2. Distribución de Chi-Cuadrado
• Distribución Chi-cuadrado central
• Distribución de z’z con z~Nn(0,I)
• Distribución Chi-cuadrado no central
• Distribución de y’y con y~Nn(,I)
• Esperanza de una Chi-cuadrado no central
• Varianza de una Chi-cuadrado no central
• Distribución de la suma de Chi-cuadrado no
centrales independientes
3.
( 2)/ 2 / 2
( / 2)
2
2
2
( , )
0 0
n u
n n
u e
u n
para u
con
/ 2
( ) ; 1/ 2
(1 2 )
n
u
m t t
t
Función generatriz de momentos
Distribución 2 central con n grados de
libertad
Función de Densidad
4. Distribución 2central con n grados de
libertad
Definición a partir de normales
• Sea
• con
• y definimos
• Entonces
I)
~ ( ,
n
N
z 0
2
~ ( )
U n
1 2
, ,..., n
z z z
z
U z z
5.
/2 1/2
/2 1/2
( ) 2
2
n
n
n
t
U
n t
m t e e d
e d
z z
z z
z z
z z
z
z
R
R
/2 (1/2 )
( ) 2
n
n t
U
m t e d
z z
z
R
'
( )
m E et y
y t
fgm
6. Teorema 1.10.1
Graybill F.A. Theory and Application of Linear Models. Duxbury Press.
(pag. 48)
• Sean
– a0 y b0 constantes,
– a y b vectores nx1,
– A una matriz simétrica nxn de constantes y
– B una matriz definida positiva de constantes.
I
1
2
n / 2
1/ 2
B exp 1
4
b' 1
B b bo
tr 1
AB
b' 1
B a 1
2
b' 1
B 1
AB b 2ao
1 2
... ' exp ' ...
o o n
I a b dy dy dy
y'Ay y a y'By y b
7.
R
/2 (1/2 )
( 2
)
n
t
U
n
m t e d
z z
z
1
1
1 1
/ 1 1 1
2
1
2
/
4
2
1
2
xp '
e
2
o
n
o
b
I a
tr
b a b' b
A
b' b B B B
B B A
B
1 2
... ' exp ' ...
o o n
I b dy dy y
a d
y
y'Ay y a y b
'By
A 0
/2
0 2
n
a
a 0 I
1/ 2 t
B
b 0
0 0
b
8.
R
/ 2 (1/ 2 )
( ) 2
n
n t
U
m t e d
z z
z
I
/2
/2 /2
1
(
1
( ) 2 2
2
1/ 2 )
n
n
U
m t
t
/2 /2
/2
/2
(1 2
2 2
1
2
2
) n n
n
n
t
/ 2
(1 2 ) n
t
1
1 1 1 1
2
1/ 1
2
/2 1
4
1
2
exp '
2
o
n
o
b
I a
tr
b a b' b
A
b' b B B B
B B A
B
9. Distribución 2 con n grados de libertad
Esperanza y varianza
( )
( ) 2
E U n
V U n
10. Distribución 2 no central
Función de densidad
/ 2
( 2 2)/ 2
2 ( / 2)
0
2
2
! 2
( , , )
0 0
j v
n j
n j j n
j
e e
v
j
v n
para v
( j =1 para =0 y j=0 )
11. Distribución 2 no central
f (u)
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0
n=4; =0
n=4; =1
n=4; =5
u
12. Distribución 2 no central
Función generatriz de momentos
con
/ 2 2
( ) exp ; 1/ 2
(1 2 )
1 2
n
V
t
m t t
t
t
13. Chi cuadrado no central a partir de normales independientes con
esperanzas distintas de 0
Ver demostración en notas de clases
I)
~ ( ,
n
N
y μ
2
; ~ ( , )
V V n
y y
1
2
μ μ
14.
R
/ 2 1/ 2
( ) 2
n
n
t y y
V
m t e e d
y u y u
y
R
/ 2 1/ 2
2
n
n t
e d
y u y u y y
y
R
/ 2 1/ 2
2
n
n t
e d
y y y u u y u u y y
y
R
/2 /2 /2
2
n
t
n
e d
y y y
u u
u
y y
y
2 2
2
/
1
/
2
n
t
n
e d
y u u
u
y y
y
R
15.
/2
0 2
n
a I
1 2
2
t
B
b μ
0
2
b
μ μ
1-2t
I
2
1-2t
I
2
1
1
1/2
4
/2 2
2 /
1
( )
2
2
2
n
n
V
m t e
μ μ
μ μ
1/2 1 1
/2 1 1 1 1 1
4 2
1
exp ' 2
2
o o
n
I t
b a
r
' b a b' b
AB B B AB
b
B
b
B
1 2
... ' exp ' ...
o o n
I a b dy dy dy
y'Ay y a y'By y b
2 2
2
/
1
/
2
n
t
n
e d
y u u
u
y y
y
R
16.
1-2t
I
2
n/2
2 1-2t
1
1
/ 2 / 2
4 2
/ 2
1
( ) 2 2
2
n n
n
V
m t e
μ μ
μ μ
1-2t
I
2
1-2t
I
2
1
1
1/2
4
/2 2
2 /
1
( )
2
2
2
n
n
V
m t e
μ μ
μ μ
1
(
2
)
V
m t /2
n n/2
2
/2
n
1-2t
I
2
1-2t
1
/2
1
4 2
2 2
n
e
μ μ
μ μ
17. 1-2t
1-2t
2
4 2
1
/2
( )
n
V
m t e
μ μ μ
μ
1-2t
1-2t
1
/2
( )
n
V
m t e
1-2t
1-2t 1-2t
1 1 1 2
1
/2 /2 1-2
( )
t
n n t
V
m t e e
1-2t
2
/2 1-2
t
n t
e
1-2t
I
2
1-2t
1
1
/2 4 2
( )
n
V
m t e
μ μ
μ μ
18. Distribución 2
Esperanza y varianza
( ) 2
( ) 2( 4 )
E V n
V V n
Práctica: Encontrar esperanza y varianza de una chi-cuadrado no central
19. Distribución de la suma de chi-
cuadrados independientes
I)
1
1 1
~ ( ,
n
N
y μ
I)
2
2 2
~ ( ,
n
N
y μ
1 1 1
U y y
2 2 2
U y y
1 2
Cov( , )
y y 0
1 2 1 1 2 2
U U y y y y y y
1 2
[ | ]
y y y I)
1 2
~ ( ,
n n
N
y μ
1 2
[ | ]
μ μ μ
2
1 2 ~ ;
U U n
1 2
n n n
1 1
1 1 2 2 1 2
2 2
( )
μ μ μμ μ μ
21. Distribución de formas cuadráticas
• Distribución de Y’AY, Y~Nn(0,I), A idempotente simétrica
• Distribución de Y’AY, Y~Nn(,I), A idempotente simétrica
• Distribución de Y’AY, Y~Nn(,),A simétrica A idempotente
• Condiciones equivalente a A idempotente
• Distribución (n-1)S2/2
• Independencia de Formas Cuadráticas y Lineales
• Prueba T para una muestra
• Independencia de formas cuadráticas
• Esperanza de formas cuadráticas
22. Distribución con
I
~ ,
N
y 0
nxn
A
Simétrica e idempotente de rango k
'
P AP D
Existe P ortogonal (P’P=PP’=I) tal que
Teorema 1.2.50 en Grabill, 1975
LOS ELEMENTOS DE D SON CERO O UNOS. ¿Por qué?
23.
z P y
y Ay y PDP y
y Ay z Dz
I
~ ,
N
z 0
24. • Si A tiene rango k, entonces sólo existen
k elementos diagonales de D iguales a 1
siendo el resto iguales a 0 (¿por qué?)
• Supongamos que los k elementos 1 son
los primeros k elementos de D y que
hemos ordenados los correspondientes
elementos de y
25. 1 1
1 1
2 2
z z
y Ay z Dz D z z
z z
1 I
~ ( , )
k
N
z 0
k
2 2
~ ( )
rango
y Ay A
26. Distribución con
I
~ ,
N
y μ
k
I
0
P AP
0 0
nxn
A
Simétrica e idempotente de rango k
Existe P ortogonal (P’P=PP’=I) tal que
1 2
[ | ]
P P P k
I
1 1
P AP
z P y
1 1
1 2
2 2
[ | ]
P y z
P y P P y z
P y z
27.
z
y Ay Pz A P
k
I
1 1
2 2
z z
0
z P APz z Dz
z z
0 0
k
I
1 1 1 1
z z z z
28. I I
1 1 1 1 1
~ ( , ) ( , )
k k
N N
z Pμ P P Pμ
1
2
1 1 1 1
2
~ ( ),
rango
z z A μ PPμ
1 1
PDP A PP A
k
I 1
1 2 1 1
2
[ | ]
P
0
A PDP P P PP
P
0 0
1
2
2
~ ( ),
rango
y Ay A μ Aμ
29. Distribución con
A, simétrica de rango k
~ ,
N
y μ
A idempotente
1
z y μ y z μ
1 1
y Ay z μ A z μ z μ A z μ v Bv
I
1
~ ,
n
N
v μ
si essimétrica eidempotente...
B
30.
1 1 1
1 1 1 1
2 2 2
B A
μ μ μ μ μ Aμ
1
2
2
~ (¿ ?),
rango Bo
y A A
y μ Aμ
1
2 1 1
2
~ ( ),
rango
y Ay v Bv B μ B μ
si essimétrica eidempotente...
B
31.
idempotente
B
Para probar que BB=B tenemos que usar Lema 2 pag. 16 en Searle
BB A A A A
B A
A A A
32.
( )
( )
)
0
0
(
( )
PX QX PX QX
QX PX
Q P QX XQ QX XP PX XQ PX XP
PX XP PX
PX QX
QX X PX X
QX X
XQ QX XP QX XQ
Q P P
PX X
Q P
X X Q
X Q
X X
P X
X X
Lema 2 pag. 16 en Searle
33.
BB A A
B A
Si post multiplicamos ….
y
por
tenemos
BB A A A A A
B A A
2
B
B
A A A A A A
35.
1 2
2
1
1
n
i
i
S n y y
1 2
, ,..., n
y y y
I
2
,
n
N
μ
I J
2 2
2
1 1
1 / n
n S
n
y y
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2
n n n n
i i i i i
i i i i
y y y y y y y ny ny y ny
I
2
1
n
i
i
y
y y y y
J
1
2
n
n
ny
y y
J
1 1 1
1 1 1
1 1 1
n
11
proposición
demostración
36. J
1
2
1 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
, ,..., ...
n n n n n n
n i i i i i n i
i i i i i i
n
y
y
y y y y y y y y y
n n n
y
y y
I= I J I= I J
2 2
2
1 1 1
n n
n n
A A
2 2 2
1 2
1
1 1 1
...
n
n i
i
y ny y ny y ny ny y n y ny
n n n
I J
2
1 1
n
n
A
y y
Luego lo que tenemos que mostrar es que es idempotente
I J
1
n
n
37. I J I J
=I- J J J J
=I-2 J J
I- J
2
1 1
1 1 1
1 1
1
n n
n n n n
n n
n
n n
n n n
n n
n
38. Síntesis
2 2
1 /
n S y Ay
I J
2
1 1
n
n
A
idempotente
A
2 1
~ ( ), '
2
rango A A
y Ay μ μ
I J I J
1 1
¿ ?
n n
rango traza porqué
n n
39. Síntesis
• Además…
• Luego…
I J I J
2 2 2
1 1 1 1 1
0
2 2 2
n n
n
n n n
μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ
2
~ 1
n
y Ay
41. Caso 1. El vector aleatorio con tiene matriz de
covarianzas identidad
I
~ ,
N
y μ
q n
B ( )
simétrica
n n
A
By
y Ay
independencia de
BA 0
y
42. • simetría de A garantiza la existencia de P ortogonal
tal que (Teorema 1.2.50 Grabill, 1975).
• Reordenando los elementos de y, las filas y columnas de
A y de P
P AP D
11
D 0
P AP
0 0
( )
11 k k derangocompleto rango A
D
43.
¿ ?
porqué
BA 0 B P AP 0
P
11 12 11
11 21
21 22
0
0 ,
0 0
C D
C C D
BPP AP C 0 C 0
C C
(¿Por qué?)
2 ( )
q n q k q n k
C 0 ,C
44. 11
1 11 1
D 0
y Ay z P APz z z z D z
0 0
2 2 2
By BPz Cz 0,C z C z
z P y
Si definimos
entonces
45.
I
~ n
N
z P y P P P
I
~ n
N
z P y P P P
46.
I
~ n
N
z P y P P P
I
n
N P
I
~ n
N
z P y P P P
I
n
N P
47.
I
~ n
N
z P y P P P
1
z 2
z
Independientes ¿Por qué?
I
n
N P
I
~ n
N
z P y P P P
I
n
N P
48.
I
~ n
N
z P y P P P
1
z 2
z
Independientes ¿Por qué?
y Ay By
Implica independencia de
I
n
N P
I
~ n
N
z P y P P P
I
n
N P
49. Caso 2. Generalización al caso en que el la matriz de
covarianzas es definida positiva
~ ,
N
y μ
q n
B ( )
simétrica
n n
A
By
y Ay
independencia de
B A 0
y
50. 1
z y
I
1 1 1 1
~ N N
z
y z
y Ay z A z z A z
By B z
? 0
B A
B A B A
B A 0
B A 0
Por hipótesis
luego
51.
y Ay z A z A
z z
By B z
A
B 0
I
1
~ N
z
58. 1
'
z P y
I
1 1 1 1
~ ' ' '
N N
z P P P P
59.
0
C K C K
P PP P P B
A P
B
A
I
1
~ '
N
z P
11
1 11 1
C
y Ay Pz A Pz
z P Pz z P Pz
D 0
z z z D z
0 0
A C
2 22 2
22
K
y By Pz B Pz
z P Pz z P Pz
0 0
z z z D
0 D
K
z
B
1
'
z P y
60. Distribución T de Student
William Sealy Gosset (1908)
2008-Placa
recordatoria en
la cervecería
Guinness
(Dublin) de la
IBS a los 100
años del test T
70. • Para demostrar independencia del numerador y
del denominador
• Tenemos que escribir el numerador y
denominador de:
como una forma lineal y una cuadrática
respectivamente y mostrar que son
independientes
2
/
S
y
n
71.
[1 ,1 ,...,1 ]
[1 ,1 ,...,1 ]
n n n
n n
y
n
y
B
72.
2
/
1 1
1
1 1
1
n n
n n
I J
n
n n n
I J
n n
S
n
y y
A
73.
2
2
[1 ,1 ,...,1 ]
1 1
1
1
1
[1 ,1 ,...,1 ]
n n
n n
n I J
n n n
I J
n
n n n
n
n
n
n
I
n
A
B
74.
1
1 1 1
1 1
[1 ,1 ,...,1 ]
[1 ,1
1
1
1 1 1
1 1
,...,1 ] [1 ,1 ,...,1 ]
[1 ,1 ,...,1 ] [ , ,
1 1
1
. ] 0
.. ,
n n
n n n
n n n n n n
n n n n n n
I J
n
n
n n n
n
76. W=(U1/n1)/(U2/n2)
es una F-no central
U1 una chi-
cuadrado no
central con
parámetros n1 y
,
U2 una chi-
cuadrado central
con n2 grados de
libertad
U1 y U2
independientes
77. Distribución F (no central)
0
0
!
)
,
,
:
( 2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
/
)
2
(
2
2
2
2
/
)
2
(
2
2
2
/
)
2
(
0
2
1
w
para
w
j
e
n
n
w n
w
n n
n
j
j
n
n
n
n n
n
n
j
n
j
j
j
F
( j =1 para =0 y j=0 )
78. 0.00 4.14 8.29 12.43 16.57
Variable F
0.0
0.2
0.3
0.5
0.6
Densidad
F(8,4,0)
F(8,4,10)
Distribución F (no central)
