Propiedades de Funciones Gráficas

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Propiedades de las
Funciones
Funciones
1

Objetivos
Identificar si una gráfica representa una función.
Identificar si una función tiene simetría par o impar.
Obtener información de la gráfica de una función.
Identificar el dominio y el alcance
Intersecciones con los ejes
Puntos de cambio
Hallar el valor de la función para algún valor particular de .
Utilizar la información de la gráfica para indicar
comportamientos observables de la función.
Puntos máximos y mínimos
Intervalos donde la función crece, decrece y constante
Intervalos donde la función es positiva y negativa
2

Propiedades de Funciones
Toda representación de una función tiene una relación
entre sus variables. Al conjunto de características de cada
relación le llamamos propiedades de las funciones.
Estas características repercuten en la representación
gráfica de cualquier función.
Si es una función con dominio A, entonces la gráfica de
es el conjunto de pares ordenados , .
3
( ))(, afa
( ))(, afa
( ))(, afa
( )
( )
( )
A (abcisa)
f(A)
Nota:
La gráfica de es el conjunto de
los puntos ( , ) tales que = ( );
es decir, la gráfica de la ecuación
= ( ).

Regla de la recta vertical
La regla de la recta vertical se utiliza para determinar si una
gráfica representa una función.
La regla consiste en trazar rectas verticales a través de la
gráfica, si estas rectas verticales cruzan la gráfica una sola vez
decimos que la gráfica representa una función.
Ejemplos:
4
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
La gráfica no representa
una función porque una de
las rectas cruza la curva
más de una vez.
La gráfica representa
una función porque las
rectas cruzan la curva una
sola vez.
La gráfica no representa
una función porque más de
una de las rectas cruza la
curva más de una vez.

Práctica
5
Buscar el Manual de práctica
Trabajar los ejercicios
de la página 1

Práctica:
Clasificar las gráficas de
las siguientes relaciones en
función o no función.
Regla de la recta vertical
6
a)
b)
c)
d)
b)
c) d)
a)
Recuerde :
Si una recta vertical cruza la gráfica
más de una vez, esa gráfica no
representa una función.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)

Dominio y alcance
7
Al determinar el dominio de una función gráficamente, se buscan
todas las coordenadas que corresponden a puntos en la gráfica.
Para determinar el alcance de una función gráficamente se
buscan todas las coordenadas que corresponden a puntos en la
gráfica.
En la gráfica de la izquierda los
elementos del dominio son todas las
a la derecha de 1.
Dominio = 1, ∞
Alcance = ∞, 2
En la gráfica de la izquierda los
elementos del alcance son todas las
por debajo de 2.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
8

Práctica
8
de la página 2

Práctica:
Buscar el dominio y alcance
de las siguientes funciones
representadas gráficamente.
Dominio y Alcance
9
a)
b)
c)
d)
b)
c) d)
a)
Recuerde:
El dominio se relaciona con la variable
independiente y el alcance se relaciona
con la variable dependiente.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)

Funciones crecientes,
decrecientes y constantes
Las funciones se emplean con frecuencia para modelar cantidades
cambiantes.
Es importante saber dónde crece, decrece o es constante la gráfica
de una función.
10
Solución:
f es CRECIENTE f es DECRECIENTE f es CONSTANTE
f es CRECIENTE
f es DECRECIENTE
f es CRECIENTE
f es CONSTANTE
a b c d e
B
C
)( xfy =
A
ED)( xf
x
, ,, ∪ ,

Definición
11
f es creciente en un intervalo abierto l, si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en l.
f es decreciente en un intervalo abierto l, si f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en l.
f es constante en un intervalo abierto l, si f(x1) = f(x2) siempre que x1 < x2 en l.
creciente decreciente
x1 x2
f
f(x2)
f(x1)
x1 x2
f
f(x2)
f(x1)
constante
( )21, xx ( )21, xx
x1 x2
f
f(x2)
f(x1)
( )21, xx

Práctica
12
de la página 2

Funciones crecientes,
decrecientes y constantes
13
Práctica:
La siguiente gráfica presenta el peso W de una persona de la
edad . Determine los intervalos dónde la función W es creciente,
decreciente y constante. Explique que representan esos intervalos
para la persona.
0 10 20 30 40 50 60 70 (años)
(lb)
200
150
100
50

Puntos de cambio,
máximos y mínimos locales
14
Los puntos donde la pendiente de la curva cambia de dirección se
llaman puntos de cambio. Estos son los puntos donde la pendiente
cambia de negativa a positiva o cambia de positiva a negativa.
Un máximo local de una función f, es un valor
f(c) que es mayor o igual a todos los valores del
alcance de f en algún intervalo abierto que
contiene a c. Si f(c) es mayor o igual a todos los
valores del alcance de f, entonces f(c) es el valor
máximo absoluto de f.
Un mínimo local de una función f, es un valor
f(c) que es menor o igual a todos los valores del
alcance de f en algún intervalo abierto que
contiene a c. Si f(c) es menor o igual a todos los
valores del alcance de f, entonces f(c) es el valor
mínimo absoluto de f.
Los extremos locales también se conocen como
extremos relativos.
mínimo local
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
máximo local

Práctica
15
de la página 3

Puntos de cambio,
máximos y mínimos locales
16
Práctica:
Determine los puntos de cambio de la gráfica de la función .
Identifique los puntos máximos y mínimos locales .
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)

Intersecciones en los ejes
funciones positivas y negativas
17
La intersección de la gráfica de una función con el eje de ocurre cuando el valor
de es igual a cero. El punto de intersección es 0, o 0, 0 .
La intersección de la gráfica de una función con el eje de ocurre cuando
es igual a cero. Las intersecciones en el eje de también se le llama ceros de la
función. El punto de intersección es , 0 .
Una función es positiva en un intervalo abierto I
si, 0 para toda en el intervalo I. Intervalo
donde las están por arriba del eje de .
Una función es negativa en un intervalo abierto I
si, 0 para toda en el intervalo I. Intervalo
donde las están por debajo del eje de .
En la gráfica de la izquierda se observa lo siguiente:
Intersección en el eje de : (0, -1)
Intersección en el eje de : (-3, 0), (2, 0)
Función positiva 0 en: (-∞, -3)U(2, ∞ )
Función negativa 0 en: (-3, 2)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)

Práctica
18
de la página 3

Intersecciones en los ejes
funciones positivas y negativas
Práctica:
Determine las intersecciones en los ejes de la función .
Determine los intervalos donde la gráfica es positiva y negativa.
19
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)

Simetría
20
Simetría es el conjunto de transformaciones que
llevan a que un objeto se vea igual.

Simetría Par
21
Una función , es par si para cada número en el
dominio de el número también está en el dominio,
y se cumple que .
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
, , El eje de está a la
misma distancia de
que de – . El valor de la
función es igual para
y – .

Simetría Impar
22
Una función , es impar si para cada número en el
dominio de el número también está en el dominio,
y se cumple que .
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
,
, El origen está a la
misma distancia de
que de – . El valor de la
función es opuesto para
y – .

Simetría
Ejemplo 1:
Determinar si la función 3 + 4 es par, impar
o ninguna.
23
3 + 4
Solución:
3 + 4
3 + 4
∴ " # $
Escribir la función a evaluar su
simetría.
Efectuar las operaciones indicadas
por la función.
Concluir sobre la simetría.
Sustituir para hallar .
Realizar la comparación de y
.

Simetría
Ejemplo 3:
Determinar si la función %
5 es par, impar o
ninguna.
25
Solución:
Escribir la función a evaluar su
simetría.
Efectuar las operaciones indicadas
por la función.
Concluir sobre la simetría.
Sustituir para hallar .
Como ≠ se busca el
opuesto de la función.
= % 5
= ( )% 5( )
= %
+ 5
≠ ( )
= ( % 5 )
= % + 5
=
∴ " ()# $

Práctica
26
de la página 4

Simetría
27
Práctica 1:
Determinar si la función 4 3 es par,
impar o ninguna.

Teorema
29
Una función es par si y sólo
si su gráfica es simétrica con
respecto al eje de .
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
Una función es impar si y
sólo si su gráfica es simétrica
con respecto al origen.

Simetría
31
Ejemplo 2:
Determinar si la gráfica representa una función par,
impar o ninguna.
La gráfica tiene simetría con
respecto al origen, por lo tanto la
función tiene simetría impar.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
La función representada por esta gráfica es impar.
La recta divide la grafica en
dos pedazos de forma tal que uno de
ellos es el reflejo del otro.

Simetría
32
Ejemplo 3:
Determinar si la gráfica representa una función par,
impar o ninguna.
La gráfica no tiene simetría con
respecto al origen o el eje de , por lo
tanto la función no tiene simetría par
o impar.
La recta y el eje de no
dividen la gráfica en dos pedazos de
forma tal que uno de ellos es el
reflejo del otro.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
La función representada gráficamente no es par ni impar.

Práctica
33
de la página 5

Práctica:
Determinar si la gráfica
representa una función par,
impar o ninguna.
Simetría
34
a)
b)
c)
d)
b)
c) d)
a)
Recuerde :
Si la recta o el eje de divide la
gráfica en dos pedazos de forma tal que uno
de ellos es reflejo del otro hay simetría.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)

Trabajo en grupo
35
Todos los grupos
de las páginas 6, 7 y 8

Trabajo en grupo
36
Dominio:
Alcance:
Intervalos donde f crece
Intervalos donde f decrece:
Intervalos donde f es constante:
Intervalos donde f(x)>0:
Intervalos donde f(x)<0:
Intersecciones en los ejes:
Puntos de cambio:
Puntos máximos locales:
Puntos mínimos locales:
f(4):
En que valor de x f(x)=4:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
Práctica:
Para la gráfica de f(x) determine lo siguiente:

Trabajo en grupo
38
Práctica:
Dibujar la gráfica de 4 y determine los puntos de
cambio, las intersecciones, los intervalos donde la función es
positiva y creciente.

Propiedades de las funciones
39
Esta es una muestra de algunas páginas de la
presentación Propiedades de las Funciones. Si deseas la
presentación completa la puedes obtener en
matematicaspr.com. Espero que esta muestra ayude a
aclarar sus dudas de las propiedades de las funciones.

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