Exercice probabilité

1. Variables aléatoires discrètes sur univers infini IAS-B3JV
Série d’exercice
Exercice 1
On jette une pièce de monnaie trois fois et on s’intéresse aux résultats obtenus lors des trois
jets.
1. Définir l’expérience aléatoire ainsi que l’ensemble fondamental Ω qui lui est associé.
2. Quelle est la nature de l’événement 𝐸 = Ω ?
3. Que peut-on dire des événements élémentaires de Ω ?Justifier.
4. Quel est le nombre d’événement qu’on peut formuler dans cette expérience aléatoire ?
5. Pour quelles conditions les événements élémentaires sont-ils équiprobables ?
6. L’événement A « Avoir la même face lors des trois jets » est-il un événement certain,
élémentaire, composé ou impossible ? Justifier.
7. Les événements élémentaires forment-ils un système complet de Ω ? Justifier.
8. On considère les événements :
• 𝐸1 « Avoir pile au premier et au deuxième jets et face au troisième jet »
• 𝐸2 « Ne pas avoir face ni au premier ni au troisième jets »
• 𝐸3 = {(𝐹, 𝐹, 𝑃), (𝐹, 𝑃, 𝑃)}
• 𝐸4 « Avoir la même face au premier et au troisième jets »
a. Donner les événements complémentaires de 𝐸1 et 𝐸4.
b. 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3, 𝐸4 forment-ils un système complet de Ω ? de A ? Justifier.
c. 𝐸1 ∩ 𝐴, 𝐸2 ∩ 𝐴, 𝐸3 ∩ 𝐴, 𝐸4 ∩ 𝐴 forment-ils un système complet de Ω ? de A ? Justifier.
Exercice 2
Un marché de gros est organisé deux fois par mois. Durant le mois, le nombre de fois où le
marché est en équilibre est une variable aléatoire X dont l’ensemble des valeurs possibles est
{0,1,2} et de fonction de probabilité définie par :
𝑃(𝑋 = 𝑥) = {
𝑞2
𝑠𝑖 𝑥 = 0
2𝑝𝑞 𝑠𝑖 𝑥 = 1
𝑝2
𝑠𝑖 𝑥 = 2
0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛
Où p et q sont deux paramètres tels que 0<p<1 et 0<q<1.
1. Déterminer q en fonction de p.
2. Pour p=1/3
a. Représenter la distribution de probabilité de X
b. Déterminer l’espérance mathématique de X.
c. Déduire la variance de X.
Exercice 3
Un système complexe est formé de deux machines M1 et M2, dont les probabilités de pannes
(évènements indépendants) sont respectivement 0.05 et 0.03. Le système tombe en panne dès
que l’une au moins des deux machines tombe en panne.
1. Déterminer la probabilité de panne du système.
2. Le système tombe en panne, quelle est la probabilité que la panne provienne :
a. Seulement de la machine M1 ?
b. Seulement de la machine M2 ?

2. Variables aléatoires discrètes sur univers infini IAS-B3JV
c. Des deux machines au même temps ?
Vérifier que la somme des probabilités trouvées est égale à 1.
Exercice 4
Les ensembles suivants sont-ils dénombrables ?Justifier
1. {2𝑛
; 𝑛 ≥ 0} ;
2. ℕ ∗ ℝ;
3. 𝑄[√2] = {𝑎 + 𝑏√2; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑄} ;
4. L’ensemble des nombres premiers ;
5. L’ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ.
Exercice 5
On considère l’expérience consistant à lancer indéfiniment un dé. On note 𝐹𝑖 l’évènement "On
obtient 6 au i-ème lancer". Décrire les événements suivants :
1. ⋃ 𝐹𝑖
10
𝑖=1 ;
2. ⋂ 𝐹𝑖
10
𝑖=1 ;
3. ⋃ 𝐹𝑖
+∞
𝑖=1
4. ⋂ 𝐹𝑖
+∞
𝑖=1
5. Pour tout 𝑖 ≥ 1, l’événement ⋃ 𝐹𝑗
𝑗≥𝑖
6. Pour tout 𝑖 ≥ 1, l’événement ⋂ 𝐹𝑗
𝑗≥𝑖
Exercice 6
On lance un dé équilibré jusqu’à l’obtention d’un 6.
Quelle est la probabilité que tous les nombres obtenus soient pairs ?
Exercice 7
Soit 𝑎 ∈ ℝ . Soit X une variable aléatoire à valeurs dans ℕ∗
dont la loi est donnée par :
∀𝑛 ∈ ℕ∗
, 𝑃(𝑋 = 𝑛) =
𝑎
𝑛(𝑛 + 1)
1. Déterminer un couple (𝛼, 𝛽) ∈ ℝ2
tel que :
∀𝑛 ∈ ℕ∗
,
1
𝑛(𝑛 + 1)
=
𝛼
𝑛
+
𝛽
𝑛(𝑛 + 1)
2. Déterminer la constante 𝑎.
3. La variable aléatoire X admet-t-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
Exercice 8 :
On lance une pièce qui a la probabilité 2/3 de faire pile. Les lancers sont supposés indépendants.
On note X le nombre de lancers nécessaires afin d’avoir pour la première fois deux piles
consécutifs et 𝑝𝑛 = 𝑃(𝑋 = 𝑛).
1. Déterminer 𝑝2, 𝑝3 𝑒𝑡 𝑝4.
2. Montrer que pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗
, on a :
𝑝𝑛+2 =
1
3
𝑝𝑛+1 +
2
9
𝑝𝑛
3. En déduire une expression explicite de 𝑝𝑛 pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗
.
4. Déterminer le nombre d’essais moyen pour obtenir deux piles consécutifs.