Este documento presenta conceptos básicos de números reales como conjuntos numéricos, operaciones básicas, propiedades y potenciación, radicación y logaritmación. Explica las propiedades de las operaciones con números reales como la ley de signos y operaciones con fracciones. También cubre ejemplos de resolución de expresiones algebraicas y propiedades de potenciación, radicación y logaritmación.

1. UNIDAD 1
NÚMEROS
REALES:
OPERACIONES
BÁSICAS
MSc. Katty Mercado Porras.

2. UNIDAD 2
Conjuntos numéricos y Expresiones
algebraicas
Resultado de Aprendizaje Indicadores de desempeño
Desarrollar el cálculo numérico,
para fortalecer las estructuras
básicas matemáticas utilizadas
en el perfil profesional,
mediante la manipulación de
expresiones algebraicas.
• Reconoce las operaciones básicas en los
distintos conjuntos numéricos (N, Z, Q, I, R).
• Distingue la relación entre potenciación,
radicación y logaritmación.
• Calcula las operaciones básicas entre
expresiones algebraicas.
• Desarrolla situaciones problema con los
casos de factorización.

3. Reales
ℝ
Irracionales
𝑰
Racionales
ℚ
Enteros
ℤ
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Naturales
ℕ
1,2,3,4, …
…−2, −1,0, …
−0,24
2
3
1,333 …
𝜋
2 5
𝑎
0
no está definido
Si n es par, 𝑛
−𝑎 no
existe en los reales.

4. PROPIEDADES
CONMUTATIVA
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎
Cuando sumamos o multiplicamos tres
números, no importa cuáles dos de
ellos sumamos o multiplicamos
primero.
ASOCIATIVA
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝑎(𝑏𝑐) = 𝑎𝑏 𝑐
Cuando sumamos o multiplicamos dos
números, el orden no importa.
DISTRIBUTIVA
𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
𝑏 + 𝑐 𝑎 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
Cuando multiplicamos un número por
una suma de dos números,
obtenemos el mismo resultado si
multiplicamos el número por cada
uno de los términos y luego sumamos
los resultados.

5. PROPIEDADES
ELEMENTO NEUTRO
𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎
𝑎 × 1 = 1 × 𝑎 = 𝑎
INVERSO ADITIVO O
MULTIPLICATIVO
Si 𝑎 ∈ ℝ, existe un −𝑎 ∈ ℝ, tal
que:
𝑎 + −𝑎 = 0
Si 𝑎 ∈ ℝ y 𝑎 ≠ 0, existe un
1
𝑎
∈ ℝ,
tal que:
𝑎
1
𝑎
= 1
Al sumar 0 o multiplicar por 1 un
número, no se afecta el resultado.
El inverso aditivo de un número es el
mismo número pero con signo
contrario, mientras que el inverso
multiplicativo de un número es su
recíproco.

6. OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
LEY DE SIGNOS
Signos iguales
Se suman y se conserva el
mismo signo.
Signos diferentes
Se restan y se coloca el
signo que tiene el número
mayor.
LEY DE SIGNOS
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Con números negativos:

7. OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
PROPIEDADES
• −1 𝑎 = −𝑎
• − −𝑎 = 𝑎
• −𝑎 𝑏 = 𝑎 −𝑏 = − 𝑎𝑏
• −𝑎 (−𝑏) = 𝑎𝑏
• − 𝑎 + 𝑏 = −𝑎 − 𝑏
• − 𝑎 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑎

8. OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
PROPIEDADES
•
𝑎
𝑐
+
𝑏
𝑐
=
𝑎+𝑏
𝑐
•
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑+𝑏𝑐
𝑏𝑑
•
𝑎
𝑏
×
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑐
𝑏𝑑
•
𝑎
𝑏
÷
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
×
𝑑
𝑐
=
𝑎𝑑
𝑏𝑐
•
𝑎𝑐
𝑏𝑐
=
𝑎
𝑏
•
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
Con números fraccionarios:

9. POLINOMIOS ARITMÉTICOS
Tener en cuenta que: Para resolver una expresión sin signos
de agrupación, primero se determina
las potencias y raíces, luego las
multiplicaciones y divisiones y
finalmente las adiciones y
sustracciones.
Para resolver una expresión con signos de
agrupación, éstos se deben suprimir de
adentro hacia afuera, resolviendo las
operaciones indicadas dentro de estos y
siguiendo el orden expresado en el punto
anterior.

10. EJEMPLOS:
• 3 3 17 − 24 + (3) 5 20 − 38 + 4(5)

11. EJEMPLOS:
• −
9
5
− −
2
5
+ −
3
5
−
1
5
−
7
5
−
13
5
−
1
5
×
2
7

12. EJEMPLOS:
• −
1
4
−
2
4
+
6
8
÷
6
5
−
5
4
+
2
3

13. UNIDAD 2
Conjuntos numéricos y Expresiones
algebraicas
Resultado de Aprendizaje Indicadores de desempeño
Desarrollar el cálculo numérico,
para fortalecer las estructuras
básicas matemáticas utilizadas
en el perfil profesional,
mediante la manipulación de
expresiones algebraicas.
• Reconoce las operaciones básicas en los
distintos conjuntos numéricos (N, Z, Q, I, R).
• Distingue la relación entre potenciación,
radicación y logaritmación.
• Calcula las operaciones básicas entre
expresiones algebraicas.
• Desarrolla situaciones problema con los
casos de factorización.

14. 𝟒𝟑
= 𝟔𝟒
64
4 × 4 × 4
Base
Exponente
Potencia
3
64 4
log4 64 3
𝟔𝟒
𝟒 × 𝟒 × 𝟒

15. POTENCIACIÓN
Si 𝒂 es un número real cualquiera y 𝒏 es un entero
positivo, entonces la potencia 𝒏 − é𝒔𝒊𝒎𝒂 de 𝒂 es
𝑎𝑛
= 𝑎 ∗ 𝑎 ∗ ⋯ ∗ 𝑎
𝒏 factores
En la potenciación, se busca la potencia conociendo la
base y el exponente.
Ejemplo:
𝟓𝟑
= 𝟏𝟐𝟐
= (−𝟕)𝟒
=

16. Propiedades de la potenciación.
Nombre Propiedad Descripción Descripción
Producto de
potencias de
igual base
𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 Al multiplicar dos potencias
igual base, se deja la misma
base y se suman los
exponentes.
52 ∗ 53 = 52+3 = 55
Cociente de
potencias de
igual base
𝑎𝑚
𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
; si
𝑚 > 𝑛
Para dividir dos potencias del
mismo número, reste sus
exponentes. Se tiene presente
el orden de los exponentes.
46
42
= 46−2
= 44
𝑎𝑚
𝑎𝑛 =
1
𝑎𝑛−𝑚 ; si
𝑚 < 𝑛
72
75
=
1
75−2
=
1
73
Potencia de
una potencia
𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚∗𝑛 Para elevar una potencia a una
nueva potencia, multiplicamos
los exponentes.
32 6 = 32∗6 = 312
Producto
elevado a una
potencia
𝑎𝑏 𝑛
= 𝑎𝑛
∗ 𝑏𝑛 Para elevar un producto a una
potencia, eleve cada factor a la
potencia.
5 ∗ 4 2 = 52 ∗ 42

17. Propiedades de la potenciación.
Nombre Propiedad Descripción Descripción
Cociente
elevado a
potencia
𝑎
𝑏
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
Para elevar un cociente a una
potencia, eleve tanto el
numerador y denominador a la
potencia.
3
4
2
=
32
42
Exponente
cero
𝑎0 = 1 Cuando se elevado una
potencia a cero, el resultado
siempre será 1.
30 = 1
Exponente
negativo
𝑎−𝑛
=
1
𝑎𝑛
Cuando se elevado una
potencia a un exponente
negativo, es igual al inverso
multiplicativo del número
elevado al mismo exponente
pero positivo.
(3)−5 =
1
35
𝑎−𝑛
𝑏−𝑚
=
𝑏𝑚
𝑎𝑛
Cuando se elevado una
potencia a un exponente
negativo, es igual al inverso
multiplicativo del número
elevado al mismo exponente
pero positivo.
3−2
8−5
=
85
32

18. RADICACIÓN
Si 𝒏 es un entero positivo, entonces la raíz 𝒏 − é𝒔𝒊𝒎𝒂
principal de 𝒂 se define como sigue:
𝑛
𝑎 = 𝑏; quiere decir 𝑏𝑛
= 𝑎
Si 𝑛 es par, debemos tener 𝑎 ≥ 0 y b ≥ 0
En la radicación se busca la base conociendo la potencia
y el exponente.
Ejemplo:
𝟑
𝟖𝟏 =
𝟓
𝟔𝟒 = 𝟏𝟒𝟒 =

19. Nombre Propiedad Ejemplo
Raíz de un
producto
𝑛
𝑎𝑏 = 𝑛
𝑎
𝑛
𝑏
3
−8 ∗ 27 =
3
−8 ∗
3
27 = −2 ∗ 3 = −6
Raíz de un
cociente
𝑛 𝑎
𝑏
=
𝑛
𝑎
𝑛
𝑏 4
16
81
=
4
16
4
81
=
2
3
Raíz de una raíz
𝑚 𝑛
𝑎 = 𝑚∗𝑛
𝑎 3
729 =
2∗3
729 =
6
729 = 3
Raíz de una
potencia
𝑛
𝑎𝑛 = 𝑎 si 𝑛 es
impar
3
−9 3 = −9
𝑛
𝑎𝑛 = 𝑎 si 𝑛 es par 4
−3 4 = −3 = 3
Potencia con
exponente
fraccionario
𝑎
𝑚
𝑛 =
𝑛
𝑎𝑚 11
3
4 =
4
113
Propiedades de la radicación.
No es distributiva
respecto a la suma o
resta
𝑛
𝑎 + 𝑏 ≠ 𝑛
𝑎 +
𝑛
𝑏

20. LOGARITMACIÓN
El logaritmo de un número 𝑎 en base 𝑏 se define
como el número al que hay que elevar 𝑏 para obtener
el número 𝑎. Es decir,
log𝑏 𝑎 = 𝑛 ; quiere decir 𝑏𝑛 = 𝑎
En la logaritmación se busca el exponente
conociendo la base y la potencia.
Ejemplo:
𝒍𝒐𝒈𝟒𝟐𝟓𝟔 = 𝟒 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟖𝟏 = 𝟒 𝒍𝒐𝒈𝟕𝟒𝟗 = 𝟐

21. Nombre Propiedad Ejemplo
Logaritmo de uno log𝑏 1 = 0 log5 1 = 0
Logaritmo de un
cociente
log𝑏
𝑎
𝑐
= log𝑏 𝑎 − log𝑏 𝑐 log3
9
27
= log3 9 − log27 27 = 2 − 3 = −1
Logaritmo de una
potencia
log𝑏 𝑎𝑛 = 𝑛log𝑏 𝑎 log5 1254 = 4log5 125 = 4 3 = 12
Logaritmo de una raíz
log𝑏
𝑛
𝑎 =
1
𝑛
log𝑏 𝑎 log4
4
64 =
1
4
log4 64 =
1
4
3 =
3
4
Propiedades de la logaritmación.
Logaritmo de un
producto
log𝑏 𝑎𝑐 = log𝑏 𝑎 + log𝑏 𝑐 log2 4 × 8 = log2 4 + log2 8 = 2 + 3 = 5
Logaritmo de la base log𝑏 𝑏 = 1 log12 12 = 1