117. I Pored uslova koinpatibilnosti, u Cvorovima sistema mora da budu zadovoljeni i uslovi
' ravnoteie. Na Evor i , koji je izdvojen iz datog sistema, deluju sile veze (generalisane sile
na hajeviina Btapova) i spoljaBnje koncentrisane sile i momenti koji neposredno deluju u
Cvoru i , slika 4.5.
IComponente ovog vektora zadaju se u globalnoln koordinatnom sistemu tako da se
izbegava operacija transforlnacije vektora iz lokalnog u globalni koordinatni sistem.
Slika 4.5 - Ravnotcia sila u Cvoru i.
Uslovi ravnoteie sila koje deluju na Cvor i, nlogu da se prikaiu sledeConl vektorskom
j ednaCinon1:
gde indeks J oznaCava surniranje po svim Btapovima koji su povezani u Cvoru i, dok qi
oznaeava broj Btapova koji su povezani u Cvom i. ~nalo~nusolo vinla ravnoteie Evora i,
koji su prikazani izrazom (4.26), mogu da se formiraju uslovi ravnoteie svih Cvorova i
prikaiu saieto u sledeCein vidu:
P*-R* =o, (4.27)
gde su:
118. vektor zadatih spoljainjih sila i vektor sila veze u Cvorovima sisteina, koji ima NCvorova.
Za ilustraciju znaCenja izraza (4.27) i (4.28), odnosno naEina foriniranja uslova ravnoteie,
moie da posluii pretl~odnpi rimer, koji je prikazan na slici 4.4. Stapovi i Evorovi sistema su
razdvojeni, a njihov medusobni uticaj zamenjen silama veze. Sile veze predstavljaju
uravnoteien sistem unutras'njih sila, tako da se njihovo dejstvo na Cvorove i Stapove uzima
sa suprotnim smerom, slika 4.6. Sile veze su jednake generalisanim silama na lcrajevima
Stapova. Pored sila veze na Evorove dejstvuju i zadate koncentrisane sile i momenti.
Uslovi ravnoteie Evorova 1 do 4 na slici 4.6 inogu da se prikaiu sledeCiin jednaCinama:
P,*-R;' =O,
u kojima uz vektor sila veze gornji indeks oznaEava Stap, a donji indeks kraj Stapa, levi (i)
ili desni (Ic). JednaCine (4.29) lnogu da se prikaiu u sledeCeln matriEnoin obliku:
prll
odnosno, kratko kao:
p*- jTR* =o,
gde je jT transponovana kineinatieka matrica, koja je ranije definisana izrazom (4.24). Na
osnovu uporedenja (4.27) i (4.3 1) sledi
tj. veza izinedu vektora R* i R , koja je u skladu sa principoln kontragradijentnosti,
analogna vezi izmedu vektora q * i q* , koja je data izrazom (4.23).
Slnenom (4.32) u (4.27), uz vodenje raEuna o (4.20), dobija se:
p*- jT(K*q*- Q*) = 0,
odnosno uz vodenje raCuna o (4.23 j:
MatriEna jednaEina (4.34), u kojoj je nepoznat vektor poineranja Evorova q*, posle
sredivanja, inoie da se prikaie kao sistem algebarskih jednaEina:
119. gde je K* niatrica koeficijenata uz nepoznate, a S* vektor slobodnih Clanova:
Matrica K* se naziva matrica krutosti sislema, a vektor S* vektor slobodnih danova. Ovaj
vektor predstavlja zbir vektora zadatih spoljaSnjih sila u Cvorovima sistema i vektora
ekvivalentnog optere6enja sistema. Matrica kmtosti sjstema K*, koja se prema (4.3 6)
dobjja tako Sto se inatrica krutosti nepovezanih Stapova K*p omnoii s leva sa JTi s desna
sa J, je kvadratna matrica niieg reda od matrice K*. PoSto su elementi inatrica JT i J nule
ili jedinice, proizvod J~K*Ju, stvari, znaCi saino saiimanje kvazjdijagonalne matrice K*,
Sto je za primer na slici 4.4, shematski prikazano na sledeCi naCin:
Ovo saiimanje kao Sto Ce biti kasnije pokazano, inoie da se izvede neposredno, bez
inalriEnog innoienja.
Slika 4.6 - Uslovi ravnoteic Evorova sistema
4.1.5 ICONTURN1 USLOVI. ODKEDIVANJE POMEKANJA ~VOKOVA
I REAICCIJA OSLONACA
Izrazom (4.35) definisan je sistem algebarskih jednaCina u kojem su nepoznate
koinponente vektora poineranja i obrtanja Evorova Zj', dok su komponente vektora S*
poznati slobodni Elanovi. Potrebno je da se iz ovog sistema odrede poineranja i obrtanja
Cvorova. Neposrednim reiavanjein sistema (4.35), to nije moguCe postiki poSto je matrica
120. krutosti sisteina K*, odnosno matrica koeficijenata sisteina jednaCina (4.39, singularna. To
je zato ito su u vektoru poiiieranja q* sadriana i poiiieranja sistema kao krute figure u
raviii, tako da polo2aj sisteina nije definisan. Da bi se odredio poloiaj sistema u ravni
neophodno je zadati konurne uslove, odnosno uslove oslanjanja sistema. Za unutrainje
kinematiCki stabilne ravne sisteine minimalan broj konturnih uslova je tri, poito sistem
kao kruto telo inia tri stepeiia slobode kretanja u ravni. Prema tome, u vektoru pomeranja
q* uvek postoji jedan broj poznatih (zadatih) kornponenata, kojima se definiiu uslovi
oslanjanja. IVa taj naCin, ukupan broj nepoznatih poineranja i obrtanja se sinanjuje za broj
poznatih (zadatih) poiiieranja i obrtanja oslonaca.
Ako se slobodna poineranja i obrtanja Cvorova koja su nepoznata grupiiu i prikaiu kao
lto~iiponente vektora q;, a poznata pomeranja i obrtanja oslonaCkih Cvorova kao
koniponente vektora qi talto da je:
tada sistem jednaCina (4.35) moie da se prikaie u sledekein dekoinponovanom oblikm:
odnosno da se razdvoji na dva sistema jednaCina:
Iz prvog sistenia jednaCina (4.39) neposredno se dobija:
a polo111 iz drugog sisteina jednacina (4.39), uz vodenje raCuna da je:
S; = R: +Q; , (4.41)
reakcije oslonaca:
R: = ~;,~+q Kf;, q; - Q; . (4.42)
Izrazinla (4.40) i (4.42) eksplicitno su prikazana poineranja Cvorova i reakcije oslonaca
sisteina u zavisnosti od spoljainjih uticaja, koji niogu da budu zadati dui pojedinih gtapova
ili u Evoroviina sisteina. Razlikujeino dva osnovna sluCaja konturnih uslova: I, homogeni
lconturni uslovi, odnosno potpuno spreCena pomeranja (obrtanja) u oslonaCkim Cvorovima;
2. nehomogeni lconturni uslovi, odnosno oinogukena zadata poiiieranja (obrtanja) oslonaca.
Honz ogeni lconturni uslovi.
U sluCaju homogenih konturnih uslova sve komponente vektora qi su jednake nuli. Tada
se iz (4.40) i (4.42) neposredno dobija:
121. gde je:
" *
KO, = K;$ K:;' .
Specijalan sluCaj homogenih konturnih uslova predstavljaju kinematiCki odredeni sistemi,
kod kojih su pomeranja i obrtanja svih Cvorova sistema jednaka nuli, q* = 0, (q: = qi = 0).
-
Tada se iz (4.43), sa q: = 0, uz smenu qi = q* i Ri = R*, dobija
tj. ved pomata relacija izmedu generalisanih sila i komponenata ekvivalentnog opteredenja
na krajevima obostrano totalno ukljeitenih itapova sistema.
Nehomogeni konturni uslovi Uticaji od pomeranja oslonaca
U sluEaju nehomogenih konturnih uslova barem jedna od komponenata vektora qi je
razlieita od nule. U posebnom sluEaju kada su zadata pomeranja oslonaca, a nosaC nije
optereden, tj. kada je:
q;+o, Q;=Q:=s:=o, (4.45)
iz (4.40) i (4.42) neposredno sledi:
gde su:
K:, = K:;LK:, , K= ,K:, - K;K,~'K:, .
Kada su odredena pomeranja Cvorova sistema, lako mogu da se odrede generalisane sile na
krajevima pojedinih itapova pomodu izraza (4.20). Izrazom (4.20) generalisane sile su date
u globalnom koordinatnom sistemu. Medutim, zbog njihovog fiziekog znaEenja, pogodnije
je da se one dobiju u lokalnom koordinatnom sistemu itapa. To se postiie pomoku matrice
transformacije. Ako se jednaCina (4.20) pornnoii s leva matricom transformacije Tj , uz
vodenje raCuna o (4.12), (4.17) i (4.18), dobija se izraz:
Rj = kjrq; -Qj = kjqj -Qj , (4.48)
pomodu kojeg se odreduju generalisane sile na krajevima itapa j, u lokalnom koordinatnom
sistemu.
4.1.6 DIREKTNO FORMIRANJE JEDNACINA SISTEMA.
POSTUPAK KODNIH BROJEVA
Za dobijanje sistema jednaCina (4.79, prema prethndnn izlnftenom postupku, potrebno je
odrediti matrice krutosti i vektore ekvivalentnog opteredenja svih itapova sistema, potom
izvriiti njihovu transformaciju iz lokalnih u globalni koordinatni sistem, forrnirati matrice
K*i J i vektor Q i na kraju, izvriiti matriCna rnnoienja K*= J~K*Ji Q*= J~Q*O. vaj
naCin formiranja jednaEina sistema, iako veoma jednostavan i matematiCki egzaktan, nije
uvek i racionalan. To se naroCito odnosi na sisteme sa velikim brojem gtapova. Tada su
matrice K* i J velike, tako da one zauzimaju znatan prostor u memoriji raCunara. Osim
122. toga, u medusobniin proizvodiina ovih inatrica dolazi do ogroinnog broja nmoienja nuloin
ili jedinicoin. Stoga je poieljno da se izbegne forinirailje inatrica K" i J, a samiin tiin i
operacija njihovog medusobnog mloienja. To je inoguke s obzirom na veC poltazanu
strukturu inatrice J. PoSto su eletnenti ove inatrice nule ili jedinice; operacije innoienja
matricoin J dovode saino do odredenih transforillacija kojima se menja poloiaj pojedinih
eleinenata u inatrici K* i vektoru Q* . Ove transforiiiacije inogu da se izbegnu, tako da se
inatrica I<* i vektor Q* formiraju neposredno polazeki od inatrica k; i vektora Q', ,
j=1,2 ... M, za pojedine Stapove sisteina.
Izraz za vezu geileralisanih sila i generalisanih poilieranja na krajeviina Stapa (4.20), inoie
da se prikaie u sledekein obliku:
gde indeks j oznaCava Stap, a indeksi i i k ltrajeve s'tapa odnosno Cvorove. Iz (4.49)
neposredno sledi:
R? = Icyq; + - Q" . (4.50)
Smenom (4..50) u uslove ravnoteie (4.26), za Cvor i, dobija se:
odnosno
KL~: + K:,~; = 1',* +Q; , i = 1,2 ,... 4 ,
gde su:
Alto se jednaeine (4.52) ispiSu redoill za sve Cvorove sistema, tako da indeltsi i i lc na
ltrajeviina Stapova uzmu oznake odgovarajukih Cvorova, dobija se sistem jednaCina (4.35).
Na ovaj naCin, za razliku od prethodnog postupka, inatrica krutosti i vektor ekvivalentnog
opterekenja sistema, dobijaju se direktnim putetn. Dijagonalni blokovi K;;, koji
predstavljaju luutosti Evora i, i=1,2,. . . N, foilniraju se preina (4.53) kao zbir Evornih
krutosti svih Stapova koji se vezuju u Cvoru i. Vandijagonalni blokovi I<$ postoje samo uz
sused~ieC vorove (k), koji su vezani Stapo~nQ ) sa Evorom (i) i jednaki su blolcu k;, iliatrice
krutosti tog Stapa. Na sliEan naCin, vektor ekvivalentnog opteredenja u nekoiii Evo~u
sistema, dobija se kao zbir vektora ekvivalentnih opterekeiija za krajeve svil~S tapova koji
su vezani u toin Evoru.
Za ilustraciju postupka direktnog forlniranja inatrice krutosti i velttora ekvivalentnog
opterekenja sistema, inoie da posluii primer koji je prikazan na slici 4.7.
Uslovi ravnoteie Cvorova od 1 do 6, siste~nak oji je prikazan na slici 4.7, uz pretpostalcu da
su svi Stapovi i Cvorovi siste~nao pterekeni, pretna (4.52), su:
123. K43q3 +K44q4 +K45q5 = P4 + Q4 = S4
K52q2 +K54q4 +K55q5 +K56qG = '5 +Q5 = '5 9
K65q5 +K,,q, = P, +Q, = S, ,
odnosno
gde su:
I K,] =hl Ql =QI
K2, = ki2 +I<:, +ki2 Q, = Q: +Q: i-Q:
I<,, = k:, + ki3 Q3 =Q:+Q:
I<=~ ~3 1 Q~ =Q: +Q:
4 G I<,, = kS5 +1<;5 Q~ =Q:+Q:+Q;
6 I<,, = kGG 0, = Q,"
Ku =kc, i ;t j, Stapa koji povezuje Evorove i i j .
Slilta 4.7 - Oznalce Stapova i Evorova siste~na.
Prilikonl ispisivanja izraza (4.54) odnosno (4.54a) i (4.54b), radi pojednostavljenja,
ispuitene su zvezdice uz osnovne oznake. Podrazuilleva se da su sve veliEine date u
globalnoin koordinatnorn sisternu. Direktan naEin formulisanja izraza (4.54) shematski je
priltazan na slici 4.8.
U direktnoin postupla foriniranj a inatrice krutosti sisteina, koj i j e sheinatski prikazan na
slici 4.8, polazi se od inatrica htosti Stapova u globalnoin koordinatnoin sisteinu. Blokovi
illatrice htosti Stapa, i-lc, koji iinaju lokalne oznake ii, il, lci, lclc, prekodiraju se tako da
indeksi i i Ic dobiju oznake odgovarajukih Evorova sisteina. Praktikuje se da se indeks i koji
oznacava levi ltraj Stapa u kome je koordinatni poeetak lokalnog sistema poklapa sa
Evoroin koji inla niiu oznaku, a kraj lc, koji oznaEava desni kraj Stapa, sa Evoroin koji iina
viSu oznaku, kao Sto je prikazano u tabeli na slici 4.8. Potom se forinira kvadratna nula
inatrica sa N blok-kolona i N blok-vrsta, gde je N broj Evorova.
124. Matrica krutosti sistema se dobija tako ito se blokovi lnatrica krutosti pojedinih itapova
unose u kvadratnu nula matricu na poziciju koja je odredena njihovim kodnin~b rojeviina.
Ako se na istoj poziciji nadu blokovi matrica dva ili viie s'tapova, oni se sabiraju. Ovaj
naCin formiranja lnatrice poznat je pod nazivolnpostupalc kodnih brojeva.
Slika 4.8 - Shematski prikaz naCina formiranja matricc krutosti sistcma
UobiCajeno je da se postupak kodnih brojeva, umesto na blokove, prilnenjuje na eleinente
lnatrice krutosti. Tada se kodiraju sve vrste i sve kolone lnatrica krutosti gtapova u skladu
sa oznakalna generalisanih pomeranja i sila u Cvorovima sistema. Postupak se sastoji iz
, sledeCih koraka: 1 .Odrede se matrice krutosti svih Stapova i izvrii njihova transjormacija u
odnosu na globalni koordinatni sistem. 2. NumeriSu se (lcodiraju) vrste i kolone rnatrica
itapova prerna globalnim koordinatama, odnosno stepenima slobode odgovarajuiih
Evorova. Na taj nac'in,svalci elemenat matrice krutosti itapa ima dva indeksa, pomoiu kojih
se odreduje poloiaj elementa u matrici krutosti sistema. 3. Formira se lcvadratna nula
matrica reda n gde je n ukupan broj stepeni slobode sistema. Vrste ove matrice odgovaraju
generalisanirn silama, a kolone generalisanirn porneranjima u c'vorovima sistema. 4. U ovu
matricu se unose elementi rnatrica krutosti pojedinih Stapova na pozicije lcoje su odredene
njihovim oznalcama, odnosno indeksima u globalnom koordinatnom sisternu. Kada se, pri
tome, na istoj poziciji nadu elernenti matrica dva ili viSe Stapova, oni se sabiraju, slilca 4.9.
Na slichn naEin se dobija i velctor ekvivalentnog optereienja Q*.
fi7xlz)
Slika 4.9 - Formiranje matrice krutosti sistema.
125. Za ilustraciju ovog postupka prikazan je nosaC na slici 4.10. Sistem iina tri Stapa, Cetiri
Cvora i ukupno 12 generalisanih koordinata odnosno parametra pomeranja, od kojih je
osain nepoznato, dok su Cetiri poznata iz uslova oslanjanja. Nepoznata pomeranja Cvorova
obeleiena su redom od 1 do 8, a potom poznata, brojeviina od 9 do 12. Na ovaj naCin, u
matrici krutosti obezbeden je poredak kao u (4.38), tako da se bez dodatnih transformacija
inogu neposredno da odrede poineranja Cvorova i reakcije oslonaca.
Slika 4.10 - Ilustracija postupl<a dircktnog formiranja ~natricck rutosti i vektora ekvivalcntnog optcrckcnja.
4. I .7 STRUKT~RAM ATRICE KRUTOSTI
Matrica krutosti sisteina je kvadratna matrica Ciji je red jednak ukupnom broju stepeni
slobode sistema. Ona je simetriCna i singularna. Simetrija matrice krutosti je posledica
stava o uzajarnnosti uticaja, a singularitet matrice sejavlja zbog toga Sto su u generalisanim
pomeranjima Cvorova sadriana i poineranja sistema kao krute figure u ravni. Osim toga,
znatan broj elemenata matrice krutosti je jednak nuli. Elementi koji su razliCiti od nule
grupisani su oko glavne dijagonale, u obliku trake, slika 4.1 1.
Trakasti oblik matrice krutosti nastaje zbog toga Sto se u jednom Cvoru vezuje znatno
inanje elemenata od ukupnog broja Stapova sistema i Sto jedan ;tap moEe da poveie samo
126. dva Cvora. Sirina trake zavisi od broja stepeni slobode u Cvoroviilla i od razlilte iznledu
broja (oznake) Cvorova na krajevilna Stapa.
Slilca 4.11 - Traltasta strulttura ~natricck rutosti.
Ako je tllaltsiillalila razlilta izinedu Cvorova na jednom Stapu my a broj stepeni slobode LI.
Cvoiu s, tada se Sirina polutrake inoie da odrecli prenla izrazu:
b - (in + 1)s. (4.55)
Sirina tralte utiCe na brzinu i efikasnost reSavai~ja sisteina jednaCina, talto da je 11jena
inininlizacija od posebnog praktiCnog znaCaja. PoSto je broj stepeni slobode u jedllom
sisteniu konstantan, Sirina tralte direktno zavisi od naCina obeleiavanja Cvorova odnosno
generalisanill poineranja (sila) u datoln sistemu. To je ilustsovano na priineru nosah koji je
psikazan na slici 4.12.
Slika 4.12 - Sirina trakc inatiicc Itrutosti u zavisnosti od naCina obcleiavanja Cvorova
127. 4.1.8 PRIMER
I
Na slici 4.13 prikazan je nosaC koji se sastoji od tri Stapa. Horizontalni Stapovi su
ltonstantnog popreEilog preseka, dok je kosi Stap proinenljivog popreenog preseka, sa
lineainoiii proinenom visine. Polrebno je odrediti poineranja i obrtanja Evorova, realtcije
osloilaca i sile u Stapoviina usled dejstva sledeCih spoljaSnjih uticaja:
a) zadatog opterekenja,
b) leiliperalure u osi Slapova 2 i 3, t = 20°C)
c) temperatume razlike dui: Stapa 2, At = to - t " = 20 OC,
d) obrtanja ukljeStenja u Evoru 2, c, = 2'.
Slilca 4.13 -- Gcomctrija nosaCa i spoljaS11ji uticaji lcoji deluju na nosaC.
StatiClti sisteiii, sa oznakaina Evoruva, Stapova i geileralisanih poilleranja u Cvorovima,
priltazan je na slici 4.14.
Slika 4.14 - Generalisana poineranja u Cvorovima sistcma.
128. Stapovi 1 i 3 su na jednom kraju kruto vezani, a na drugom kraju zglavkasto, dok je itap 2
na oba kraja kruto vezan. Od ukupno devet generalisanih porneranja tri su slobodna,
odnosno nepoznata (1,2,3) dok je ostalih iest (4 ... 9) poznato iz uslova oslanjanja.
Karakteristike popreCnih preseka Etapova 1 i 2 su:
Matrice krutosti itapova
Matrica krutosti itapa 1 odreduje se prema izrazu (3.65) uz zanemarenje uticaja norrnalnih
sila, ito se postiie brisanjem prve i Cetvrte kolone i prve i Cetvrte vrste, tako da se dobija:
I 0.04688 0.18750 -0.04688
k, = EI, 0.18750 0.7500 -0.18750
-0.04688 -0.18750 0.04688
Matrica krutosti Stapa 2 odreduje se prema izrazu (3.33)
1 2 3 7 8 9
8.0 0.0 0.0 -8.0 0.0
0.0 0.05556 0.16667 0.0 -0.05556
Poito je itap 3 promenljivog popreCnog preseka, prvo je potrebno odrediti elemente bazne
matrice krutosti, prema (3.38), uz primenu numeriEke integracije. Za numeriCko
sracunavanje koeficijenata bazne matrice krutosti, Etap je podeljen na pet jednakih delova,
slika 4.15, a zbirovi su odredeni prema izrazu (3.57).
Slika 4.15 - NumcriCko odredivanje karaktcristika Stapa 3.
129. EI,.S = -Ic C' (h,/ h,,,)~,=, 0.02083 x 6.96535 = 0.14492,
F, m=o
K,, - koeficijenti numeriCke integracije ,
K,, =0.5, m=0,5,
K,,, =1.0, m=1,2,3,4.
Matrica krutosti Stapa 3 sraCunava se prema izrazu (3.64):
Matrice transfornlacije iz lokalnih koordinatnih sistema Stapova, u globalni koordinatni
sistem.
Matrice krutosti Stapova, transformisane u odnosu na referentni koordinatni sistem su:
2 3 4 i 0.04688 -0.1 8750 -0.04688 2
k; = T,*~,=T -0.18750 0.75000 -0.18750 3 ,
-0.04688 -0.18750 0.04688 4
k; = k2 ,
1 2 3 5
1
6
4.42138 3.30505 0.0439 1 -4.42138
3.30505 2.49343 -0.05855 -3.30505
0.04391 -0.05855 0.36594 -0.04391
-4.42138 -3.30505 -0.04391 4.42138
-3.30505 -2.49343 0.05855 3.30505
Matrica krutosti sistema, koja se odreduje prema izrazu (4.38):
132. Dijagra~nsi ila
Slika 4.17 - Dijagrami sila od optcrckenja.
b) Uticaji od temperature u osama :tapova 2 i 3.
Vektori elcvivalentnog opteredenja
EO,,= ~CK(h,, 1h ~,ll,)= 6.96535
EF,6,, = EF,atl = 3 x lo6 x x 20x 5 = 3000.0
133. Vektor Q* sistema Btapova:
Nepoznata poineranja Evorova, preina izrazu (4.43):
Reakcije oslonaca:
Vektori generalisanih pomeranja u lokalnim koordinatnim sistemima:
Generalisane sile na krajevima Btapova:
134. 19.322
Slilta 4.19 - Dijagran~is ilc od tcmpcmlure u osarna Stapova 2 i 3.
c) Ulicaji od lemnperaturne razlilce At dui s'tapa 2.
~t =to -t" = 30- 10 = 20"~
Velctor ekvivaleiltnog opterekenja Stapa 2 prema izrazu (3.32), za EI = 6.25 x lo4 lciV~n~,
a = 10 ' OC-', h = 0.5 m je:
Q:' =Q: =[o 0 25.0 0 0 -25.01
a potom, vektor elcvivalentnog opterekenja za sistem:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Q*' =[o 0 25.0 0 0 0 0 0 -25.01
Polneranje i obrtanje Cvora 1 preina izrazu (4.43):
136. Reakcije oslonaca.
4... 8 9
Slika 4.21 - Uticaji od obrtanja Cvora 3 za 2': a) dijagram momenata savijanja, b) reakcijc oslonaca.
4.2 ORTOGONALNI OKVIRI
Ortogonalni okviri su ravni linijski nosaEi kod kojih svi itapovi leie u jednoin od dva
nledusobno ortogonalna pravca. Ortogonalni okviri se Eesto javljaju kao konstrukcijski
sistemi zgrada, kao i u rnnogim drugim inienjerskim objektima. Kod ovih nosaEa,
aksijalne deformacije, u poredenju sa deformacijama koje potiEu od savijanja, obiEno su
neznatne, tako da mogu da se zanemare bez bitnog uticaja na taEnost analize. To praktiEno
znaEi da inoie da se zaneinari uticaj normalnih sila na deformaciju Stapa, kao Sto je to
sluEaj u pribliinoj metodi deformacjje. Na taj naEin, smanjuje se broj stepeni slobode. U
Evorovima Stapa, kao osnovne kinematieke veliEine ostaju pomeranja upravna na osu Stapa
i obrtanja, tako da elemenat ima ukupno Eetiri stepeni slobode, po dva u svakom Evoru.
Pored ovog pojednostavljenja postoji i drugo, koje je oinogukeno ortogonalnoSku Stapova
sistema.
Ako se zanemari uticaj aksijalnih sila na deformaciju gtapa, veza izmedu statiEkih i
deforinacijsklh velicina (3.37) se redukuje, tako da neposredno moie da se uspostavi samo
veza izmedu momenata savij anj a i deformacionih uglova na krajevima Stapa, tj .
137. Veza izmedu generalisanih sila na krajevima Stapa i osnovnih statiCkih veliEina (3.44),
takode se redukuje i postaje:
1 1
R= = CI'S ,
a veze izinedu osnovnih deformacijskih veliCina i generalisanih pomeranja na krajevilna
Stapa (3.41), postaje:
PolazeCi od izraza (3.48), uz vodenje raCuna o (4.56) i (4.57), za lnatricu kiutosti Stapa
dobija se:
1 1
1 - 1
1 - 0
k = c'k,c =
0 1
a. =-a kk , ak--- ,a ;.; b=-a,;. k c,=a,+b, ck=ak+b
A A A
Matrica htosti koja je data izrazoin (4.59) predstavlja specijalan sluCaj matrice krutosti
ravnog Stapa i inoie da se dobije redukcijom matrice htosti koja je data izrazom (3.49)
ako se u njoj izostave vrste i kolone koje odgovaraju generalisaniin silama i pomeranjima u
pravcu ose Stapa.
U sluCaju Stapa konstantnog popreCnog preseka, EI=const., matrica htosti (4.59) postaje:
138. Na sliCan naCin, polazeCi od matrice krutosti Stapa koja je data izrazoii~ (3.64),
izostavljanjem prve i Cetvrte vrste i kolone, dobija se matrica krutosti Stapa koji je na
levom kraju kruto, a na desnom kraju zglavkasto vezan u Cvoru:
U sluCaju Stapa ltoiistantnog popreCnog preseka, EI = const., izraz (4.61) postaje:
kg =-- 31 331: .I,';:
1
(4.62)
-3 -31 3
Dlugo pojednostavljenje u analizi ortogonalnih okvira, u odnosu na opStu analizu raviiih
nosaCa, tiCe se transforinacije iz lokalnih koordinatnih sisteina u referentni koordinatni
sistem. PoSto su kod ortogonalnih okvira svi Stapovi postavljeni tako da su paralelni sa dva
inedusobno ortogonalna pravca, ovi pravci, logicno, treba da budu izabrani za pravce osa
refereiitnog koordinatnog sistema. Pogodnim izboroin lokalnih ltoordinatnih sistema, nioie
da se izbegne proces transformacije inatrica i vektora iz lokalnih u refereni-ni koosdinai-ni
sistem. Radi toga, loltalni koordinatni sisteni treba birati uvek tako da niu se orijeiitacija
osa poklapa sa orijentacijoni osa referentiiih sistema, kao Sto je to prikazano na slici 4.22.
Slika 4.22 - Poloiaj loltalnih koordinatilih sistcm aortogonalnog okvira.
139. Osa Xrefernog siste~njae horizontalna, a osa Y vertikalna. Svi Stapovi sistema su vertikalni
ili horizontalni. U sluCaju horizontalnih Stapova, ako se lokalni koordinatni sistem postavi
u Cvoiu na levoin kraju Stapa, tako da se osa x poklapa sa osoin X, orijentacija ose y
poklapa se sa orijentacijoin ose Y. U sluCaju vertikalnih Stapova, da bi se obezbedila ista
orijentacija osa x i y, lokalnog i osa X i Y referentnog sisteina, potrebno je da se koordinatni
poCetak lokalnog koordinatnog sistema postavi u Cvor na gornjenl kraju Stapa, sa
orijentacijoin osa x i y kao i na slici 4.22.
4.2.1 PRIMER
Na slici 4.23 prilcazan je ortogonalni okvir sa Stapovima konstantnog popreCnog preseka,
koji je optereken ravnoinerno podeljeniin opterekenjein dui ose Stapa 2 i koncentrisanom
horizontalnom siloin u Cvoru 2. Potrebno je odrediti poineranja i obrtanja Cvorova, reakcije
osloi~acai sile u Stapoviina: a) usled zadatog opterekenja, b) usled horizontalnog pomeranja
Evora 4 za 2~111.
Slilm 4.23 - Ortogonalni olcvir sa Slapovillla lcollstantnog popreCnog preseka.
Oznake Stapova, Cvorova i generalisanih pomeranja, prikazane su na slici 4.24.
brqj gcncralisanih pomcranja:c)
bsoj ncpoznatih gcneralisaaih pomerai!ja:3
broj oslo11aZlkih poznatih pomcrallja:h
Slika 4.24 - a) Oznalce Stapova i Evorova, b) generalisana pomeranja.
140. Matrice lcrutosti Stapova
Matrice krutosti gtapova odreduju se preiila izrazu (4.62).
Matrica luutosti sistema
141. a) Uticaji od zadatog optereienja
Velctor elcvivalentnog optereienja
Slika 4.25 - Ekvivalcnb~oo ptcrcCenje za Stap 2.
Veklor slobodnih Elallova
1 2 3 4 5 6 7 8 9
S' = P' +Q* =[-40.0 -1041.7 1041.7 0. -250. 0. 0. -250.0 0.1'
Pomeranje i obrtanje Evorova
Reakcije oslonca
Sile u Btapoviina
R, = k,q, -Q,
143. b) Uticaji od horizontulnog porneranja oslonca 4 za 2cnz
Vektor oslonaEkih (zadatih) pomeranja qo:
4 5 6 7 8 9
q; =[o 0 0 0.02 0 01
-0.08441 -0,001 14 0.02097 I 0.0 1.92 0.0 -4.16667
Vektor poineranja slobodnih Cvorova: 1.48998 -0.04332 -0.08441 -0.3 0.0 3.0 -0.69444
Q, = K~'K:,~=, - I -0.04332 0.01595 -0.001 14 -3.0 1.92 20.0 0.0
Reakcjje oslonaca:
Sile u s'tapovima:
144. Slika 4.27 - Dijagrami unutrasnjih sila usled polneranja oslonca 4.
145. 4.2.2 KONTTNUALNI NOSA~I
NosaCi koji se sastoje samo od jednog Stapa odnosno jedne grede, koja je oslonjena na tri
ili vise oslonaca, nazivaju se kontinualni nosaCi. ICod kontinualnih nosaCa, saino je jedan
oslonac nepohetan, dok su svi ostali pokretni, poito spreCavaju pomeranja samo upravno
na osu nosaEa, a dozvoljavaju poineranja u pravcu ose nosaCa. Kontinualni nosaCi inogu da
se shvate i kao specijalni sluCaj ortogonalnih okvira, ako se pokretni oslonci zainene
vertikalniin prostiin Stapovima ili elastiCniin oprugaina, koje iinaju samo aksijalnu krutost,
slika 4.28.
Slilta 4.28 - Kontinualni nosac na clastiCniin osloncima.
Na slici 4.28 prikazan je kontinualni nosaC sa konaCno mnogo polja. Na nlestima
oslanjanja postavljene su opruge Cije su krutosti Ci, i = 1,2 ... n gde je n broj oslonaca. PoSto
ijelna aksijalnih sila, Stap kontinualnog nosaCa ima Cetiri stepena slobode, po dva u
Cvorovil~a na hajeviina Stapa. Na slici 4.28b prikazani su stepeni slobode Stapa sa
oznakaina u lokalnom i u globalnoill koordinatnom sisteinu. Matrica krutosti Stapa je ista
kao i u sluCaju ortogonalnih okvira, za sluCaj proinenljivog popreCnog preseka data izazoin
(4.61). Za sluCaj konstantnog popreenog preseka za Stap i , gde itap nosi oznaku levog
Cvora, inatrica krutosti je:
Ako se od matrica .krutosti Stapova,' na poznati naCin, for~nirain atrica hutosti sistema, uz
uzimanje u obzir krutosti oslonaCkih opruga, dobija se:
. .
, .
...,
.. .
. .
;
K* =
, .., ..
-
- -
"# (P, v: cp. ...
C, + 1 2/cl '61, kl . -1 2k1 61, lc,
61, kcl 41:k, -6lIkl 21:lc,
.. .
.-.V;.-l , , 'pi-] vi 'pia.* 'i+ I (Pi+l ' * '
12/~,-~ 61,-,1~,-~ C, + 12(lci-, + lc,) -61,-11ci-1 + 61,1c, -1 21cj 61,1ci
61j1~~21lt ll ei-, -6/,-llc,-l + l,k, 4 /c,-, + 44% -61,1c, 21i2/ci
(4.66)
146. Za kontinualni nosaC na nepromenljiviin osloncilna v; = 0, i = 1,2 ... n, matrica krutosti ima
sledeki izgled:
NosaCi su siinetriCni ako su iin svi eleinenti rasporedeni sinletriCno u odnosu na jednu ili
viSe osa, ltoje se nazivaju ose sirnelrije. Icod siinetriCnih nosaCa silnetriCno postavljeni
Stapovi inlaju iste geometrijske i inehaniCke karakteristike. Iconturni uslovi, odnosno
uslovi oslanjanja nosaCa, takode su simetriCni slika ,4.29.
Slika 4.29 - SimctriCni nosaCi.
Proizvoljno opterekenje koje deluje na simetriCni nosaC uvek moie da se razdvoji na dva
dela, od kojih je jedan deo sirnetricizo oplereienje, a drugi, antimetricizo optereienje. Na
147. osnovu principa superpozicije, analiza statiCko-deformacijskog stanja nosaCa, u okviru
linerane teorije, inoBe da se sprovede odvojeno za ova dva opterekenja, a da se potom
dobijeni rezultati saberu. U simetric'nim nosac'ima sirnetricizo opterekenje izaziva
simetricize, a antimetricizo opteredenje, antimetrihe uticaje. To oinogukava da se analiza
simetriCnih nosaCa olakSa poSto se obim posla, koji je neophodan za dobijanje reSenja,
znatno sinanjuje.
4.3.1 IZBOR GENERALISANIH POMERANJA
Generalisana pomeranja u Cvorovima simetriCnih nosaCa mogu da se razdvoje na
simetriEna i antimetriCna, kao Sto je to prikazano na slici 4.30. Generalisana poineranja u
slobodniin Cvorovima, tj. vertikalna porneranja i obrtslnja u Cvorovima 1 i 2 oznaEena su
kao i ranije, sa qi, i = 1, 2, 3,4, slika 4.30a. S obzirom'na siinetriju nosaCa, za generalisana
poineranja u Cvoroviina nosaCa inogu da se usvoje i parovi pomeranja (obrtanja) u
sinletriCniin Cvorovima, koji su oznaCeni sa ri, i = 1, 2, 3, 4, od kojih rl i rz odgovaraju
siinetriCnoj , a r3 i rq antimetrihoj deforiilaciji slika 4.30b.
Slika 4.30 - Gcneralisana pomeranja: a) bez vodenja raCuna o simetriji nosaCa (qi), b) uz vodenje raEuna o
simetriji nosaCa (ri).
Sa slike 4.30 je oCigledno da postoji sledeka veza izrnedu generalisanih pomeranja qi i ri ,
q4=-3+q.
Izraz (4.68) moie da se prikaie u sledekem matriCnom obliku:
148. gde su:
Izrazoin (4.69) dat je naCin transformacije vektora generalisanih pomeranja q* u vektor
generalisanih poineranja r* . Ako se kao osnowe nepoznate veliEine u analizi usvoje
koinponente vektora r , tada je neophodno da se izvrSi transforinacija sistema jednaEina,
odnosno inatrice krutosti i vektora ekvivalentnog opteretenja datog sistema.
NaEin transforinacije matrice i vektora dat je izrazima (4.18) i (4.12), saino Sto na mesto
inatrice transformacije T treba uzeti inatricu T .
gde su ~;Qi; inatrica krutosti i vektor ekvivalentnog opteretenja koji odgovaraju
generalisaniin poineranjima q*. Sve veliEine u izrazu (4.71) su u globalnom koordinatnom
sistemu. Izraz (4*. 71)* lako ~noieda se izvede iz jednakosti radova sistenia pri generalisaniin
pomeranjiiila q i r , tj. q*7'=~ ri* T~:, (4.72)
* *
gde su R*i~ R *,.v ektori generalisanih sila koji su korespondentni vektoriina q i r . Ako
se u (4.72) smeni:
uz vodenje raEuna o (4.69), iz jednakosti leve i desne strane ovog izraza, dobija se
Transformisana matrica K*,. je kvazidijagonalna inatrica, poSto inia dva dijagonalna bloka,
koji stoje uz sinietriEna i antin~etriCna generalisana pomeranja, dok su vandijagonalni
blokovi nula-inatrice. Na taj naEin, jednacine sistema, imaju sledeti izgled:
gde:indeksi s i- a oznacavaju 'simetriju i antimetriju: Sistem (4.74) se raspada na dva
nezavisna sistema
* * Ksrs = S: ,
** *
Kurd = S, ,
iz kojih mogu da se 'odrede simetriCna r,* i antimetriEna rl: generalisana pomeranja
Evorova. Kad su odredene komponente pomeranja vektora r, iz (4.69) mogu da se odrede
149. komponente pomeranja vektora q*. Dalji postupak za dobijanje sila u Stapovima sisteina je
u sveinu isti kao u prethodnim razmatranjima.
4.3.2 ICONTURNI USLOVI U OSI SIMETRIJE
Izboroin parova pomeranja i obrtanja simetriCno rasporedenih Cvorova sistema, za
generalisana pomeranja, kao Sto je to prethodno pokazano, problem statiEko-deformacijske
analize siinetriEnih nosaCa se razdvaja na dva medusobno nezavisna dela: 1. analizu
nosac'a zisled dGstva simetritnog opterekenja (uticaja), 2. analizu nosata usled dejstva
antimetritnog opterekenja (uticaja). Ovaj postupak, iako je veoina jednostavan, za nosaCe
sa velikiin brojeln Stapova i Cvorova nije pogodan, poSto je tada neophodno formirati
inatricu transforinacije ? , koja je visokog reda, a potom izvriiti matriCno innoienje prema
izrazu (4.71). Zato je znatno pogodnije da se razinatra samo jedna polovina simetriEnog
nosaEa. Radi toga je neophodno definisati konturne uslove u osi simetrije, dui koje se
nosaC moie da razdvoji na dva jednaka dela.
IConturni uslovi se definiSu posebno za sluEaj siinetrienih spoljagnjih uticaja, usled kojih
nastaje simetriCna deforlnacija, a posebno za sluEaj antilnetrienih spoljainjih uticaja, usled
kojih nastaj e antiinetriCna deformacij a nosaCa.
a) Osa simetrije pro lazi Iwoz c'vor
Na slici 4.3 1 je prikazan simetriEan nosaC sa osom simetrije koja prolazi kroz Evor s.
Slika 4.31 - a) SimetiiEan nosac; b) simctriEno i antilnctricno optcrcCenjc.
150. Opteredenje 2P koje deluje na nosaC razdvojeno je na dva opteredenja, simetricno i
antiinetriCno, koja su prikazana na slici 4.3 1b.
U sluCaju siinetriEnog opteredenja, iz uslova ravnoteie izdvojenog dela nosaCa (slika
4.3 1c) sledi:
H=H1,
V+V'=R,, (4.76)
M=M1.
Pogto je V = V' = R, /2 , nioie se zakljuCiti da je u simetriCnoin nosaCu pri simetriCnoin
opteredenju komponenta unutrahjih sila u pravcu ose siinetrije statiCki odredena veliCina, i
jednhlta polovini rezultante spoljaSnjih sila na izdvojenoin delu nosaCa koji sadrii Cvor s.
Ako se izdvoji deo nosaCa besltonaCno blisko uz Cvor s , iz drugog uslova ravnoteie sledi
da je u preseku nosaCa koji se poklapa sa osoin siinetrije sila V, koja je u pravcu ose
siinetrije, jednalca nuli. Pri simetriCnoin opterekenju, popreCni presek nosaCa u osi siinetrije
se ne obrCe, a inoie da se poinera saino u pravcu ose siinetrije, tako da je cp = 0, u = 0, v#
0. Preina toqie, u sluCaju dejstva siinetriCnih spoljahjih uticaja u preseku nosaCa koji se
poklapa sa osoin simetrije vaie slededi statiCko-kineinatiCki uslovi:
Na taj naCin, u analizi nosaCa inoie da se razinatra saino jedna polovina nosaCa, uz
ltontume uslove u osi siiiletrije (4.77), koji su prikazani na slici 4.31e. Oslonac na slici
4.3Je inoie da pril~horiz~ntal~sj_1uj~minenat-- -_s- avijanja F._-dr- a n.e.., .l-~-l-o idea priini vaama-
--..._._ .... ---
sisj o~lo~~a~~~~o~uc~va~~poineranje , . , . . . . . u , .p. _rMa..v..-2c.-u--. . ose sinletrije, a spreEava pornera=- . .. .... . _ .... -. -A. . ... .. - . . . . . . . . . - , , upravnu na _,.___l____ usu siinelrije _i obrlu. r?.j ep rezgk a...... ... -. .
7-
U sluCaju antiinetriCkog opteredenja iz uslova ravnoteie izdvojenog dela nosata oko Cvora
s, slika 4.3 Id, sledi:
PoSto je H = H' = Rh /2 , inoie se zakljuCiti da je u simetriCnoin nosaCu pri antimetriCnoin
opteredenju koinponenta unutrainjih sila koja je upravna na osu siinetrije staticki odredena
i jednaka polovini rezultante spoljainjih sila na izdvojenom delu nosaCa oko Cvora s. Ako
se izdvoji deo nosaCa beskonaCno blisko uz Cvor s, iz prvog i drugog uslova ravnoteie
(4.78) sledi da su u preseku nosaCa u osi siinetrije sila H, koja je upravna na osu simetrije i
inol~lenats avijanja Myj ednaki nuli. Pri antiinetriCnon1 opteredenju, poprehi presek nosaCa
u osi siinetrije iiloie da se obrde i polnera upravno na osu siinetrije, dok mu je pomeranje u
pravcu ose siinetrije spreceno tako da je u $0, v=O, cp $0. Prema tonie, u sluEaju dejstva
ai~tiinetriEnih spoljainjih uticaja, u preseku nosaCa u osi simetrije vaie slededi statieko-kinematiiki
uslovi:
Na taj naCin, u analizi nosaCa inoie da se razinatra saino jedna polovina nosaCa, uz
konturne uslove u osi simetrije (4.79), koji su prikazani na slici 4.31f. Oslonac na slici
4.3 1f ~noied a primi silu u pravcu ose siinetrije, a ne inoie da priini silu upravnu na osu
151. simetrije i momenat savijanja. pvaj ~s&--m~ava_pomeranje lyarm-naa-osuU
simetrije i obrtanmrIem sa-e._ ka,. _a spreEava pomeranje u pravcuo&em
ii~m~GajstwkojnieGf iiii6a"n^~"*~il~+P(P;f"Pj]"T-*k-65~ntrimsoanmie nat Mys lika
4.32, tada s obzirom da vertikalna komponenta P, spada u siinetriEno, a horizontalna
koinponenta PdYi i noinenat M u antimetricno opterekenje, pri analizi jedne polovine nosaCa
treba zadati u Cvoru s, u sluCaju simetrije silu P, /2, a u sluEaju antimetrije, silu P, /2 i
.inomenat M2, slika 4.32b.
Slika 4.32 - IConcentrisana sila i momcnat u Evoru, u osi simetrijc.
b) Osa simetrije se2e itapove nosaca
Na slici 4.33 prikazan je sluCaj kada osa simetrije seCe (polovi) horizontalne Stapove
sisteina.
Slika 4.33 - Osa simctrijc scCc Stapovc nosaCa.
SiinetriCnoj deforinaciji ovog nosaCa odgovara sistem na slici 4.33bY a antiinetriCnoj
deformaciji sistem na slici 4.33~U. osi simerije, u sluCaju siinetriCne deformacije, za
svaki Stap, zadata su dva uslova po polneranjima i jedan po silama, tj.
a u sluCaju antiinetriCne deforinacije, dva uslova po silama i jedan po poineranjima, tj.
Analiza sistenla na slici 4.33~ko ja odgovara antiinetriCniin spoljaSnjiin uticajiina, je
poznata. Matrice krutosti i vektor ekvivalentnog opterekenja za Stapove koji inlajy
Cvorove na osi silnetrije odreduju se na naCin koji je izloien u trekein poglavlju za Stap
tipa g. Medutim, u sistemu na slici 4.33bY koji odgovara simetriCnim spoljainjim
152. uticajima, pojavljuju se Stapovi koji su na jednoin la-aju kruto vezani dok se na drugoin
kraju, koji je na osi siinetrije, moraju zadovoljiti konturni uslovi koji su dati izrazoin
(4.80). Za analizu sisteina na slici 4.33b, potrebno je odrediti inatrice krutosti i vektore
ekvivalentnog opterekenja ovih Stapova, koji se nazivaju Ztapovi tipa s, po Cvoru s na
osi simetrije.
c) Nosac' sa Ztapovima u osi simetrije
Na slici 4.34 prikazan je nosaC sa Stapoin u osi siinetrije. Ako zainislimo da je ovaj Stap
raseCen dui ose simetrije i tako zainenjen sa dva Stapa koji su postavljeni beskonaCno
blislto sa jedne i sa druge strane ose simetrije, slika 4.34b, tada se analiza nosaCa na
slici 4.34a illoie da svede na sluCaj nosaCa bez Stapa u osi siinetrije.
Sistemi na slici 4.34c,d, koji odgovaraju siinetriCnoj i antiinetricnoj deIormaciji nosaCa,
mogu joS da se pojednostave. Pri siinetriCnoj deforinaciji, Stapovi u osi siinetrije inogu
da prime saino opterekenje i temperaturu u pravcu ose Stapa. PoSto ovi Stapovi nisu
opterekeni transverzalniill opterekenjem i teinperaturnom razlikoin At i poito su
pomeranja upravno na pravac ose Stapa i obi-tanja Cvorova spreCena, sledi da su na
lcrajevima ovih Stapova, inoinenti i transverzalne sile jednake nu.li. Stoga se u sisteillu
ltoji odgovara simetriCnoj deforillaciji nosaCa, inogu da uvedu zglobovi na krajeviina
Stapova koji leie u osi siinetrije, slika 4.34e. U ovii11 Stapoviina postoje saino norinalne
sile.
Pri anti~netriCnoj defor~naciji, Stapovi u osi siinetrije inogu da prime, smo opterekenje
upravno na osu Stapa i teinperaturnu razliku At . PoSto ovi Stapovi nisu opterekeni
poduiniil~ opterekenjem niti tenlperaturom u osi Stapa 1 poSto su spreCena poineranja
krajeva gtapa u pravcu use blsipa, sledi da su u oviill Stapovima normalne sile jedilake
nuli. Stoga se u ovim Stapovinla moie uvesti poduini zglob, koji onelnogukava
prenoSenje aksijalnih sila, slika 4.34f. U ovim Stapovima, prema tome, mogu da se jave
samo 111onlenti i transverzalne sile.
Slika 4.34 - SimetriEni nosaE sa Stapom u osi simctrijc
I
153. Poito je transverzalna sila u Cvoru s jednaka nuli Stap tipa s ima pet generalisanih sila,
tri u Cvoru i i dve u Cvoru s. Oviin silama odgovaraju generalisana pomeranja, kao Sto
je prikazano na slici 4.35. Pomeranje vs u Cvoru s nema status nezavisnog
generalisanog pomeranja, poito ono lnoie da se odredi, odnosno eliminiSe, pomoCu
uslova Ts=O.P reina tome, Stap tipa s iina pet stepeni slobode, tri u Cvoru i i dva u Cvoru
s, slika 4.35b.
4.35 - Generalisane sile i generalisana pomeranja Btapa tipa s.
PolazeCi od veze izinedu generalisanih sila i generalisanih pomeranja na krajevilna
Stapa tipa k, uz uvodenje oznake s za Cvor na desnom kraju Stapa, tj.
iz uslova T, = 0 , neposredno sledi da je:
Sinenom (4.83) u (4.82), dobija se:
154. odnosno:
inatrica krutosti Stapa tipa s, postaje:
Koeficijenti kii u izrazu (4.87) odreduju se kao za Stap tipa k, duiine Is . Za Stap
konstantnog popreCnog preseka EI = const., smenom
illatrica kl-utosli postaje: /
FiziCko znaCenje elemenata matrice krutosti ks prikazano je na slici 4.36. Vektor
ekvivalentnog opterekenja za Stap s odreduje se na isti naEin kao i za Stapove tipa k i tipa g.
Prilikom foriniranja matrice krutosti i vektora ekvivalentnog opteredenja za Stap tipa s,
pored Cvora i na levom kraju Stapa uveden je i Cvor s na osi simetrije. Medutim, kod
analize siiiletriCnih nosaCa pri dejstvu simetriCnih spoljaSnjih uticaja, kada se analizira
samo jedna polovina nosaCa, nije neophodno uvoditi Cvorove na osi simetrije, poito se sile
i pomeranja u tim preseci~nam ogu dobiti analizom Stapova koje preseca osa simetrije. Sile
i pomeranja u osi simetrije uvek mogu da se eliminiSu i izraze pomoCu sila i pomeranja na
155. krajeviina itapa. Prelna tome, moie da se uspostavi direktna zavisnost izinedu
generalisanih sila i generalisanih poineranja Stapa u Evoru i.
Slika 4.36 - Geometrijsko statiClto znaCcnje elc~llenataln atraicc krutosti k,,,
Da bi se ovo postiglo, pogodno je da se pode od itapa i - k, duiine I = 2I,, koji
simetrije, slika 4.37.
--- ... .
d--------l ,-,I
a.L. q1,Rl ~,RJ 90, R6 q4, R4
I
1;.;29,. ..---
I
1
I
I
5
...........
polovi osa
Slika 4.37 - Gcncralisana pomcranja Stapa tipa s.
Poito je itap i - k simetriean, to iz uslova silnetrije neposredno sledi:
Veza izmedu generalisanih sila i generalisanih pomeranja u Cvoru i, uz vodenje raeuna o
(4.90) je:
156. gde su koeficijjenti kQ , koeficijenti matrice krutosti Stapa i - k, duZine I. PoSto na osnovu
simetrij e Stapa i izraza (3.94), postoje sledeke jednakosti:
veza izlnedu generalisanih sila i generalisanih poineranja na kraju Stapa, u Cvoiu i, postaje:
gde su koeficijenti Ic,", , Ic0, i koeficijenti bazne matrice Stapa i - k, duiine I.
U sluCaju Stapa konstantnog popreCnog preseka, EI = const., poito je:
izzatrica krutosti Stapa tipa s postaje:
0 F I I
-2EI 0
Matrice krutosti Stapa ltoja je data izrazoin (4.94), odnosno izrazoin (4.96) nzoie da se
dobije neposredno preko matrice (4.87), odnosno (4.89), ako se u njiina izbriSu dve
poslednje vrste i dve poslednje kolone i stavi I, =1/2.
ICoinponente odgovarajuteg vektora ekvivalentnog opterekenja, za neke karakteristizne
sluCajeve opterekenja, prikazane su u tabeli 4.1.
Tabela 4.1
opteretenj e
P
Wl
1 ---------- / a,-" ------ I
Q2 = -PI
pl2
Q3 =-7
157. PRINIER 1
b lo
flt
11
& 1 ------- I
8 II
J -.--- / ...,.. I
aEF
Ql =-,(to -t") ,
Q2 =O
Q3 = EIa -to - *I,
h
Ql =P
Na slici 4.38 prikazan je simetriCan okvir sa gtapovima prolnenljivog popreCnog preseka.
Potrebno je odrediti sile u presecima nosaCa usled zadatog opterekenja.
1
f- ......................................................1. 60 ..................-.. -.. ................,. -/
Slika 4.38 - SimctriEan nosaE sa Stapoviina promenljivog popreEnog prescka.
158. Slilta 4.39 - Razdvajanje zadatog optereCenja na siinetrieno i antimetriCno opterekenje.
ICoristeki se uslovilna simetrije, za oba sluCaja opterekenja, uinesto celog nosaCa inoie da
se posinatra jedna polovina nosaCa, tako da se broj nepoznatih velicina znatno sinanjuje.
Po~neranja i obrtanja Cvorova prikazana su na slici 4.40. U sluCaju siinetrije pomeranja na
kraju s Stapa 4 nisu oznaCena kao nepoznate veliCine.
- broj mogucih pomcranja Cvorova 12 - broj inogucih pomerailja Cvorova 13
- broj ncpoznatih pomeranjt7-7, - broj ncpoznatih poincranja 8
Slika 4.40 - Pomcranjc Cvorova.
ICraj
il 1c
Stap 1
1 P h I, /I F/Ic 1
159. Matrice krutosti Stapova u lokalnoin koordinatnom sistemu:
Uporedni moinenat inercije Ic=12
&ap 3 je proinenljivog popreCnog preseka. Geometrija Stapa i dijagraini statiCkih uticaja u
osnovnoin sisteinu prikazani su na slici 4.41
I
) Slika 4.41 - Geomehija, optereCcnjc i dijagrami sila u osnovnom sistemu za Stap 3.
160. Iz konturnog uslova da je reakcija desnog oslonca vertikalna sledi:
1 I( =V --x20~8=80kN
k-2
= T, = 80 cosa = 71.554 kN
Odredivanje eleiiienata matrice fleksibilnosti Stapa.
161. Deo 4-5
Matrica fleksibilnosti f3 i bazna inatrica krutosti ko3
Matricn Itru tosti 1~s
Geoinetrija Stapa i dijagrain sila u osnovnoln sisteinu prikazani su na slici 4.42
162. Slika 4.42 - Dijagram sila u osilovnoin sistetnu.
Ueo 3-6
167. Dijagralni sila
Slika 4.45 - Dijagran~is ila N, T, Mod simctriEnog optercCcl~ja.
b) Antimentrija
Matrice krutosti Stapova 1 i 2 su iste kao i u sluEaju simetrije
Stap 3
Matrica fleksibilnosti i bazna matrica krutosti
Matrica krutosti:
168. Matrica transfor~nacije.
0.894 0.447
-0.447 0.894
1
0.894 0.447
-0.447 0.894
Matrica htosti. "
4 5 6 7
!
9
Slika 4.46 - Dijagram sila u os~~ovnoslins tcmu.
Deo 5-6
EF,AZ, = 5.5 l2 = 5.5
170. Slika 4.47 - Dijagrami sila N, T, Mod antimetricnog opterekenja.
Dijagrami sila u presecima od opterebenja
Slika 4.48 - Dijagrami sila N, T, Mod ulcupnog opterekenja.
171. Nosac' sa itapovima lconstantnog preseka
Prethodni primer regen je i za sistem u kome je uzeto da su svi Stapovi sa konstantniin
popreEnim presecima.
Matrica krutosti Stapa 3.
Matrica krutosti Stapa 4
I 2 3
176. Sile na krajevima s'tapova
Slika 4.52 - Dijagran~s ila N, T, Mod antiinetrihog optereCenja
Dijagram sila u presecima od optereienja
Slika 4.53 - Dijagram sila N, T, Mod ukupnog opterekenja
177. PRIMER 2
Za zatvoreni okvir koji Cine Stapovi konstantnih popreCnih preseka, slika 4.54, potrebno je
odrediti pomeranja i sile u Cvorovima od zadatog ravnomerno raspodeljenog opterekenja i
to: 1) PomoCu generalisanih pomeranja koja odgovaraju simetriCnoj i antilnetritnoj
deforlnacjji okvira; 2) Neposredno, koristeCi se dvoosnom silnetrijom nosaEa i razlaganjem
optereCenja na simetriCno i antiinetxiCno.
Slika 4.54 - Gcometrija okvira i optercCenje.
1. Res'enje pomoCu generalisanih pomeranja ri
I<ao nepoznata pomeranja qi , javljaju se obrtanja Cvorova, koja su prikazana na slici 4.55
Slika 4.55 - Paramch-i polncranja qi , i=I, ... 4.
Generalisana pomeranja ri , i=1, .. .4 predstavljaju obrtanja Cvorova, koja se zadaju
is tovrlneno u sva Cetiri Cvora. Ova pomeranja izazivaju simetxiCne ili antimetriCne forme
deforrnacije okvira u odnosu na ose simetrije x i y , kao Sto je prikazano na slici 4.56.
Matrice krutosti Stapova
I 1 2 3 4
24 144 -24 1 4 24 144 -24 1441
k ,= -E I 144 1152 -144 576 1
k EI 144 1152 -144 576 3 r-
I l3 -24 -144 24 -1442 l3 -24 -144 24 -1444
144 576 -144 1152 144 576 -144 1152
180. Moiiienti na krajeviina Stapova:
lo-, p12 PI2
M,, = (-7.55208~1 152+4.94767~5 7 6 ) - = -6 .125-
12 192 192
2. Razlaganje opteretenja nu simetricizo i antimetriCno
' Zadato opterekenje moie da se prikaie kao zbir od Eetiri opteredenja, koja su prikazana na
slici 4.59.
Slika 4.59 - Razlaganje opterekenja na simetriEno i antimctrieno.
181. Ovinl opteredenjinla odgovaraju forine deformacije nosaEa kao na slici 4.56. Za svako od
opteredenja koja su prikazana na slici 4.59 dovoljno je analizirati samo jednu Eetvrtinu
nosaEa, tako da se uvek pojavljuje po jedna nepoznata veliCina (ugao obrtanja 50).
Slika 4,60 - Simctrija u odnosu na x i y.
Slika 4.61 - Silnctrija u odnosu nay , antimetrija u odnosu na x.
Slika 4.62 Silnctrija u odnosu na x , antimct~ijau odnosu nay.
182. , 12EI - 12EI
lc,, =---
112 I
12EI
k,, =-
I
Slika 4.63 - Antimetrija u odnosu na x i y.
Ukupni uticaji dobijaju se superpozicijom uticaja (a+b+c+d). Na taj naEin, na priiner za
ugno obrtanja i inoinenat savijanja u Evoru 1, dobija se:
I<od reietkastih 11osaEa svi Stapovi su vezani u Evorovima zglavkasto. PoSto zglavkaste
veze dozvoljavaju nesinetano obrtanje preseka u Cvoroviina, obrtanja Evorova se ne mop
uzeti za generalisana pomeranja, tako da Cvor reSetkastog nosata ima dva stepena slobode.
To su poineranja u dva ortogonalna pravca.
Matrice krutoti i vektor ekvivalentnog optereienja, za aksijalno napregnuti Stap, prikazani
su u odeljlcu 3.4.1. U analizi Stapa kao aksijalno napregnutog elementa sa Cvorovima na
krajevima, javljaju se samo pomeranja i sile u pravcu ose Stapa tako da elemenat ima dva
stepena slobode. Medutim, u analizi ravnog regetkastog sistema, u svakom Evoru, odnosno
na svako~lllu -aju Stapa, neophoho je uvesti po dva nezavisna pomeranja..
Na slici 4.64 je prikazan Stap regetkastog nosaEa sa generalisanim pomeranjima i silama u
loltalnom i u globalnom koordinatnom sistemu.
Projektovanjem kornponenta vektora na pravac ose x lokalnog sistema, odnosno na pravce
X i Y osa globalnog sistema, dobijaju se sledeie veze izrnedu pomeranja odnosno sila u ova
dva koordinatna sistema:
183. odnosno
gde je T pravougaona inatrica transformacije:
PolazeCi od izraza (4.18), uz vodenje raCuna o (3.10), (3.13) i (4.98) za inatricu htosti i
vektor ekvivalentnog optereCenja ravnog reietkastog itapa, u globalnoin koordinatnoin
sisteinu, dobija se:
PoiiioCu izraza (4.99) iiiogu lako da se formiraju inatrice krutosti i vektori ekvivalentnog
opteredenja, direktno u globalnoin sisteinu, bez fonniranja matrice transforniacije.
Slika 4.64 - Silc i po~neranjan a krajcvi~naS tapa: a) u lokalnom sistcmu, b) LI global~lo~sins icmu,
c) transformacija iz jcdnog, u drugi koordinantni sistem.
184. Icada su forinirane matrice krutosti i vektor ekvivalentnog opterekenja za Stapove sistema,
dalji postupak dobjjanja inatrice krutosti sistema i vektora slobodnih Clanova je u sveiiiu
isti kao i za pune nosaCe. OptereCenje reietkastih nosaCa su koncentrisane sile u
Evoroviina, koje se zadaju u globalnom koordinatnoin sisteinu. U vektoru ekvivalentnog
operekenja Q* , preina tome, inogu da se pojave samo uticaji od temperature u osaina
Stapova, ili neki drugi aksijalni uticaji koji deluju u pojediniin itapovima, kao ito su uticaji
od skupljanja inaterijala, prednaprezanja i sl.
Sile u itapovima mogu da se odrede pomoku izraza (4.48), na isti naCin kao i za pune
itapove. Medutim, pogodno je da se ovaj izraz transformiie na sledeki oblik:
gde je:
Izrazi (4.99) i (4.101) izvedeni su za itap konstantnog popreCnog preseka. Za itap
promenljivog popreCnog preseka u ovim izraziina se inenja saino aksijalna krutost itapa It,
koja se tada odreduje na naCin koji je prikazan u trekem poglavlju.
4.4.1 PRIMER
Na slici 4.65 prikazan je jednostavan reietkasti sisteina koji Cine tri itapa. Potrebno je da se
odrede poineranja i sile u itapovima usled a) vertikalne koncentrisane sile P koja deluje u
Cvoru 1 i b) uslcd tcinpcraturc t u osi Stapn 3.
Slika 4.65 - Regetlcasti nosaE a) gcometrija i optcrecenje, b) oznake Stapova i Evorova, c) polneranja
Evorova.
185. Matrice krutosti Stapova u referentnom sistemu, prema izrazu (4.98):
a) Matrica lcrutosti sistema i vektor slobodnih c'lanova od optereienja
Pomeranj a
Reakcije oslonaca
Sile u Stapovima
186. b) Uticaji od temperature t u osi 3apa 3
Vektor ekvivalentnog opteredenja za itap 3 prema izraziina (3.15) i (4.89) je:
-
a vektor ekvivalentnog opterekenja
Poineranja Cvora 1 :
Reakcij e oslonaca
Reakcije oslonaca i sile u Stapovima llsled temperaturnih uticaja jednake sai nuli, pogto je
sistem statiCki odreden.
4.5 OSLONCI
Oslonac je konstruktivni deo nosaCa koji spreCava poineranje nosaCa u taCki oslanjanja.
Pravac u kome je spreCeno poineranje jepravac oslanjanja. Upravno na pravac oslanjanja,
taCka.oslanjanja inoie slobodno da se pomera. Pomeranje u taCki oslanjanja iiioie da bude
spreEeno potpuno ili samo deliiniCno. U prvom sluCaju, kada je pomeranje spreCeno
potpuno, oslanac je apsolutno krut, a u drugoin sluCaju, kada je pomeranje spreceno
delirnieno, oslonac je deformabilan ilifleksibilan. Fleksibilni oslonci se Cesto zamenjuju
elastic'izim osloncima, kod kojih je pomeranje u pravcu oslanjanja direktno proporcionalno
sili u osloncu. Kod ravnih nosaea, u nekoj taCki (Cvoru) nosaCa, mogu da budu spreCena
pomeranja u dva nezavisna pravca, pomodu dva oslonca, koji se nazivaju nepokretno
leiis'te, ili saino u jednom pravcu, pomodu jednog oslonca, koji se nazivapokretno leiis'te.
Pored pomeranja, u Cvoru moie da bude spreCeno i obrtanje. To se ostvaruje poniodu
konstruktivnih delova koji se nazivaju uklje3tenja. Ukljc3lcr1jc mo2e da spreCava obrlanje
Cvora (preseka) potpuno ili samo delimiCno. U prvom sluCaju, kada je obrtanje Cvora
sprcCe~~poo tpuno, ukljeitenje je apsolutno kruto, a u drugom sluCaju, kada je obrtanje
Cvora spreCeno smo delimiCno, ukljeitenje je deformabilno ili fleksibilno. Fleksibilno
ukljeitenje se Cesto zamenjuje elastiCnim ukljeitenjem, u kome je obrtanj e proporcionalno
momentu ukljeitenja. Pokretna leiiita, nepokretna leiiita i ukljestenja Cesto se nazivaju
oslonci, kao Sto se poineranja i obrtanja nazivaju jednostavno pomeranja, podrazumevajudi
pri tome, njihovo generalisano znaCenje.
187. 4.5.1 ELASTICNI OSLONCI
ICada su poineranja oslonaca totalno spreCena ili unapred zadata, ona direktno ulaze u
analizu datog sistema, kao koinponente vektora poznatih poineranja oslonaCkih Cvorova.
Medutiin, u sluCaju elastiCnih oslonaca, kada pomeranja oslonaca zavise od krutosti
oslonaca, potrebno je definisati vezu izmedu pomeranja i sila u elastihim osloncima.
Na slici 4.66 je prikazan Cvor rn nosaCa u kome su delirnieno spreCena sva tri stepena
slobode, pomeranja u pravcu osa X i Y i obrtanje oko ose Z.
T..
Slilcn 4.66 - Cvor m sa clastiCni~no sloncima i elastiCnirn uklja6tcnjcm.
Oslonci i ukljeStenja koji delimiCno spreCavaju pomeranja i obrtanja Cvora rn, predstavljeni
su poinoCu elastiEnih opruga koje imaju aksijalne krutosti Cx i Cy i rotacionu krutost C, .
PoSto su sile u elastihim oprugaina direktno proporcionalne pomeranjima i obrtanju Cvora,
to se uticaj opruga na Cvor rn moie da zameni pomoCu koncentrisanih sila i momenata
savijanja koji deluju na Evor, a koji su dati u zavisnosti od pomeranja i obrtanja Cvora rn
sledeCim izrazoin:
U izrazu (4.102) Cx i Cy su aksijalne krutosti opmga (kN/rn), a C, rotaciona krutost opruge
(lcNm/rad). Prema tome, prilikom analize datoag sistema, u Cvom rn sa elastihim
osloncima, treba zadati koncentrisane sile Px i Py i momenat M prema (4.102), kao
spoljaine kullcenlrisanc uticajc. Uslcd toga, u matrici krutosti sistcma, u dijagonnlnim
Elanovima koji odgovaraju generalisanim pomeranjima Evora m, javljaju se dodatni Clanovi
Cx , Cy i C,, koji su jednaki krutostima opruga u Cvoru rn. Svc ostalo je isto kao i za
sistem bez elastiCnih oslonaca.
Na slici 4.66 je pretpostavljeno da su pomeranja Evora m, delimiEno spreCena u pravcima
osa globalnog koordinatnog sistema, tako da su koncentrisane sile Px i Py dobijene
direktno u pravcu osa globalnog sistema. Ako to nije sluEaj, potrebno je prethodno izvrSiti
transformaciju iz lokalnog sistema, koji se poklapa sa pravcima oslanjanja (opruga), u
globalni koordinatni sistem.
188. Na slici 4.67 prikazana je elastiCna opruga aksijalne krutosti c, koja se poklapa sa osom x
lokalnog koordinatnog sistema.
Slika 4.67 - Generalisana pomcranja i silc na krajevi~nac lasticnc opruge.
Veza izmedu generalisanih sila i generalisanih poineranja na krajevima opruge je R=kq,
gde je k matrica krutosti opruge u lokalnom koordinatnom sisteinu:
Odgovarajuda matrica krutosti u globalnom koordinatnom sistemu dobija se prema izram
(4.18)) uz vodenje raCuna o (4.98) i (4.103):
1-hlr -p2 AP p2 I
ElastiCni oslonci u nekom Evoru sistema mogu da se zamene dodatnim Stapovima, tzv.
elwivalentnim ?tapovima, koji omogudavaju pomeranja sistema koja su jednaka
pomeranjima koja nastaju pri elastihim oslonciina. Na slici 4.68 je prikazan Evor m u
koine su dodata dva nova Stapa 1 i 2, koji zamenjuju elastihe oslonce u pravcu osa X i Y,
Cije su krutosti Cx i Cy .
Slika 4.68 - Zamena elastiEnih oslonaca ekvivalentnim Stapovima.
Ako se usvoje duiine ovih Stapova 11 i lz, koje su obiCno reda veliCine kao i duiine Stapova
datog sistema, tada iz uslova jednakih aksijalnih htosti opruga i krutosti ekvivalentnih
Stapova sledi da su povrSine popreEnih preseka ekvivalentnih Stapova:
189. Na sliEan naCin, moie da se zameni i elasticno ukljeitenje ekvivalentnim Stapom koji je
upravan na ravan nosaCa, slika 4.69.
Slika 4.69 - Zalncna clastiCnog ukljeitcnja ekvivalcntnim Stapom.
Potrebno je da ekvivalentni Stap ima torzionu krutost jednaku rotacionoj krutosti opruge. Iz
ovog uslova, za Stap duiine I , modula klizanja G, moie da se odredi momenat inercije I,
popreCnog preseka ekvivalentnog Stapa:
Uvodenje~n ekvivalentnih Stapova umesto elastiCnih oslonaca ostaje se u okviru analize
ravnih sistema, poSto ekvivalentni Stapovi leie u ravni nosaCa. Medutini, uvodenjem
ekvivalentnog Stapa umesto elastiCnog ukljeStenja, sisteni postaje prostorni, poSto je tada
ekvivalentni Stap upravan na ravan nosaCa. Zbog toga ekvivalentni Stapovi iniaju znatno
veCu prakticnu primenu kao za~nena elastiCnih oslonaca, nego kao zamena elastiCnih
ukljegtenja.
4.5.2 GENERALISANA POMERANJA U CVORU SA
POKRETNIM OSLONCEM
Generalisana pomeranja Cvorova sistema, kao osnovne kinematiCke veliCine analize,
ilioraju da budu inedusobno nezavisna. Taj uslov ispunjavaju obrtanja i komponente
poiiieranja u referentnom koordinatnoin sistemu, za slobodne Cvorove, Cvorove sa
nepokretnim osloncima, kao i za Cvorove sa pokretnim osloncima ako je pravac oslanjanja
paralelan sa jednom od osa referentnog sistema (4.70a). Medutini, u opitem sluEaju, kada
pravac oslanjanja nije paralelan jednoj od osa referentnog sistema tada komponente
pomeranja Cvora , koje su paralelnc osama referentnog sistema, nisu medusobno nezavisne
i stoga one lie ~nogud a budu izabranc za generalisana pomeranja, slika 4.70b.
Medusobno su nezavisne komponente pomeranja koje su u pravcu pomeranja i upravna na
pravac pomeranja pokretnog oslonca. Zato u Evoru sa pokretnim osloncem kao
generalisana pomeranja treba uzeti pomeranja q,- i q, , slika 4.70~R. adi toga se, pored
- -
referentnog sistema XOY, uvodi i pomoCni rejerentni sistem XPY, sa poCetko~n u
oslonaCkom Cvoru P i osom X koja se poklapa sa pravce~n po~neranja koje dopuSta
190. - -
pokretili oslonac. PomoCni sistem XPY je iste orijentacije kao i referentni sistem XOY
- -
Poloiaj lokalnog siste~nax oy u odnosu na XPY odreden je uglon~y .
Slika 4.70 - Gcncralisana pomcranja u Cvoru sa polcrctniin oslonciina: a) i c) nezavisne b) zavisnc.
PoSto u vektoru generalisanih pomeranja q* , kao komponente pomeranja Cvora P, ulaze
komponente poineranja koje se mere u poinoCnom referentnoin sistemu, neophodno je da
se o toine povede raCuna prilikoin transformacije matrica kmtosti i vektora ekvivalentnih
optereCenja iz lokalnih u aobalni koordinatni sistem, za sve Stapove koji se vezuju u Cvoru
P. Na slici 4.71 je prikazan jedan takav Stap, sa komponentaina pomeranja u lokalnom i
globalnom koordinatnom sisteinu. Sa slike 4.71 je ocigledno da veliCine koje se odnose na -
Cvor i treba transformisati u odnosu na referentni- s istem XOY, a veliCine koje se odnose na -
Cvor P, u odnosu na pomoCni referentni sistem XPY . Na taj naCin, illatrica transforinacije
T postaje:
gde su:
h = cosy , 1.1 = siny , h = cosy, F = siny . (4.108)
Ugao yse ineri od ose referentnog sistema X , a ugao y od ose XpomoCnog refeentnog
sistema, do ose x lokalnog koordinatnog sistema, slika 4.71.
-
Slika 4.71 - Gencralisana poincranja u lolcalnom i u globalnom lcoordinatnom sistemu.
191. Zakon transformacije matrice krutosti i vektora ekvivalentnog opteretenja, ostaje isti kao i
ranije, samo Sto umesto lnatrice transformacjje T treba uzeti matricu T , tj.
U analizi sistema, pokretni oslonac moie da se zarneni Stapoln koji ima beskonaCno veliku
aksijalnu krutost, a beskonaCno lnalu krutost na savijanje. To se moie postiti uvodenjem u
sisteln dodatnog Stapa u pravcu oslanjanja, duiine I, velike povrSine popreenog preseka F i
veoma malog nlolnenta inercije I, slika 4.72.
Slika 4.72 - Zalllena polcretnog leiiSta ekvivalelltniln gtapom.
4.5.3 PRIMER
Na slici 4.73 prikazan je nosaE sa pokretnim leiiitem, koje je postavljeno pod uglom u
odnosu na osu Stapa 2. Usled zadatog opteretenja potrebno je da se odrede sile u presecima
nosaEa.
Slika 4.73 - a) Gcomet~ijan osaEa i opterekenjc, b) Gcneralisana pomeranja.
194. Slilta 4.75 - Dijagsaini sila N, T, M.
4.6 KONDENZACIJA MATRICE KRUTOSTI SISTEMA
U prethodniin razinatranjima u ovom poglavlju prikazan je naCin formiranja jednaCina
sisteina, Kq=S, koje predstavljaju uslove ravnoteie Cvorova i nalazenje regenja, odnosno
odredivanje poineranja Evorova, reakcija oslonaca i unutrainjih sila u gtapoviina sisteina.
Cesto je polrebtlo da sc broj jcdnaCina sistema sinanji, rcdukcjjom broja stepeni slobode,
odnosno reda matrice krutosti sistema. Postupak kojim se to postiie poznat je pod nazivo~n
lcondenzacija matrice lcrutosti sistema ili postupak statitke lcondenzacije. On je od
posebnog praktienog znaEaja za sisteine sa velikim brojem stepeni slobode, naroCito za
ostogonalne konstrukcjjske sisteme zgrada koje su izloiene dinamiCkim dejstvima vetra i
zemljotresa, kao i kod drugih sloienih sistema, odnosno struktura koje se sastoje od dve ili
viSe podstruktura.
Ako se u vektom poineranja Evorova, q, sa n koinponenata, odnosno n stepeni slobode
sistema, jedan broj koinponenata (m) usvoji za glavne ili primarne Icomponente, a broj
preostalih koinponenata (s=n-m), za sporedne ili sekundarne kornponente, tako da je:
i pretpostavi da izinedu vektora glavnih i vektora sporednih pomeranja, q,,, i q, , postoji
lineurna zavisnost:
(I, = Tqll, , (4.111)
tads se vektor pomeranja q moie da prikaze kao
gde je:
195. a I je jediniCna niatrica m-tog reda. Smenoin (4.112) u polazni sistem jednaCina, Kq=S, i
innoienjeni sistema jednaCina sa matricoin i' s leva, dobija se kondenzovani sistem
jednac'ina sa m nepoznatih, odnosno sa m stepeni slobode:
gde su
'qljl = Sm ,
K = +'KT, s,,, = i's ,
lcondenzovana inatrica lcrutosti i kondenzovani vektor slobodnih c'lanova datog sistema. Za
dobijanje kondenzovanog sistema (4.1 14) neophodno je definisati inatricu transforaincije T
kojoin se uspostavlja neposredna relacija izinedu glavnih i sporednih vektora poiiieranja,
odnosno glavnih i sporednih stepeni slobode sisteina.
~retpostabiino da su u vektoru slobodnih Clanova sisteina, Kq=S, sve komponente koje
odgovaraju sporednim stepenima slobode jednake nuli, S,=O, tako da se polazni sistein
jednaCina moie da prikaie u sledekem obliku
odnosno kao:
Iz druge inatricne jednaCine (4.1 17) sledi da je
a potoin iz prve matriEne jednaCine (4.1 17), uz vodeiije raCuna o (4.1 18), dobija se:
gde je
Kondenzovana iiiatrica krutosti K je nesingulama, tako da se iz izraza (4.1 19) rnogu
odrediti koinponente vektora q,,, , a potom poinoCu izraza (4.1 11) i (4.1 18) koinponente
vektora q, , tj.
Za odrcdiva~ijc koiidciizovailc iiintrice lmtosti poiiioku izrnzn (4.120) neopliodiio je
forinirati matricu krutosti sistema, odnosno njene odgovarajuke subrnatrice prenia
vektoriina glavnih i sporednih stepeni slobode.
Izbor glavnih i sporednih stepeni slobode nije egzaktno odreden. On je stvar kvalitetativne
analize i procene pri reiavanju svakog konkretnog probleina. Medutim, u mnogim
sluEajeviina, glavni i sporedni stepeni slobode su naznaCeni i predodredeni sainoiii
prirodom probleina koji se reiava. Ovde je primenjen statiCki kriterijuin, preina koine
sporedniin stepenima slobode odgovaraju homogeni uslovi ravnote?e, odnosno sisteni
196. homogenih algebarskih jednaCina, a glavnim stepenima slobode, nehomogeni uslovi
ravnoteie, odnosno sistem nehomogenih algebarskih jednaCina. U nekim drugiin
sluCajeviiiia, na primer u dinamiCkoj analizi, gde se kondenzacija jednaCina sistema Cesto
priinenjuje, pri izboru glavnih i sporednih stepeni slobode bitnu ulogu imaju dinamiCke
karakteristike sisteina.
Kondenzovana matrica krutosti mo2e da se odredi i neposredno, na osnovu fiziCkog
znaCenja njenih elemenata, sliCno direktnom postupku za odredivanje matrice krutosti
s'tapa, koji je prikazan u trekem poglavlju.
Pretpostavimo da su u sistemu jedneina K~,=, S , komponente vektora S, nepoznate i da
predstavljaju generalisane sile koje odgovaraju komponentaina vektora generalisanih
pomeranja q,, , tada elementi matrice K predstavljaju eleinente nlatice krutosti kojoin je
uspostavljena neposredna veza izmedu vektora generalisanih sila S, i vektora
generalisanih pomeranja q, datog sistema. ZnaCenje elemenata kondenzovane matrice K ,
prema tome, je analogno poznatom znaCenju elemenata konvencionalne inatrice krutosti:
elernenat kg kondenzovane matrice krutosti K predstavlja generalisanu silu lcoja odgovara
generalisanom porneranju qi usled jedinicizog generalisanog pomeranja qj=l, pri c'emu su
sva ostala generalisana porneranja vektora glavnih pomeranja qm jednalca nuli.
Na osnovu prethodno pokazanog znaCenja njenih elemenata, kondenzovana matrica
krutosti moie da se odredi direktnim postupkom. Radi toga, neophodno je u dati statiClti
sistem uvesti ograniCenja (oslonce) kojima se ukidaju svi glavni stepeni slobode sisteina,
odnosno spreCavaju sva generalisana poineranja koja predstavljaju komponente vektora q,,.
Ako se sistemu sa talto uvedenim ogranicenjima (oslonciina) zada gcneralisano ponieranje
qj=l i odrede reakcije dodatih oslonaca, koje nastaju usled tog pomeranja, dobike se
elementi j-te kolone matrice K . Ako se prethodni postupak priineni za j=1,2 ... m, dobiCe se
svi eleinenti kondenzovane matrice krutosti K ., Direktni postupak za dobijanje matrice
K ilustrovan je na slici 4.76.
Slika 4.76 - Geometrijsko-statiEko znaEenje elemenata kondenzovane matrice krutosti: a) generalisana
pomeranja, b) elementi druge kolone kondenzovane matrice krutosti.
197. Trospratni ortogonalni okvir koji je prikazan na slici, uz zanemarenje aksijalnih
deformacija u svim Stapovima sistema, ima devet stepeni slobode, tri horizontalna
pomeranja i Sest obrtanja Cvorova. Ako se za glavne stepene slobode usvoje horizontalna
poineranja, a za sporedne obrtanja Cvorova onda je kondenzovana matrica krutosti tredeg
reda, K (3x3), dok je matrica krutosti sistema devetog reda, K (9x9). Na slici 4.76b7
prikazano je geometrijsko-statiCko maCenje elemenata druge kolone kondezovane matrice
krutosti, koja je poznata pod nazivom matrica popreEne krutosti okvira.
PRIMER I. Za ilustraciju prethodnih razmatranja o statiCkoj kondenzaciji, wet je
dvospratni okvir, Cije su geometrijske karakteristike i opteredenje prikazani na slici 4.77.
Uz pretpostaku da su aksijalne deformacije male, tako da se mogu zanemariti, sistein ima
Sest stepeni slobode, dva horizontalna pomeranja i Cetiri rotacije Evorova, slika 4.77a. Za
glavne stepene slobode usvojena su horizontalna pomeranja, q, i q~ , tako da se dati sistem
sa Sest stepeni redukuje (kondenzuje) na sistem sa dva stepena slobode.
ZiiaCenje elemenata inatrice krutosti sistema, koji odgovaraju generalisanim pomeranjima
ql=l i qs=l, prikazano je na slici 4.77b7c, a elemenata kondenzovane matrice krutosti na
slici 4.78b7c.
Slika 4.77 - ~v6s~ratonrito gonalni okvir: a) geometrija i stepeni slobode,b) elementi prve
kolone matrice K, c) elementi Eetvrte kolone matTice K.
Matrica krutosti sistema, koja je odredena na poznati naCin, ima sledeki izgled:
Kl,ll,l K,, EI
K=[K,,,, K,,]=T
0 61 1212 21' 212
0 61 21' 1212 0
-61 61 21' 0 812 l2
- -61 61 0 21' l2 81'
Inverzijom submatrice K, dobij a se:
198. a potom, prema iaazu (4.120) kondenzovana matrica krutosti:
Matrica K odredena je, na bazi statiCko-geomterijskog znatenja njenih elenlenata, i
pomoCu programa SAP 2000, tako Sto su odredene reakcije dodatih oslonaca usled
jediniCnih ponleranja, ql=l i qz=l, slika 4.78b,c
Slika 4.78 - Gcoinetrijsko statiCko znaEenje elemenata kondenzovanc matiice kmtosti.
i na taj naCin dobijena matrica:
koja jc jcdnaka matrici K , prethodno dobijenoj neposredno postupkom kondenzacije, ako
se uzme daje EI/~=~lo 3 (E =107k~lm2=,10 .1m4,1= lorn).
199. LITERATURA
1. Argyris, J.H. and Kelsey, S., Energy Theorems and Str-uclural Analysis, Butteworth Scientific
Publications, London, 1960.
2. Beaufait,W.F., Rowan,H.W., Hoad.lcy,G.P. and Hackett,M.R., Computer Methods of Structural
Analysis, Prcnticc-Hall, Inc., 1970.
3. Beaufait,W.F., Basic Concepts of Structural Analysis, Prcnticc-Hall, Inc., 1977.
4. DuriC,M. i JovanoviC,P., Teolija oltvirnih konstrukcija, Gradevinska knjiga, Beograd, 1972.
5. Gere,J.M., Weavcr,W., Analysis of Framed Structures, Van Nostrand Reinhold Company, 1965.
6. Jenkins,W.M., Matrix and Digital Computer Methods in Structural Analysis, McGraw-Hill, 1969.
7. Livesley,R.K., Matrix Methods of Structural Analysis, The Macmillan Company, Inc., 1964.
8. Magucme,K., and Gallagher,H.R., Matrix Strjuctural Analysis, John Wiley, 1979.
9. Mcck, J.L., Cornpuler Methods in S~rucluraAl nalysis, E&FN Spon London, Ncw York, 1991.
10. ScltuloviC,M., Metod konaCnih elemenata, Gradcvinska knjiga, Beograd, 1988.
1 1. SekuloviC, M., Mcdritnu analiza konslrukcija. Gradevinska knjiga, Beograd, 1991.
12. Sckulovic,M, i PetronijcviC,M., Statika konstrukcija 2, zbirka reSenih ispitnih zadataka, NauCna knjiga,
Beograd, 1989.
200.
201. PROSTORNI NOSACI
Prostorni nosaCi se sastoje od Stapova koji se medusobno sueeljavaju u Cvorovima koji ne
leie u jednoj ravni. OptereCenje koje deluje na nosaC, u opitem sluCaju, takode ne leii u
jednoj ravni. Zavisno od naCina vezivanja Stapova u Cvorovima, prostorni nosaCi, sliCno
ravnim nosaCima, mop da budu reietkasti i puni. ICod reSetkastih nosaCa sve veze u .
Cvorovinla su zglavkaste. Kod punih nosaEa inora da postoji bareln jedan Evor sa krutoin
vezoin.
Razinatranja o punim nosaCiina predstavljaju generalizaciju razmatranja o ravnim
nosaCima. Osnovne relacije za Stap, transformacije iz loltalnog u globalni koordinatni
sistein i naEin formiranja jednaCina za sistem Stapova, formalno ostaju isti kao i za ravne
nosaEe. Razlika se ogleda jedino u povedanju broja statiCko-kinematiCkih veliCina koje
ulaze u analizu, Sto dovodi do proSirenja i odredene modifikacije matrica kojima se
definiSu pojedini koraci analize.
5.1.1 MATRICA KRUTOSTI STAPA
Osnovne statiCke i kinematiEke veliCine prostornog Stapa prikazane su na slici 3.1 u trekem
poglavlju. U Cvorovima na krajevima S tapa, kao parametri pomeranja, usvajaj u se
poineranja u pravcu osa x, y, z i obrtanja oko osa x, y, z lokalnog koordinatnog sistema.
Prostoilni Stap ima 12 stepeni slobode, po Sest u svakom Cvoru. Generalisanim
pomeranjiina na krajeviina Stapa odgovaraju generalisane sile (normalne sile, transverzalne
sile, inoinenti savijanja i momenti torzije). Konvencija o njihovim pozitivnim znacima
prikazana je na slici 3.1.
Veza izmedu generalisanih sila i gelleralisanih punlerallja data jc pvzliatiln izrazunl:
gde su R vektor generalisanih sila, q vektor generalisanih pomeranja, a k matrica krutosti
Stapa. Matrica k je simetriCna kvadratna matrica dvanaestog reda. Eleinenti matrice
krutosti prostornog Stapa mogu da se odrede na isti naCin kao i za ravan Stap, postupcilna
koji su izloieni u treCem poglavlju. Za prostorni Stap to je, svakako, znatno sloienije i teie.
Medutim, do inatrice krutosti prostornog Stapa lako moie da se dode ako se pode od
principa superpozicije.
202. Na osnovu principa superpozicije, opSti sluCaj prostornog naponskog stanja Stapa, u okviru
linearne analize moie da se razdvoji na: aksijalno naprezanje, savijanje u ravni xoy,
savijanje u ravni xoz i uvijanje (torziju) oko ose x. Svako od ovih naponskih stanja posebno
je analizirano u trekem poglavlju. Uvodenjein oznaka za generalisane sile i generalisana
poineranja na krajeviina Stapa, za navedena naponska stanja:
R,, q, - aksijalno naprezanje ,
RsZ , q, - savijanje u ravni xoy (oko ose z),
R, ,q, - savijanje u ravni xoz (oko ose y),
R, , q, - uvijanje (torzija) oko ose x,
veza izinedu generalisanih sila i generalisanih pomeranja na krajeviina Stapa (5.1) inoie da
se prikaie na sledeCi naCin:
U izrazu (5.2) k, je inatrica aksijalne krutosti, k,, i k,, matrice krutosti savijanja oko osa z i
y, a k, inatrica torzione krutosti Stapa. Za prav prizmatiCan Stap konstantnog popreCnog
preseka, uz zanelnarenje uticaja trarisver~alrii'tsi ila na clefunnacije snlica~~joav,e matrice su
date sledekinl izarzima:
1 7 4 10
(5.3)
1 3 5 9 11 3 5 9 11
12 61 -12 61 2 12 -61 -12 -61 3
El, 61 41' -61 21' 6 El, -61 41' 61 212 5
k"=-12l i-6 1 12 -61 8 61 21' -61 412 12 k~v7--611 2216' 116 12 461'1 119 1
U izrazu (5.3) 1 oznaCava duiinu Stapa, F povrSinu popreCnog preseka, I, i I, inomente
inercije preseka oko glavnih centralnih osa inercije z i y, J torzionu konstantu, E modul
elastiCnosti i ti modul klizan~a.
Kvazidijagonalni oblik inatrice krutosti Stapa u izrazu (5.2) je koinpaktan. Meduliin
prilikom transformacije iz lokalnog u globalni koordinatni sistein ta koillpaklriost se gubi.
Zbog toga je znatno pogodnije da se generalisane sile i generalisana pomeranja prikaiu
drugim redosledom, prvo za Cvor na levom kraju, a potoin za Cvor na desnom kraju Stapa.
To dovodi do promene poloiaja pojedinih vrsta i kolona u matrici krutosti Stapa. Za
redosled generalisanih pomeranja i generalisanih sila koji je prikazan na slici 5.1 matrica
krutosti Stapa se forrnira od matrica krutosti koje su date izazom (5.3) tako Sto se njihovi
203. elementi rasporeduju na odgovarajuke pozicije koje su odredene brojem generalisane sile
(vrsta) i brojem generalisanog pomeranja (kolona).
SIika 5.1 - Generalisane sile i gcncralisana pomcranja prostornog Stapa.
Na taj naCin, veza izmedu generalisanih sila i generalisanih pomeranja (5.1) postaje:
204. Geometrijsko-statiCko znaCenje pojedinih ele~nenatam atrice krutosti prikazano je na slici
Slika 5.2 - Gcometrijsko-statiCko znaCenje eleincnata inatricc krutosti Stapa.
205. 5.1.2 TORZIONA KONSTANTA
Torziona konstanta J je funkcija poprEnog preseka Stapa. Ona se u tehniEkoj teoriji Stapa
odreduje uz pretpostavku o odsustvu deplanacije poprecnih preseka u toku deformacije.
Pretpostavlja se, dakle, da se Stapovi nalaze u stanju slobodne Saint Venant-ove torzije. Za
popreEni presek kruinog oblika, preEnika d, tada je torziona konstanta jednaka polarnom
lnolnentu inercije preseka:
Za Stapove pravougaonog popreEnog preseka Sirine t i visine h, torziona konstanta moie da
se odredi pomoCu sledeCeg izraza:
odnosno pomoCu izraza:
Vrednost koeficijenta P, za razliEite odnose visine i Sirine preseka, date su u tabeli 5.1.
Tabela 5.1
U graniEnoln slucaju, kada h/t+ w , odnosno za pravougaone preseke veoma male Sirine
(debljine) i znatne visine, izraz (5.7) postaje:
Ovaj izraz moie da se uopSti i primeni i na Stapove tankozidnog otvorenog popreEnog
preseka (slika 5.3). Pretpostavlja se da se popreEni preek Stapa sastoji iz niza
pravougaonika male Sirine, tako da je tada:
t , I I.XI.XIIIII-I.X,.I" -%*<,-%<-%-
Slika 5.3 - PopreEni presek tankozidnog Stapa.
206. 5.1.3 TRANSFORMACIJA IZ LOKALNOG KOORDINATNOG SISTEMA
U GLOBALNI KOORDINATNI SISTEM
U analizi prostomih nosaCa kao i u sluCaju ravnih nosaCa, razmatranja o Btapu kao
osnovnoin elementu sistema su najjednostavnija u lokalnom koordinatnom sistemu. Za
analizu nosaCa kao sistema inedusobno povezanih Stapova potrebno je sprovesti
transfor~nacije uticaja iz lokalnih koordinatnih sistema pojedinih Btapova u referentni
(globalni) koordinatni sistein.
Na slici 5.4 prikazan je vektor R* Ciji je poloiaj u referentnom sistemu odreden uglovirna
x, i = 1, 2, 3. Komponente ovog vektora u pravcu osa referentnog sistema su:
U novoln koordinatnom sistemu xyz Cije ose zaklapaju uglove ~7i,,j = 1, 2, 3 sa osama
XYZ, vektor R* moie da se prikaie na taj nab Sto Ce se svaka od njegovih komponenata
Ri*, i = 1, 2, 3 prikazati u sistemu xyz, a potom izvrBiti njlhova superpozicija. Na slici 5.4b
to je prikazano za koinponentu R,* Cije su komponente u sistemu xyz:
R,, =~,*cosy=,, R ,*h,, ,
R,, = Rf cosy,, = R;h,, , (5.10)
Rlj = R,* cosy ;r: R;hL3 ,
gde su:
I,, = cosy,, = cos(X, x) ,
4, = cosy ,, = cos(X, y) ,
Jy3 = cosy ,3 = cos(X, z) ,
Ako se, na sliCan natin, prikaiu komponente 4' i RJ* , tj.
207. gde su:
Superpozicijom utiacaja, dobija se:
Rl=Rll+R21+R31=~~*~~+~~h21+~~h3~, ,
R2 = R12 + R2, + R3, = R1*h,, + R;&, + R;h2 ,
R3 = R13 + R23 + R33 = '1*43 + ';43 + ';&3 9
odnosno
gde su:
Matrica h naziva se matrica rotacije.
Ako se jednaCina (5.16) pornnoii s leva sa matricom h , uz vodenje raCuna da je hhT=l ,
dobija se:
R* = AR (5.17)
Izrazima (5.15) i (5.17) dat je zakon transformacije vektora iz sistema XYZ u sistem xyz i
obratno. Ovaj zakon transformacije vaii za bilo koji vektor. Na slici 5.5 prikazan je vektor
generalisanih sila (pomeranja) za Stap u lokalnom i globalnom koordinantnom sistemu.
Slika 5.5 - Gcneralisane sile (pomeranja) u lokalnom i globalnom koordinantnom sistemu.
208. PoSto generalisane sile u Cvoru mogu da se shvate kao dva vektora, kao vektor sila Ris i
vektor moinenata Rim , na osnovu (5.15) sledi:
odnosno
gde je:
inatrica transforlnacije za Evor odnosno kraj Stapa.
Ako se na isti naEjn, kao za Evor i, postupi i za Evor Ic, za Stap se dobija:
R = T7'R* ,
R* =TR,
gde je T matrica transforrnacije Stapa: - -
5.1.4 ODREDIVANJE ELEMENATA MATRTCE ROTACIJE
Matrica transforinacije T lokalnog u globalni koordinatni sistem je kvazidijagonalna
inatrica Ciji su blokovi matrice rotacije h. Prema tome, matrica transformacije je odredena
kada je odredena matrica rotacije. Elementi matrice rotacije su definisani kao kosinusi
uglova izinedu osa lokalnog i osa globalnog koordinatnog sisteina ilii = cos(& xj), i,j =
1,2,3. Od devet eleinenata inatrice rotacije, s obziroin na njenu simetriju i uslove:
samo su tri inedusobno nezavisna. Medutiin, znatno je pogodnije da se elementi matrice
rotacije definiSu pomoCu kosinusa uglova (A, p, v), koje osa Stapa zaklapa sa osama
referentnog sistema XYZ, slika 5.6, nego poinoCu kosinusa uglova ilG.
Kosinusi uglova koje osa Stapa zaklapa sa osama referentnog sistema, inogu da se odrede
poinot11 koordinata Cvarava kaje se zadaju u odnosu na referentni sistem:
209. Za razliku od ravnog Stapa, gde je poloiaj lokalnog sistema u odnosu na referentni sistem
potpuno definisan kosinusima pravca ose Stapa il i p , u sluEaju prostornog Stapa, tri
kosinusa pravca ose Stapa A, p, v nisu dovoljni da definiSu poloiaj lokalnog sisteina xyz u
odnosu na referentni sistem XYZ. Potreban je joS jedan podatak, a to je ugao P , slika 5.6bJ
kojiin se odreduje poloiaj glavnih centralnih osa inercije popreCnog preseka Stapa odnosno
osa y i z lokalnog sistema u odnosu na ose globalnog koordinatnog sistema. Parainetri il, p,
v i p koji zavise od geoinetrije sisteina u potpunosti definiiu poloiaj lokalnog
koordinatnog sistelna svakog Stapa u odnosu na referentni koordinatni sistem. Dok je
odredivanje veliCina 2, p i v prema (5.24) sasviin jednostavno, odredivanje parainetra P
mo2e da bude neSto teie, o Cemu be biti reCi u narednim razinatranjima.
3' Yo,
b 4 8 '..!
Slika 5.6 - Veza izmedu lokalnog i globalnog koordinatnog sistema.
Radi uspostavljanja veze izmedu elemenata matrice rotacije ilij = cos(.&, xj), i,j = 1,2,3 i
kosinusa pravca ose Stapa 4 p, v potrebno je razmotriti problem transformacije vektora R*
210. iz referentnog sistema XYZ u lokalni sistem xyz . Ova transformacija, koja je definisana
izrazom (5.21), moie da se dobije kao zbir tri sukcesivne ravne rotacije, slika 5.6:
1. Rotacije globalnog sistema XYZ oko ose Y za ugao a
2. Rotacije globalnog sistema X,, Y, Z, oko ose Z, za ugao w
3. Rotacije globalnog sistema Xd Yw, Zo oko ose X, za ugao /I.
I. Rotacija sistema XYZ oko Y ose za ugao a
Ovoin rotacijoin koja je prikazana na slici 5.7 koordinatni sistem XYZ prelazi u novi
poloiaj X,, Y, Z, , u kome se osa X, poklapa sa presekom ravni XOZ i YOX, a osa Y, sa
osoin Y, dok osa Z, ostaje u ravni XOZ.
Slika 5.7 - Rotacija sistema XYZ oko ose Y za ugao at
Komponente vektora R* (Rx, RY, RZ), pri OVO~ rotaciji se transformigu u komponente
vektora R, (R&, Ray, R&), na sledeki naCin:
I:;] =c[osLa a:0 csin:ajl :l ,
odnosno:
gde je:
211. 2. Rotacija sistema X,, Y,, 2, oko ose 2, za ugao t%
Icomponente vektora R, (R&, Ray, Rd) pri ovoj rotaciji se transformiSu u komponente
vektora R,, kao Sto je prikazano na slici 5.8, na sledeki naEin:
odnosno
gde je:
Slika 5.8 - Rotacija sistema X, Y, Za olto ose Za za ugao w.
sino =p, cosw =dm,
212. 3. Rotacije sistema X,, Y,, Z, oko ose X, = x za ugao /3
Rotacijoin sistenla X,, Y,, Z, oko ose Z, za ugao w postignuto je da se osa referentnog
sistema X, poklopi sa osom itapa x, i da na taj naCin ostale dve ose referentnog sistema Y,,
Z, , dodu u ravan popreCnog preseka itapa, odnosno ravan oxy . Da bi se ove ose (Y, i 2,)
poklopile sa pravcima osa x i y lokalnog koordinatnog sisteina potrebno je izvrgiti rotaciju
sisteina X,, Y,, Z, oko ose gtapa (x = X,), za ugao /3 . Pri ovoj rotaciji koinponente
vektora R, se transformigu u koinponente vektora R(R, , Ry , R,), koje se odnose na lokalni
koordinatni sistem, na sledeCi naCin:
a:
Slika 5.9 - Rotacija siste
-- '
r-
4 8-
t
ma X,, Y,, Z, oko ose x za ugao p.
E!]=[A 0 cosp si:p][tr],
0 -sin p cos P kz
odnosno
gde je
AP = r0 'coOs p sinO P I.
Na ovaj naCin, posle tri sukcesivne rotacije, referentni sistem XYZ je doveden do
poklapanja sa lokalnim sistemom xyz. Tako je formirana matrica rotacije h, kao proizvod
matrica sukcesivnh rotacija:
213. -hp cos P - vsin P ,/hicos p -pvcos p + h sin p lL=lL,lL,La = 427
Kada je odredena matrica rotacije h, pomoCu izraza (5.22) dobija se inatrica transforinacije
Stapa iz lokalnog u globalni koordinatni sistein.
Matrica rotacije, koja je data izrazom (5.34) vaii za bilo koji poloiaj Stapa u odnosu na
referentni sistein, osiin ako je Stap paralelan sa osoill Y referentnog sisteina, slika 5.10.
Tada je A = cos(Xx) = 0 i v = cos(Z,x) = 0 , tako da matrica rotacije (5.34) postaje
neodredena. Medutiin, tada je inatricu rotacije inoguCe dobiti neposredno.
Na slici 5.10 prikazana su dva poloiaja Stapa i-k, koji je paralelan sa osom Y . U prvom
sluCaju Stap je orijentisan u pozitivnom, a u drugoin slucaju, u negativnoin sineru ose Y.
Veza izmedu koinponenata vektora R u lokalnom, xyz i globalnonl XYZ , koordinantnoin
sistemu, tada je:
za sluCaj kada je Stap orijentisan u pozitivnoin sineru ose Y, odnosno
za sluCaj kada je Stap orijentisan u suprotnom sineru od smera ose Y. Oba ova slucaja inogu
da se prikaiu pomoCu jednog izraza:
gde je:
Matrica rotacije 3L za Stap sistcrna, prema (5.34) odnosno (5.38), definisanu je kada su
zadati kosinusi pravca ose Stapa A, ,u , v i ugao P . PoSto se veliEine A, ,u , v dobijaju
neposredno pon1oCu koordinata Cvorova (5.24), ostaje jog jedino da se odredi ugao P . To
je ugao za koji je potrebno da se ravan Y, 02, zarotira oko ose Stapa x = X,, da bi se ose
Y, i 2, poklopile sa osama y i z koje su u pravcu glavnih centralnih osa inercije popreEnog
preseka Stapa. Za ugao P se pretpostalja da je pozitivan ako je smer rotacije ravni Y, 02,
214. oko ose x, kada se gleda iz Cvora k prema Cvoru i, suprotan smeru kretanja kazaljke na satu.
Slika 5.10 - Stap paralelan osi Y refercntnog sistema.
Za Stapove kod kojih je ravan lokalnog sistema koja prolazi kroz osu x i jednu od osa y ili
z, paralelna nekoj od osa globalnog koordinatnog sisteina, ugao P moie jednostavno da se
nade na osnovu geoinetrije sistema, kao Sto je prikazano na slici 5.1 1.
U opStem slutaju, kada Stap zauzima proizvoljan poloiaj u odnosu na referentni sistem,
ugao p se odreduje pomoCu koordinata taCke P, koja se usvaja u ravni popretnog preseka
Stapa, na jednoj od glavnih osa inercije popreCnog preseka, slika 5.12.
Ako se na vektor r kojim je u sistemll XYZ ndredena taEka P primene prva dva knraka
rotacija, tj. ako se komponente ovog vektora prikaiu u sistemu X, Y, 2, , preina (5.29)
dobija se:
215. odakle sledi:
v,
Slika 5.11 - Uglovi
8
p za razlicitc poloiajc Stapa i-k
a potoin prema (slici 5-12),
Kada su poznati kosinusi pravca ose Stapa u odnosu na referentni sistem kao i cos P i sin P,
pozilata je i inatrica rotacije h , odilosilo inatrica trslnsformacije T, koja je definisana
izrazoin (5.22).
Matrica krutosti i vektor ekvivalentnog opterekenja transformiiu se pri prelasku iz lokalnog
u globalni koordinatni sistem na poznati naEin:
216. gde su k* i Q* matrica krutosti i vektor ekvivalentnog opteredenja u globalnoin
koordinatnom sistemu, k i Q matrica i vektor ekvivalentnog opteredenja u lokalnoin
koordinantnoin sisteinu, a T je inatrica transformacije.
Slika 5.12 - ugao rotacije b.
5.1.5 PRIMER
Za prostorni oltvir, koji je prikazan na slici 5.13 potrebno je odrediti sile u presecima usled:
a) opteredenja, b) vertikalnog poineranja oslonca, cj = 0,01 m
Ostali gtapovi: b/h = 0.6/0.6
Slika 5.13 - Prostorni okvir. Gcoinctrija i opterekenje
217. Na slici 5.14 prikazana je statiCka shema nosaCa sa generalisanim pomeranjiina u
Cvorovima sistema.
B
Y
2
Slilca 5.14 - Generalisalla polneranja u Cvorovima sistema.
Geometrijske karakteristike preseka
Stup I
218. Geometrija nosaEa
Matrice transformacije
.0.0 --
1
Evor
1
2
3
12.0
12.0
0.0
12.0
-4
5
$tap
1
2
3
4
gde je il odredeno izrazom (5.34)
X
kPvP0
Stap 1 Stap 2 Stapovi 3 i 4
1 0 0 0 0 -1
Y
6.0
6.0
6.0
-0.0 -
0.0
Evor
Z
6.0
6.0
0.0
6.0
6.0
li
12.0
6.0
6.0
6.0
Ix
0.05936
0.01827
0.01827
-
i
1
2
4
5
Fx,
0.720
0.360
0.360
0.360
1
0
0
0
Ic
2
3
1
2
1,
0.02160
0.01080
0.01080
..
1,
0.08640
0.01080
0.01080
-
0
0
0
0
0
0
1.0
1.0
0
1.0
0
0
226. Kod prostomih reSetkastih nosaCa, kao i kod ravnih reSetkastih nosaea, veze svih Stapova u
Cvoroviina sistema su zglavkaste. Zbog toga se obrtanja Evorova ne pojavljuju kao
generalisana pomeranja. U analizi sistema, kao osnovne nepoznate veliEine, ostaju saino
poineranja Cvorova. U svakom Cvoru mogu da postoje tri medusobno nezavisna pomeranja.
Ona se usvajaju tako da se poklapaju sa osama referentnog koordinatnog sistema. $tap
prostomog reSetkastog nosaCa inla Sest stepeni slobode, po tri u svakom Cvoru. $tapovi
nosaea su sposobni da prime salno sile koje deluju u pravcu ose Stapa. OptereCenje se
zadaje u Cvorovima nosaCa.
Na slici 5.19 prikazana su generalisana pomeranja i generalisane sile na krajevim Stapa, u
lokalnom i u globalnoin koordinantnoin sistemu.
Veza iz~nedu generalisanih sila i generalisanih poineranja na krajevima s'tapa moie da se
prikaie na uobieajen naein:
R=kq,
gde su:
R=
- 1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 000
U izrazu (5.43) 1< je matrica aksijalne krutosti itapa koja je ovde proiirena od inatrice
drugog reda na inatricu Sestog reda, u skladu sa oznakama generalisanih sila i generalisanih
pomeranja, slika 5.19.
Slika 5.19 - Gcncralisana polneranja i gcneralisane silc u lolcalnom i u globalnom koodinantnoln sistemu.
Matrica rotacije za prostonli reietkasti Stap odredena je izrazoin (5.1.7), tj. poinodu
kosinusa uglova koje zaklapaju ose lokalnog sistema sa osama globalnog koordinitnog
sistema. Matrica rotacije moie da se dobije i kao specijalan sluCaj izraza (5.34), koji je
izveden za pune prostorne nosace. PoSto Stapovi reietkastih nosaea mogu da prime samo .
aksijalne uticaje nije bitan poloiaj glavnih osa inercije popreenog preseka Stapa u odnosu
na lokalni, odnosno referentni koordinatni sistem. Zbog toga se za ugao /3 u izrazu (5.34)
227. moie da uzine bilo koja vrednost. Najjednostavniji izraz se dobija ako se usvoji da je P=O.
Tada matrica rotacije prostornog regetkastog Stapa postaje:
Sinenoin (5.44) u (5.22) dobija se matrica krutosti Stapa u referentnom koordinatnom
sistemu:
gde je za Stap kons tantnog popeEnog preseka,
Vektor opterekenja se forinira neposredno, u globalnom koordinatnom sistemu, od
opterekenja 11 Cvorovima sistema, Eije se koinponente zadaju u odnosu na ose globalnog
koordinatnog sisleina. Uticaji od teniperature u osaina pojedinih Stapova u analizu se unose
preko vektora Q, Cije se komponente sracunavaju u lokalnom koordinatnom sisteinu preina
izrazu (3.15), a potoin transformiiu u globalni koordinatni sistem preina izrazu Q* = T' Q.
Postupak forniiranja jednatina za sistem Stapova, naCin njihovog reSavanja, odredivanje
poreinanja, reakcija oslonaca i sila u Stapovima, u sveinu ostaje isti kao i za pune nosate.
Matrica krutosti Stapa (5.45) moie da se izvede na isti naEin kao i za ravan reietkasti Stap,
koji je primenjen u poglavlju 4.4. Veza izmedu pomeranja (sila) na krajevima aksijalno
napregnutog Stapa u lokalnom sisteniu i pomeranja (sila) na krajevima Stapa u globalnoin
sisteinu data je izrazoin (4.97), kao i za ravan Stap, tj.
sano Sto su u sluCaju prostornog Stapa:
i predstavljaju vektore pomeranja i sila na krajevima aksijalno napregnutog Stapa u pravcu
ose x , u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema XYZ i matricu transformacije,
respektivno.
Ako se u izraz (5.41), na mesto matrice T unese matraica Tprema (5.48), tada se dobija
matrica krutosti
228. koja je ista kao j u izrazu (5.45) i (5.46):
Na sliEan naein, za vektor ekvivalentnog opterekenja, dobija se:
I<ada su poznata pomeranja Evorova nosaEa, sile u Stapoviina reSetkastih nosaCa lnogu da
se odrede na isti naEin kao i u sluEaju ravnih reSetkastih nosaCa, tj. pomoku izraza:
" *
Rj = kjqj -Qj , j=lY2,...,rn (5.5 1)
gde je:
Na slici 5.20 prikazan je reSetkasti prostorni nosaE. Potrebno je da se odrede pomeranja
Cvora na vrhu nosaCa i sile u Stapovima usled:
a) dejstva koncentrisane sile P,
b) usled vertikalnog po~neranjao slonca b za c, = 0.01 in.
z .@
Slika 5.20 - Prostorni regetkasti nosac.
229. Poito je nosaE siinetriEan u odnosu na X osu dovoljno je da se analizira sarno jedna
polovina nosaea, koja je prikazana na slici 5.21.
Slilta 5.21 - Skica sisrcma i oznakc pomcralija Evorova.
Nepoznata poineranja su 1 i 2, pomeranje 3 je jednako nuli iz uslova simetrije, a ostala
ponieranja su sprecena osloncima.
Icoordinate Evorova i geometrija itapova
Matrice krutosti itapova se odreduju direktno u referentnom koordinatnom sisteinu preina
izrazima (5.45) i (5.52).
231. a) Dejstvo koncentrisane sile P u tvoru I.
Vektor slobodnih Clanova
Pomeranja Cvora 1.
Reakcije oslonaca
S obzirorn da je korigtena sirnetrija nosaCa i opteretenje P/2 , ukupne reakcije u Cvorovima
3 i 4 kao i sile u itapovima 2 i 3 se dobijaju mnoienjem sa 2.
Sile u itapoviiiia
232. Slika 5.22 - Rcalccije oslonaca i silc u Stapovi~na od optcrckcnja.
b) Vertikalno pomeranje oslonca b za I cm
Vektor slobodnih Clanova q; ima samo jednu komponentu koja je razlitita od nule
Ponieranje Cvora 1.
V s SO o -8.97658 -180.9.5736259801- [ 0 0 -00.0.030197057 o0] ! -oo "'.ol 10 ' = lo-2[ - 00.4.9 51256874 1
q+ = -K+-lK+ q+ = -
0.0 12
Reakcije oslonaca
233. Slika 5.23 - Realtcijc oslonaca usled verliltalnog polneranja Evora 3 za 0.01 m.
Roitilji predstavljaju specijalan sluCaj prostornih nosaCa. Ose svih itapova roitilja leie u
jednoj ravni, koja se naziva ravan ros'tilja. Po svojoj geometriji, rogtilji su ravni nosaCi.
Mebutim, opteredenje koje deluje na nosaC nije u ravni nosaCa, vet je upravno na ravan
nosaCa. Po tome se roitilji razlikuju od ravnih nosaCa.
Proizvoljno opteredenje, koje na ravan nosaC deluje u nekoj kosoj ravni, koja sa ravni
nosaCa zaklapa oitar ugao, moSe da se razloii'na dva opterekenja: a) optereienje u ravni
no,c.aEa b) opferekenje upravno na ravan nosata. U lineranoj analizi dejstva ovih
opterekenja illogu da se razmatraju odvojeno. Na taj naCin, u prvom sluCaju se analizira
ravan nosat, a u drugom sluCaju ros'tilj.
U narednim razinatranjiina pretpostavlja se da je ravan XOY ravan roitilja, a osa Z njena
nonnala. Usled dejstva opterekenja koje je paralelno osi Z pretpostavlja se da u
proizvoljnoj taCki roitjlja inoie da dode samo do poineranja u pravcu ose Z i do obrtanja u
ravrlima koje su upravne na ravan roitilja, npr. u ravnima Cije su noramale ose X i Y . Na
taj naCin, u svakoin Cvoru roitilja mogu da postoje po tri generalisana pomeranja:
pomeranje upravno na ravan roitilja, w , i obrtanja olco osa u ravni ros'tilja,qx i qy >,. ICod
ravnih nosaCa, u svakoin Cvoru inogu da postoje, takobe, tri generalisana poineranja: dva
porneranja u ravni nosaCa u, v i obrtanje oko normale na ravan nosaCa qz . U Cvoru
prostornog nosaCa moie da postoji ukupno Sest generalisanih poineranja, poineranja u
pravcu osa X, Y, Z i obrtanja oko osa X, Y, Z ,it0 je jednako zbiru generalisanih pomeranja
u Cvoru ravnog nosaCa i roitilja. Na slici 5.24 prikazana su generalisana pomeranja u Cvolu
ravnog nosaEa i roitilja nosaCa.
Slika 5.24 - Generalisana pomeranja u Evoru nosaEa: a) ravni nosat, b) roStilj.
