4. 1. Menyelesaikan Persamaan
kuadrat
Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu
dengan:
a) memfaktorkan,
b) melengkapkan kuadrat sempurna,
c) menggunakan rumus.
5.
6. ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2)
= 0.
Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan
kuadrat.
Contoh 1 :
Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0
Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 atau x – 1 = 0
x = 3 atau x = 1
Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
7.
8. c) Menggunakan rumus abc
Selain menggunakan cara pemfaktoran, untuk
menentukanakar-akarpersamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =
0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering
disebut rumus abc. Rumus kuadrat dapat diturunkan dengan
cara melengkapkan kuadrat sempurna sebagai berikut:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
• Kedua ruas ditambah –c, maka menjadi:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = −𝑐
9. Kedua ruas dibagi dengan a dimana a
+ =
𝑎𝑥2 𝑏𝑥 −𝑐
𝑎 𝑎 𝑎
↔ 𝑥2 +
𝑏𝑥
=
−𝑐
𝑎 𝑎
Lengkapkan kuadrat pada ruas kiri, dengan
cara menambah
𝑏 2
pada kedua ruas,
2𝑎
maka di peroleh :
𝑏𝑥
𝑎
𝑥2 + +
𝑏
2𝑎
2
=
−𝑐
𝑎
+
𝑏
2𝑎
2
Nyatakan ruas kiri dalam bentuk kuadrat
sempurna yaitu :
𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
𝑐
= − +
𝑏2
𝑎 4𝑎2
𝑏
𝑥 +
2𝑎
2
4𝑎𝑐 𝑏2
= − +
4𝑎2 4𝑎2
𝑏
𝑥 +
2𝑎
2
=
𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑥 + = ±
4𝑎2
𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑥 +
𝑏
2𝑎
𝑏
2𝑎
= ±
4𝑎2
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑏
𝑥 + = ±
2𝑎
𝑏
𝑥 = − ±
2𝑎
𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑥 =
2𝑎 2𝑎
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =
Jadi rumus akar-akar persamaan kuadrat
ax2+ bx+ c =0
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
11. Penggunaan Diskriminan
𝑥1,2 =
Dalam kegiatan 1 bagian b, Anda telah mempelajari cara menentukan akar-akar
persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0 (a) dengan menggunakan rumus kuadrat atau
rumus abc, yaitu:
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Dari rumus itu tampak bahwa akar-akar persamaan kuadrat sangat ditentukan
oleh nilai 𝑏2– 4ac.
Bentuk 𝑏2– 4ac disebut diskriminan (pembeda) dari persamaan kuadrat a𝑥2+ bx
+ c= 0 dan dilambangkan dengan huruf D, sehingga D = 𝑏2– 4ac.
Pemberian nama/istilah diskriminan D = 𝑏2– 4ac , dikarenakan nilai D = 𝑏2-4ac
ini yang mendiskriminasikan (membedakan) jenis akar-akar persamaan
kuadrat.Jadi kegunaan diskriminan adalah untuk menentukan jenis akar-akar
persamaan kuadrat
12. Jenis-jenis Akar Persamaan
Kuadrat
• D > 0 maka ÖD merupakan bilangan real positif, sehingga
persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan, .
• D = 0 maka ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua
akar real sama. .
• D < 0 maka ÖD merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka
persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau persamaan kuadrat
mempunyai akar tidak real.
13. • Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis
akar persamaan kuadrat x2 + 5 x + 2 = 0
Jawab :x2 + 5 x + 2 = 0
• a = 1 , b = 5 , c = 2
D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar
real berlainan
17. Menyusun Persamaan Kuadrat
a) Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan
perkalian faktor
Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0
dapat dinyatakan sebagai (x – x1) (x – x2) = 0 sehingga
diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan
demikian jika akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2 maka
persamaannya adalah (x – x1) (x – x2) = 0.
19. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan
hasil kali akar-akar
1 2 𝑎
Dengan menggunakan x + x = −𝑏
dan
1 2 𝑎
𝑥 . 𝑥 = 𝑐
, maka akan diperoleh persamaan:
• x2– (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
20. Contoh
• Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan
2x2 – 3x + 1 = 0.
Jawab:
• Misalkan akar-akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2 serta
persamaan kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x1 dan b = 2x2
a + b = 2(x1 + x2) = 2
a b = 2x1 . 2x2 = 4x1 x2 = 4 . = 2
Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:
x2 – (a + b)x + ab = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 3x + 2 = 0..
21. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-
akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan
kuadrat lain
Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya
berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.
Contoh 1:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar
persamaan x2 – 2x + 3 = 0.
Jawab:
Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. ® x1 + x2 = 2 , x1 x2
= 3.
Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan q
= x2 +3
p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3)
= x1 + x2 + 6
= 2 + 6 = 8
p q = (x1 + 3) (x2 + 3)
= x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9
= 3 + 2(2) = 9 = 18
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q) + pq = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 8x + 18 = 0.
22. Fungsi Kuadrat
Ingat !
• Fungsi atau Pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang
memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota
pada himpunan B.
• Apabila fungsi itu diberi nama f, maka fungsi tersebut dituliskan
dengan lambang f:A→B (dibaca: f memetakan Ake B).
23. Pengertian
Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b,
dan c bilangan real dan disebut fungsi kuadrat.
Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Nilai-
nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
• Contoh 1:
Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7
Ditanyakan:
1. nilai pembuat nol fungsi f
2. nilai f untuk x = 0 , x = –2
24. Lanjutan
• Jawab:
Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0
x2 – 6 x – 7 = 0
(x – 7) (x + 1) = 0
x = 7 atau x = –1
Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1
Untuk x = 0 maka f(0) = –7
x = –2 maka f(–2) = (–2)2 – 6 (–2) – 7 = 9
25. Gambar grafik fungsi kuadrat
Misalkan suatu fungsi kuadrat ditentukan dengan persamaan
f(x)= ax2 +bx +c (a ≠ 0), a, b, c, R. Grafik fungsi kuadrat itu
adalah sebuah parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c.
Untuk menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat secara
umum, dapat digunakan langkah-langkah sebagai berikut:
(i). titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y.
(ii) titik balik atau titik puncak parabola.
(iii) Persamaan sumbu simetri.
26. Langkah-langkah
Titik potong Grafik dengan Sumbu X dan Sumbu y
a) Titik Potong Grafik dengan Sumbu X
• Titik potong grafik dengan sumbu X diperoleh jika y= 0, sehingga ax2+bx + c
= 0 merupakan kuadrat dalam x.
Akar-akar persamaan kuadrat itu merupakan absis titik-titik potongnya
dengan sumbu x. nilai diskriminan persamaan kuadrat ax2+bx+c= 0, yaitu
D = b2- 4ac menentukan banyak titik potong grafik dengan sumbu x.
1. jika D>0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang
berlainan.
2.Jika D=0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang
berimpit. Dalam hal ini, grafik fungsi f dikatakan menyinggung sumbu X.
3. Jika D<0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung
sumbu x.
27. Titik Potong Grafik dengan sumbu y
Titik potong grafik dengan sumbu y diperoleh jika x = 0,
sehingga
y = 𝑎(0)2+ b(0) + c = c- Jadi, titik potong grafik dengan
sumbu y adalah (0,c)
titik balik atau titik puncak dan Persamaan sumbu
simetri
cara 1 :
Mencari nilai xp menggunakan 𝑥𝑝 = −𝑏
2𝑎
2𝑎
Untuk mencari 𝑦 , substitusikan nilai 𝑥 = −𝑏
ke 𝑦 =
𝑝 𝑝
𝑓 𝑥 =𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
28. • Cara 2 : menggunakan rumus untuk menentukan titik
𝑥𝑝, 𝑦𝑝 = 𝑝 𝑝
atau 𝑥 , 𝑦 =
2
−𝑏
, 𝑏 −4𝑎𝑐 −𝑏
, 𝐷
2𝑎 −4𝑎 2𝑎 −4𝑎
• Cara 3 : menggunakan turunan (titik puncak = titik
stationer)
Pilih beberapa nilai x kemudian carilah nilai y nya
dengan menstubstitusikan nilai x pada fungsi f
Buat daftar nilai f dalam tabel
Gambar titik-titik pada bidang koordinat
29. Dengan memperhatikan nilai a dan D dari suatu fungsi
kuadrat y=f(x)= ax2+bx+c, ada 6 kemungkinan kedudukan
grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu X.
30. Contoh
Gambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = -x2+2x-1
Jawab :
• Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2+2x – 1 adalah sebuah parabola dengan
• persamaan y = x2+2x -1, berarti a= -1, b =2, dan c = -1.
(i). Titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y.
a). Titik potong grafik dengan sumbu x diperoleh jika y = 0.
ini berarti: -x2-2x-1 = 0 (kedua ruas dikalikan -1)
- x2-2x+1 = 0
(x-1)(x-1) = 0
x-1 = 0 atau x-1 = 0
x = 0+1 atau x = 0+1
x = 1 atau x = 1
Jadi, titik potongnya dengan sumbu x adalah (1,0) atau grafik menyinggung
sumbu x di titik (1,0).
31. b). Titik potong grafik dengan sumbu y diperoleh jika x=0.
Ini berarti: y = -(0)2+2(0)-1
y = 0 + 0-1
y = -1
Jadi, titik potongnya dengan sumbu y adalah (0,-1).
(ii). Koordinat titik balik.
−𝑏 −2
𝑥𝑝 =
2𝑎
=
2. −1
= 1
Oleh Karena a = -1<0, maka p merupakan titik balik maksimum, sehingga
parabolanya terbuka ke bawah
2𝑎
(iii). Persamaan sumbu simetri adalahx = −𝑏
=
−2
2.−1
= 1
33. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga
buah titik
Contoh:
• Tentukan persamaan grafik fungsi
kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 ,
8 ) dan ( 2, 6 ).
Jawab :
Misal persamaan grafik adalah y = a x2 +
b x + c
Grafik melalui titik (–1 , 0) ® 0 = a(–
1)2 + b (–1) + c
0 = a – b + c ………………. (1)
Grafik melalui titik (1 , 8) ®
=a (1)2 + b (1) + c
8 = a + b + c ………………. (2)
Grafik melalui titik ( 2 , 6 ) ® 6
= a (2)2 + b (2) + c
6 = 4 a + 2 b + c …………… (3)
• Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat
ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara
eliminasi.
34. Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong
sumbu-X
Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).
(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x2 + b x + c sehingga 0= ap2 + bp + c dan
0= aq2 + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:
0 = a(p2 – q2) + b(p – q)
b(p – q) = –a(p2 – q2)
= –a(p + q) (p – q)
b = – a(p + q)
ke ap2 + bp + c = 0
Substitusikan b = – a(p + q)
ap2 + (– a(p + q)) p + c = 0
ap2 – ap2 – pqa + c = 0
c = pqa
Untuk b = – a(p + q) dan c = pqa maka
y = a x2 + b x + c Û y = ax2 – a(p + q)x + pqa
= a(x2 – (p + q)x + pq)
= a(x – p) (x – q)
Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0)
dan (q,0).
35. • Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (5,0)
dan (1,0), serta melalui titik (–3, –8) !
• Jawab:
y = x2 +
Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi
kuadratnya
y = a(x – (–5)) (x – 1)
= a(x + 5) (x – 1)
Grafik melalui titik (–3, –8), berarti
–8 = a(–3+5) (–3 – 1)
= –8a
a = 1
Substitusikan a = 1 pada y = a(x + 5) (x – 1) sehingga diperoleh
4x – 5.
36. • Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu
diketahui
Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c adalah .
Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dapat
dinyatakan dengan .
Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah y = a (x – p)2 + q
• Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik
(0,0).
Jawab:
Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah y = (x – 1)2 + 3
Grafik melalui titik (0,0) berarti:
0 = a(0 – 1) + 3
0 = a + 3
a = –3
y = a (x – 1)2 + 3 maka diperoleh
Substitusikan a = –3 pada
y = –3 (x – 1)2 + 3
y = –3 (x2 – 2x + 1) + 3
y = –3x2 + 6x
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x2 + 6x.
37. Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X
• Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik
akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 – 4ac = 0, maka koordinat titik
tertinggi atau terendah adalah (x,0).
Sehingga .
Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah .
Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)2
• Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui
titik (0,4) !
Jawab:
Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah
y = a (x – 2)2
Grafik melalui titik (0,4) berarti :
4 = a(0 – 2)2 = 4a
a = 1
Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)2 atau y = x2 – 4x + 4.
