Teoria de colas

17
C A P Í T U L O
Teoría de colas
Las colas (líneas de espera) son parte de la vida diaria. Todos esperamos en colas para comprar un
boleto para el cine, hacer un depósito en el banco, pagar en el supermercado, enviar un paquete
porcorreo,obtenercomidaenlacafetería,subiraunjuegoenlaferia,etc.Noshemosacostumbradoa
una considerable cantidad de esperas, pero todavía nos molesta cuando éstas son demasiado largas.
Sin embargo, tener que esperar no sólo es una molestia personal. El tiempo que la población
de un país pierde al esperar en las colas es un factor importante tanto de la calidad de vida como
de la eficiencia de su economía.
También ocurren grandes ineficiencias debido a otros tipos de espera que no son personas en
una cola. Por ejemplo, cuando las máquinas esperan ser reparadas pueden provocarse pérdidas
de producción. Los vehículos (incluso barcos y camiones) que deben esperar su descarga pueden
retrasar envíos subsecuentes. Los aviones que esperan despegar o aterrizar pueden desorganizar
la programación posterior de vuelos. Los retrasos de las transmisiones de telecomunicaciones por
saturación de líneas pueden causar fallas inesperadas en los datos. Cuando los trabajos de manu-
factura esperan su proceso se puede perturbar el proceso de producción. El retraso de los trabajos
de servicio respecto de su fecha de entrega es una causa de pérdida de negocios futuros.
La teoría de colas es el estudio de la espera en las distintas modalidades. Utiliza los modelos
de colas para representar los tipos de sistemas de líneas de espera (sistemas que involucran colas
de algún tipo) que surgen en la práctica. Las fórmulas de cada modelo indican cuál debe ser el
desempeño del sistema correspondiente y señalan la cantidad promedio de espera que ocurrirá en
diversas circunstancias.
Por lo tanto, estos modelos de líneas de espera son muy útiles para determinar cómo operar
un sistema de colas de la manera más eficaz. Proporcionar demasiada capacidad de servicio para
operar el sistema implica costos excesivos; pero si no se cuenta con suficiente capacidad de servi-
cio surgen esperas excesivas con todas sus desafortunadas consecuencias. Los modelos permiten
encontrar un balance adecuado entre el costo de servicio y la cantidad de espera.
Después de una exposición general, en este capítulo se presenta la mayoría de los modelos de
líneas de espera elementales y sus resultados básicos. En la sección 17.10 se estudia cómo puede
usarse la información que proporciona la teoría de colas para diseñar sistemas que minimicen el
costo total de servicio y espera. Después, en el capítulo 26 (en el sitio en internet de este libro) se
profundiza en la aplicación de la teoría de colas en este sentido.
■ 17.1 EJEMPLO PROTOTIPO
La sala de urgencias del HOSPITAL GENERAL proporciona cuidados médicos rápidos a los ca-
sos de emergencia que llegan en ambulancia o vehículos particulares. En todo momento se cuenta
con un médico de guardia. No obstante, debido a la creciente tendencia a usar estas instalaciones
para casos de urgencia en lugar de ir a una clínica privada, cada año el hospital experimenta un

aumento continuo del número de pacientes que llegan a la sala de emergencias. Como resultado, es
bastante común que los pacientes que llegan durante las horas pico (temprano en la tarde) tengan
que esperar turno para recibir el tratamiento del médico. Por ello, se ha presentado una propuesta
para asignar un segundo médico a esta sala durante esas horas pico, para que se puedan atender
dos casos de emergencia al mismo tiempo. Se ha pedido al ingeniero administrador del hospital
que estudie esta opción.
El ingeniero comenzó por reunir los datos históricos pertinentes y hacer una proyección de
ellos al siguiente año. Reconoció que la sala de urgencias es un sistema de líneas de espera y aplicó
varios modelos de teoría de colas para predecir las características de la espera en el sistema con uno
y dos médicos, como se verá más adelante en este capítulo (vea las tablas 17.2 y 17.3).
■ 17.2 ESTRUCTURA BÁSICA DE LOS MODELOS DE COLAS
Proceso básico de colas
El proceso básico supuesto por la mayoría de los modelos de colas es el siguiente. Los clientes que
requieren un servicio se generan en el tiempo en una fuente de entrada. Luego, entran al sistema
y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola para propor-
cionarle el servicio mediante alguna regla conocida como disciplina de la cola. Se lleva a cabo el
servicio que el cliente requiere mediante un mecanismo de servicio, y después el cliente sale del
sistema de colas. En la figura 17.1 se describe este proceso.
Se pueden hacer muchos supuestos sobre los distintos elementos del proceso de colas que se
analizarán a continuación.
Fuente de entrada (población potencial)
Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de clientes
que pueden requerir servicio en determinado momento, es decir, el número total de clientes poten-
ciales. Esta población a partir de la cual surgen las unidades que llegan se conoce como población
de entrada. Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito (de modo que también se dice que
la fuente de entrada es ilimitada o limitada). Debido a que los cálculos son mucho más sencillos
en el caso del tamaño infinito, este supuesto se hace a menudo aun cuando el tamaño real sea un
número fijo relativamente grande, y debe tomarse como un supuesto implícito en cualquier modelo
en el que no se establezca otra cosa. Desde una perspectiva analítica, el caso finito es más complejo
puesto que el número de clientes que conforman la cola afecta al número potencial de clientes
fuera del sistema en cualquier momento; pero debe hacerse este supuesto de finitud si la tasa a la
que la fuente de entrada genera clientes nuevos es afectada en forma significativa por el número de
clientes existentes en el sistema de líneas de espera.
También se debe especificar el patrón estadístico mediante el cual se generan los clientes en el
tiempo. El supuesto normal es que se generan de acuerdo con un proceso Poisson; es decir, el nú-
mero de clientes que llegan hasta un momento específico tiene una distribución de Poisson. Como
se analizará en la sección 17.4, este caso corresponde a aquel cuyas llegadas al sistema ocurren de
manera aleatoria pero con cierta tasa media fija y sin que importe cuántos clientes están ya ahí (por
lo que el tamaño de la fuente de entrada es infinito). Un supuesto equivalente es que la distribución
Clientes
Cola
Clientes
atendidos
Sistema de colas
Fuente
de
entrada
Mecanismo
de servicio
FIGURA 17.1
Proceso básico de colas.
17.2 ESTRUCTURA BÁSICA DE LOS MODELOS DE COLAS 709

710 CAPÍTULO 17 TEORÍA DE COLAS
de probabilidad del tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas es exponencial. (En la
sección 17.4 se describen las propiedades de esta distribución.) Se hace referencia al tiempo que
transcurre entre dos llegadas consecutivas como tiempo entre llegadas.
También debe especificarse cualquier otro supuesto no usual sobre el comportamiento de los
clientes. Un ejemplo sería cuando se pierde un cliente porque desiste o se rehúsa a entrar al sistema
porque la cola es demasiado larga.
Cola
La cola es donde los clientes esperan antes de recibir el servicio. Una cola se caracteriza por el
número máximo permisible de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas,
según si dicho número es finito o infinito. El supuesto de una cola infinita es el estándar de la
mayoría de los modelos, incluso en situaciones en las que en realidad existe una cota superior (re-
lativamente grande) sobre el número permitido de clientes, puesto que manejar una cota así puede
ser un factor que complique el análisis. En los sistemas de colas en los que la cota superior es tan
pequeña que se llega a ella con cierta frecuencia, es necesario suponer una cola finita.
Disciplina de la cola
La disciplina de la cola se refiere al orden en el que sus miembros se seleccionan para recibir el ser-
vicio. Por ejemplo, puede ser: primero en entrar, primero en salir; aleatoria; de acuerdo con algún
procedimiento de prioridad o con algún otro orden. En los modelos de colas se supone como normal
a la disciplina de primero en entrar, primero en salir, a menos que se establezca de otra manera.
Mecanismo de servicio
El mecanismo de servicio consiste en una o más estaciones de servicio, cada una de ellas con uno o
más canales de servicio paralelos, llamados servidores. Si existe más de una estación de servicio,
el cliente puede recibirlo de una secuencia de ellas (canales de servicio en serie). En una estación
dada, el cliente entra en uno de estos canales y el servidor le presta el servicio completo. Los mo-
delos de colas deben especificar el arreglo de las estaciones y el número de servidores (canales
paralelos) en cada una de ellas. Los modelos más elementales suponen una estación, ya sea con un
servidor o con un número finito de servidores.
El tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación en
una estación se llama tiempo de servicio (o duración del servicio). Un modelo de un sistema de
colas determinado debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio de
cada servidor (y tal vez de los distintos tipos de clientes), aunque es común suponer la misma dis-
tribución para todos los servidores (todos los modelos en este capítulo se basan en este supuesto).
La distribución del tiempo de servicio que más se usa en la práctica (por ser más manejable que
cualquier otra) es la distribución exponencial que se presenta en la sección 17.4, por lo que casi
todos los modelos de este capítulo serán de este tipo. Otras distribuciones de tiempos de servicio
importantes son la distribución degenerada (tiempos de servicio constantes) y la distribución Er-
lang (gamma) que se ilustran en los modelos de la sección 17.7.
El proceso de colas elemental
Como ya se ha señalado, la teoría de colas se aplica a muchos tipos diferentes de situaciones. El
tipo que prevalece es el siguiente: una sola línea de espera (que a veces puede estar vacía) se forma
frente a una estación de servicio, dentro de la cual se encuentra uno o más servidores. Cada cliente
generado por una fuente de entrada recibe el servicio de uno de los servidores, quizá después de
esperar un poco en la cola (línea de espera). En la figura 17.2 se presenta un esquema del sistema
de colas del que se habla.
Observe que el proceso que se ilustra en el ejemplo de la sección 17.1 es de este tipo. La fuente
de entrada genera clientes en la forma de casos urgentes que requieren cuidado médico. La sala de
urgencias es la instalación de servicio y los médicos son los servidores.
Un servidor no tiene que ser un solo individuo; puede ser un grupo de personas, por ejemplo,
una cuadrilla de reparación que combina fuerzas para realizar, de manera simultánea, el servicio
que solicita el cliente. Aún más, los servidores ni siquiera tienen que ser personas. En muchos

casos puede ser una máquina, un vehículo, un dispositivo electrónico, etc. En esta misma línea
de ideas, los clientes que conforman la cola no tienen que ser personas. Por ejemplo, pueden ser
unidades que esperan ser procesadas en cierto tipo de máquina, o automóviles que deben pasar por
una caseta de cobro.
En realidad, no es necesario que se forme una línea de espera física delante de una estructura
material que constituye la estación de servicio. Los miembros de la cola pueden estar dispersos en
un área mientras esperan que el servidor venga a ellos, como las máquinas que esperan reparación.
El servidor o grupo de servidores asignados a un área constituyen la estación de servicio de esa
área. De todas maneras, la teoría de colas proporciona, entre otros, un número promedio de clientes
en espera —el tiempo promedio de espera—, puesto que es irrelevante si los clientes esperan en
grupo o no. El único requisito esencial para poder aplicar la teoría de colas es que los cambios en
el número de clientes que esperan un servicio ocurran como si prevaleciera la situación física que
se describe en la figura 17.2 (o una contraparte válida).
Con excepción de la sección 17.9, todos los modelos de colas que se presentan en este capítulo
son del tipo elemental que se esquematiza en la figura 17.2. Muchos de ellos se basan en el supuesto
de que todos los tiempos entre llegadas y todos los tiempos de servicio son independientes e idén-
ticamente distribuidos. Por convención, estos modelos se etiquetan de la siguiente manera:
Distribución de tiempos de servicio
– / – / – Número de servidores
Distribución de tiempos entre llegadas,
donde: M5 distribución exponencial (markoviana), como se describe en la sección
17.4,
D5 distribución degenerada (tiempos constantes), como se expone en la sección
17.7,
Ek5 distribución Erlang (parámetro de forma 5 k), como se describe en la sec-
ción 17.7,
G5 distribución general (permite cualquier distribución arbitraria),1
como se
presenta en la sección 17.7.
FIGURA 17.2
Sistema de colas elemental
(cada cliente se indica con
una C y cada servidor con
una S).
S
S
S
S
C
C
C
C
C C C C C C C
Clientes atendidos
Sistema de colas
Clientes
Cola
Instalación
de servicio
Clientes atendidos
1
Al referirse a los tiempos entre llegadas, se sustituyó, de manera convencional, el símbolo G por GI = distribución general
independiente.
17.2 ESTRUCTURA BÁSICA DE LOS MODELOS DE COLAS 711

Por ejemplo, el modelo M/M/s que se presenta en la sección 17.6 supone que tanto los tiempos
entre llegadas como los de servicio tienen distribución exponencial y que el número de servidores
es s (cualquier entero positivo). El modelo M/G/1 que se estudia en la sección 17.7 supone que los
tiempos entre llegadas siguen una distribución exponencial pero no pone restricciones a la distribu-
ción de los tiempos de servicio, mientras que el número de servidores está restringido a sólo 1. En
la sección 17.7 se presentan algunos otros modelos que se ajustan a este esquema de etiquetas.
Terminología y notación
A menos que se establezca otra cosa, se utilizará la siguiente terminología estándar:
Estado del sistema 5 número de clientes en el sistema.
Longitud de la cola 5 número de clientes que esperan servicio.
5 estado del sistema menos número de clientes a quienes se les da el
servicio.
N(t) 5 número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t $ 0).
Pn(t) 5 probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el
tiempo t, dado el número en el tiempo 0.
s 5 número de servidores (canales de servicio en paralelo) en el sistema de
colas.
n 5 tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de
tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema.
n 5 tasa media de servicio en todo el sistema (número esperado de clientes
que completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clien-
tes en el sistema. Nota: n representa la tasa combinada a la que todos
los servidores ocupados (aquellos que están sirviendo a un cliente)
logran terminar sus servicios.
, , 5 vea el párrafo siguiente.
Cuando n es constante para toda n, esta constante se denota por . Cuando la tasa media
de servicio por servidor ocupado es constante para toda n $ 1, esta constante se denota por .
(En este caso, n 5 s cuando n $ s, es decir, cuando los s servidores están ocupados.) En estas
circunstancias, 1/ y 1/ es el tiempo esperado entre llegadas y el tiempo esperado de servicio,
respectivamente.Asimismo, 5 /(s) es el factor de utilización de la instalación de servicio, es
decir, la fracción esperada de tiempo que los servidores individuales están ocupados, puesto que
/(s) representa la fracción de la capacidad de servicio del sistema (s) que utilizan en promedio
los clientes que llegan ().
También se requiere cierta notación para describir los resultados de estado estable. Cuando
un sistema de colas apenas inicia su operación, el estado del sistema (el número de clientes que
esperan en el sistema) se encuentra bastante afectado por el estado inicial y el tiempo que ha
pasado desde el inicio. Se dice entonces que el sistema se encuentra en condición transitoria.
Sin embargo, una vez que ha pasado suficiente tiempo, el estado del sistema se vuelve, en esencia,
independiente del estado inicial y del tiempo transcurrido (excepto en circunstancias no usuales).2
En este contexto, se puede decir que el sistema ha alcanzado su condición de estado estable, en la
que la distribución de probabilidad del estado del sistema se conserva (la distribución estacionaria
o de estado estable) a través del tiempo. La teoría de colas tiende a dedicar su análisis a la condi-
ción de estado estable, en parte porque el caso transitorio es analíticamente más difícil. (Existen
algunos resultados transitorios pero en general están más allá del alcance de este libro.) La notación
siguiente supone que el sistema se encuentra en la condición de estado estable:
Pn 5 probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema.
L 5 número esperado de clientes en el sistema
ⴥ
n0
nPn.
2
Cuando y están definidos, estas circunstancias poco usuales se refieren a que $ 1, en cuyo caso el estado del
sistema tiende a crecer en forma continua conforme pasa el tiempo.

Lq 5 longitud esperada de la cola (excluye los clientes que están en servicio)

ⴥ
ns
(n s)Pn.
0 5tiempo de espera en el sistema (incluye tiempo de servicio) para cada cliente.
W 5 E(0).
0q 5 tiempo de espera en la cola (excluye tiempo de servicio) para cada cliente.
Wq 5 E(0q).
Relaciones entre L, W, Lq, y Wq
Suponga que n es una constante para toda n. Se ha demostrado que en un proceso de colas en
estado estable,
L 5 W.
(Dado que John D. C. Little proporcionó la primera demostración rigurosa, a veces se le da el
nombre de fórmula de Little.) Además, la misma demostración prueba que
Lq 5 Wq.
Si las n no son iguales, entonces se puede sustituir en estas ecuaciones por , la tasa pro-
medio entre llegadas a largo plazo. (Más adelante se verá cómo se puede determinar en algunos
casos básicos.)
Ahora suponga que el tiempo medio de servicio es una constante l/, para toda n $ 1. Se
tiene entonces que
W Wq

1
.
Estas relaciones son en extremo importantes, puesto que permiten determinar las cuatro canti-
dades fundamentales: L, W, Lq y Wq en cuanto se encuentra analíticamente el valor de una de ellas.
Esta situación es afortunada, ya que suele ser mucho más fácil determinar una de ellas que las otras
al resolver un modelo de colas a partir de los principios básicos.
■ 17.3 EJEMPLOS DE SISTEMAS DE COLAS REALES
Puede parecer que la descripción de los sistemas de colas de la sección 17.2 es algo abstracta y
que sólo es aplicable en situaciones prácticas bastante especiales. Por el contrario, los sistemas de
colas se aplican con sorprendente frecuencia en una amplia variedad de contextos. Para ampliar el
horizonte sobre sus aplicaciones, se mencionarán brevemente varios ejemplos reales de sistemas
de colas que pertenecen a varias categorías generales. Después se describirán sistemas de colas en
algunas compañías prominentes (y en una ciudad) y los estudios premiados que se llevaron a cabo
para diseñar estos sistemas.
Algunas clases de sistemas de colas
Una clase importante de sistemas de colas que se encuentra en la vida diaria es el sistema de ser-
vicio comercial, en donde los clientes externos reciben un servicio de una organización comercial.
Muchos de estos sistemas incluyen un servicio de persona a persona en un local fijo, como una
peluquería (los peluqueros son los servidores), el servicio de una cajera de banco, las cajas de cobro
de un supermercado y una cola en una cafetería (canales de servicio en serie). Sin embargo, muchos
otros sistemas son de un tipo diferente, como la reparación de aparatos domésticos (el servidor
va hacia el cliente), una máquina de monedas (el servidor es una máquina) y una gasolinera (los
clientes son automóviles).
Otra clase importante es la de sistemas de servicio de transporte. En algunos de estos siste-
mas los vehículos son los clientes, como los automóviles que esperan para pasar por una caseta de
cobro o un semáforo (el servidor), un camión de carga o un barco que esperan que una cuadrilla
17.3 EJEMPLOS DE SISTEMAS DE COLAS REALES 713

les dé el servicio de carga o descarga y un avión que espera aterrizar o despegar en una pista (el
servidor). (Un estacionamiento es un ejemplo poco usual de este tipo, en el que los automóviles son
los clientes y los espacios son los servidores, pero no existe una cola porque si un estacionamiento
está lleno, los clientes se van a otro.) En otros casos, los vehículos son los servidores, como los
taxis, los camiones de bomberos y los elevadores.
En años recientes, la teoría de colas se ha aplicado más a los sistemas de servicio interno don-
de los clientes que reciben el servicio son personal interno o parte de la organización. Los ejemplos
incluyen sistemas de manejo de materiales, en donde las unidades de manejo de materiales (los
servidores) mueven cargas (los clientes); sistemas de mantenimiento, en los cuales las brigadas
de mantenimiento (los servidores) reparan máquinas (los clientes) y puestos de inspección en los
que los inspectores de control de calidad (los servidores) inspeccionan artículos (los clientes). Las
instalaciones para empleados y los departamentos que les prestan servicio también entran en esta
categoría. Además, las máquinas se pueden ver como servidores cuyos clientes son los trabajos
que están procesando. Un ejemplo relacionado muy importante es un centro de cómputo en el que
la computadora se puede ver como el servidor.
Existe un reconocimiento creciente de que la teoría de colas también se puede aplicar a siste-
mas de servicio social. Por ejemplo, un sistema judicial es una red de colas, donde las cortes son
las instalaciones de servicio, los jueces (o los jurados) son los servidores y los casos que esperan el
proceso son los clientes. Un sistema legislativo es una red de colas similar, en el cual los clientes
son los asuntos que el congreso va a tratar. Algunos sistemas de salud pública son sistemas de
colas. En la sección 17.1 se vio un ejemplo (la sala de urgencias de un hospital), pero también las
ambulancias, las máquinas de rayos X y las camas del hospital pueden actuar como servidores en
sus propios sistemas. En forma parecida, las familias en espera de viviendas de interés social u
otros servicios pueden ser clientes de un sistema de colas.
Aun cuando éstas son cuatro clases amplias de sistemas de colas, la lista todavía no se agota.
En realidad, la teoría de colas comenzó a principios de siglo con aplicaciones a ingeniería telefónica
(el fundador de la teoría de colas, A. K. Erlang, era empleado de la Danish Telephone Company,
en Copenhague), y la ingeniería telefónica constituye todavía una importante aplicación. Lo que
es más, cada individuo tiene sus propias líneas de espera personales: tareas, libros que leer, etc.
Estos ejemplos son suficientes para sugerir que los sistemas de colas sin duda se presentan con toda
frecuencia en muchas áreas de la sociedad.
Algunas aplicaciones de teoría de colas ganadoras de premios
El prestigioso premio Franz Edelman Awards for Management Science Achievement es otorgado
cada año por el Institute of Operations Research and Management Sciences (INFORMS) a la
mejor aplicación de IO del año. Un buen número de estos premios se ha otorgado por aplicaciones
innovadoras de la teoría de colas al diseño de sistema de colas.
Dos de dichas aplicaciones de la teoría de colas ganadoras de premios se describen en las
viñetas de aplicación más adelante en este capítulo (secciones 17.6 y 17.9). Las referencias se-
leccionadas al final del capítulo también incluyen una muestra de artículos que describen otras
aplicaciones ganadoras de premios. (En el sitio en internet de este libro se proporciona un enlace
hacia todos estos artículos, incluyendo las viñetas de aplicación.) A continuación se describe, en
forma breve, algunas de dichas aplicaciones de la teoría de colas.
Como se mencionó en la referencia seleccionada A1, uno de los primeros ganadores del pre-
mio en la competencia Edelman fue Xerox Corporation. La compañía acababa de introducir un
sistema de duplicado nuevo que sería en especial valioso para quienes lo compraran. Por lo tanto,
los clientes demandaban que los representantes técnicos de Xerox redujeran los tiempos de espera
de la reparación de máquinas. Un equipo de IO aplicó la teoría de colas para estudiar la mejor
manera de cumplir con este nuevo requerimiento de servicio. El resultado fue reemplazar la asig-
nación previa de territorios a un técnico por territorios más grandes asignados a tres personas. Este
cambio tuvo un efecto drástico en la reducción del tiempo de espera promedio de los clientes y en
el incremento de más de 50% del empleo de los técnicos. (El capítulo 11 de la referencia seleccio-
nada 9 presenta el estudio de un caso que se basa en esta aplicación de la teoría de colas por parte
de Xerox Corporation.)
L. L. Bean, Inc., la empresa más grande de telemercadeo y ventas por catálogo, realizó un
estudio ganador de premio cuyo apoyo primordial fue la teoría de colas para determinar cómo

asignar sus recursos de telecomunicaciones, tema que se describe en la referencia seleccionada
A4. Las llamadas telefónicas que llegan al centro para hacer pedidos son los clientes de un gran
sistema de colas, mientras que los agentes son los servidores. Las preguntas clave que se hicieron
durante el estudio fueron las siguientes:
1. ¿Con cuántas líneas troncales de teléfono se debe contar para atender las llamadas que entran
al centro?
2. ¿Cuántos agentes de ventas por teléfono deben programarse en diferentes periodos?
3. ¿Cuántas posiciones para llamadas en espera debe haber para que los clientes esperen a un
agente? (Observe que el número limitado de llamadas en espera ocasiona que el sistema tenga
una cola finita.)
Por cada combinación interesante de estas tres cantidades, los modelos de colas proporcionan
una medida de desempeño del sistema. Dadas estas medidas, el equipo de IO evaluó con cuidado
el costo de las ventas perdidas debido a que algunos clientes escucharan tono de ocupado o de lla-
mada en espera por mucho tiempo. Cuando se agregó el costo de los recursos de telemercadeo, el
equipo pudo encontrar la combinación de las tres cantidades que minimiza el costo total esperado.
El resultado fue un ahorro anual de costos de 9 a 10 millones de dólares.
Otro ganador del primer premio del concurso Edelman fue ATT por un estudio que combi-
naba el uso de la teoría de colas y la simulación (tema del capítulo 20). Como se describió en la
referencia seleccionadaA2, los modelos de colas se aplicaron tanto a la red de telecomunicaciones
de ATT como al entorno de centros de llamadas de los clientes de la compañía que tenían estos
centros. El objetivo del estudio fue desarrollar un sistema amigable de PC que los clientes pudieran
usar para que la empresa los guiara en el proceso de diseñar o rediseñar sus centros de llamadas.
Como éstos constituyen una de las industrias de más rápido crecimiento en Estados Unidos, para
cuando se escribió este artículo, los clientes de negocios de ATT habían usado este sistema más
de 2 000 veces. El resultado fue una ganancia anual de más de 750 millones de dólares generada
por estos clientes.
Hewlett-Packard (HP) es una manufacturera de equipo electrónico multinacional líder en su
ramo. En 1993 la compañía instaló un sistema de línea de ensamble mecanizado para fabricar im-
presoras de inyección de tinta en su planta de Vancouver, Washington, para satisfacer la explosiva
demanda de este tipo de impresoras. Pronto se hizo evidente que el sistema instalado no sería tan
rápido ni tan confiable como para satisfacer las metas de producción de la compañía. En consecuen-
cia, se formó un equipo conjunto de científicos de la administración de HP y del Massachusetts Ins-
titute of Technology (MIT) para estudiar cómo rediseñar el sistema para mejorar su desempeño.
Como se describe en la referencia seleccionada A3 sobre este estudio ganador de premios, el
equipo de HP/MIT se percató con rapidez de que el sistema de línea de ensamble se podría modelar
como un tipo especial de sistema de colas donde los clientes (las impresoras que debían ensamblar-
se) pasarían a través de una serie de servidores (operaciones de ensamblaje) en una secuencia fija.
Un modelo de colas especial para este tipo de sistema proporcionó con rapidez los resultados ana-
líticos que se necesitaban para determinar el modo en que el sistema debería rediseñarse para lograr
la capacidad que se requería de la forma más económica. Los cambios incluyeron la incorporación
de espacios de almacenamiento en puntos estratégicos para mantener de mejor manera el flujo de
trabajo hacia las estaciones subsecuentes y para contrarrestar el efecto de la descompostura de las
máquinas. El nuevo diseño incrementó alrededor de 50% la productividad y produjo aumentos en
las ganancias de aproximadamente 280 millones de dólares por ventas de impresoras así como
utilidades adicionales por productos accesorios. Esta aplicación innovadora del modelo de colas
especial también le dio a HP un nuevo método para crear diseños de sistemas rápidos y eficaces en
otras áreas de la compañía.
■ 17.4 PAPEL DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
En gran medida, las características operativas de los sistemas de colas están determinadas por dos
propiedades estadísticas, a saber, la distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas (vea
“Fuente de entrada” en la sección 17.2) y la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio
(vea “Mecanismo de servicio” en la sección 17.2). En los sistemas de colas reales, estas distribucio-
17.4 PAPEL DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL 715

nes pueden tomar casi cualquier forma. (La única restricción es que no pueden presentarse valores
negativos.) Sin embargo, para formular un modelo de teoría de colas como una representación
del sistema real, es necesario especificar la forma supuesta de cada una de estas distribuciones.
Para que sea útil, la forma supuesta debe ser lo suficientemente realista como para que el modelo
proporcione predicciones razonables, pero al mismo tiempo debe ser lo suficientemente sencilla
para que sea matemáticamente manejable. Con estas consideraciones en mente, la distribución de
probabilidad más importante en la teoría de colas es la distribución exponencial.
Suponga que una variable aleatoria T representa ya sea los tiempos entre llegadas o los tiempos
de servicio. (Se hace referencia a los hechos que marcan el final de estos tiempos, de llegadas o de
terminación de un servicio, como eventos.) Se dice que esta variable aleatoria tiene una distribución
exponencial con parámetro si su función de densidad de probabilidad es
fT(t)
para t 0
para t 0,
et
0
como se muestra en la figura 17.3. En este caso, las probabilidades acumuladas son
P{T t} 1 et
(t 0),
P{T t} et
y el valor esperado y la variancia de T son
E(T)

1
,
var(T)

1
2
.
¿Cuáles son las implicaciones para el modelo de colas si se supone que T tiene una distribu-
ción exponencial? Para explorar esta pregunta se examinarán seis propiedades de la distribución
exponencial.
Propiedad 1: fT(t) es una función de t estrictamente decreciente de t (t $ 0).
Una consecuencia de la propiedad 1 es que
P{0 T t} P{t T t t}
para cualesquiera valores estrictamente positivos de Dt y t. [Ésta es una consecuencia del hecho de
que estas probabilidades son el área bajo la curva de fT(t) en el intervalo indicado de longitud Dt,
y la altura promedio de la curva es menor para la segunda probabilidad que para la primera.] Por
lo tanto, no sólo es posible sino también bastante probable que T tome un valor pequeño cercano
a cero. En realidad,
P
0 T
1
2

1

0.393
fT(t)
0 t

E(T) 1
FIGURA 17.3
Función de densidad de
probabilidad de la distribu-
ción exponencial.

mientras que
P
1
2

1
T
3
2

1
0.383,
de manera que es más probable que el valor que tome T sea “pequeño” [esto es, menor que la mitad
de E(T)] que “cercano” a su valor esperado [es decir, no más alejado que la mitad de E(T)], aun
cuando el segundo intervalo tiene el doble de amplitud que el primero.
¿En realidad, ésta es una propiedad razonable de T en un modelo de colas? Si T representa los
tiempos de servicio, la respuesta depende de la naturaleza general del servicio en cuestión, como
se verá a continuación.
Si el servicio que se requiere es en esencia idéntico para cada cliente y el servidor realiza
siempre la misma secuencia de operaciones, entonces los tiempos de servicio reales tienden a ser
cercanos al tiempo esperado de servicio. Pueden ocurrir pequeñas desviaciones de la media, pero
por lo general se deben a variaciones menores en la eficiencia del servidor. Un tiempo de servicio
tan pequeño que quede muy por debajo de la media es en realidad imposible, puesto que se necesita
cierta cantidad mínima de tiempo para realizar las operaciones de servicio que se requieren, aunque
el servidor trabaje a la mayor velocidad. Es claro que la distribución exponencial no proporciona
una aproximación cercana a la distribución de tiempos de servicio en este tipo de situación.
Por otro lado, considere el tipo de situación en la que las tareas específicas que tiene que reali-
zar el servidor difieren de un cliente a otro. La naturaleza general del servicio puede ser la misma,
pero la cantidad y tipo específico de servicio difieren. Por ejemplo, éste es el caso en el problema
de la sala de emergencia del Hospital General que se presentó en la sección 17.1. El médico se
enfrenta a una gran variedad de problemas de su profesión. En la mayor parte de los casos puede
proporcionar el tratamiento que se requiere con bastante rapidez pero, en ocasiones, el paciente
necesita un cuidado más especializado. De igual manera, los supervisores de bancos y supermer-
cados son servidores de este tipo general, en donde el servicio que prestan suele ser breve, pero en
ocasiones se extiende. Parece posible una distribución exponencial de los tiempos de servicio en
este tipo de situación.
Si T representa los tiempos entre llegadas, la propiedad 1 descarta las situaciones en las que los
clientes que llegan al sistema tienden a posponer su entrada si ven que otro cliente entra antes que
ellos. Por otro lado, es totalmente congruente con el fenómeno común de las llegadas “aleatorias”
que se describe con las propiedades subsecuentes. Así, cuando se grafican los tiempos entre llega-
das contra el tiempo, a veces tienen la apariencia de estar aglomerados con grandes separaciones
entre cada aglomeración, debido a la gran probabilidad de que los tiempos entre llegadas sean
pequeños y la poca probabilidad de que ocurran tiempos entre llegadas grandes, pero un patrón tan
irregular es exactamente parte de la verdadera aleatoriedad.
Propiedad 2: Falta de memoria.
Esta propiedad se puede expresar en forma matemática como
P{T t t⏐T t} P{T t}
para cualesquiera cantidades positivas de t e Dt. En otras palabras, la distribución de probabilidad
del tiempo que falta hasta que ocurra el evento (llegada o terminación de servicio) siempre es la
misma, sin importar cuánto tiempo (Dt) haya pasado. En efecto, el proceso “olvida” su historia.
Este sorprendente fenómeno ocurre con la distribución exponencial debido a que
P{T t t⏐T t}

e
e

(

t

t
t)

et
P{T t}.
P{T t t}

P{T t}
P{T t, T t t}

P{T t}

En el caso de los tiempos entre llegadas, esta propiedad describe la situación común en donde
el tiempo que transcurre hasta la siguiente llegada está totalmente influenciado por el momento en
que ocurrió la última llegada. En el caso de los tiempos de servicio, esta propiedad es más difícil
de interpretar. No debe esperarse que se cumpla cuando el servidor tiene que realizar la misma
secuencia fija de operaciones para cada cliente, porque entonces un servicio largo y lento debe
implicar que tal vez queda muy poco por hacer. Sin embargo, en la clase de situación en la que las
operaciones de servicio que se requieren difieren entre los clientes, la afirmación matemática de
la propiedad es bastante realista. En este caso, si ha pasado un tiempo de servicio considerable,
la única implicación puede ser que este cliente en particular requiera un servicio más extenso que
los demás.
Propiedad 3: El mínimo de diversas variables aleatorias exponenciales independientes tiene
una distribución exponencial.
Para establecer matemáticamente esta propiedad, sean T1, T2, . . ., Tn variables aleatorias ex-
ponenciales independientes con parámetros 1, 2, . . ., n, respectivamente. También sea U la
variable aleatoria cuyo valor es igual al mínimo de los valores que toman T1, T2, . . ., Tn; es decir,
U 5 mín {T1, T2, . . . , Tn}.
Así, si Ti representa el tiempo que pasa hasta que ocurre un tipo especial de evento, entonces U
representa el tiempo que pasa hasta que ocurre el primero de los n eventos diferentes. Ahora, ob-
serve que para cualquier t $ 0,
P{U t} P{T1 t, T2 t, . . . , Tn t}
P{T1 t}P{T2 t} P{Tn t}
e1t
e
2t
e nt
exp
n
i1
it,
de manera que, sin duda, U tiene distribución exponencial con parámetro

n
i1
i.
Esta propiedad tiene algunas implicaciones para los tiempos entre llegadas en los modelos
de colas. En particular, suponga que existen varios (n) tipos diferentes de clientes, pero que los
tiempos entre llegadas de cada tipo (tipo i) tienen distribución exponencial con parámetro i (i 5
1, 2, . . ., n). De acuerdo con la propiedad 2, el tiempo que falta a partir de un instante específico
hasta la llegada del siguiente cliente del tipo i tendrá esta misma distribución. Por ello, sea Ti este
tiempo restante medido a partir del instante en que llega un cliente de cualquier tipo. La propiedad
3 dice entonces que U, el tiempo entre llegadas del sistema de colas completo, tiene distribución
exponencial con parámetro definido por la última ecuación. Como resultado, se puede hacer caso
omiso de la distinción entre los clientes y seguir teniendo tiempos entre llegadas exponenciales en
el modelo de colas.
Sin embargo, estas implicaciones son todavía más importantes para los tiempos de servicio en
los modelos de colas que tienen más de un servidor, de lo que son para los tiempos entre llegadas.
Por ejemplo, considere la situación en la que todos los servidores tienen la misma distribución
exponencial de tiempo de servicio, con parámetro . En este caso, sea n el número de servidores
que en este momento prestan servicio y sea Ti el tiempo que falta para que el servidor i (i 5 1,
2, . . ., n) complete el servicio, que también tiene distribución exponencial con parámetro i 5 .
Se puede concluir que U, el tiempo hasta la siguiente terminación de servicio para cualquier servi-
dor, tiene una distribución exponencial con parámetro 5 n. En efecto, el sistema de colas, en
este momento, actúa como un sistema de un solo servidor, en el que los tiempos de servicio tienen
una distribución exponencial con parámetro n. En este capítulo se hará uso frecuente de esta
implicación al analizar los modelos de varios servidores.
Cuando se usa esta propiedad, algunas veces es útil también determinar las probabilidades de
cuál de las variables aleatorias exponenciales será la que tiene el valor mínimo. Por ejemplo, puede

quererse encontrar la probabilidad de que un servidor j en particular termine primero de servir a un
cliente entre los n servidores ocupados. Es bastante sencillo (vea el problema 17.4-9) demostrar que
esta probabilidad es proporcional al parámetro j. En particular, la probabilidad de que Tj resulte
ser el menor de las n variables aleatorias es
P{Tj U}
j

n
i1
i
para j 1,
, 2, . . . , n.
Propiedad 4: Relación con la distribución de Poisson.
Suponga que el tiempo entre dos ocurrencias consecutivas de un tipo específico de evento (esto
es, llegadas o terminación de servicio por un servidor siempre ocupado) tiene una distribución
exponencial con parámetro . La propiedad 4 está relacionada con la implicación resultante sobre
la distribución de probabilidad del número de veces que ocurre este evento en un periodo dado. En
particular, sea X(t) el número de ocurrencias en el tiempo t (t $ 0), donde el tiempo 0 es el instante
en el que comienza la cuenta. La implicación es que
P{X(t) n}
(t)
n
n
!
et
, para n 0, 1, 2, . . . ;
es decir, X(t) tiene una distribución de Poisson con parámetro t. Por ejemplo, para n 5 0,
P{X(t) 5 0} 5 e–t
,
que es exactamente la probabilidad que se obtuvo a partir de la distribución exponencial para que
ocurra el primer evento después de un tiempo t. La media de la distribución de Poisson es
E{X(t)} 5 t,
de manera que el número esperado de eventos por unidad de tiempo es . Por lo tanto, se dice que
es la tasa media a la que ocurren los eventos. Cuando se cuentan los eventos de manera continua,
se dice que el proceso de conteo {X(t); t $ 0} es un proceso de Poisson con parámetro (la tasa
media).
Esta propiedad brinda información útil sobre la terminación de servicio cuando los tiempos
de servicio tienen una distribución exponencial con parámetro . Esta información se obtiene al
definir X(t) como el número de servicios completos logrados por un servidor siempre ocupado en
un tiempo transcurrido t, donde 5 . En el caso de modelos de múltiples servidores, también se
puede definir X(t) como el número de terminaciones de servicio logradas por n servidores siempre
ocupados en un tiempo transcurrido t, donde 5 n.
Esta propiedad es útil en particular para describir el comportamiento probabilístico de las
llegadas cuando los tiempos entre ellas siguen una distribución exponencial con parámetro . En
este caso, X(t) sería el número de llegadas en un tiempo transcurrido t, donde 5 es la tasa me-
dia de llegadas. En consecuencia, las llegadas ocurren de acuerdo con un proceso de entradas de
Poisson con parámetro . Este tipo de modelos se describe también con el supuesto de que tienen
llegadas de Poisson.
Algunas veces se dice que las llegadas ocurren aleatoriamente, lo cual significa que suceden
de acuerdo con un proceso de entradas de Poisson. Una interpretación intuitiva de este fenómeno
es que cada periodo de longitud fija tiene la misma oportunidad de tener una llegada sin importar
cuándo ocurrió la llegada anterior, como lo sugiere la siguiente propiedad.
Propiedad 5: Para todos los valores positivos de t, P{T # t 1 Dt⏐T . t} Dt, para un Dt
pequeño.
Todavía se interpreta T como el tiempo que pasa desde el último evento de cierto tipo (llegada
o terminación de servicio) hasta el siguiente evento, y suponga que ha transcurrido un tiempo t sin
que ocurra un evento. Se sabe, de acuerdo con la propiedad 2, que la probabilidad de que ocurra
un evento dentro del siguiente intervalo, de longitud fija Dt, es una constante (que se identificará
en el siguiente párrafo), sin que importe el tamaño de t. La propiedad 5 va más allá pues agrega

que, cuando el valor de Dt es pequeño, esta probabilidad constante se puede aproximar de manera
muy cercana por Dt. Lo que es más, cuando se consideran distintos valores pequeños de Dt,
esta probabilidad es, en esencia, proporcional a Dt, con factor de proporcionalidad igual . En
realidad, es la tasa media a la cual ocurren los eventos (vea la propiedad 4), por lo que el número
esperado de eventos en el intervalo de longitud Dt es exactamente Dt. La única razón por la que
la probabilidad de que ocurra un evento difiere de este valor es la posibilidad de que ocurra más de
un evento, lo cual tiene una probabilidad despreciable cuando Dt es pequeño.
Para comprobar de manera matemática por qué se cumple la propiedad 5, observe que el valor
constante de la probabilidad (para un valor fijo de Dt 0) es sólo
P{T t t⏐T t} P{T t}
1 e t
,
para cualquier t $ 0. Por esta razón, como la expansión de la serie ex
para cualquier exponente x
es
ex
1 x
ⴥ
n2

n
xn
!
,
se concluye que
P{T t t⏐T t} 1 1 t
ⴥ
n2

(
n!
t)n

t, para t pequeño,3
porque los términos de la sumatoria se vuelven despreciables para valores de Dt suficientemente
pequeños.
Como en los modelos de colas T se pueden representar ya sea tiempos entre llegadas o tiem-
pos de servicio, esta propiedad proporciona una aproximación conveniente de la probabilidad de
que ocurra el evento de interés en el siguiente intervalo pequeño (Dt). También se puede hacer un
análisis exacto basado en esta aproximación, tomando los límites apropiados cuando Dt → 0.
Propiedad 6: No afecta agregar o desagregar.
Esta propiedad es importante para verificar que el proceso de entrada es de Poisson. Entonces,
se describirá en estos términos, aunque también se aplica directamente a la distribución exponen-
cial (tiempos entre llegadas exponenciales) debido a la propiedad 4.
Primero se considera agregar (combinar) varios procesos de entrada de Poisson en un proceso
de entrada global. En particular, suponga que existen varios (n) tipos diferentes de clientes, en
donde los clientes de cada tipo (tipo i) llegan de acuerdo a un proceso de llegadas de Poisson con
parámetro i (i 5 1, 2, . . ., n). Suponga que se trata de procesos de Poisson independientes. La
propiedad dice que el proceso de entrada agregado (llegada de todos los clientes sin importar de
qué tipo sean) también debe ser de Poisson, con parámetro (tasa de llegada) 5 1 1 2 1 · · · 1
n. En otras palabras, si se está en un proceso de Poisson no afecta agregar.
Esta parte de la propiedad se deduce de manera directa de las propiedades 3 y 4. Esta última
implica que los tiempos entre llegadas de los clientes de tipo i tienen una distribución exponencial
con parámetro i. Para esta situación idéntica, ya se analizó en la propiedad 3 que esto implica que
los tiempos entre llegadas de todos los clientes también deben tener una distribución exponencial,
con parámetro 5 1 1 2 1 · · · 1 n. Si se usa la propiedad 4, de nuevo implica que el proceso
de entrada agregado es de Poisson.
La segunda parte de la propiedad 6 (“no afecta desagregar”) se refiere al caso contrario, en el
que se sabe que el proceso de entrada agregado (que se obtuvo con la combinación de procesos de
entrada para diferentes tipos de clientes) es de Poisson con parámetro . El cuestionamiento ahora
3
De manera más precisa,
lím
t→0
.
P{T t t⏐T t}

t

concierne a la naturaleza del proceso de entrada desagregado de los tipos de clientes individuales.
Si se supone que cada cliente que llega tiene una probabilidad fija pi de pertenecer al tipo i (i 5 1,
2, . . ., n), con
i pi y
n
i1
pi 1,
la propiedad dice que el proceso de entrada de los clientes tipo i también debe ser de Poisson con
parámetro i. En otras palabras, si se está en un proceso de Poisson, no afecta desagregar.
Como ejemplo de la utilidad de esta segunda parte de la propiedad, considere la siguiente
situación. Los clientes, sin hacer distinciones, llegan de acuerdo con un proceso de Poisson con pa-
rámetro . Cada cliente que llega tiene una probabilidad fija p de desistir (irse sin entrar al sistema
de colas), de manera que la probabilidad de entrar es (1 – p). Desde este punto de vista, existen dos
tipos de clientes: aquellos que desisten y aquellos que entran al sistema. La propiedad dice que cada
tipo llega de acuerdo con un proceso de Poisson, con parámetros p y (1 – p), respectivamente.
Por lo tanto, al usar el último proceso de Poisson, los modelos de colas que suponen llegadas de
Poisson todavía se pueden usar para analizar el funcionamiento del sistema de colas para aquellos
clientes que entran al sistema.
Otro ejemplo en la sección Worked Examples del sitio en internet de este libro ilustra la
aplicación de varias de las propiedades de la distribución exponencial que se presentan en esta
sección.
■ 17.5 PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE
La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes)
y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo con un proceso de nacimiento y
muerte. Este importante proceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas. Sin
embargo, en el contexto de la teoría de colas, el término nacimiento se refiere a la llegada de un
nuevo cliente al sistema de colas, mientras que el término muerte se refiere a la salida del cliente
servido. El estado del sistema en el tiempo t (t $ 0), denotado por N(t), es el número de clientes
que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en tér-
minos probabilísticos cómo cambia N(t) al aumentar t. En general, sostiene que los nacimientos y
muertes individuales ocurren de manera aleatoria, y que sus tasas medias de ocurrencia dependen
del estado actual del sistema. De manera más precisa, los supuestos del proceso de nacimiento y
muerte son los siguientes:
Supuesto 1. Dado N(t) 5 n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el
próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro n (n 5 0, 1, 2, . . .).
Supuesto 2. Dado N(t) 5 n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la
próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro n (n 5 1, 2, . . .).
Supuesto 3. La variable aleatoria del supuesto 1 (el tiempo que falta hasta el próximo naci-
miento) y la variable aleatoria del supuesto 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son
mutuamente independientes. La siguiente transición del estado del proceso es
n → n 1 1(un solo nacimiento)
o
n → n 2 1(una sola muerte),
lo que depende de cuál de las dos variables es más pequeña.
En el caso de un sistema de colas, n y n representan, respectivamente, la tasa media de lle-
gada y la tasa media de terminaciones de servicio, cuando hay n clientes en el sistema. En algunos
sistemas de colas, los valores de las n serán las mismas para todos los valores de n, y las n también
serán las mismas para toda n excepto para aquella n tan pequeña que el servidor esté desocupado
(es decir, n 5 0). Sin embargo, las n y las n también pueden variar en forma considerable con n
para algunos sistemas de colas.
17.5 PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE 721

Por ejemplo, una de las formas en las que n puede ser diferente para valores distintos de n es
si los clientes potenciales que llegan se pueden perder (rechazar la entrada al sistema) con mayor
probabilidad a medida que n aumenta. De manera similar, n puede ser diferente ante valores dis-
tintos de n debido a que existe una mayor probabilidad de que los clientes renuncien (se vayan sin
haber sido servidos) a medida que aumenta el tamaño de la cola. Uno de los ejemplos de la sección
Ejemplos resueltos del sitio en internet de este libro ilustra un sistema de líneas de espera donde
existe tanto pérdida como renuncia. Entonces, este ejemplo demuestra cómo los resultados gene-
rales del proceso de nacimiento y muerte generan de manera directa varias medidas de desempeño
de este sistema de colas.
Análisis del proceso de nacimiento y muerte
Como consecuencia de los supuestos 1 y 2, el proceso de nacimiento y muerte es un tipo especial
de cadena de Markov de tiempo continuo (vea en la sección 16.8 la descripción de una cadena de
Markov de tiempo continuo y sus propiedades y una introducción al procedimiento general para
encontrar las probabilidades de estado estable que se aplicará en el resto de la sección). Los mo-
delos de colas que se pueden representar mediante una cadena de Markov de tiempo continuo son
mucho más manejables en el sentido analítico que cualquier otro modelo.
Como la propiedad 4 de la distribución exponencial implica que las n y n son tasas medias
(vea la sección 17.4), estos supuestos se pueden resumir en el diagrama de tasas que se muestra en
la figura 17.4. Las flechas de este diagrama muestran las únicas transiciones posibles en el estado
del sistema (como lo especifica el supuesto 3) y el elemento junto a cada flecha es la tasa media
de esa transición (según los supuestos 1 y 2) cuando el sistema se encuentra en el estado que hay
en la base de la flecha.
Excepto en algunos casos especiales, el análisis del proceso de nacimiento y muerte es compli-
cado cuando el sistema se encuentra en condición transitoria. Se han obtenido algunos resultados
sobre esta distribución de probabilidad de N(t) pero son demasiado complicados para darles un
buen uso práctico. Por otro lado, es bastante directo derivar esta distribución después de que el sis-
tema ha alcanzado la condición de estado estable (en caso de que pueda alcanzarla). Este desarrollo
parte del diagrama de tasas, como se describe a continuación.
Considere cualquier estado particular n (n 5 0, 1, 2, . . .) del sistema. Suponga que en el tiempo
0 se inicia el conteo del número de veces que el sistema entra a este estado y el número de veces
que sale de él, como se denota en seguida:
En(t) 5 número de veces que el proceso entra al estado n hasta el tiempo t.
Ln(t) 5 número de veces que el proceso sale del estado n hasta el tiempo t.
Como los dos tipos de eventos (entrar y salir) deben alternarse, estos dos números serán iguales o
diferirán en sólo 1; es decir,
⏐En(t) Ln(t)⏐ 1.
Al dividir ambos lados entre t y después hacer que t → ` se obtiene

En
t
(t)

Ln
t
(t)

1
t
, entonces lím
t→ⴥ
En
t
(t)

Ln
t
(t)
0.
…
0 1 2

n 1
n 2 n 1 n
n 2 n 1 n 1
n
Estado: …
FIGURA 17.4
Diagrama de tasas del
proceso de nacimiento y
muerte.

Si se dividen En(t) y Ln(t) entre t se obtiene la tasa real (número de eventos por unidad de tiempo) a
la que ocurren estos dos tipos de eventos, y cuando t → ` se obtiene la tasa media (número esperado
de eventos por unidad de tiempo):
tasa media a la que el proceso entra al estado n.
lím
t→ⴥ

En
t
(t)

lím
t→ⴥ

Ln
t
(t)
tasa media a la que el proceso sale del estado n.
Estos resultados conducen al siguiente principio clave:
Principio de tasa de entrada 5 tasa de salida. Para cualquier estado n (n 5 0, 1, 2, . . .) del
sistema, la tasa media de entrada 5 tasa media de salida.
La ecuación que expresa este principio se llama ecuación de balance del estado n. Después
de construir las ecuaciones de balance de todos los estados en términos de las probabilidades Pn
desconocidas, se puede resolver este sistema de ecuaciones (más una ecuación que establezca que
las probabilidades deben sumar 1) para encontrarlas.
A fin de ilustrar una ecuación de balance, considere el estado 0. El proceso entra a este estado
sólo desde el estado 1. En consecuencia, la probabilidad de estado estable de encontrarse en el
estado 1 (P1) representa la proporción de tiempo que es posible que el proceso entre al estado 0.
Dado que el proceso se encuentra en el estado 1, la tasa media de entrada al estado 0 es 1. (En
otras palabras, para cada unidad acumulada de tiempo que el proceso pasa en el estado 1, el número
esperado de veces que lo dejaría para entrar al estado 0 es 1.) Desde cualquier otro estado, esta tasa
media es 0. Por lo tanto, la tasa media global a la que el proceso deja su estado actual para entrar
al estado 0 (la tasa media de entrada) es
1P1 0(1 P1) 1P1.
Por el mismo razonamiento, la tasa media de salida debe ser 0P0, de manera que la ecuación de
balance del estado 0 es
1P1 0P0.
En el caso de todos los demás estados, existen dos transiciones posibles, hacia adentro y hacia
afuera del estado. Entonces, cada lado de las ecuaciones de balance de estos estados representa la
suma de las tasas medias de las dos transiciones incluidas. Por lo demás, el razonamiento es igual
que para el estado 0. Estas ecuaciones de balance se resumen en la tabla 17.1.
Observe que la primera ecuación de balance contiene dos variables (P0 y P1), las primeras
dos ecuaciones contienen tres variables (P0, P1 y P2), y así sucesivamente, de manera que siempre
se tiene una variable “adicional”. Por lo tanto, el procedimiento para resolver estas ecuaciones es
despejar todas las variables en términos de una de ellas, entre las cuales la más conveniente es P0.
La primera ecuación se usa para despejar P1 en términos de P0; después se usa este resultado y la
segunda ecuación para obtener P2 en términos de P0, etc. Al final, el requisito de que la suma de
todas las probabilidades debe ser igual a 1 se puede usar para evaluar P0.
■ TABLA 17.1 Ecuaciones de balance del proceso
de nacimiento y muerte
Estado Tasa de entrada ⴝ Tasa de salida
0 1P1 0P0
1 0P0 2P2 (1 1)P1
2 1P1 3P3 (2 2)P2

n 1 n2Pn2 nPn (n1 n1)Pn1
n n1Pn1 n1Pn1 (n n)Pn

17.5 PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE 723

Resultados del proceso de nacimiento y muerte
Al aplicar este procedimiento se obtienen los siguientes resultados:
0: P1

0
1
P0
1: P2

1
2
P1

1
2
(1P1 0P0)

1
2
P1

1
2

0
1
P0
2: P3

2
3
P2

1
3
(2P2 1P1)

2
3
P2

3
2

1
2

0
1
P0

n
Estado:
1: Pn

n
n
1
Pn1

1
n
(n1Pn1 n2Pn2)

n
n
1
Pn1

n
n
1
n
n
1
2

1
0
P0
n: Pn1

n
n
1
Pn
n
1
1
(nPn n1Pn1)

n
n
1
Pn

n
n

n
1

1
n

0
1
P0

Para simplificar la notación, sea
Cn , para n 1, 2, . . . ,
n1n2

0

nn1

1
y después se define Cn 5 1 para n 5 0. En este contexto, las probabilidades de estado estable son
Pn CnP0, para n 0, 1, 2, . . .
El requisito

ⴥ
n0
Pn 1
implica que

ⴥ
n0
Cn
P0 1,
así,
P0
ⴥ
n0
Cn

1
.
Cuando un modelo de líneas de espera se basa en el proceso de nacimiento y muerte, de ma-
nera que el estado del sistema n representa el número de clientes en el sistema de colas, las medidas
clave de desempeño del sistema (L, Lq, W y Wq) se pueden obtener de inmediato después de calcular
las Pn mediante las fórmulas anteriores. Las definiciones de L y Lq que se dieron en la sección 17.2
especifican que
L
ⴥ
n0
nPn, Lq
ⴥ
ns
(n s)Pn.
Lo que es más, las relaciones que se dieron en la sección 17.2 conducen a
W
L

, Wq
L

q
,

donde es la tasa de llegadas promedio a largo plazo. Como n es la tasa media de llegadas cuan-
do el sistema se encuentra en el estado n (n 5 0, 1, 2, . . .) y Pn es la proporción de tiempo que el
sistema está en este estado,

ⴥ
n0
nPn.
Varias de las expresiones que se acaban de presentar incluyen sumas con un número infinito
de términos. Por fortuna, estas sumas tienen soluciones analíticas de muchos casos especiales
interesantes4
como se verá en la siguiente sección. En otros casos, se puede aproximar al sumar un
número finito de términos en una computadora.
Estos resultados de estado estable se desarrollaron bajo el supuesto de que los parámetros n y
n tienen valores tales que el proceso, en realidad, puede alcanzar la condición de estado estable.
Este supuesto siempre se cumple si n 5 0 para algún valor de n mayor que el estado inicial, de
forma que sólo son posibles un número finito de estados (aquellos menores que esta n). También se
cumple siempre cuando y están definidas (vea “Terminología y notación” en la sección 17.2)
y 5 /(s) , 1. No se cumple si S`
n51 Cn 5 `.
En la sección 17.6 se describen varios modelos de colas que son casos especiales del proceso
de nacimiento y muerte. Los resultados de estado estable generales dados en los recuadros se uti-
lizarán una y otra vez para obtener los resultados específicos para estos modelos.
■ 17.6 MODELOS DE COLAS BASADOS EN EL PROCESO
DE NACIMIENTO Y MUERTE
Como se puede asignar cualquier valor no negativo a cada una de las tasas medias 0, 1, ... y l,
2,... del proceso de nacimiento y muerte, se cuenta con una gran flexibilidad para modelar un
sistema de colas. Los modelos que acaso sean los que más se usan en teoría de colas se basan di-
rectamente en este proceso. De acuerdo con los supuestos 1 y 2 (y la propiedad 4 de la distribución
exponencial), se dice que estos modelos tienen entradas de Poisson y tiempos de servicio expo-
nencial. Los modelos difieren sólo en los supuestos sobre cómo cambian las n y las n según el
estado n. En esta sección se presentarán tres modelos de tres tipos importantes de sistemas de colas.
Modelo M/M/s
Como se describió en la sección 17.2, el modelo M/M/s supone que todos los tiempos entre llegadas
son independientes e idénticamente distribuidos de acuerdo con una distribución exponencial (es
decir, el proceso de entrada es de Poisson), que todos los tiempos de servicio son independientes
e idénticamente distribuidos de acuerdo con otra distribución exponencial y que el número de
servidores es s (cualquier entero positivo). En consecuencia, este modelo es sólo un caso especial
del proceso de nacimiento y muerte cuando la tasa media de llegadas al sistema de colas y la tasa
media de servicio por servidor ocupado son constantes ( y , respectivamente) e independientes
del estado del sistema. Cuando el sistema tiene sólo un servidor (s 5 1), la implicación es que los
parámetros del proceso de nacimiento y muerte son n 5 (n 5 0, 1, 2, ...) y n 5 (n 5 1, 2, ...).
En la figura 17.5a se muestra el diagrama de tasas resultante.
Sin embargo, cuando el sistema tiene varios servidores (s 1), no es tan sencillo expresar n,
como se explica en seguida.
Tasa de servicio de sistema: La tasa del servicio del sistema n representa la tasa media
de los servicios terminados de todo el sistema de colas cuando existen n clientes en él. En
4
Estas soluciones se basan en los siguientes resultados de la suma de cualquier serie geométrica:

N
n0
xn

1
1

xN
x
1
, para cualquier x 1,

ⴥ
n0
xn

1
1
x
, si ⏐x⏐ 1.
17.6 MODELOS DE COLAS BASADOS EN EL PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE 725

el caso de múltiples servidores y n 1, n no es lo mismo que , la tasa media de servicio
por servidor ocupado. En lugar de eso,
n 5 n cuando n ≤ s,
n 5 s cuando n $ s.
Mediante el uso de estas fórmulas de n, el diagrama con las tasas del proceso nacimiento-muerte
que se muestra en la figura 17.4 se reduce a los diagramas de las tasas que se muestran en la figura
17.5 del modelo M/M/s.
Cuando s excede la tasa media de llegadas , es decir, cuando

s

1,
un sistema de colas que se ajuste a este modelo tarde o temprano alcanzará la condición de estado
estable. En esta situación se pueden aplicar directamente los resultados de estado estable que se
obtuvieron en la sección 17.5 al proceso de nacimiento y muerte. Estos resultados se simplifican
mucho para este modelo y proporcionan expresiones cortas de Pn, L, Lq, etc., como se mostrará a
continuación.
Resultados en el caso de un servidor (M/M/1). Para s 5 1, los factores Cn del proceso de
nacimiento y muerte se reducen a
Cn

n
n
, para n 0, 1, 2, . . .
Por lo tanto,
Pn n
P0, para n 0, 1, 2, . . . ,
donde
P0

ⴥ
n0
n

1

1
1

1
1 .
Así
Pn (1 )n
, para n 0, 1, 2, . . . .
0 1 2 n
3 n 2 n 1 n 1
Estado: …

0 1 2 s
3 s 2 s 1 s 1
Estado: … …

,

…
para n 0, 1, 2, ...
para n 1, 2, ..., s
para n s, s 1, ...
para n 0, 1, 2, ...
para n 1, 2, ...
a) Caso de un solo servidor (s = 1)
b) Caso de varios servidores (s 1)
FIGURA 17.5
Diagrama de tasas del
modelo M/M/s.

En consecuencia,
L
ⴥ
n0
n(1 )n
(1 )
ⴥ
n0

d
d

(n
)
(1 )
d
d

ⴥ
n0
n

(1 )
d
d

1
1

1

.
En forma similar,
Lq
ⴥ
n1
(n 1)Pn
L 1(1 P0)

(

2
)
.
Cuando $ , esto es, la tasa media de llegadas excede la tasa media de servicio, la solución
anterior “no sirve” (puesto que la suma para calcular P0 diverge). En este caso, la cola “explota”
y crece sin límite. Si el sistema de colas comienza a operar sin clientes presentes, puede ser que el
Recuadro de aplicación
KeyCorp, una compañía cuya casa matriz está en Cleveland,
Ohio, se encuentra dentro de las 500 compañías de Fortune. Es
la decimotercera compañía bancaria más grande de Estados
Unidos. Emplea a 19 000 personas, tiene activos por 93 000
millones de dólares y ganancias anuales por 6 700 millones
de dólares. La compañía se enfoca en prestar servicios banca-
rios a los consumidores y cuenta con 2.4 millones de clientes
repartidos en 1 300 sucursales y oficinas afiliadas.
Para impulsar el crecimiento de sus negocios, la gerencia
de KeyCorp puso en marcha un amplio estudio de IO para de-
terminar la forma de mejorar el servicio a los clientes (el cual
se define como la reducción del tiempo de espera para recibir
el servicio), y a la vez conservar los costos de personal en un
rango moderado. Se fijó una objetivo en cuanto a la calidad
del servicio que consistía en que el tiempo de espera de los
clientes debería ser menor a 5 minutos.
La herramienta clave para analizar este problema fue el
modelo de colas M/M/s, el cual demostró ser el más conve-
niente para esta aplicación. Para aplicarlo, se recabaron datos
que revelaron que el tiempo de servicio promedio que se re-
quería para procesar un cliente era muy elevado, del orden de
246 segundos. Con este tiempo promedio de servicio y tasa
de arribo en la media típicamente, el modelo indicó que era
necesario un incremento de 30% del número de personas que
brindan atención a los clientes con el fin de cumplir con el
objetivo de calidad del servicio. Esta opción extremadamente
costosa llevó a la alta gerencia a concluir que era necesario
llevar a cabo una amplia campaña para reducir de manera
drástica el tiempo de servicio promedio mediante la reinge-
niería de las sesiones con los clientes y del fomento de una
mejor administración del personal. En un periodo de tres años,
esta campaña dio como resultado una reducción del tiempo de
servicio promedio hasta llegar a 115 segundos. La aplicación
frecuente del modelo M/M/s reveló la forma en que la meta
de calidad del servicio puede sobrepasarse de manera signifi-
cativa, a la vez que se pueden reducir los niveles de personal
mediante una programación optimizada de los empleados en
las diferentes sucursales del banco.
El resultado neto se ha reflejado en ahorros de casi 20 mi-
llones de dólares por año con un servicio significativamente
mejorado que permite que 96% de los clientes tengan que
esperar menos de 5 minutos. Esta mejora se extendió a toda
la compañía ya que el porcentaje de sucursales que cumple el
objetivo de calidad de servicio aumentó de 42 a 94 por ciento.
Diferentes estudios también confirman un incremento signifi-
cativo en la satisfacción del cliente.
Fuente: S. K. Kotha, M. P. Barnum y D.A. Bowen: “KeyCorp Serv-
ice Excellence Management System”, en Interfaces, 26(1): 54-74,
enero-febrero de 1996. (En el sitio en internet de este libro www.
mhhe.com/hillier se proporciona una liga hacia este artículo.)

servidor se dé abasto con los que llegan durante un periodo corto, pero a la larga le será imposible.
(Aun cuando 5 , el número esperado de clientes en el sistema crecerá sin límite y con lentitud
a través del tiempo y, aunque siempre es posible un regreso temporal a no tener clientes, las proba-
bilidades de tener números grandes de clientes crecen en forma significativa con el tiempo.)
Si se supone de nuevo que , , se puede obtener la distribución de probabilidad del tiempo
de espera en el sistema (se incluye el tiempo de servicio) 0 de una llegada aleatoria cuando la
disciplina de la cola es primero en entrar, primero en salir. Si esta llegada encuentra n clientes en
el sistema, tendrá que esperar n 1 1 tiempos de servicio exponenciales, inclusive el propio. (Para
el cliente que en la actualidad se encuentra en servicio, recuerde la propiedad de falta de memoria
de la distribución exponencial que se presentó en la sección 17.4.) Por lo tanto, sean T1, T2, . . . las
variables aleatorias independientes de los tiempos de servicio que tienen una distribución expo-
nencial con parámetro , y sea
Sn1 T1 T2

Tn1, para n 0, 1, 2, . . . ,
de manera que Sn11 representa el tiempo de espera condicional, dado que hay n clientes en el sis-
tema. Como se analiza en la sección 17.7, se sabe que Sn11 tiene distribución de Erlang.5
Como
la probabilidad de que una llegada aleatoria encuentre n clientes en el sistema es Pn, se concluye
que
P{ t}
ⴥ
n0
Pn P{Sn1 t},
lo que después de una manipulación algebraica considerable (vea el problema 17.6-17) se reduce a
P{ t} e(1)t
, para t 0.
La conclusión sorprendente es que 0 tiene una distribución exponencial con parámetro igual a
(1 – ). Por lo tanto,
W E()
(1
1
)

1

.
Estos resultados incluyen el tiempo de servicio en el tiempo de espera. En algunos contextos
(por ejemplo, el problema de la sala de emergencia del Hospital General descrito en la sección
17.1), el tiempo de espera más importante es hasta que comienza el servicio. Considere el tiempo
de espera en la cola (excluya el tiempo de servicio) 0q de la llegada aleatoria cuando la disciplina
de la cola es primero en llegar, primero en salir. Si esta llegada no encuentra clientes en el sistema,
se le sirve de inmediato, de manera que
P{q 0} P0 1 .
Si encuentra n 0 clientes, entonces tendrá que esperar n tiempos de servicio exponenciales hasta
que su propio servicio comience, de forma que
P{q t}
ⴥ
n1
Pn P{Sn t}

ⴥ
n1
(1 )n
P{Sn t}

ⴥ
n0
Pn P{Sn1 t}
P{ t}
e(1)t
, para t 0.
5
Fuera del contexto de teoría de colas, esta distribución se conoce como distribución gamma.

Observe que Wq no tiene en realidad una distribución exponencial porque P{0q 5 0} . 0. Sin em-
bargo, la distribución condicional de 0q, dado que 0q . 0, no tiene una distribución exponencial
con parámetro (1 – ), como lo tiene 0, porque
P{q t⏐
q 0}
P
P
{
{

q
q

0
t}
}
e(1)t
, para t 0.
Al obtener la media de esta distribución (no condicional) de Wq (o aplicar una de las dos
fórmulas Lq 5 Wq o Wq 5 W – l/), resulta
Wq E(
q)
(

)
.
Si desea ver otro ejemplo que aplica el modelo M/M/1, en la sección Worked Examples del
sitio en internet de este libro se presenta uno de ellos para determinar qué tipo de equipo de manejo
de materiales debe comprar una compañía.
Resultados del caso de varios servidores (s . 1). Cuando s . 1, los factores Cn se con-
vierten en

(
n
/
!
)n
para n 1, 2, . . . , s
Cn

(
s
/
!
)s

s

ns

(
s

!s
/
n
)n
s
para n s, s 1, . . . .
⎧
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
En consecuencia, si , s [de manera que 5 /(s) , 1], entonces
P0 1
1
s1
n1

(
n
/
!
)n

(
s
/
!
)s

ⴥ
ns

s

ns

1

s1
n0

(
n
/
!
)n

(
s
/
!
)s

1
1
/(s)

,
donde el término para n 5 0 en la última suma lleva al valor correcto de 1 debido a la convención
de que n! 5 1 cuando n 5 0. Estos factores Cn dan también

(
n
/
!
)n
P0 si 0 n s
Pn

(
s

!s
/
n
)n
s
P0 si n s.
⎧
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
Más aún,
Lq
ⴥ
ns
(n s)Pn

ⴥ
j0
jPsj

ⴥ
j0
j
(
s
/
!
)s
j
P0
P0
(
s
/
!
)s

ⴥ
j0

d
d

(j
)
P0
(
s
/
!
)s

d
d

ⴥ
j0
j


P0
(
s
/
!
)s

d
d

1
1

s
P
!
0
(1
(

/

)s
)

2
;
Wq
L

q
;
W Wq

1
;
L Wq

1
Lq

.
En la figura 17.6 se muestra cómo cambian L con para diferentes valores de s.
El método de un solo servidor para encontrar la distribución de probabilidad de los tiempos de
espera se puede extender al caso de varios servidores. Al aplicarlo se obtiene6
(para t $ 0)
P{ t} et

1 et(s1/)

s 1 /
1 P0(/)s

s!(1 )
y
P{q t} (1 P{
q 0})es(1)t
,
6
Cuando s 1 / 0, (1 et(s1/)
)/(s 1 /) debe sustituirse por t.
Factor de utilización
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0.1
1.0
10
100
L

s
s 25
s 20
s
15
s

1
s
10
s
7
s
5
s
4
s
3
s
2
Estado
estable
esperado
del
número
de
clientes
en
el
sistema
de
colas
FIGURA 17.6
Valores de L del modelo
M/M/s (sección 17.6).

donde
P{q 0}
s1
n0
Pn.
Las fórmulas anteriores de las distintas medidas de desempeño (incluyendo las Pn) son bas-
tante tediosas para hacer los cálculos a mano. Sin embargo, el archivo de Excel de este capítulo
en OR Courseware incluye una plantilla Excel que realiza todos los cálculos simultáneos para
cualesquiera valores de t, s, y dado que , s.
Si $ s, de forma que si la tasa media de llegadas excede a la tasa media máxima de servicio,
la cola crece sin límite y las soluciones de estado estable anteriores no se pueden aplicar.
Ejemplo del Hospital General con el modelo M/M/s. En el problema de la sala de
emergencia del Hospital General (vea la sección 17.1), el ingeniero administrador ha conclui-
do que los casos de emergencia llegan casi de manera aleatoria (proceso de entrada de Pois-
son), por lo que los tiempos entre llegadas tienen una distribución exponencial. También
llegó a la conclusión de que el tiempo que necesita un médico para atender a los pacientes sigue
aproximadamente una distribución exponencial. Con base en este contexto, eligió el modelo M/M/s
para hacer un estudio preliminar de este sistema de colas.
Al proyectar los datos disponibles del turno de la tarde al año próximo, estima que los pacien-
tes llegarán a una tasa promedio de uno cada media hora. Un médico requiere un promedio de 20
minutos para atender al paciente. Si se usa una hora como unidad de tiempo,

1

1
2
horas por cliente
y

1

1
3
horas por cliente,
■ TABLA 17.2 Resultados de estado estable del modelo M/M/s
del problema del Hospital General
s ⴝ 1 s ⴝ 2

2
3

1
3

P0
1
3

1
2

P1
2
9

1
3

Pn para n 2
1
3

2
3

n

1
3

n
Lq
4
3

1
1
2

L 2
3
4

Wq
2
3
horas
2
1
4
horas
W 1 hora
3
8
horas
P{q 0} 0.667 0.167
Pq
1
2
0.404 0.022
P{
q 1} 0.245 0.003
P{
q t}
2
3
et

1
6
e4t
P{ t} et

1
2
e3t
(3 et
)

de manera que
5 2 clientes por hora
y
5 3 clientes por hora.
Lasdosalternativasbajoconsideraciónson:continuarconunsolomédicoduranteesteturno(s51)
o agregar un segundo médico (s 5 2). En ambos casos,

s

1,
de forma que el sistema debe acercarse a la condición de estado estable. (En realidad, como varía
un poco durante los otros turnos, el sistema nunca alcanzará verdaderamente la condición de estado
estable, pero el ingeniero administrador piensa que los resultados correspondientes proporcionarán
una buena aproximación.) Por lo tanto, usa las ecuaciones anteriores para obtener los resultados
que se muestran en la tabla 17.2.
Con base en estos resultados, concluye en forma tentativa que para el siguiente año sería
inadecuado un solo médico para brindar atención con relativa prontitud, lo que es necesario en la
sala de emergencias de un hospital. Más adelante se verá (sección 17.8) cómo el ingeniero rectifica
su conclusión cuando aplica otro modelo de colas que le proporciona una mejor representación de
algunos aspectos cruciales del sistema de líneas de espera real.
Se puede ver otro ejemplo de una aplicación del modelo M/M/1 en la sección Worked Exam-
ples del sitio en internet de este libro, donde el problema consiste en determinar si tres empleados
de un restaurante de comida rápida deben trabajar juntos como un servidor rápido o por separado
como tres servidores considerablemente más lentos.
Variación de cola ﬁnita al modelo M/M/s
(llamado modelo M/M/s/K)
En el análisis de la sección 17.2 se mencionó que los sistemas de colas a veces tienen una cola
finita; esto es, no se permite que el número de clientes en el sistema exceda un número especificado
(denotado por K), por lo que la capacidad de la cola es K – s. A cualquier cliente que llega cuando
la cola está “llena” se le niega la entrada al sistema y este cliente lo deja para siempre. Desde el
punto de vista del proceso de nacimiento y muerte, la tasa media de entrada al sistema se hace
cero en estos momentos. Por lo mismo, la única modificación necesaria en el modelo M/M/s para
introducir una cola finita es cambiar los parámetros n a
n
para n 0, 1, 2, . . . , K 1
0 para n K.
Como n 5 0 para algunos valores de n, un sistema de colas que se ajuste a este modelo alcanzará
en algún momento la condición de estado estable, aun cuando 5 /s $ 1.
Por lo general este modelo se etiqueta como M/M/s/K, donde la presencia del cuarto símbolo
lo distingue del modelo M/M/s. La única diferencia en la formulación de los dos modelos es que K
es finito en el modelo M/M/s/K y K 5 ` en el modelo M/M/s.
La interpretación física usual del modelo M/M/s/K es que se cuenta con un espacio limitado
de espera que admite un máximo de K clientes en el sistema. Por ejemplo, en el problema de la
sala de emergencias del Hospital General, este sistema en realidad tendría una cola finita si sólo
hubiera K camillas para los pacientes y si la política fuera mandar a otro hospital a aquellos que
llegan cuando no hay lugares disponibles.
Otra interpretación posible es que los clientes que llegan dejarán el sistema y se “irán a otra
parte” cuando encuentren demasiados clientes (K) en el sistema antes que ellos, pues no están dis-
puestos a soportar una larga espera. Este fenómeno de desistir es bastante común en los sistemas de

servicio comercial, pero existen otros modelos disponibles (por ejemplo, vea el problema 17.5-5)
que se ajustan mejor a esta situación.
El diagrama de tasas de este modelo es idéntico al que se muestra en la figura 17.5 para el
modelo M/M/s, excepto que se detiene en el estado K.
Resultados en el caso de un servidor (M/M/1/K). En este caso,

n
n
para n 0, 1, 2, . . . , K
Cn
0 para n K.
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Entonces, para ≠ 1.7
P0
K
n0
1
(/)n

1

1
1

K

1
,
1 (/)K1

1 /
de manera que
Pn
1
1

K

1
n
, para n 0, 1, 2, . . . , K.
Entonces,
L
K
n0
nPn

1
1

K

1

K
n0

d
d

(n
)

1
1

K

1

d
d

K
n0
n

1
1

K

1

d
d

1
1

K

1

1

(K
1

1

)
K

K
1
1
.
(K 1)K
KK1
1

(1 K1
)(1 )
Como es usual (cuando s 5 1),
Lq L (1 P0).
Note que los resultados anteriores no exigen que , (esto es, que , 1.
Cuando , 1, se puede verificar que el segundo término de la última expresión de L converge
hacia 0 cuando K → `, por lo que, sin duda, todos los resultados anteriores convergen hacia los
resultados correspondientes que se obtuvieron antes en el caso del modelo M/M/1.
La distribución de los tiempos de espera se puede deducir si se utiliza el mismo razonamiento
que para el modelo M/M/1 (vea el problema 17.6-28). Sin embargo, no se han obtenido expresiones
sencillas en este caso, por lo que es preciso efectuar los cálculos en una computadora. Por fortuna,
aun cuando en este modelo L ≠ W y Lq ≠ Wq puesto que las n no son iguales para toda n (vea el
7
Si 5 1, entonces Pn 5 1/(K 1 1) para n 5 0, 1, 2, . . ., K, de forma que L 5 K/2.

final de la sección 17.2), sí se pueden obtener los tiempos de espera esperados de los clientes que
llegan al sistema, en forma directa de las expresiones que se dieron al final de la sección 17.5:
W
L

, Wq
L

q
,
donde

ⴥ
n0
nPn

K1
n0
Pn
(1 PK).
Resultados en el caso de varios servidores (s . 1). Debido a que este modelo no permite
más de K clientes en el sistema, K es el número máximo de servidores que pueden tenerse. Suponga
que s # K. En este caso, Cn se expresa como

(
n
/
!
)n
para n 0, 1, 2, . . . , s
Cn

(
s
/
!
)s

s

ns

(
s

!s
/
n
)n
s
para n s, s 1, . . . , K
0 para n K.
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
Así,

(
n
/
!
)n
P0 para n 1, 2, . . . , s
Pn

(
s

!s
/
n
)n
s
P0 para n s, s 1, . . . , K
0 para n K,
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
donde
P0 1

s
n0

(
n
/
!
)n

(
s
/
!
)s

K
ns1

s

ns

.
(Estas fórmulas aplican la convención de que n! 5 1 cuando n 5 0.)
Si se adapta a este caso la derivación de Lq del modelo M/M/s, se llega a
Lq
s
P
!
0
(
(
1

/)

s
)

2
[1 Ks
(K s)Ks
(1 )],
donde 5 /(s).8
Se puede demostrar que
L
s1
n0
nPn Lq s1
s1
n0
Pn
.
Y W y Wq se obtienen a partir de estas cantidades, como se mostró en el caso de un solo servidor.
El archivo de Excel de este capítulo incluye una plantilla para calcular las medidas de desem-
peño anteriores (inclusive las Pn) de este modelo.
Un caso especial e interesante de este modelo es cuando K 5 s, de manera que la capacidad de
la cola es K – s 5 0. En este caso, los clientes que llegan cuando todos los servidores están ocupados
dejan el sistema de inmediato y se pierden. Esto ocurrirá, por ejemplo, en una red telefónica con s
líneas troncales de manera que cuando todas estas líneas están ocupadas, quien llama obtiene una
8
Si 5 1, es necesario aplicar la regla de L’Hôpital dos veces a esta expresión de Lq. De otra manera, todos estos resul-
tados se cumplen para toda . 0. La razón para que este sistema de colas alcance la condición de estado estable aun
cuando $ 1 es que n 5 0 para toda n $ K, de modo que el número de clientes en el sistema no puede seguir creciendo
en forma indefinida.

señal de ocupado y cuelga. Este tipo de sistema (un “sistema de colas” sin cola) se conoce como
sistema de pérdidas Erlang, porque el primero que lo estudió a principios del siglo xx fue A. K.
Erlang, un ingeniero en telefonía holandés, a quien se considera el fundador de la teoría de colas.
Ahora resulta común que los sistemas telefónicos de un centro de llamadas proporcionen
algunas líneas extras que colocan a la persona que llama en espera, pero los clientes adicionales
obtendrán una señal de ocupado. Dicho sistema también se ajusta a este modelo, donde (K 2 s)
es el número de líneas adicionales que colocan las llamadas en espera. Uno de los ejemplos de la
sección Worked Examples del sitio en internet de este libro ilustra la aplicación de este modelo a
un sistema como el descrito.
Variación de fuente de entrada ﬁnita al modelo M/M/s
Ahora suponga que la única diferencia con el modelo M/M/s (según se definió en la sección 17.2)
es que la fuente de entrada está limitada; es decir, el tamaño de la población potencial es finito. En
este caso, sea N el tamaño de esa población. Cuando el número de clientes en el sistema de colas es
n (n 5 0, 1, 2, . . ., N), existen sólo N – n clientes potenciales restantes en la fuente de entrada.
La aplicación más importante de este modelo es el problema de reparación de máquinas, en
el que se asigna a uno o más técnicos la responsabilidad de mantener en operación cierto grupo de
N máquinas dando servicio a cada una de las que se descomponen. (El ejemplo que se presentó al
final de la sección 16.8 ilustra esta aplicación cuando se usa el procedimiento general para resolver
cualquier cadena de Markov de tiempo continuo en lugar de las fórmulas específicas disponibles
para el proceso de nacimiento y muerte.) Se considera que un técnico de mantenimiento es un
servidor individual en el sistema de colas si trabaja en forma independiente en máquinas diferen-
tes, mientras que los miembros de una cuadrilla completa se toman como un servidor si trabajan
unidos en cada máquina. Las máquinas constituyen la población potencial. Cada una se considera
un cliente en el sistema de colas cuando está descompuesta en espera de ser reparada, mientras que
cuando está en operación está fuera del sistema.
Observe que todos los miembros de la población potencial alternan entre estar adentro y
afuera del sistema de colas. Entonces, el análogo del modelo M/M/s que se ajusta a esta situación
supone que el tiempo afuera de cada miembro (esto es, el tiempo que pasa desde que deja el sistema
hasta que regresa) tiene una distribución exponencial con parámetro . Cuando n miembros están
adentro y, por supuesto, N – n miembros están afuera, la distribución de probabilidad actual del
tiempo que falta para la próxima llegada al sistema es la distribución del mínimo de los tiempos
restantes afuera de esos N – n miembros. Las propiedades 2 y 3 de la distribución exponencial
implican que esta distribución debe ser exponencial con parámetro n 5 (N – n). Así, el modelo
es sólo un caso especial del proceso de nacimiento y muerte que tiene el diagrama de tasas que se
presenta en la figura 17.7.
Como n 5 0 para n 5 N, cualquier sistema que se ajuste a este modelo alcanzará en algún
momento la condición de estado estable. Los resultados disponibles se resumen de la siguiente
manera:
Resultados para el caso de un solo servidor (s 5 1). Cuando s 5 1, los factores Cn de la
sección 17.5 se reducen a
N(N 1)

(N n 1)

n

(N
N

!
n)!

n
para n N
Cn
0 para n N,
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
para este modelo. Entonces, si se usa de nuevo la convención de que n! 5 1 cuando n 5 0,
P0 1

N
n0

(N
N

!
n)!

n

;
Pn
(N
N

!
n)!

n
P0, si n 1, 2, . . . , N;
Lq
N
n1
(n 1)Pn,

que se puede reducir a
Lq N

(1 P0);
L
N
n0
nPn Lq 1 P0
N

(1 P0).
Por último,
W
L

y Wq
L

q
,
donde

ⴥ
n0
nPn
N
n0
(N n)Pn (N L).
En este punto podría resultar útil referirse en forma retrospectiva al ejemplo del final de la
sección 16.8, porque se ajusta por completo a este modelo del caso de un solo servidor. En par-
ticular, N 5 2, 5 1 y 5 2 para ese ejemplo, así que P0 5 0.4, P1 5 0.4, P2 5 0.2, y así suce-
sivamente.
Resultados para el caso de varios servidores (s . 1). Para N $ s . 1,

(N
N
n
!
)!n!

n
para n 0, 1, 2, . . . , s
Cn

n
para n s, s 1, . . . , N
0 para n N.
N!

(N n)!s!sns
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
Entonces,

(N
N
n
!
)!n!

n
P0 si 0 n s
Pn

n
P0 si s n N
0 si n N,
N!

(N n)!s!sns
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
0 1 2 n N
n 2 n 1 N 1
Estado: …
…
…
N

0 1 2 s N
s 2 s 1 N 1
Estado: … …
N (N 1)
2 s
(s 1) s
n
n,
s,

(N 1) (N n 2) (N n 1)
(N s 2) (N s 1)
n (N n),
?0,
para n 0, 1, 2, ..., N
para n N
n (N n),
?0,
para n 0, 1, 2, ..., N
para n N
para n 1, 2, ..., s
para n s, s 1, ...
n , para n 1, 2, ...
a) Caso de un solo servidor (s = 1)
b) Caso de varios servidores (s 1)
FIGURA 17.7
Diagrama de tasas de las
variaciones de fuente de
entrada ﬁnita al modelo
M/M/s.

donde
P0 1

s1
n0

(N
N
n
!
)!n!

n

N
ns

n

.
N!

(N n)!s!sns
Por último,
Lq
N
ns
(n s)Pn
y
L
s1
n0
nPn Lq s1
s1
n0
Pn
,
con lo que después se obtienen W y Wq igual que en el caso de un servidor.
El archivo de Excel de este capítulo contiene una plantilla para realizar todos los cálculos
anteriores.
Se dispone de tablas extensas9
para los resultados numéricos de este modelo, tanto en el caso
de uno como de varios servidores.
Se ha demostrado10
que en ambos casos, las fórmulas anteriores para obtener Pn y P0 (y por
ende Lq, L, W y Wq) también se cumplen para una generalización de este modelo. En particular, se
puede eliminar el supuesto de que los tiempos que los miembros de la población potencial pasan
fuera del sistema de colas tienen una distribución exponencial, aunque esto ponga al modelo fuera
del contexto del proceso de nacimiento y muerte. Siempre que estos tiempos tengan distribuciones
idénticas con media 1/ (y se cumpla el supuesto de tiempos de servicio exponencial), estos tiem-
pos fuera pueden tener cualquier distribución de probabilidad.
■ 17.7 MODELOS DE COLAS CON DISTRIBUCIONES NO EXPONENCIALES
Todos los modelos de teoría de colas de la sección anterior (excepto el de una generalización) se
basan en el proceso de nacimiento y muerte, lo que hace necesario que tanto los tiempos entre llega-
das como los de servicio tengan distribuciones exponenciales. Como ya se dijo en la sección 17.4,
este tipo de distribuciones de probabilidad tiene muchas propiedades convenientes para la teoría de
colas, pero sólo en cierto tipo de sistemas de colas proporciona un ajuste razonable. En particular, el
supuesto de tiempos entre llegadas exponenciales implica que las llegadas ocurren al azar (proceso
de entrada de Poisson), lo cual es una aproximación razonable en muchas situaciones pero no cuan-
do las llegadas están programadas o reguladas con todo cuidado. Todavía más, las distribuciones de
tiempos de servicio reales con frecuencia se desvían bastante de la forma exponencial, en particular
cuando los requerimientos de servicio de los clientes son muy parecidos. Por ello, es importante
disponer de otros modelos de colas que usen otras distribuciones de probabilidad.
Desafortunadamente, el análisis matemático de los modelos de colas con distribuciones no
exponenciales es mucho más difícil. Sin embargo, se han podido obtener algunos resultados útiles
con algunos modelos. El análisis está más allá del nivel de este libro, pero en esta sección se resu-
mirán los modelos y se describirán sus resultados.
Modelo M/G/1
Como se dijo en la sección 17.2, el modelo M/G/1 supone que el sistema de colas tiene un servidor
y un proceso de entradas de Poisson (tiempos entre llegadas exponenciales) con una tasa media de
llegadas fija . Como siempre, se supone que los clientes tienen tiempos de servicio independientes
con la misma distribución de probabilidad, pero no se imponen restricciones sobre cuál debe ser
esta distribución de tiempos de servicio. En realidad, sólo es necesario conocer (o estimar) la media
l/ y la variancia 2
de esta distribución.
9
L. G. Peck y R. N. Hazelwood, Finite Queueing Tables, Wiley, NuevaYork, 1958.
10
B. D. Bunday y R. E. Scraton, “The G/M/r Machine Interference Model”, en European Journal of Operational
Research, 4: 399-402, 1980.
17.7 MODELOS DE COLAS CON DISTRIBUCIONES NO EXPONENCIALES 737

Cualquier sistema de líneas de espera de este tipo podrá alcanzar, en algún momento, una
condición de estado estable si 5 / , 1. Los resultados de estado estable disponibles11
de este
modelo general son los siguientes:
P0 1 ,
Lq

2
2
(

1
2

)
2
,
L Lq,
Wq
L

q
,
W Wq

1
.
Si se toma en cuenta la complejidad que representa el análisis de un modelo que permite cualquier
distribución de tiempos de servicio, es notable que se haya podido obtener una fórmula tan senci-
lla de Lq. Esta fórmula es uno de los resultados más importantes de la teoría de colas gracias a la
facilidad con que se aplica y al predominio de los sistemas M/G/1 en la práctica. Esta ecuación de
Lq (o su contraparte de Wq) con frecuencia recibe el nombre de fórmula de Pollaczek-Khintchine,
en honor de dos pioneros del desarrollo de teoría de colas que dedujeron la fórmula de manera
independiente a principios de la década de 1930.
Observe que para cualquier tiempo de servicio esperado fijo 1/, Lq, L, Wq y W se incrementan
cuando 2
aumenta. Este resultado es importante porque indica que la congruencia del servidor
tiene gran trascendencia en el desempeño de la instalación de servicio, no sólo en su velocidad
promedio. Este punto esencial se ilustra en la siguiente subsección.
Cuando la distribución de los tiempos de servicio es exponencial, 2
5 1/2
y los resultados
anteriores se reducen a los correspondientes al modelo M/M/1 que se presentó al inicio de la sec-
ción 17.6.
La flexibilidad total en cuanto a la distribución de los tiempos de servicio que proporciona este
modelo es en extremo útil, por lo que es lamentable que no se haya tenido éxito en el desarrollo de
resultados análogos en el caso de varios servidores. Ahora bien, se han logrado algunos resultados
para más de un servidor en los importantes casos especiales descritos en los dos modelos siguien-
tes. (Se dispone de plantillas de Excel en el archivo de este capítulo para realizar los cálculos del
modelo M/G/1 y los dos modelos que siguen, cuando s 5 1.)
Modelo M/D/s
Cuando el servicio consiste básicamente en la misma tarea rutinaria que el servidor realiza para
todos los clientes, tiende a haber poca variación en el tiempo de servicio que se requiere. Muchas
veces, el modelo M/D/s proporciona una representación razonable de este tipo de situaciones
porque supone que todos los tiempos de servicio son iguales a una constante fija (la distribución
de tiempos de servicio degenerada) y que tiene un proceso de entradas de Poisson con tasa media
de llegadas fija .
Cuando sólo se tiene un servidor, el modelo M/D/1 es un caso especial del modelo M/G/1,
donde 2
5 0, con lo que la fórmula de Pollaczek-Khintchine se reduce a
Lq
2(1

2
)
,
donde a partir de este valor de Lq se pueden obtener L, Wq y W como ya se demostró. Observe que
el valor de estas Lq y Wq es exactamente igual a la mitad que en el caso de tiempos de servicio
exponenciales de la sección 17.6 (el modelo M/M/l) en el que 2
5 1/2
, y entonces al decrecer 2
pueden mejorar mucho las medidas de desempeño de un sistema de colas.
11
También se dispone de una fórmula recursiva para calcular la distribución de probabilidad del número de clientes en el
sistema; veaA. Hordijk y H. C.Tijms: “A Simple Proof of the Equivalence of the Limiting Distribution of the Continuous-
Time and the Embedded Process of the Queue Size in the M/G/l Queue”, en Statistica Neerlandica, 36:97-100, 1976.

En el caso de la versión de más de un servidor de este modelo (M/D/s) se dispone de un mé-
todo complicado12
para obtener la distribución de probabilidad de estado estable del número de
clientes en el sistema y su media [si se supone que 5 /(s) , 1]. Existen tabulaciones de estos
resultados para muchos casos13
y también se dispone de gráficas como la de la figura 17.8 para las
medias (L).
Modelo M/Ek/s
El modelo M/D/s supone una variación cero en los tiempos de servicio (5 0), mientras que la
distribución exponencial de tiempos de servicio supone una variación muy grande (5 1/). En-
tre estos dos casos extremos hay un gran intervalo (0 , , 1/), donde caen la mayor parte de
las distribuciones de tiempos de servicio reales. Otro tipo de distribución teórica de tiempos de
servicio que concuerda con este espacio intermedio es la distribución de Erlang (llamada así en
honor del fundador de la teoría de colas).
La función de densidad de probabilidad de la distribución de Erlang es
f(t)
(k
(

k)
1
k
)!
tk1
ekt
, para t 0,
12
Vea N. U. Prabhu: Queues and Inventories, Wiley, Nueva York, 1965, pp. 32-34; también vea pp. 286-288 en la refe-
rencia seleccionada 5.
13
F. S. Hillier y O. S. Yu, con D. Avis, L. Fossett, F. Lo y M. Reiman, Queueing Tables and Graphs, Elsevier North-
Holland, NuevaYork, 1981.
Factor de utilización
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0.1
1.0
10
100
L

s
s
1
s
7
s
5
s
4
s
3
s
2
s
10
s
15
s 20
s 25
Estado
estable
esperado
del
número
de
clientes
en
el
sistema
de
colas
FIGURA 17.8
Valores de L del modelo
M/D/s (sección 17.7).
17.7 MODELOS DE COLAS CON DISTRIBUCIONES NO EXPONENCIALES 739

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