Optica biomedica

1. Propagaci´n de luz en medios turbios
o
Jaime G´mez Rivas
o
La propagaci´n de la luz en medios turbios ha sido objeto de un intensivo estudio en los ultimos
o ´
a˜os. Un medio turbio es aquel en el que se produce dispersi´n m´ltiple de luz. Existen interesantes
n o u
similitudes entre el transporte de electrones en s´lidos desordernados y de la luz en medios turbios,
o
habiendo constitu´ un reto durante a˜os la observaci´n del an´logo para la luz a la localizaci´n
ıdo n o a o
de Anderson en sistemas electr´nicos. En este art´
o ıculo se hace una introducci´n a los aspectos m´s
o a
relevantes del transporte de la luz en medios turbios y de la localizaci´n de Anderson.
o
´
I. INTRODUCCION. transporte de electrones en materiales no cristalinos o
con grandes concentraciones de impurezas y de la luz en
La luz se propaga en l´ ınea recta con intensidad con- medios turbios, el estudio de la propagaci´n de la luz en
o
stante hasta que encuentra un obst´culo. Cuando esto
a estos medios ha recobrado inter´s.
e
ocurre dos posibles situaciones pueden darse: la luz es En la segunda secci´n de este art´
o ıculo se introduce
absorbida (la intensidad deja de ser constante) o es dis- brevemente la dispersi´n simple. Las siguientes secciones
o
persada (la direcci´n de propagaci´n cambia). Cuando
o o estan dedicadas a la dispersi´n m´ltiple y a la propa-
o u
la luz encuentra m´s de un obst´culo en su propagaci´n
a a o gaci´n de la luz en medios turbios. En la tercera secci´n
o o
a trav´s de un medio tenemos que en el medio se produce
e se justifica el uso de la ecuaci´n de difusi´n en la de-
o o
dispersi´n m´ltiple de luz. Si el medio pierde su trans-
o u scripci´n de la propagaci´n de la luz, despreciando por
o o
parencia debido a la dispersi´n m´ltiple decimos que el
o u tanto la interferencia de ondas. En las secciones IV y
medio es turbio. V se plantean dos situaciones en las que la interferen-
Es mi intenci´n introducir en este art´
o ıculo algunos cia ha de ser inclu´
ıda: la retrodispersi´n coherente y la
o
conceptos b´sicos de la dispersi´n m´ltiple de luz y de
a o u localizaci´n de Anderson.
o
la propagaci´n de la luz en medios turbios. He inten-
o
tado mantener un nivel elemental para que la lectura sea
´
II. DISPERSION SIMPLE.
amena. Especial inter´s ha sido puesto en los concep-
e
tos b´sicos de la retrodispersi´n coherente y de la local-
a o
izaci´n de Anderson. La localizaci´n de Anderson para la
o o El estudio de la dispersi´n m´ltiple de luz exige un pre-
o u
luz ha sido observada tan solo recientemente, habriendo vio conocimiento de la dispersi´n simple. La dispersi´n
o o
el campo a nuevos estudios. por un solo obst´culo o dispersi´n simple es de por si un
a o
Dispersi´n m´ltiple de luz es un fen´meno que encon-
o u o complicado problema no resoluble en muchas ocasiones.
tramos frecuentemente en nuestra vida cotidiana. La luz El incidente campo electromagn´tico o luz, polariza al
e
que nos llega del sol en un d´ nublado sufre de dispersi´n
ıa o obst´culo. Esta polarizaci´n genera un nuevo campo
a o
m´ltiple cuando atraviesa las nubes. La leche, la nieve, la
u electromagn´tico en, y alrededor del obst´culo que in-
e a
arena de una playa, el tejido humano son tambi´n medios
e fluencia su polarizaci´n etc, etc. El resultante campo
o
turbios. En general, cuando en un objeto la dispersi´n es o electromagn´tico o la luz dispersada por el obst´culo es
e a
eficiente para todos los colores o longitudes de onda en el por lo tanto el resultado de un complejo proceso de re-
visible el objeto es blanco, mientras que si la absorci´n o cursi´n. Sin embargo para obst´culos que son mucho
o a
es eficiente para todos los colores el objeto es negro. mayores o mucho menores que la longitud de onda de la
Durante a˜os los experimentos en medios turbios
n luz, λ, el resultado es relativamente sencillo. Podemos
fueron eludidos. Las complicaciones introducidas por la dividir el problema de la dispersi´n simple en tres difer-
o
dispersi´n m´ltiple aconsejaron a los investigadores es-
o u entes reg´ımenes: Si la luz encuentra en su propagaci´n un
o
tudiar sistemas m´s sencillos. No es de extra˜ar que los
a n obst´culo de dimensiones mucho mayores que λ estamos
a
primeros pasos en el estudio de la dispersi´n m´ltiple
o u en lo que se conoce como el l´ımite de la ´ptica geom´trica.
o e
de luz fueran dados por astrof´ ısicos. Los astrof´ ısicos no Si el obst´culo es mucho menor que λ nos encontramos
a
pueden permitirse variar las condiciones de sus ”exper- en el l´ımite de Rayleigh y en el caso intermedio tenemos
imentos”. Tienen que limitarse a observar la luz que el r´gimen de dispersi´n de Mie.
e o
llega a los telescopios. La luz producida en las estrel- En el l´ımite de la ´ptica geom´trica la dispersi´n es
o e o
las es dispersada en el n´cleo y en la atm´sfera estelar.
u o descrita por las leyes de Snell para la reflexi´n y la re-
o
Para comprender las lineas de emisi´n y absorci´n de
o o fracci´n y los coeficientes de Fresnel para las amplitudes
o
una atm´sfera estelar es necesario incluir los efectos de
o de la onda dispersada.
la dispersi´n m´ltiple. Tambi´n la luz que nos llega de
o u e Si un haz de luz incide sobre un obst´culo, la canti-
a
estrellas o galaxias lejanas ha atravesado nubes de polvo dad de luz removida del haz debido a la dispersi´n viene
o
interestelar donde se produce dispersi´n m´ltiple.
o u dada por la cantidad de luz del haz que incide sobre un
Debido a las m´ltiples similitudes que hay entre el
u ´rea igual a la secci´n eficaz de dispersi´n del obst´culo,
a o o a
1

2. σ. En el l´ ımite de la ´ptica geom´trica la secci´n efi-
o e o
caz de dispersi´n es igual a 2S, donde S es la secci´n
o o
geom´trica del obst´culo o su area proyectada en el plano
e a ´ 8
perpendicular a la direcci´n de propagaci´n del haz inci-
o o
dente. A primera vista parece err´neo que en un objeto
o
de grandes dimensiones con respecto a λ, σ no sea igual 6
a S. El origen de esta discrepancia est´ en los bordes de
a
la secci´n geom´trica donde la aproximaci´n de la optica
o e o ´
geom´trica no es v´lida. As´ pues, tenemos que adem´s
e a ı a σ/S 4
de la luz interceptada por S hay una contribuci´n ex- o
tra a la dispersi´n proveniente de los bordes de S. El
o
factor de eficiencia de dispersi´n, Q, es definido como el
o 2
cociente entre la secci´n eficaz de dispersi´n y la secci´n
o o o
geom´trica del obst´culo, Q = σ/S.
e a 0
En el l´ımite de Rayleigh tan s´lo el dipolo inducido por
o 0 2 4 6 8 10
la luz incidente sobre el obst´culo (o en este caso mas bien
a 2πa/λ
la part´ıcula) contribuye a la dispersi´n. En este l´
o ımite la
secci´n eficaz de dispersi´n es proporcional a 1/λ4 . Esta
o o
intensa dependencia de σ con la longitud de onda es la
responsable del color del cielo en una puesta de sol: σ
es mayor para longitudes de onda cortas. Es decir, la
FIG. 1. Factor de eficiencia de dispersi´n de una esfera con
o
dispersi´n es m´s eficiente para el azul que para el rojo.
o a
ındice de refracci´n n = 2.7 y de radio a en funci´n de 2πa/λ,
´ o o
Si miramos en la direcci´n del sol, el cielo aparece rojizo
o
donde λ es la longitud de onda de la luz incidente en la esfera.
porque la luz que nos llega no ha sido dispersada en su
propagaci´n a trav´s de la atm´sfera terrestre. En otras
o e o
direcciones vemos la luz dispersada, siendo la dispersi´n o ´ ´ ´
III. DISPERSION MULTIPLE Y DIFUSION DE
m´s eficiente para el azul, el cielo adquiere su aspecto
a LUZ.
azulado.
En el r´gimen de dispersi´n de Mie el problema de
e o
la dispersi´n simple es bastante m´s complicado. Tan
o a Un concepto fundamental en la descripci´n de la dis-
o
s´lo existe soluci´n exacta para obst´culos con geometr´
o o a ıa persi´n m´ltiple de luz es el recorrido libre medio, l. El
o u
esf´rica. Fu´ Mie quien, en 1908, present´ la soluci´n
e e o o recorrido libre medio es la longitud caracter´ ıstica que
al problema de la dispersi´n por dichos obst´culos que
o a describe el proceso de dispersi´n y es definido como la
o
desde entonces son conocidos como dispersores de Mie. distancia promedio que recorre la luz entre dos disper-
Un dispersor de Mie puede ser descrito como un con- siones consecutivas. En un medio turbio, el recorrido li-
junto de elementos de volumen, dV , de dimensiones mu- bre medio puede ser expresado, en primera aproximaci´n,o
cho menores que λ. La dispersi´n es por tanto el resul-
o en t´rminos de la secci´n efficaz de dispersi´n:
e o o
tado de un conjunto de dispersores de Rayleigh actuando 1
de forma simult´nea. Debio a consideraciones puramente
a l (1)
ρσ
geom´tricas, interferencia de ondas dispersadas en distin-
e
tos dV han de tenerse en cuenta. En la figura 1 aparece donde ρ es la densidad de obst´culos o dispersores en el
a
representado el factor de eficiencia de dispersi´n de una
o medio. Cuando la luz se propaga en semejante medio lo
esfera con ´ ındice de refracci´n, n, igual a 2.7 ∗ en funci´n
o o hace siguiendo trayectorias aleatorias, se dice que la luz
de 2πa/λ, donde a es el radio de la esfera. La soluci´n o realiza un ”random walk” con pasos de longitud l si la
de Mie es una complicada suma de funciones de Bessel y dispersi´n es is´tropa. Que la dispersi´n sea is´tropa sig-
o o o o
potenciales de Hertz. Este complicado comportamiento nifica que la luz pierde la informaci´n sobre su direcci´n
o o
puede apreciarse en el gran n´mero de resonancias que
u de procedencia tras cada dispersi´n. Si iluminamos con
o
presenta Q. una onda plana (por ejemplo con un laser) una muestra
que contiene peque˜as part´
n ıculas (por ejemplo de TiO2 ),
la luz se propaga siguiendo diferentes trayectorias, tal y
como se muestra en la figura 2.
∗
El ´
ındice de refracci´n en el visible de TiO2 es 2.7. TiO2
o
es un material diel´ctrico que debido a su elevado indice de
e
refracci´n ha sido intensivamente utilizado en experimentos
o
de dispersi´n m´ltiple de luz.
o u
2

3. puede ser descrito, con bastante precisi´n, por medio de
o
la ecuaci´n de difusi´n con el coeficiente de difusi´n:
o o o
1
D= vl , (3)
3
donde v es la velocidad de propagaci´n de la luz en el
o
medio y l hab´ sido definido como el recorrido libre
ıa
medio. El uso de la ecuaci´n de difusi´n simplifica enor-
o o
mente la descripci´n del transporte en medios turbios.
o
Podemos decir que la luz se propaga como las bolas en
un ”pinball”. La intensidad transmitida a trav´s de un
e
medio turbio de grosor L y en el que sus otras dos dimen-
L siones son mucho mayores que L, que es iluminado por
una onda plana en una de sus caras, puede ser obtenida
solucionando la ecuaci´n de difusi´n para esta geometr´
o o ıa
espec´ıfica. Esta intensidad viene dada por:
FIG. 2. Algunas de las posibles trayectorias que sigue la l
luz cuando se propaga en un medio turbio. I I0 , (4)
L
donde I0 es la intensidad de la onda incidente. Por lo
tanto en un dia nublado cuanto mayor es el grosor de las
nubes o cuanto m´s densas son estas (menor es l) menos
a
intensa es la luz que nos llega.
A
I
A I
II B
II
FIG. 3. Dos de las posibles trayectorias que puede tomar
la luz en su propagaci´n en un medio turbio desde A a B.
o
Cuando estudiamos la propagaci´n de una onda entre
o
dos puntos (figura 3), todas las posibles trayectorias han FIG. 4. Trayectoria cerrada (de A a A) que puede seguir la
de tenerse en cuenta. Por simplicar, en la figura 3 tan luz en un medio turbio. Esta trayectoria puede ser recorrida
solo se muestran dos de esas trayectorias. Llamando aI en sentidos opuestos.
y aII a las amplitudes complejas de la onda a lo largo de
las trayectorias I y II respectivamente, la probabilidad, ´
IV. RETRODISPERSION COHERENTE
P , que tiene la onda de llegar a B desde A (o la intesidad
de la onda en B habiendo sido emitida desde A) viene
dada por el cuadrado de la suma de las amplitudes: En la secci´n anterior se dijo que el t´rmino de in-
o e
terferencia de la luz propagando entre dos puntos de un
P = (aI + aII )2 = a2 + a2 + 2aI aII
I II (2) medio turbio es cero si consideramos todas las posibles
trayectorias entre dichos puntos. Sin embargo esto no
a2 y a2 constituyen los t´rminos incoherentes mientras
I II e es completamente correcto. Existe un tipo de interferen-
que 2aI aII es el t´rmino de interferencia de las ondas
e cia que siempre sobrevive al desorden. Esta interferencia
que han propagado siguiendo trayectorias distintas. Al ocurre en la direcci´n de retrodispersi´n. Las ondas que
o o
considerar todas las posibles trayectorias, los t´rminos de
e viajan a lo largo de una trayectoria en sentidos opuestos
interferencia tendr´n distintas magnitudes y signos. Por
a estan siempre en fase y por lo tanto interfieren construc-
lo tanto se cancelar´n entre ellos y en promedio podemos
a tivamente. Para entender ´sto mejor podemos considerar
e
describir la propagaci´n de la luz sin considerar la in-
o la probabilidad que tiene una onda de regresar al punto
terferencia. Este resultado tiene importantes consecuen- de partida tras propagar a lo largo de una trayectoria en
cias, ya que al obviar la interferencia, el transporte de luz un medio turbio.
3

4. senta la trayectoria de una onda que es dispersada tan
s´lo tres veces. La diferencia de fase entre los dos caminos
o
representados en la figura 5 viene expresada por:
2π 4π
∆φ = r[sin α − sin(α − θ)] = r cos(α − θ/2) sin(θ/2) .
λ λ
r
(5)
α Claramente, en la direcci´n de retrodispersi´n (θ = 0)
o o
∆φ = 0 y la interferencia es constructiva. Al incrementar
θ θ la interferencia en una trayectoria oscilar´ entre inter-
a
ferencia constructiva y destructiva, tal y como aparece
θ ilustrado en la figura 6. En la figura 6 la intensidad de-
bida a tres posibles trayectorias se representa en funci´n
o
de θ. En la direcci´n de retrodispersi´n todas las trayec-
o o
torias contribuyen constructivamente a la interferencia.
FIG. 5. Trayectorias recorridas en sentidos opuestos por la Este fen´meno se denomina retrodispersi´n coherente y
o o
luz en un medio turbio. En la direcci´n de retrodispersi´n
o o al incremento de la intensidad en torno a θ = 0 se le de-
(θ = 0) la longitud de ambas trayectorias es la misma, siendo nomina cono de retrodispersi´n y aperece representado
o
la diferencia de fase 0. en la figura 7. El cono de retrodispersi´n fue por vez
o
primera observado en 1985. Tal y como se ilustra en la
figura 8, en este experimento la luz de un laser era envi-
ada a traves de un beamsplitter e incid´ en un muestra
ıa
compuesta por peque˜as part´
n ıculas que actuaban de dis-
persores. La luz dispersada por la muestra en la direcci´n
o
de retrodispersi´n era reflejada por el beam splitter e in-
o
cid´ en el detector. El detector era movido alrededor de
ıa
I la posici´n de retrodispersi´n registrando el cambio en la
o o
intensidad.
Cono de Retrodispersion
Intensidad
0 θ
FIG. 6. Intensidad en funci´n del ´ngulo que forma la di-
o a Luz difusa reflejada
recci´n del haz incidente con la direcci´n de observaci´n para
o o o
tres trayectoria en un medio turbio. La intensidad oscila en
funci´n de la diferencia de fase de las ondas propagando en
o 0
θ
sentidos opuestos.
FIG. 7. Intensidad de la luz dispersada por un medio turbio
Tal y como aparece ilustrado en la figura 4, dicha en funci´n del ´ngulo que forma la direcci´n del haz incidente
o a o
trayectoria puede ser recorrida en sentidos opuestos, con la direcci´n de observaci´n. Para ´ngulos en torno a
o o a
siendo la longitud de ambos caminos igual y por tanto 0 la intensidad es superior al fondo de luz difusa (cono de
la diferencia de fase, ∆φ, igual a 0. Por consiguiente, si retrodispersi´n).
o
iluminamos con una onda plana un medio turbio y ob-
servamos la intensidad de la luz difusa reflejada tenemos Tras este primer experimento hubo un creciente inter´s
e
que ´sta presenta un m´ximo en la direcci´n de retrodis-
e a o en el campo de la dispersi´n m´ltiple de luz. La retrodis-
o u
persi´n. Si la direcci´n de observaci´n no es exactamente
o o o persi´n coherente fu´ identificada como la precursora de
o e
igual a la direcci´n en la que incide la onda se genera una
o la localizaci´n de Anderson de la luz (secci´n 5) y fue
o o
diferencia de fase entre las ondas que propagan en sen- denominada localizaci´n debil. Importante informaci´n
o o
tidos opuestos. La diferencia de fase se incrementa con del medio turbio puede ser extra´ del analisis de la
ıda
el ´ngulo que forman ambas direcciones. Esto aparece
a forma del cono de retrodispersi´n, como puede ser l y la
o
ilustrado en la figura 5 donde por simplificar se repre- absorci´n del medio.
o
4

5. donde k = 2π/λ es el vector de ondas, la onda se encuen-
Detector
tra localizada. El criterio de Ioffe-Regel viene a decir
que si la onda dispersada no puede realizar un oscilaci´n o
completa antes de volver a ser dispersada se encuentra
Beam Splitter localizada.
Para entender mejor las diferencias entre la localizaci´n
o
de Anderson para electrones y para la luz conviene com-
Laser parar la ecuaci´n de Schr¨dinger y la ecuaci´n de ondas
o o o
Muestra electromagn´ticas. En un s´lido desordenado, la ecuaci´n
e o o
de Schr¨dinger para un electr´n de masa efectiva m∗ ,
o o
donde m∗ es el equivalente cu´ntico a la masa del electr´n
a o
FIG. 8. Representaci´n esquem´tica del experimento us-
o a propagando en el s´lido, viene expresada por:
o
ado para medir el cono de retrodispersi´n de un medio turbio.
o ¯2 2
h
∇ ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) .
−
2m∗
´
V. LOCALIZACION DE ANDERSON. V (x) es el potencial que var´ espacialmente de forma
ıa
aleatoria. Es por tanto el t´rmino que considera el des-
e
En 1958 P.W. Anderson propuso que el desorden en orden en el s´lido. Electrones con energ´ E, suficien-
o ıas,
ciertos s´lidos cristalinos era el responsable de la tran-
o temente negativas quedar´n atrapados en regiones donde
a
sici´n de conductor a aislante que experimentaban dichos
o el potencial es profundo tal y como se representa en la
s´lidos a bajas temperaturas. Pero no fue hasta media-
o figura 9. En este caso, la probabilidad de que el electr´n
o
dos de los a˜os 80 cuando ´ste fen´meno fu´ asociado con
n e o e pueda propagar vendr´ determinada por la probabilidad
a
la interferencia de ondas y por lo tanto fue predicho que que tiene de cruzar las barreras de potencial por efecto
tambi´n ten´ que existir el an´logo a la localizaci´n de
e ıa a o tunel. Esta probabilidad decrece exponencialmente con
Anderson para la luz. la distancia, por lo que a bajas temperaturas los elec-
A finales de 1997 fue publicado (ver referencias) el trones est´n espacialmente localizados y la conductividad
a
primer art´ ıculo en el que se presentan medidas de la lo- se desvanece.
calizaci´n de Anderson para la luz. M´s adelante vere-
o a
mos los motivos por los que ha transcurrido tanto tiempo
desde que la localizaci´n de Anderson fue observada para
o
Potencial
electrones hasta que ha sido realizada para la luz. Pero
primero veamos en que consiste la localizaci´n de Ander-
o
Posicion
son.
Localizaci´n puede ser facilmente entendida en
o electron
t´rminos de la retrodispersi´n coherente. Supongamos
e o
Potential de dispersion
foton
un medio turbio en el que la densidad de obst´culos a
es peque˜a. El area ocupada por la secci´n eficaz de
n ´ o
dispersi´n de los obst´culos es mucho menor que el
o a
´rea no ocupada por ´sta. En este caso la probabili-
a e
Posicion
dad de que la luz retorne al punto de partida o realize
un trayectoria cerrada como la de la figura 4, aunque
como vimos es superior a la probabilidad de que no re-
torne, es muy peque˜a. Si incrementamos la densidad de
n
obst´culos, o equivalemete reducimos el recorrido libre
a
medio (ecuaci´n 1), la probabilidad de retorno se ver´
o a FIG. 9. Parte superior: electr´n en un s´lido desordenado.
o o
incrementada. Eventualmente podremos crear un medio Parte inferior: fot´n en un medio turbio
o
en el que la esta probabilidad domine y la luz se encuentre
realizando trayectorias cerradas sin poder propagar mas En el caso de
all´ de distancias superiores a la denominada distancia
a una onda electromagn´tica monocrom´tica de frecuen-
e a
de coherencia, ξ. La luz estar´ por tanto localizada espa-
a cia ω propagando en un medio turbio y en ausencia de
cialmente en un volumen igual a ξ 3 . Localizaci´n puede
o absorci´n, la ecuaci´n de ondas para el campo el´ctrico,
o o e
ser interpretada como la ausencia de difusi´n de la luz
o E, puede ser escrita de forma muy similar a la ecuaci´n
o
en presencia de desorden: D → 0 si la onda se encuen- de Schr¨dinger:
o
tra localizada. ?Cuanto hay que reducir l para inducir ω2 ω2
localizaci´n de Anderson?. La respuesta es dada por el
o −∇2 E + ∇(∇ · E) −
2
(x)E = 0 2 E
c c
criterio de localizaci´n de Ioffe-Regel que dice que si
o
donde c es la velocidad de la luz, 0 es la constante
kl ≤ 1 , (6) diel´ctrica efectiva del medio o la constante diel´ctrica del
e e
5

6. medio consider´ndolo homog´neo y (x) es la variaci´n
a e o VII. AGRADECIMIENTOS
espacial de la constante diel´ctrica debida a la presencia
e
de dispersores (la constante dielectrica no es igual en un Me gustar´ agradecer al profesor F. Ritort el haberme
ıa
dispersor que en medio que le rodea). El an´logo a V (x)
a animado a escribir este art´
ıculo y a la Comisi´n Europea
o
en la ecuaci´n de ondas es (x)ω 2 /c2 . Es importante re-
o por financiar mis estudios de doctorado con la beca No
saltar dos aspectos cuando se comparan la ecuaci´n de o ERBFMBICT971921.
Schr¨dinger y la ecuaci´n de ondas. El primero es que
o o
el t´rmino ω 2 /c2 , que es el an´logo al valor propio de
e a
la energ´ de los electrones, es siempre positivo. Esto
ıa VIII. BIBLIOGRAF´
IA
implica que no es posible tener estados ligados para la
luz como aparece ilustrado en la figura 9. El otro impor- Born M. y Wolf E., Principles of optics, Cambridge
tante aspecto es que el t´rmino asociado con el desorden,
e University Press.
(x)ω 2 /c2 , depende de la frecuencia (o equivalentemente Genack A.Z., Optical Transmission in disorded media,
de λ). Este aspecto fue introducido en la secci´n II donde
o Phys. Rev. Lett., 58, 2043 (1987).
se vio la dependencia de la secci´n eficaz de dispersi´n
o o Van Albada M.P., van der Mark M.B. y Lagendijk
de un obst´culo con la longitud de onda. Por lo tanto,
a A., Experiments on weak localization of ligth and their
contrariamente a en sistemas electr´nicos donde una re-
o interpretation en Scattering and localization of classical
ducci´n de la energ´ de los electrones produce un incre-
o ıa waves in random media, Editor Sheng P., World Scien-
mento de la localizaci´n, en el caso de la luz la reducci´n
o o tific (1990).
de la energ´ (o aumento de la longitud de onda) da lu-
ıa John S., Localization of Light, Physics Today, Mayo
gar a una reducci´n de la secci´n eficaz de dispersi´n y
o o o 1991.
por lo tanto a un incremento de l (recuerdese el l´ ımite de Wiersma D.S., Bartolini P., Lagendijk A. y Righini
Rayleigh). El valor kl se alejar´ del deseado criterio de
a R., Localization of light in a disordered medium, Nature,
Ioffe-Regel. Ahora esta claro porque es tan dificil crear Diciembre 1997.
un medio donde tenga lugar la localizaci´n de Anderson
o
para la luz. Si en un medio se puede dar la localizaci´n o
de Anderson para la luz, ´sta tendr´ lugar tan s´lo para
e a o
determinadas λ. En concreto, localizaci´n podr´ estable-
o a
cerse en el regimen de dispersi´n de Mie, es decir para λ
o
en las que la secci´n efficaz de dispersi´n es m´xima.
o o a
La ecuaci´n 4 representa la intesidad de la luz transmi-
o
tida que ha propagado difusivamente en el medio turbio.
Si la luz se encuentra localizada no puede propagarse,
por lo que la intensidad transmitida decrece exponen-
cialmente con la distancia. Un medio en el que tenga
lugar la localizaci´n de Anderson se comportar´ por lo
o a
tanto como un reflector perfecto.
VI. CONCLUSIONES
En este art´ıculo se han presentado algunos conceptos
de la propagaci´n de luz en medios turbios. Esta propa-
o
gaci´n puede ser, en general, bastante bien descrita por
o
medio de la ecuaci´n de difusi´n. La ecuaci´n de di-
o o o
fusi´n desprecia la interferencia de ondas que propagan
o
a lo largo de trayectorias distintas. Sin embargo en la di-
recci´n de retrodispersi´n la interferencia no es en prome-
o o
dio nula dando lugar al cono de retrodispersi´n. Cuando
o
el desorden es incrementado, reduciendose el recorrido
libre medio de la luz, puede inducirse la localizaci´n o
de Anderson. El que la luz este localizada significa
que se encuentra recorriendo trayectorias cerradas inter-
firiendo constructivamente las ondas que recorren dichas
trayectorias en sentidos opuestos. Localizaci´n implica
o
la ausencia de difusi´n de luz.
o
6