The document contains solutions to 4 exercises involving differential equations of higher order. Exercise 1 involves finding the solution to the differential equation Y” + 8Y’ + 16Y = 0. The solution is yn= c1e−4x + C2e−4x. Exercise 2 involves solving Y” + 9Y = 0 and the solution is Yh = (c1 cos(3x) + c2 sen(-3x)). Exercise 3 solves the equation X = dy/dx +3x2 + 4y = 0 and the solution is y = -x6/2x4 + c/x4. Exercise 4 solves X = dy/dx +1 = x + y and the solution is Y

1. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
Participante:
Mileidi Blanco CI: 20188674
Sección: 3100
UC: Matemática aplicada
Marzo 2021

2. Ejercicio N°3: Hallar la solución de la ecuación diferencial:
Y” + 8Y´ + 16Y = 0
Solución:
La ecuación es de segundo orden y de la forma.
𝒂𝒏(𝑿)
ⅆ𝐧𝐲
ⅆ𝐱𝐧
+ 𝒂𝒏−𝟏 (𝑿)
ⅆ𝐧−𝟏𝐲
ⅆ𝐱𝐧−𝟏
+ ⋯ + 𝐚₁ (𝐱) = 𝟎
Donde a; ≠ 0
Por lo que la ecuación es homogénea.
Usamos una ecuación auxiliar para representarla y calcular sus raíces.
Usamos la ecuación de 2do grado con
𝐒 =
−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
= 𝒙 =
−𝟖±√𝟖𝟐−𝟒(𝟏)(𝟏𝟔)
𝟐 . 𝟏
=
−𝟖±√𝟔𝟒−𝟔𝟒
𝟐
S = -
𝟖
𝟐
→ S₁ = - 4 = S₂
Las raíces son iguales por lo que su solución será:
𝐲𝐧= 𝐜𝟏ⅇ𝐬𝟏𝐱
+ 𝐂𝟐ⅇ𝐬𝟐𝐱
Donde c₁ y c₂ son constantes.
𝐲𝐧= 𝐜𝟏ⅇ−𝟒𝐱
+ 𝐂𝟐ⅇ−𝟒𝐱
Ecuaciones homogéneas
a = 1; b = 8; c =16
𝐬𝟐
+ 𝟖𝐒 + 𝟏𝟔 = 𝟎

3. Ejercicio N°4: Hallar la solución de la ecuación diferencial:
Y” + 9Y = 0
Solución:
La ecuación puede escribirse bajo la forma.
𝒂𝒏(𝑿)
ⅆ𝐧𝐲
ⅆ𝐱𝐧
+ 𝒂𝒏−𝟏 (𝑿)
ⅆ𝐧−𝟏𝐲
ⅆ𝐱𝐧−𝟏
+ ⋯ + 𝐚₁ (𝐱) = 𝟎
Donde a; ≠ 0
Por lo que la ecuación es homogénea.
Usamos una ecuación auxiliar para representarla y calcular sus raíces
Usamos la ecuación de segundo grado, para calcular sus raíces con.
𝐒 =
−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
= 𝒙 =
−𝟎±√𝟎𝟐−𝟒(𝟏)(𝟗)
𝟐 . 𝟏
=
−𝟖±√𝟑𝟔
𝟐
S = ± )
−𝟔 𝒊
𝟐
(
S₁ = + )
−𝟔 𝒊
𝟐
) = ¯
𝟔 𝒊
𝟐
= -3𝒊
S₂ = ˗ )
−𝟔 𝒊
𝟐
) =
𝟔 𝒊
𝟐
= 3𝒊
Las raíces son imaginarias y conjugadas, por lo que la solución viene
expresada por:
S = 𝜶 + Wi Donde 𝜶 = 0 y W = ± 3𝒊
Entonces:
Yh = 𝒆𝜶×
﴾c₁ 𝐜𝐨𝐬𝒘𝒙 + c₂ sen wx ﴿
Yh =𝒆𝟎×
﴾c₁ 𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙 + c₂ sen (-3x (﴿
Yh = ﴾c₁ 𝐜𝐨𝐬(𝟑 𝒙) + c₂ sen (-3x (﴿
con c₁ y c₂ constantes.
𝐬𝟐
+ 𝟗 = 𝟎
a = 1; b = 0; c = 9

4. Ejercicio N°3: Hallar el conjunto solución de:
X =
ⅆ𝐲
ⅆ𝐱
+3𝑥2
+ 4y = 𝟎
Solución:
La ecuación diferencial es lineal ya que aparece la derivada de Y, como la Y
sin exponente y no pertenece a ninguna otra función.
Luego debemos escribir la ecuación, bajo la forma.
Y’ + P(x) Y = q(x)
Dividimos entre x
𝒙
𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+
𝟑𝒙𝟐
𝒙
+
𝟒𝐲
𝒙
=
𝟎
𝒙
→
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟑𝐱 +
𝟒𝒚
𝒙
= 𝟎
Paso 3: Reordenamos la ecuación:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+
𝟒𝒚
𝒙
= −3𝑥 → Y’ +
4𝑦
𝑥
= −3𝑥
Identificamos
𝑃(𝑥) =
𝟒
𝒙
^ q(x) = - 3x
Luego aplicamos Y𝝁 = ∫ 𝒒𝝁 𝒅𝒙 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝝁 = 𝒆∫
𝒑(𝒙)𝒅𝒙
𝝁 = e ∫
𝟒/𝒙 𝒅𝒙
= 𝒆𝝁
∫
𝒅𝒙/𝒙
= 𝒆𝟒𝒍𝒏𝒙
= 𝒆𝒍𝒏𝒙𝟒
= 𝒙𝟒
Y𝑥4
= ∫ -3x (𝑥4
) dx
Y𝑥4
= -3∫ x (𝑥4
) dx = -3 ∫ 𝒙𝟓
dx
Y𝑥4
= -3 [
𝑥6
6
] + c = -
𝑥6
2
+c → y = -
𝒙𝟔
𝟐𝑥4
+
c
𝑥4
Despejamos y
Ddddddddd donde k =
c
𝑥4
Ecuaciones Lineales
Integrando y aplicando
propiedades de logaritmo.
Y =
𝑥2
2
+ K

5. Ejercicio N°: Hallar el conjunto solución de:
X =
ⅆ𝐲
ⅆ𝐱
+1 = 𝐱 + 𝐲
Solución:
La ecuación diferencial es lineal ya que la derivada de Y y Y no aparecen
con otra función, y no están elevadas a una potencia.
Luego escribimos la ecuación bajo la forma.
Y’ + P(x) Y = q(x)
Dividimos entre x
𝒙
𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+
𝟏
𝒙
=
𝒙
𝒙
+
𝒚
𝒙
→
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+
𝟏
𝒙
= 1+
𝒚
𝒙
Reordenamos la ecuación:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
−
𝟏𝐲
𝒙
= 1 −
1
𝑥
→ Y’ -
1y
𝑥
= 1 −
𝟏
𝒙
Identificamos
𝑃(𝑥) = −
𝟏
𝒙
^ q(x) = ± 1 -
𝟏
𝒙
Luego aplicamos Y𝝁 = ∫ 𝒒𝝁 𝒅𝒙 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝝁 = 𝒆∫
𝒑(𝒙)𝒅𝒙
𝝁 = e ∫
− 𝟏/𝒙 𝒅𝒙
= 𝒆−
∫
𝒅𝒙/𝒙
= 𝒆− 𝒍𝒏𝒙
= 𝒆𝒍𝒏𝒙−¹ = 𝒙−
¹ =
𝟏
𝒙
Luego sustituimos
Y =
𝟏
𝒙
= ∫ (1 − 1
𝑥
)
𝟏
𝒙
dx = ∫
𝟏
𝒙
dx - ∫
𝟏
𝑥2
dx = ∫
𝒅𝒙
𝒙
- ∫ 𝒙−
² dx
Y =
𝟏
𝒙
= 𝒍𝒏𝒙 + 𝒙−
¹ +c
Y = x (𝒍𝒏𝒙 + 𝒙−𝟏 + 𝐜 ) = x 𝒍𝒏𝒙 +1+ cx
Integrando y por propiedad
de logaritmo.
Integrando
Y= x 𝒍𝒏𝒙 +1+ cx