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Repaso Algebra Proposicional

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Repaso Algebra Proposicional

  1. 1. ESTRUCTURAS DISCRETAS REPASO
  2. 2. Proposiciones, tablas de la verdad… ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
  3. 3. Álgebra Proposicional Antes de empezar, deben saber que es una proposición Proposición La proposición es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno y sólo uno de los valores de verdad, que pueden ser: VERDADERO (V) FALSO (F) Proposiciones Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t, ... etc. p : 15 + 5 = 21 (F) q: Santa Fe es una provincia Argentina. (V) r: El número 15 es divisible por 3. (V) s: El perro es un ave. (F)
  4. 4. Álgebra Proposicional Pero no todas las expresiones son proposiciones …  Expresiones No Proposicionales Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos o imperativos. Así tenemos, por ejemplo: – ¿Cómo te llamas? – Prohibido pasar – Borra el pizarrón. Son expresiones que su respuesta es distinta a decir Verdadero o Falso Proposiciones Clasificación de las proposiciones Aquellas proposiciones que constan o se les puede representar por una sola variable, se llaman proposiciones simples o atómicas. "p: 3 + 6 = 9" Cuando una proposición consta de dos o más enunciados simples, se le llama proposición compuesta o molecular. Así, por ejemplo:
  5. 5. Proposiciones y valor de verdad Álgebra Proposicional Las tablas de verdad son representaciones gráficas, en forma de arreglos, que sirven para analizar los posibles valores de verdad que puede tener una proposición simple o compuesta. Por ejemplo En general para “n” proposiciones, se pueden presentar 2n posibilidades p V F 21 p V V F F q V F V F 22 Por ejemplo Por ejemplo P V V V V F F F F Q V V F F V V F F 23 R V F V F V F V F
  6. 6. Álgebra Proposicional CONJUNCIÓN Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p Ù q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es: Si p y q son verdaderas la proposición es verdadera. En todos los demás casos es falsa Conectivos DISYUNCIÓN Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p Ú q cuya tabla de valor de verdad es: Si p y q son verdaderas la proposición es verdadera. Si alguna de las proposiciones es verdadera, la conclusión es verdadera. En todos los demás casos es falsa
  7. 7. Álgebra Proposicional Conectivos Implicación o Condicional Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p ⇒ q (si p entonces q) cuya tabla de valores de verdad es: En los casos que se señalan es verdadera la proposición. En todos los demás casos es falsa
  8. 8. Álgebra Proposicional IMPLICACIÓN O CONDICIONAL Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p ⇒ q (si p entonces q) cuya tabla de valores de verdad es: En los casos que se señalan es verdadera la proposición. En todos los demás casos es falsa Conectivos DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p  q (se lee "p si y sólo si q") cuya tabla de valores de verdad es En los casos que se señalan es verdadera la proposición. En todos los demás casos es falsa
  9. 9. Álgebra Proposicional Conectivos La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p Û q puede obtenerse mediante la tabla de (p ⇒ q) Ù (q ⇒p), como vemos: Se aplican los casos del conectivo Condicional A B Se aplican los casos del conectivo And, conociendo ya los valores de A yB
  10. 10. Conociendo más de cerca los conectivos y las leyes LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
  11. 11. Álgebra Proposicional Sean p, q y s proposiciones. Leyes 4. Ley de Identidad: 1. Conmutativa: p p q q q q p p p p p p 2. Asociativa: (p (p q) q) s p s p q) q) s (p s (p p V p V 5. Absorción: (q (q s) s) p q 3. Distributiva (p (p V V F F 6. s) s) (q (q s) s) (p (p q) p q) p Morgan (p (p q) q) s ( p s ( p s) s) s s
  12. 12. Álgebra Proposicional Sean p, q y s proposiciones. 7. Acotación p p F F V V Leyes 4. Vamos a demostrar la ley de absorción: p (p q) p p (p q) V 8. Complementación p p Verdadero (True) p p Falso (False) p V V V V V V V V F F F F V V F F F F F p F V V V V V V F Tautología Si se dan cuenta, esta columna tiene los mismos valores de p que es la conclusión de la proposición
  13. 13. EJERCICIOS
  14. 14. Álgebra Proposicional Simplificar: (p q) ( q p)] Leyes p a. Tablas de la verdad b. Leyes del álgebra proposicional c. ¿Es tautología? [ (p q) p)] F V V V F F V V V V V V F F V V V V V V F F V V F F F F F F V F V V V V V F V F ( q p
  15. 15. Álgebra Proposicional Simplificar: (p q) ( q Ejercicios p)] p Debo corregir Tenemos: ( p q) ( q p)] p ( p q) ( q p)] p {p q ( q p) p (p q) p p (p q) p Equivalencia del Condicional Morgan Doble negación Absorción Conmutativa Absorción Luego: (p q) ( q p)] p p ; todo esto es la fórmula proposicional antes dada, y lo equivale al aplicar las leyes del álgebra proposicional, osea su conclusión que es p
  16. 16. ¿ES TAUTOLOGÍA?
  17. 17. Álgebra Proposicional Ejercicios Evaluar el siguiente esquema molecular: (p q) (p r) Solución p q r V V V V V V V V V F F V V F V V V V F V V V V F V V F F V V V F F V F F V F F F F V V V F V V F F V F F F V F F V F F F V F F F V V F F V F F F F F F V F F F F F F F F F F V V (p q) (p r)

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  • dolodefrancia

    Mar. 13, 2014
  • GustavoGonzalez111

    Dec. 1, 2015

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