seva mare , en ser femella , va tenir dos progenitors ( 2). Aquests, mascle i femella van tenir en total tres progenitors ( 3) , la mare del mascle i la mare i el pare de la femella , és a dir , dues femelles i un mascle. Això vol dir que van tenir cinc progenitors al seu torn ( 5) ... A mesura que ascendim , la regla es segueix complint
  71. 71. 1.Aïlla de l’expressió anterior el nombre d’or , et sortirà una expressió del nombre d’or com a resultat de fer infinites d’arrels 2.Divideix l’expressió pel nombre d’or, et sortirà una expressió del nombre d’or com una divisió infinita SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 q)
  72. 72. SOLUCIÓ ACTIVITAT 4 q)
  73. 73. Els mòbils tenen antenes fractals per posseir la característica de l’auto semblança I una altra característica que els fa especials és la seva dimensió fraccionaria https://www.youtube.com/watch?v=rHLi79mdF2Y
  74. 74. 3 llaunes 9 llaunes 27 llaunes 81 llaunes 243 llaunes 729 llaunes
  75. 75. https://www.youtube.com/watch?v=_qYn1TXJbqo
  76. 76. EL RECTANGLE D’OR Són aquells rectangles els costats del qual guarden una relació àuria. Com es construeix un rectangle d’or ? Demostra que el quocient entre el costat major AE i el costat menor EF del rectangle construït de la manera anterior és un rectangle auri 𝑨𝑬 𝑬𝑭 = 𝚽? ? ? ACTIVITAT 5
  77. 77. EL RECTANGLE D’OR Són aquells rectangles els costats del qual guarden una relació àuria. Com es construeix un rectangle d’or ? : 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 𝑥 → 𝐴𝐸 𝐸𝐹 = 𝑥 2 +𝑀𝐸 𝑥 = 𝑥 2 +𝑀𝐶= 𝑥 2 + 𝑥 2 2 +𝑥2= 5𝑥2 4 𝑥 = 𝑥 2 + 𝑥 2 · 5 𝑥 = 1+ 5 2 = Φ SOLUCIÓ ACTIVITAT 5
  78. 78. EL RECTANGLE D’OR :El quocient entre els seus costats és Ф=1’61.. I d’aquí surt l’espiral logarítmica que hi ha en els cargols, en les Galàxies, en la nostra orella,…, fins i tot en les faccions de les cares més boniques!!!
  79. 79. El rectangle AEFD és un rectangle d’or ja que AE/AB=Φ,però també ho serà el rectangle BEFC ja que EF/BE=Φ. D’aquesta manera es pot construir l’espiral d’or, que és l’espiral de centre les dues diagonals
  80. 80. Serà un rectangle d’Or o rectangle auri si …
  81. 81. La bellesa del nombre d’or com a reclam publicitari http://blocs.xtec.cat/elfildelesclassiques/2009/07/30/el-discobol-com-a-reclam-publicitari/
  82. 82. LA PROPORCIÓ ÀURIA AL COS HUMÀ ALÇADA (cm) ALÇADA MELIC (cm) PROPORCIÓ 1 163 102 1’6 2 166 103 1’612 3 169 108 1’565 4 175 105 1’67 LE CORBUSIER STEPHEN MARQUARDT
  83. 83. - La raó entre l’alçada total d’una persona i l’alçada fins al melic - La raó de la longitud del braç i la longitud de la mà al colze - La raó entre l’amplada i la llargada de la cara - La raó entre la primera falange de la mà i la segona, i entre la segona i la tercera - La raó entre la longitud de la cama i la longitud del peu al genoll -La raó entre la longitud del colze al canell i del canell a la punta dels dits de la mà - L'úter d'una pacient té un aspecte normal si en dividir la seva alçada per la seva amplada , el resultat ha de ser proper a 1,618
  84. 84. ACTIVITAT 6
  85. 85. ACTIVITAT 6
  86. 86. Si complir amb la proporció àuria fa que el cos d'una estàtua sigui bell i estètic , hi ha persones reals que ens resultin especialment atractives pel mateix? Pel que sembla si. Kelly Brooks és una model britànica, i ha estat triada com la dona més pròxima a la proporció àuria, segons el cirurgià plàstic Patrick Malluci i la Universitat de Texas
  87. 87. Es diu que l’historiador grec Heròdot va aprendre dels sacerdots egipcis que l’alçada al quadrat de la Gran Piràmide era igual a l’àrea de les seves cares triangulars” Perquè era tant important aquesta afirmació ? Segons aquesta afirmació : Si anomenem x alçada de les cares triangulars i 2a el costat de la base Heròdot afirma que : h2= x· a, ACTIVITAT 7
  88. 88. Si anomenem x alçada de les cares triangulars i 2a el costat de la base tenim que, segons Heròdot que : h2= x· a aleshores ℎ2 + 𝑎2 = 𝑥2 𝑥𝑎 + 𝑎2 = 𝑥2 dividint tota l’expressió per 𝑎2 𝑥𝑎 + 𝑎2 = 𝑥2 𝑎2 𝑥 𝑎 + 1 = 𝑥 𝑎 2 𝑥 𝑎 2 − 𝑥 𝑎 − 1 = 0 𝑥 𝑎 = 𝛷 Per tant, la relació entre l’altura de la cara lateral i la meitat del costat de la base és el nostre nombre !!! x h a
  89. 89. El nombre Ф en les construccions arquitectòniques : La piràmide de Keops i El Partenó d’Atenes I en la construcció dels violins !!
  90. 90. LA PROPORCIÓ ÀURIA EN ARQUITECTURA 61'1 22'19 95'30 30’95 metres l’amplada de la façana 19’22 metres l’alçada
  91. 91. CLAUDE DEBUSSY “Veuràs, a la pàgina 8 de Jardins sous la Pluie, que falta un compàs – és culpa meva, a més a més, ja que no és al manuscrit. De tota manera, és necessari, pel que fa al nombre; el nombre dví.” LUDWIG VAN BEETHOVEN El famós fabricant d'instruments Antonio Stradivari (XVII i XVIII) posava molta cura a situar les obertures en els seus violins en consonància amb la proporció àuria. Segurament es tractés més d'una qüestió estètica que sonora , ja que no hi ha indicis que això tingui cap impacte en la qualitat del so dels instruments
  92. 92. 12  21   nnn PROPIETATS DEL NOMBRE D’OR ...1111  ...1 1 1 1 1 1 1 1 1         11 1 12       1 1 1 1 1 1 012 1321... 813... 58... 351223 23112 121 8 7 6 345 234 23       Fibonacci
  93. 93. Vegem més relacions amb de la successió de Fibonacci i el nombre d’ 𝚽r !!!
  94. 94. El terme general de la successió de Fibonacci 𝑭 𝒏 = 𝑭 𝒏−𝟏+𝑭 𝒏−𝟐 Però i sense recurrència ???
  95. 95. 𝐹𝑛 = Φ 𝑛 − −Φ)−𝑛 2Φ − 1 𝐹𝑛 = 1+ 5 2 𝑛 − 1− 5 2 𝑛 5 = Φ 𝑛− −1 Φ 𝑛 5 Φ 𝑛 = 𝐹𝑛Φ + 𝐹𝑛−1
  96. 96. Exercici 21 – Proves Cangur 2016 – 2n BAT ( 5punts ) En un bloc de deu pisos, hem de pintar cada planta en blau o en groc, però dues plantes consecutives no poden estar pintades de color blau. De quantes maneres diferents podríem pintar el bloc de pisos ? A) 126 B) 132 C) 140 D) 144 E) 252
  97. 97. 1ª planta 2ª Planta 3ª planta 4ª planta 5ª planta 6ª planta B G BGBGBG B G B BGBGGB G G BGBGGG B BGGBGB B G B G G BGGBGG B G BGGGBG B BGGGGB G G G G BGGGG B GBGBGB B G G GBGBGG B G GBGGBG B GBGGGB B G G G G GBGGGG B G GGBGBG G B G G B GGBGGB B G G B G G G 2 3 5 8 13 21 A la 7ª planta 34, 8ª planta 55, 9ª planta 89 i 10ª planta 144 maneres diferents
  98. 98. 1. El seu descobriment l'hi debem, com tantes altres coses, als grecs. Ells li van donar un tractament bàsicament geomètric, i va ser Euclides en la seva obra Elements un dels primers que es va referir a aquest concepte. 1. La fascinació per la proporció àuria ha estat tal al llarg de la història que en 1509 el matemàtic i teòleg italià Luca Pacioli va publicar un llibre titulat La Divina Proporció en el qual donava cinc raons que justificaven la divinitat del nombre auri : a) La unicitat del número, que s'assembla a la de Déu; b) El fet que estigui definit per tres segments d'una recta, que s'assembla a la Trinitat; c) La incommensurabilitat del nombre, igual que Déu és incommensurable; d) Déu és omnipresent i invariable, igual que ho és aquest nombre; Per saber-ne més : http://maralboran.org/web_ma/videos/fibonacci/fibonacci.htm
  99. 99. e) Déu va donar vida a l'univers a través de la cinquena essència, l’èter, representada per un dodecaedre i el nombre auri va donar vida al dodecàedre. Sòlids platònics : El foc : Tetràedre, terra : cub, aire : octàedre i aigua : icosàedre Seguim parlant de la suposada relació entre la divina proporció i la divinitat: f) No són pocs els que asseguren que la Bíblia està esquitxada de referències a aquest concepte ja que és una forma que sembla agradar a Déu. En les instruccions per a l'Arca de l'Aliança que va donar a Moisès, com les que va donar a Noè per a l'altra arca, demana unes proporcions 5x3 (casualment, dos nombres de la successió de Fibonacci) que donen com a resultat 1,666, molt proper a phi Però per descomptat la seva parent aritmètica, la successió de Fibonacci, va sorgir d'un problema molt més mundà, relacionat amb la reproducció dels conills, que va plantejar Leonardo Pisano, Fibonacci, en el seu Llibre de l'àbac en 1202
  100. 100. Els sòlids platònics Els políedres regulars, s’anomenen també platònics, per haver fet Plató referència a ells en el seu diàleg Timeo per a explicar l’Univers. Es fàcil veure que els políedres platònics són sols cinc. Plató els associava així: Tetràedre foc Octàedre aire Hexàedre Terra Icosàedre Aigua Dodecàedre éter Kepler: Harmonia mundi libri V, Linz 1619
  101. 101. El rectangle àuri Els cinc políedres regulars estan íntimament relacionats amb el rectangle àuri. M (punt mig) quadrat La construcció d’un rectangle àuri a partir d’un quadrat és la següent: Si el costat del quadrat mesura 1, la dimensió major del rectangle àuri és: 1 5 2 b   Es a dir, el nombre d’or Φ b= Φ=1´618…
  102. 102. Políedres platònics Partim de tres rectangles àuris que es tallen perpendicularment segons les tres direccions de l’espai Unint els dotze vèrtex dels tres rectangles obtenim:
  103. 103. L’icosàedre Partim de tres rectangles àuris que es tallen perpendicularment segons les tres direccions de l’espai Unint els dotze vèrtex dels tres rectangles obtenim: Políedres platònics
  104. 104. Políedres platònics És el cub el centre del qual coincideix amb el centre de l’estructura formada pels 3 rectangles àuris, i les cares del qual són paral·leles a aquests rectangles i d’aresta el costat menor. Tornant als tres rectangles àuris, podem ara construir L’exàedre
  105. 105. Políedres platònics Unint els centres dels costats menors dels rectangles àuris obtenim l’octàedre. L’octàedre
  106. 106. Políedres platònics Unint els centres dels costats menors dels rectangles àuris obtenim l’octàedre. L’octàedre
  107. 107. Políedres platònics Si des d’un vèrtex del cub tracem les tres diagonals de cara que parteixen d’aquest vèrtex, i unim els altres tres extrems d’aquestes tres diagonals, obtenim el tetràedre regular. El tetràedre
  108. 108. Políedres platònics El tetràedre Si des d’un vèrtex del cub tracem les tres diagonals de cara que parteixen d’aquest vèrtex, i unim els altres tres extrems d’aquestes tres diagonals, obtenim el tetràedre regular.
  109. 109. Els 20 vèrtex del dodecàedre es troben: 12 d’ells, per parelles, sobre cadascun dels costats menors dels rectangles àuris i els 8 restants són els vèrtex del cub interior. Per últim, Políedres platònics El dodecàedre
  110. 110. A ti, maravillosa disciplina, media, extrema razón de la hermosura que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina. A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el Universo armónico origina. A ti, mar de los sueños angulares, flor de las cinco formas regulares dodecaedro azul, arco sonoro. Luces por alas un compás ardiente. Tu canto es una esfera transparente. A ti, divina proporción de oro. Rafael Alberti, “La divina proporción”
  111. 111. Els orígensdel nombred’OR http://tube.geogebra.org/student/m1099173 Construcció dinámica d'Euclides de la secció àuria d'un segment
  112. 112. http://tube.geogebra.org/student/m88036
  113. 113. DIVISIÓ ÀURIA D’UN SEGMENT
  114. 114. DIVISIÓ ÀURIA D’UN SEGMENT
  115. 115. EL TRIANGLE D’OR : Són aquells triangles els costats dels quals estan en raó àuria. N’hi ha de dos tipus: 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 = Φ 𝑞𝑢𝑒 𝑠ó𝑛 𝑎𝑐𝑢𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠 𝑖 𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 =Φ 𝑞𝑢𝑒 𝑠ó𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑠𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠
  116. 116. LA PROPORCIÓ ÀURIA EN FOTOGRAFIA BRUCE BARNBAUM Tenien alguna intenció de fer aparèixer la proporció àuria a les seves fotografies?
  117. 117. L’ART GÒTIC “Quan tot està basat en una mesura fixa, l’església simplement és maca. La proporció és el cor de la bellesa.” CATEDRAL DE NOTRE DAME, PARÍS 41 metres d’amplada 43 metres fins a la base de les torres 63 metres fins al capdamunt de les torres   ...629'1 59'15 41'25 41'2559'1541 metres LA CATEDRAL DE BARCELONA
  118. 118. L’ART BARROC SANT PERE DEL VATICÀ DIMENSIONS 186 metres de llargada fins la porta 218’7 metres de longitud fins al pòrtic 71 metres d’amplada a la part més estreta 114’69 metres d’amplada de la façana 136’57 metres d’alçada fins la cúpula 2 619'2 71 186   62'1 69'114 186  601'1 57'136 7'218
  119. 119. PLACE DU NOMBRE D’OR, MONTPELLIER “Les proporcions de la plaça són de 13000 m2 i deu el seu nom a la fórmula del nombre d’or utilitzada per donar als edificis, escultures i monuments, proporcions particularment harmonioses.” TALLER D’ARQUITECTURA RICARDO BOFILL
  120. 120. ALGUNES FAL·LÀCIES ELS ANELLS DE SATURN www.goldennumber.net 199'1 14600 17500 457'1 17500 25500 95'1 7500 14600 747'1 14600 25500   LES PIRÀMIDES D’EGIPTE “VA UTILITZAR MOZART LA SECCIÓ ÀURIA?”
  121. 121. HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=B RPRDUGZO9E https://www.youtube.com/watch?v=kxhYMHE5mwc

×