1. MATEMÁTICA
APLICADA
Ing.: Ernesto Cisnero
Nombre: Evelyn Estefanía Días
Rodríguez, Anahí Vanessa
Enríquez Méndez, Tatiana
Estefanía De La Torre Proaño,
Santiago Miguel Ponce Chasin
Tema: Ecuaciones e
Inecuaciones de primer y
segundo grado.
2. Ecuaciones e Inecuaciones
Aplicadas a la Empresa.
Las aplicaciones de ecuaciones e inecuaciones sirven para hallar el
costo, ingreso y utilidad de una empresa o negocio.
3. Ecuaciones de Primer Grado
Una ecuación de primer grado es una ecuación cuya solución viene dada por Primero, el producto de
sus variables (en este caso, x), y el valor medio de sus fórmulas integrales, como la matriz integral.
Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple solamente para determinados valores de las variables o
incógnitas (las letras). Por ejemplo, la siguiente igualdad algebraica es una ecuación
Los valores de las variables o incógnitas (letras) que hacen que se verifique la igualdad son lo que denominamos
que denominamos soluciones de la ecuación. Así, en el ejemplo anterior, x=3 sería una solución, ya que hace que
ya que hace que se verifique la igualdad al sustituir x por 3:
7x – 3 = 3x + 9
7·3 – 3 = 3·3 + 9
21 – 3 = 9 + 9
18 = 18
4. Solución
Escribimos los monomios con incógnita en la izquierda y los que no tienen incógnita en la
derecha.
Como 5x5� está sumando en la derecha, pasa restando a la izquierda. El número 1 de la
izquierda está restando, así que pasa sumando al otro lado:
Sumamos los monomios en cada lado:
Es decir,
Para despejar la incógnita, debemos pasar el coeficiente de la incógnita a
la derecha. Como está multiplicando, pasa dividiendo (con el signo
negativo incluido):
5. Finalmente, simplificamos la fracción:
Por tanto, la solución es x=−3.
Comprobamos la solución sustituyendo en la ecuación:
7. Ecuaciones de Segundo Grado.
Se llama ecuación cuadrática, o de segundo grado, con una incógnita a toda aquella que
tiene la forma general reducida ax2 + bx + c = 0, siendo a ¹ 0. El coeficiente a se llama
cuadrático o principal, b es el coeficiente lineal y c el término independiente. Si todos los
coeficientes de la ecuación son distintos de cero, se dice que es completa. Si el coeficiente
lineal o el término constante son nulos, la ecuación es incompleta.
8. El signo de Δ nos permite conocer el tipo de soluciones de la ecuación:
• Si Δ>0, hay dos soluciones reales distintas.
• Si Δ=0, hay dos soluciones reales iguales.
• Si Δ<0, no hay soluciones reales (hay dos soluciones complejas
distintas).
Recordemos
La forma general de una ecuación de segundo grado es:
Por comodidad, resolveremos la ecuación de tres formas distintas según
los valores de los coeficientes b y c.
Se llama discriminante, Δ, a
9. Ejemplo y
Solución
Determinar el tipo y número de soluciones de la ecuación
Calculamos el discriminante
Como los coeficientes son a=3, b=−5 y c=1, el discriminante es
El discriminante es positivo, así que la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
10. Solución de ecuaciones de primer y
segundo grado.
Una ecuación de segundo grado es lo contrario de su homóloga de primer
grado. Así, una solución de una ecuación de primer grado será siempre la suma
de sus variables, mientras que las soluciones de una ecuación de segundo
grado serán siempre iguales a los valores de primer grado de sus
correspondientes variables.
13. Hallar el número que cumple:
2x+5=3
5
2x=35−
5
2x=30
x=30
2
=15
Su doble más 5 es 35.
Hallar tres números consecutivos cuya suma sea 219.
Sea x el primer número. Su siguiente es x + 1, y el siguiente de éste es ( x + 1 )
+ 1 = x + 2. Por tanto,
x+(x+1)+(x+2)=219
3x+3=219
3x=219−3
3x=216
x=216
3
=72
Por tanto, los números son 72, 73 y 74.
Por tanto el número es 15.
14. Sistemas De Ecuaciones De Primer Grado
Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades algebraicas
en las que aparecen una o varias incógnitas elevadas a la potencia uno. Cada una
de estas ecuaciones lineales, o de primer grado, tiene la forma ax + by + cz + ¿ =
k, donde a, b, c, ..., son los coeficientes de la ecuación; x, y, z, ..., las incógnitas o
variables, y k el término independiente (también un valor constante).
15. Tipos de sistemas lineales
En el análisis de un sistema de ecuaciones lineales se pueden presentar varios
casos:
Si el sistema tiene solución, y ésta es única, se denomina compatible determinado.
Cuando presenta varias soluciones posibles, es compatible indeterminado.
Si no tiene solución, se denomina imposible o incompatible.
Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones
son equivalentes. En la noción de equivalencia se basan las principales técnicas
algebraicas de resolución de estos sistemas, que persiguen convertirlos en otros
cuya resolución sea más sencilla.
16.
17. Método de sustitución
La técnica algebraica denominada método
de sustitución, para resolver un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas, consiste
en despejar una incógnita en una de las
ecuaciones y sustituirla en la otra; así, se
obtiene una sola ecuación con una incógnita.
Una vez obtenido el valor de esta incógnita,
se sustituye su valor en cualquiera de las
ecuaciones del sistema, inicial para calcular
el valor de la otra incógnita.
Sea el mismo sistema anterior de
ecuaciones. Si se despeja
y se sustituye en la segunda ecuación, se
tiene que:
-17 y = -17 y = 1
x = 2.
Métodos Resolución
18. PASO A PASO
Ecuación I
Ecuación II
Despejamos cualquiera de las 2 variables en una de las 2 ecuaciones, siempre
debemos buscar la que requiera menos trabajo algebraico para nuestra
comodidad, en este caso, despejaremos x en la Ecuación I.
A eso se le llama valor de x con respecto a y
Sustituimos el valor despejado en la otra ecuación, en este caso, sustituimos el
valor de x e la ecuación 2
19. Como podemos observar, ahora en la ecuación solo esta la variable y Esta ecuación se
puede simplificar y despejar para obtener el valor de y.
Una vez que tengamos el valor de una de las variables, en este caso el de y podemos
sustituirlo en cualquiera de las 2 ecuaciones para encontrar el valor de la otra variable,
en este caso x.
Y así obtenemos el valor de nuestras variables en un sistema de ecuaciones y
observamos que la solución es ÚNICA.
21. Método de igualación
Una primera técnica algebraica común para
resolver sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas es el método de
igualación. Este método consiste en despejar
la misma incógnita en ambas ecuaciones e
igualar las expresiones resultantes; se
resuelve la ecuación de primer grado con
una incógnita obtenida y se sustituye este
valor en las ecuaciones iniciales.
Sea, por ejemplo el sistema:
Despejando x en ambas ecuaciones, se
tiene:
Entonces,
Sustituyendo este valor en cualquiera de
las ecuaciones de x, se tiene que
x = 2.
22. Paso a Paso
Podemos despejar cualquiera de las 2 variables, en este caso hemos elegido x. Hay
que hacerlo en cada una de las ecuaciones
Podemos observar que ambas ecuaciones están igualadas con x , así que por
transitividad decimos que:
Si , entonces
.
23. Podemos observar que ahora solo nos queda una ecuación con una sola variable,
la cual podemos simplificar y despejar, obteniendo:
24. Problemas
x+y=7; x=7-y
5x-2y=-7; 5x=2y-7
x=(2y-7)/5
7-y = (2y-7)/5
5.( 7-y) = (2y -7)
35 -5y= +2y -7
42=7y
y=42/7=6
y=6
x=7-y
x=7-6=1
x=1
La solución de nuestro
sistema es x=1 e y =6.
X= 48-Y
X= 4+3Y
48-y = 4+3y
48-4 = +3y+y
44= 4y
y= 44/4 = 11
Y = 11
x= 48-y = 48-11= 37
X = 37
La solución al
sistema es x= 37 e y =
11.
25. Método de reducción
a tercera técnica algebraica de resolución de sistemas de
ecuaciones lineales, el método de reducción, consta de
los siguientes pasos:
Se multiplican o dividen los miembros de las dos
ecuaciones por los números que convengan para que
una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en
ambas.
Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se
elimina una incógnita.
Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se
sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones
iniciales para calcular la segunda.
Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones:
conviene multiplicar la primera ecuación
por 4 y la segunda por 3, y restar ambas
ecuaciones:
