2. Conjunto
En las matemáticas, no podemos definir a un conjunto, por ser un concepto primitivo, pero hacemos abstracción
y lo pensamos como una colección desordenada de objetos, los objetos de un conjunto pueden ser cualquier cosa
siempre que tengan una relación entre ellos, a los objetos de un conjunto se les llama elementos de dicho
conjunto, por lo tanto un conjunto contiene a sus elementos. Se representan con una letra mayúscula y a los
elementos o miembros de ese conjunto se les mete entre llaves corchetes o paréntesis. ({,}).
Dos conjuntos se pueden combinar de muchas maneras distintas, por ejemplo, teniendo un conjunto de la
gente que juega al fútbol y otro de la gente que juega a baloncesto podemos hacer muchas combinaciones
como el conjunto de personas que juegan a fútbol o baloncesto, las que juegan a fútbol y baloncesto, las
que no juegan a baloncesto, etc.
Esta es la representación gráfica de un conjunto, en este caso tratamos el
conjunto de los polígonos, dentro de este hay multitud de elementos
(todos los polígonos), pero hay un conjunto perteneciente al anterior que
es el conjunto de polígonos regulares.
3. Operaciones con Conjunto
Unión
Es correspondiente a la unificación de los elementos de dos conjuntos o incluso más conjuntos que
pueden, partiendo de esto conformar una nueva forma de conjunto, en la cual los elementos dentro de
este correspondan a los elementos de los conjuntos originales. Cuando un elemento es repetido, forma
parte de la junta una vez solamente; esto difiere del concepto de multiconjuntos en la concepción
tradicional de la suma, en la cual los elementos comunes se consideran tantas veces como se encuentren
en la totalidad de los conjuntos.
El símbolo del operador de esta operación es: ∪, y es llamado copa. Sean A y B dos conjuntos, la junta
de ambos (A ∪ B) es el conjunto C el cual contiene a todos los elementos pertenecientes al conjunto A y
al conjunto B. Un elemento x pertenece a la junta de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al
conjunto A o x pertenece al conjunto B, por lo tanto
A U B = { x/x € A V x € B }
Diagrama de Venn de la unión de dos conjuntos A U B
4. Ejemplo:
La unión de los conjuntos A={1,2,3} y B={2,4,6}
sería el conjunto C={1,2,3,4,6}, esto es:
{1,2,3}∪{2,4,6}= {1,2,3,4,6} 2.
La unión de personas que juegan al fútbol y de
personas que juegan al baloncesto serían las
personas que juegan a fútbol o baloncesto.
Disjuntividad
Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos cuando la coincidencia de ambos es el conjunto vacío. A ∩ B=
{Ø} Ejemplo: La coincidencia del conjunto de números pares y el conjunto de números impares sería el
conjunto C={Ø} o sea serían disjuntos. Ejemplo: La coincidencia del conjunto de personas que juegan sólo al
baloncesto y el conjunto de personas que juegan sólo al fútbol es el conjunto vacío. Por lo tanto son disjuntos. 3.
Ejemplo: La coincidencia de A={3,7,8} y B={1,2,9} sería C={Ø}, ya que {3,7,8} ∩{1,2,9}={ Ø} por lo tanto
A y B son disjuntos.
Diferencia
El símbolo de esta operación es: .
La diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté en B, también se puede denotar con el símbolo
de la resta A-B, por lo tanto, la diferencia de los Diferencia Diagrama de Venn que muestra la diferencia de
dos conjuntos A B conjuntos A y B es el conjunto C que tiene a todos los elementos que están en A, pero no
en B.
Diagrama de Venn que muestra la diferencia entre dos conjuntos A/B
5. También se le puede llamar a la diferencia de A y B: complementario de B con respecto a A. Por lo
tanto, un elemento pertenece a la diferencia de A y B si, y sólo si : {x/x € AΛ x € B}
Ejemplo: La diferencia de los conjuntos A {1,2,3,4} y B {1,3,5,7} es el conjunto C {2,4}, sin embargo
la diferencia de los conjuntos B {1,3,5,7} y A {1,2,3,4} es el conjunto C{5,7}.
Ejemplo: La diferencia del conjunto de las personas que juegan al fútbol y el conjunto de las personas
que juegan a baloncesto es el conjunto de las personas que solo y exclusivamente juegan al fútbol.
Complemento
Diagrama de Venn que muestra el complemento de un conjunto A
El símbolo de esta operación es: A , o también se suele representar con el símbolo Ā Supongamos que
U es el conjunto universal, en el cual se encuentran todos los elementos posibles, entonces el
complementario de A con respecto a U se consigue restando a U todos los elementos de A. Ā=U-A Por
lo tanto, un elemento pertenece al complementario de A si, y sólo si A
ͨ = { x/x € U Λ x Ɇ A}
Ejemplo: El complementario del conjunto de números pares es el conjunto de números impares
Ejemplo: El complementario del conjunto de personas que juegan a … fútbol es el conjunto de
personas que no lo juegan.
6. Diferencia Simétrica
Diagrama de Venn que muestra la diferencia de dos conjuntos AΔ B
El símbolo de esta operación es: Δ. La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto el cual posee
los elementos que o bien se encuentran en A, o bien se encuentran en B, pero no en los dos a la vez. A Δ B = C,
donde C no tiene 1. Ejemplo: La diferencia simétrica del conjunto de personas que juegan a fútbol y el conjunto
de personas que juegan a baloncesto es el conjunto de personas que juegan sólo a fútbol y sólo a baloncesto,
pero no que jueguen a ambos a la vez.
7. Números Reales
Número real número que puede ser representado por una parte entera y una lista finita o infinita de decimales En
matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por ℝ) incluye tanto a los números racionales, (positivos,
negativos y el cero) como a los números irracionales; [1] y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales
y los trascendentes[2] (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo;
tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como √5, π, o el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada
por Euler en el siglo XVIII.[2]
Notación
Los números reales se expresan con decimales que tienen una secuencia infinita de Notación dígitos a la derecha de la
coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se sub-representan con tres puntos consecutivos al
final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin
importancia. Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No solo es más conciso
escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos como proporciones, con
un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número real. En el
análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los números reales son la
herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los
números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad. Se dice que un número real
es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un número no recursivo es aquel que es
imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo supone que todos los números reales
son recursivos. Los ordenadores solo pueden aproximarse a los números reales por números racionales; de todas maneras,
algunos programas de ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica.
En matemática, la palabra «real» se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo de los
números reales. Por ejemplo, matriz real, función real, y Álgebra de Lie real.
8. Tipos de Números Reales
Racionales e irracionales
Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que
pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los
irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya
representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los Tipos de números reales … irracionales
tienen una expansión decimal aperiódica:
Ejemplo:
¼ = 0,250000 …. es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal .
5/7 = 0, 714285714285714285…. es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285) .
³√7 + 1 = 1,456465591386….. es irracional y su expansión decimal es aperiódica
2
9. Desigualdades
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos
(en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces
pueden ser comparados. La notación a < b significa a es menor que b; La notación a > b significa a es mayor que
b Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede
leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".
- La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b; La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b; estos
tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
- La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b; La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;
esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
- La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o
siquiera si son comparables.
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están
comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar
el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.
10. Propiedades
Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades
transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos
de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta
(≤ y ≥).
Transitividad
Para números reales arbitrarios a, b y c:
Si a > b y b > c entonces a > c.
Si a < b y b < c entonces a < c. …
Si a > b y b = c entonces a > c.
Si a < b y b = c entonces a < c.
Adición y sustracción
Para números reales arbitrarios a,b y c:
Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.
Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.
11. Multiplicación y división
Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:
Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c. … …
Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.
Opuesto
Para números reales arbitrarios a y b:
Si a < b entonces −a > −b.
Si a > b entonces −a < −b.
Recíproco
Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:
Si a < b entonces 1/a > 1/b.
Si a > b entonces 1/a < 1/b.
Si a y b son de distinto signo:
Si a < b entonces 1/a < 1/b.
Si a > b entonces 1/a > 1/b
12. Valor absoluto
es el valor de un número sin tomar en cuenta su signo En matemáticas, el valor absoluto o módulo[1] de un
número real x, denotado por |x|, es el valor no negativo de x sin importar el signo, sea este positivo x o g igual
1984 negativo. [2] Así, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.
El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos
matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros
objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Grafica de la Función Valor Absoluto
Números Reales
Para cualquier número real , el valor absoluto de x denota por |x| se define como:[3]
|x| = { x, si x ≥ 0
{ -x, si x ˂ 0
El valor absoluto de x es siempre un número positivo o cero pero nunca negativo:
cuando x ( x ˂ 0 ) es un número negativo entonces su valor absoluto es
necesariamente positivo (|x| = - x > 0)
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real puede verse como la distancia que
existe entre ese número y el cero. De manera general, el valor absoluto entre la diferencia de dos números es la
distancia entre ellos.
13. Función Valor Absoluto
La función real valor absoluto se define sobre el conjunto de todos los números reales asignando a cada número
real su respectivo valor absoluto. Formalmente, el valor absoluto de todo número real x está definido por:[5]
Por definición, el valor absoluto de x siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales sirve para hallar la distancia entre ellos. De
hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor
absoluto que expresa la distancia a lo largo de la recta numérica real.
- La función valor absoluto es una función continua en todo su dominio, con su función derivada discontinua
esencial en (0;0), con dos ramas de valores constantes.
- La función y = x |x|, usando valor absoluto, es una función creciente y continua, su gráfica se obtiene de la de la
gráfica de la parábola y=x2 , reflejando la rama izquierda respecto al eje Ox.
15. Otras dos útiles inecuaciones son:
|a| ≤ b -b ≤ a ≤ b
b ≤ |a| a – b ≤ Ѵ b ≤ a Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones.
Valor absoluto de un número complejo
El valor absoluto de un número complejo z es la distancia r desde z al origen. Aquí vemos que z y su conjugado
z tienen el mismo valor absoluto.
La generalización cabe. pues en R y C van a expresar la noción de distancia. Como los números complejos no
conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa,
sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para
el valor absoluto:
|z| = √ zz* donde z* es el conjugado del número complejo z. De esta manera, dado cualquier número complejo de
la forma : z = x + iy
con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por: |z| = √ x² + y²
16. Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar
a estos últimos también de esta forma:
| x + i0| = √ x² + 0² = √x² = |x|
De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende
del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el
plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de
dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.
Propiedades
El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales.
Además, si: z = x + iy = r (cos Ø + i sin Ø), z = x – iy
es el conjugado de z, entonces se verifica que:
|z| = r
|z| = |z|
|z| = √zz
Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta
sección. Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el operador de
multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un endomorfismo del grupo multiplicativo de los
números complejos.
