Números Reales (Presentación de Matemática) Michell Urra PNF de Informática Trayecto Inicial Sección: IN0114 Universidad Politécnica Territorial de Lara "Andrés Eloy Blanco" UPTAEB

1. Conjunto de los
Números Reales:
Desigualdades, valor
absoluto
Estudiante: Michell Urra
Unidad Curricular: Matemática
Docente: Wilmar Marrufo
Sección: IN0114
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
2023

2. Definición de Conjuntos
En el ámbito de las matemáticas, un conjunto señala
a la totalidad de los entes que tienen una propiedad
común. Está formado por una cantidad finita o infinita
de elementos, cuyo orden es irrelevante.
Los conjuntos pueden definirse de manera explícita,
citando todos los elementos de los que consta entre
llaves, A = {1,2,3,4,5},
o implícita, dando una o varias características que
determinen si un elemento dado está o no en el conjunto,
A = {números naturales del 1 al 5}.
Por ejemplo: para los números naturales, si se
considera la propiedad de ser un número primo, el
conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11,
13, …}
Un conjunto queda definido únicamente por sus
miembros y por nada más. En particular, puede
escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el
orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no
define un conjunto nuevo.
Por ejemplo:
S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} =
{martes, viernes, jueves, lunes, miércoles}
AI = {rojo, naranja, verde, azul, añil, violeta} =
{naranja, rojo, verde, violeta, añil, azul}

3. 01. Unión o reunión de conjuntos
Permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto, que contendrá a todos los elementos que
queremos unir pero sin que se repitan. Es decir, dado un grupo A y un grupo B, la unión será otro grupo
formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún componente. El símbolo
que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪.
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, d, e, f} y B = {b, d, r, s}
Entonces A ∪ B está formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.
Luego,
Operaciones con Conjuntos
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar
operaciones sobre los conjuntos para obtener otro grupo. De las operaciones con conjuntos se observaran
las siguientes:
02. Intersección de conjuntos
Es la operación que permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en
dicha operación. Es decir, dados dos conjuntos A y B, la intersección estará formado por los elementos
de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos.

4. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩.
Ejemplo:
Dados dos conjuntos A = {1,2,3,4,5} y B = {4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩B =
{4,5}.
03. Diferencia de conjuntos
Es la operación que permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el grupo resultante es el que
tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir, dados dos conjuntos A y B,
la diferencia entre ambos, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que
se usa es el siguiente: -
Ejemplo:
Dados dos conjuntos A = {1,2,3,4,5} y B = {4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A - B = {1,2,3}.
04. Diferencia simétrica de conjuntos
Es la operación que permite formar un conjunto, en donde de dos grupos el conjunto resultante es
el que tendrá todos los elementos que no sean comunes en ambos.
Es decir, dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos
no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa es el siguiente: △
Ejemplo:
Dados dos conjuntos A = {1,2,3,4,5} y B = {4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos será
A △ B = {1,2,3,6,7,8,9}.

5. 05. Complemento de un conjunto
Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A ' formado por todos
los elementos de U, pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U.
En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que
se opera, A' en donde el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo:
Dado el conjunto Universal U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A = {1,2,9}, el conjunto A '
estará formado por los siguientes elementos A ' = {3,4,5,6,7,8}.

6. Números Reales
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden
clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales. En otras palabras, cualquier
número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la
recta real. El conjunto de los números reales abarca a los números racionales y a los números
irracionales, pudiendo ser expresados por un número entero o un número decimal.
Ejemplos:
Son ejemplos de números reales los siguientes:
e, π (pi), √2, -√2, √3, -√5, 1/3, -2/5, 8/7, 1, -4, 0, 5...
Clasificación de los números reales
La clasificación de los números reales incluye los siguientes conjuntos de números.
01. Números naturales
Los números naturales se denotan con la letra N mayúscula y constituyen el
conjunto de números que sirven para contar, pudiendo observarse que se encuentran
compuestos por infinitos elementos.
 Ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …

7. 02. Números enteros
El conjunto de los números enteros se representa con una Z y se halla conformado por los naturales, así
como sus opuestos, es decir, los negativos. De igual modo, los números enteros comprenden el cero.
 Ejemplo: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
03. Números racionales
Se denotan con la letra Q mayúscula, constituyendo aquellos que están representados por el cociente de dos
números enteros. En los casos que es necesario representar cocientes inexactos o que posean una cantidad de
decimales cíclica o finita, los números racionales deben escribirse como fracciones.
Por otra parte, una fracción o número racional se encuentra conformado por tres elementos: un
numerador, un denominador y un operador de cociente (/, : o ÷).
 Ejemplo: 69,96 (1749/25), 7,2 (36/5), 3,333333 (10/3), 591, 625,…
04. Números irracionales
Se representan con el símbolo I. Estos se encuentran compuestos por todos los números decimales infinitos no
periódicos, es decir, aquellas cifras cuyos decimales son infinitos y no provienen de una fracción.
En el conjunto de los números irracionales, hay números como π y e, los cuales son constantes universales, y
poseen su representación como números decimales infinitos no periódicos.
También son irracionales las magnitudes que no tienen la posibilidad de expresarse en forma entera o como
fracción.
 Ejemplo: π (pi), √5. 2.2360679775, √123. 11.0905365064, e, Áureo,…

8. Desigualdades
La desigualdad matemática
es aquella proposición que
relaciona dos expresiones
algebraicas cuyos valores son
distintos. Una desigualdad
matemática denota la relación de
orden que existe entre los dos
valores a través de una serie de
signos que indican el mayor,
menor, mayor igual o menor
igual. Dependiendo del tipo de
desigualdad matemática que se
manifieste, se tendrá que llevar a
cabo una operación matemática
diferente.
Signos de desigualdad matemática
Se pueden sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades matemáticas posibles en los siguientes:
 Desigual a: ≠
 Menor que: <
 Mayor que: >
 Menor o igual que: ≤
 Mayor o igual que: ≥
Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos.
Son conocidas como desigualdades “estrictas”. Una desigualdad estricta se produce
cuando ambos valores son diferentes y, por lo tanto, uno es mayor que el otro.
Son conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”.
Una desigualdad no estricta, o amplia, es aquella en donde no se puede
determinar si uno de los valores es mayor, menor o igual que el otro.

9. Propiedades de la desigualdad matemática
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene.
 Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene.
 Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se mantiene.
 Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se mantiene.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las siguientes propiedades:
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.
 Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.
Cabe destacar que una desigualdad matemática e inecuación son diferentes. Una inecuación se
genera mediante una desigualdad, pero podría no tener solución o ser incongruente. Sin embargo,
una desigualdad podría no ser una inecuación.
 Por ejemplo: 3 < 5
Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una inecuación puesto
que no tiene incógnitas.

10. Ejemplos de desigualdades matemáticas:
Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos miembros o componentes.
Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha.
 Expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra incógnita menos dos es superior
a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el elemento B. La resolución nos mostraría que (en números
naturales) la desigualdad se cumple si x es igual o superior a 3 (x ≥ 3).
 Resolver: 3x − 5 > 1
Solución
Se escribe primero el problema original:
3x − 5 > 1
Para despejar la variable, se suma 5 a ambos lados de la desigualdad:
3x − 5 + 5 > 1 + 5
Luego de simplificar, la expresión se reduce a:
3x > 6
Para resolver, se divide ambos lados por 3:
x >
x > 2

11. Valor Absoluto
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor
que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se
conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o
negativo.
 Por ejemplo, el valor absoluto del número −4 se representa como |−4| y equivale a 4, y el valor absoluto
de 4 se representa como |4|, lo cual también equivale a 4.
En la recta numérica se representa como valor absoluto a la distancia que existe de un punto al origen.
 Por ejemplo, si se recorren 4 unidades del cero hacia la
izquierda o hacia la derecha, llegamos a −4 o a 4,
respectivamente; el valor absoluto de cualquiera de dichos
valores es 4.

12. El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.
El valor absoluto se escribe entre barras verticales.
|−5| = 5 │- 8│= 8 │- 3│= 3
|5| = 5 │8│ = 8 │3│= 3
Valor absoluto de un número entero
Formalmente, el valor absoluto de todo número real está definido por:
El valor absoluto de un número real es siempre mayor que o igual a cero y nunca es
negativo. Además, el valor absoluto no sólo describe la distancia de un punto al origen; de
manera general, el valor absoluto puede indicar la distancia entre dos puntos cualesquiera de
la recta numérica. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en Matemáticas
surge de la generalización del valor absoluto de la diferencia.
Valor absoluto de un número real

13. Propiedades del Valor absoluto
01. Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
|5| = |−5| = 5
El valor absoluto de un producto es igual al producto de los
valores absolutos de los factores.
|a · b| = |a| ·|b|
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10
02.
El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores
absolutos de los sumandos.
|a + b| ≤ |a| + |b|
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| ≤ |5| + |2| 3 ≤ 7
03.

14. Desigualdades con Valor Absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable
dentro.
En otras palabras, una desigualdad con valor absoluto es una expresión con la función valor absoluto, así como
también con los signos de valor absoluto. Por ejemplo, la expresión ∣x+5∣ > 2 ∣x+5∣ > 2 es una desigualdad con
valor absoluto que contiene un signo “mayor que”.
Ejemplos
Las siguientes son desigualdades con valor absoluto:
 ∣x+1∣ < 3 ∣x+1∣ < 3
 ∣x−2∣ ≥ 5 ∣x−2∣ ≥ 5
 ∣x+5∣ > 1 ∣x+5∣ > 1
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.

15. ¿Cómo resolver desigualdades con valor absoluto?
Los siguientes pasos son reglas generales que pueden seguirse para resolver desigualdades con valor absoluto:
Paso 1: Despejar completamente la expresión con el valor absoluto.
Paso 2: Resolver las versiones positivas y negativas de las desigualdades con valor absoluto.
• Cuando el número en el otro lado del signo de desigualdad es negativo, concluimos que, o bien todos los
números reales son soluciones o que la desigualdad no tiene solución.
• Cuando el número en el otro lado es positivo, procedemos a formar una desigualdad compuesta al remover
las barras del valor absoluto.
Paso 3: El tipo de signo de desigualdad determina el formato de la desigualdad compuesta a ser formada.
• Si el problema contiene signos mayor que o mayor/igual que, forma una desigualdad compuesta de la
siguiente manera: (valores dentro del signo de valor absoluto) < - (el número en el otro lado)
o
(valores dentro del signo de valor absoluto)> (el número en el otro lado)
• De igual forma, si el problema contiene signos menor que o menor/igual que, forma una desigualdad
compuesta de tres partes de la siguiente manera:
- (el número en el otro lado del signo) < (valores dentro del signo de valor absoluto) < (el número en el otro lado
del signo)
Paso 4: Resuelve las desigualdades.

16. Ejemplos
01. Resuelve la desigualdad ∣x + 4∣ − 6 < 9
Paso 1: Despejar el valor absoluto:
∣x + 4∣ − 6 < 9
∣x + 4∣ < 9 + 6
∣x + 4∣ < 15
Paso 2: Como el número en el otro lado es un número positivo, se puede avanzar al paso 3.
Paso 3: Forma una desigualdad compuesta: El signo de desigualdad en este problema es un
signo menor que, por lo que formamos una desigualdad de tres partes:
− 15 < x + 4 < 15
Paso 4: Resuelve la desigualdad:
− 15 − 4 < x < 15 − 4
− 19 < x < 11

17. 02. Resuelve la desigualdad ∣2x − 1∣ − 7 ≥ − 3
Paso 1: Despejar el valor absoluto:
∣2x − 1∣ − 7 ≥ −3
∣2x − 1∣ ≥ −3 + 7
∣2x − 1∣ ≥ 4
Paso 2: Como el número en el otro lado es positivo, 4. Se puede proceder al paso 3.
Paso 3: Forma una desigualdad compuesta: El signo de desigualdad en este problema es
un signo mayor/igual que, por lo que formamos una desigualdad compuesta con la
palabra “o”:
2x − 1 ≤ −4 o 2x − 1 ≥ 4
Paso 4: Resuelve las desigualdades:
2x − 1 ≤ −4 o 2x − 1 ≥ 4
2x ≤ −3 o 2x ≥ 5
x ≤ − ​ o x ≥

18. Bibliografía
 https://definicion.de/conjunto/
 https://asignatura.us.es/algbas/sets/
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 https://www.lucaedu.com/numeros-reales/
 https://es.scribd.com/document/480905894/Numeros-Reales#download&from_embed
 https://www.sdelsol.com/glosario/desigualdad-matematica/
 https://www.crehana.com/blog/negocios/desigualdades-matematicas/
 https://economipedia.com/definiciones/desigualdad-matematica.html
 https://definicion.de/valor-absoluto/

19.  http://campusvirtual.cua.uam.mx/material/tallerm/34_Valor_Absoluto_html/index.html
 https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-value-inequalities
 https://www.neurochispas.com/wiki/resolver-desigualdades-con-valor-absoluto/#2-
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