matematikte süreç kavramını anlatan bir konu

1. Merve Sinem Türk
Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi
Ders: Materyal Tasarımı ve Teknolojileri
www.ksu.edu.tr
Konu: Türev ve İntegral Arasındaki İlişki

2.  Türev ve integral, matematiğin en önemli konseptlerinden
ikisidir. Günümüzde okullarda (liselerde) bu ikili çok yüzeysel bir
şekilde ve çoğunlukla tamamen ezbere dayalı olarak
anlatılmaktadır. Özellikle de bu kavramların ne anlama geldiği
öğrenciye anlatılmadan, sadece nasıl çözüleceği üzerinden
anlatım yapılmaktadır.
 Örneğin türev için "sayının üssünü katsayı olarak önüne al ve
üssü 1 azalt" denmekte, integrali anlatmak içinse "üssü 1
arttırıp, aynı sayıyı payda olarak sayının altına yaz" gibi kalıp
halinde ve algılamanın imkansız olduğu bir biçimde
anlatılmaktadır.

3.  Aslında iki kavram da, öylesine temel ve öylesine basittir
ki... Buna rağmen, matematiğin, modern bilimin ve
mühendisliğin kalbinde yatan kavramlardır. Türev ve
integrali binbir farklı şekilde anlatmak mümkündür, fakat
temel düzeyde anlamak için kısa bir tanım yapacağız:
 Türev, herhangi bir zaman aralığındaki değişim miktardır.
Yani "değişim"i ölçmek için kullanılır. Az sonra
örneklendireceğiz.
 İntegral ise, belli bir aralıktaki toplam değişimi, ya da
biriken değişim miktarını, ifade etmek için kullanılır. Türev
ve integrali anlamak için, integrali çözme yöntemleri bir
kenara bırakılarak, hayattan örneklere bakılabilir.

4.  Örneğin tavanınız akıtıyorsa ve etrafı su götürmemesi için akıtan
noktanın hizasına büyük bir kova koyduysanız, kova içerisindeki su
damla damla birikecektir. Birim zamanda (örneğin 1 saatte) kovadaki
suyun hacmindeki değişim miktarı türev ile hesaplanır.
 Çok basit tabiriyle, hacim miktarındaki değişimin, zamandaki değişime
oranıdır. Tabii ki bu hesabın bu şekilde kolayca anlaşılabilmesi için,
tavanın düzenli olarak akıttığı varsayılmalıdır. Eğer ki tavan bir hızlı, bir
yavaş akıtıyorsa, o zaman çeşitli yöntemlerle bu akıtma davranışı
matematiksel olarak tanımlanmalı ve ondan sonra belirli bir zamandaki
değişim hesaplanmalıdır. Fakat basit bir şekilde düşünecek olursak,
her saniye 1 damla damlatan bir tavanın kovayı doldurma hızı, türevle
hesaplanır.
 Bu tür çok basit işler için yapılan işlemlerde türev, basit çarpım ve
toplam işlemlerine dönüşür. Bu sebeple türev olarak düşünemize
gerek kalmaz; ancak değişim olan her şeyin özü, türeve
dayanmaktadır. İntegral ise, belli bir değerin, belli bir diğer değere göre
değişiminin toplamıdır.
 Örneğin damlatan tavanımızın hızının giderek arttığını düşünelim. 24
saatlik bir süre zarfında, kaç kova dolusu su birikeceğini, integral
hesabıyla bulabiliriz.

5.  Görselde, "edebi" bir örnek üzerinden
integral anlatılmaktadır. Her ne kadar
bilimsel geçerliliği tartışılır olsa da, integral
hesaplarında yer alan değerleri anlamak
için faydalı olduğu için bu örneği vermek
istedik. Öncelikle, denklemde sol tarafta
belirtilen "yaşam", integral işleminin
sonucudur.
 Yani tanımlamak istediğimiz şey, yaşamdır.
Burada, örneklemek bakımından şu edebi
cümleyi düşünelim: "Yaşam, ömrünüz
boyunca geçirdiğiniz zamanda aldığınız
mutlulukların toplamından ibarettirBu
cümlenin integral ifadesi, görseldeki gibidir.
Önce, değişken belirlenmelidir. Burada
değişen şey, zamandır. Sonrasında,
hesaplamak istediğimiz şey belirlenir:
mutluluk.
 Yani sözün iddia ettiği gibi, mutluluğun
zaman içerisindeki birikimini hesaplamak
istiyoruz. Bunun, yaşama eşit olduğunu
iddia edeceğiz. İntegral işareti (uzunca bir
S şeklinde olan işaret) altına, değişkenin
(bu durumda "zaman") başlangıcı yazılır:
doğum. Üstüne, hesaplanmak istenen
aralığın sonu yazılır: ölüm. İntegralin iç
kısmına, hesaplanmaya çalışılan şey
yazılır. Bu durumda, "zaman başına düşen
mutluluk" hesaplanmaktadır. Dolayısıyla
"mutluluğun zamana bölümü" yazılmıştır.
 Benzer bir hesap, sadece "mutluluk" olarak
da yapılabilirdi. Bu örnekte, zaman başına
düşen mutluluk yazılmıştır. Son olaraksa,
değişken Δ işaretiyle (ya da genelde "d"
harfiyle) birlikte yazılır. Δ zaman, "birim
zaman" demektir. İşte oldu! Zaman (ya da
birim zaman) başına düşen mutluluğun
birikimini, doğumdan ölüme kadar, birim
zaman aralıkları boyunca hesapladık. Bunu
da yaşama eşitledik!

6.  Aynı örnek üzerinden gidilecek olursa türev, iki birim
zaman arasındaki mutluluk miktarınızın değişimiyken;
integral, birim zamanlar boyunca belli bir aralıkta tüm bu
mutluluk değerlerinin bir toplamıdır. Bu örnekteki temel
nokta, "mutluluk" değerinin matematiksel ifadesidir.
İntegral içerisinde toplamak istediğimiz olgunun
matematiksel ifadesi önemlidir.
 Yani edebi bir anlatım yapmıyor olsaydık da, mutluluk
yerine yazacağımız şeyi (örneğin değişen hızlarda
damlatan bir çatıyı) matematiksel olarak tanımlamamız
gerekirdi. Ki bu, gerçek sorunlarla karşılaşan bilim
insanlarının yaptığı ilk şeydir. Sonrasında, integrali tespit
ederler ve sayısız çözüm yönteminden uygun olan birini
kullanarak çözerler.