2. Es una colección de
elementos con
características similares
considerada en sí misma
como un objeto. Los
elementos de un conjunto,
pueden ser las
siguientes: personas,
números, colores, letras,
figuras, etc. Se dice que
un elemento (o miembro)
pertenece al conjunto si
está definido como
incluido de algún modo
dentro de él.
Ejemplos:
el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde,
azul, añil, violeta}
el conjunto de los números primos
es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
Conjuntos
3. Las operaciones con
conjuntos también conocidas
como álgebra de conjuntos,
nos permiten realizar
operaciones sobre los
conjuntos para obtener otro
conjunto.
Es la operación que nos
permite unir dos o más
conjuntos para formar otro
conjunto que contendrá a
todos los elementos que
queremos unir pero sin que
se repitan. Es decir dado
un conjunto A y un
conjunto B, la unión de los
conjuntos A y B será otro
conjunto formado por
todos los elementos de A,
con todos los elementos de
B sin repetir ningún
elemento. El símbolo que
se usa para indicar la
operación de unión es el ∪.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y
B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos
será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:
Operación en Conjuntos
4.
5. Intersección de
conjuntos:
Es la operación que nos permite formar
un conjunto, sólo con los elementos
comunes involucrados en la operación.
Es decir dados dos conjuntos A y B, la de
intersección de los conjuntos A y B,
estará formado por los elementos de A y
los elementos de B que sean comunes,
los elementos no comunes A y B, será
excluidos. El símbolo que se usa para
indicar la operación de intersección es el
siguiente: ∩.
Ejemplo.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos
conjuntos será A∩B={4,5}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
6. Diferencia de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar
un conjunto, en donde de dos conjuntos
el conjunto resultante es el que tendrá
todos los elementos que pertenecen al
primero pero no al segundo. Es decir
dados dos conjuntos A y B, la diferencia
de los conjuntos entra A y B, estará
formado por todos los elementos de A
que no pertenezcan a B. El símbolo que
se usa para esta operación es el mismo
que se usa para la resta o sustracción,
que es el siguiente:
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos
conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas
de Venn se tendría lo siguiente:
7. Diferencia de simétrica de
conjuntos:
Es la operación que nos permite formar un
conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto
resultante es el que tendrá todos los elementos que
no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir
dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica
estará formado por todos los elementos no
comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se
usa para indicar la operación de diferencia
simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo .
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos
conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
8. Números Reales
son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden
clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales. En
otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito
y más infinito y podemos representarlo en la recta real.
Ejemplos de números
reales
En el siguiente ejemplo
sobre los números reales,
comprueba que los
siguientes números
corresponden a punto en la
recta real.
Números naturales: 1,2,3,4…
Números enteros: …,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4…
Números racionales: cualquier fracción de
números enteros.
Números irracionales:
9. Números Reales
Clasificación Definición Expresión
Dominio de los números reales
Entonces, tal y como hemos dicho, los
números reales son los números
comprendidos entre los extremos
infinitos. Es decir, no incluiremos
estos infinitos en el conjunto.
Números reales en la recta
real
Esta recta recibe el nombre de recta
real dado que podemos representar en
ella todos los números reales.
Los números reales y la
Matrioshka
Tenemos que entender el conjunto de
reales como la Matrioshka, es decir,
como el conjunto de muñecas
tradicionales rusas organizadas de
mayor a menor.
Esquema de los números reales
En este esquema podemos ver
claramente que la organización de los
números reales es similar al juego de
muñecas rusas visto desde arriba o
abajo.
Números Reales
Números Enteros
Números Racionales
Números Irracionales
Tal y como hemos visto, los números
reales pueden clasificarse entre
números naturales, enteros, racionales
e irracionales.
10. Propiedad de los Números Reales
Propiedad Operación Definición Referencia Ejemplo
Conmutativa Suma y Resta A+b= b+a
El orden al sumar o
multiplicar reales no afecta
el resultado
2+8 = 8+2 5(-3) =
( -3)5
Asociativa
Suma y
Multiplicación
a+(b+c)=(a+b)+
c------
a(bc) = (ab)c
Puedes hacer diferentes
asociaciones al sumar o
multiplicar reales y no se
afecta el resultado.
7+(6+1)=(7+6)+1
-2(4x7)= (-2x4)7
Identidad
Suma y
Multiplicación
a + 0 = a--- a
x 1= a
Todo real sumado a 0 se
queda igual; el 0 es la
identidad aditiva. Todo real
multiplicado por 1 se queda
igual; el 1 es la identidad
multiplicativa
-11 + 0 = -
11 17 x 1 = 17
Inversos
Suma y
Multiplicación
a + (-a) = 0------
(a)1/a=1
La suma de opuestos es
cero. El producto de
recíprocos es 1
15+ (-15) = 0
1/4(4)=1
Distributiva
Suma respecto a
Multiplicación a (b + c) = ab + a
El factor se distribuye a
cada sumando
2(x+8) = 2(x) + 2(8)
11. Desigualdades
Es una proposición de relación de orden
existente entre dos expresiones algebraicas
conectadas a través de los signos
Por tanto, la relación de desigualdad
establecida en una expresión de esta índole, se
emplea para denotar que dos objetos
matemáticos expresan valores desiguales
Propiedades de la desigualdad
matemática
Si se multiplica ambos miembros
de la expresión por el mismo
valor, la desigualdad se mantiene.
Si dividimos ambos miembros de
la expresión por el mismo valor,
la desigualdad se mantiene.
Si restamos el mismo valor a
ambos miembros de expresión, la
desigualdad se mantiene.
Si sumamos el mismo valor a
ambos miembros de la expresión,
la desigualdad se mantiene.
12. Valor Absoluto
El valor absoluto puede
ser explorado ya sea
numérica o gráficamente.
Numéricamente, el valor
absoluto se indica
encerrando el número,
variable o expresión
dentro de barras
verticales.
Cuando tomamos el valor absoluto de un
número, éste es siempre positivo o cero. Si
el valor original ya es positivo o cero, el
valor absoluto es el mismo. Si el valor
original es negativo, simplemente nos
deshacemos del signo. Por ejemplo, el
valor absoluto de 5 es 5. El valor absoluto
de -5 es también 5.
Si graficamos el valor original y el valor
absoluto, ambos quedarán en el mismo lugar.
El |3| es 3. En éste caso, el valor original y el
valor absoluto se posicionan 3 unidades a la
derecha del cero en la recta numérica.
13. Desigualdades con Valor Absoluto
Estas desigualdades o inecuaciones son
resueltas de manera muy sencilla al aplicar las
siguientes propiedades del valor absoluto. Ellas
las recordamos de la interpretación geométrica
del valor absoluto.
Desigualdades
con un solo
valor absoluto
y la variable
sólo en el
argumento del
valor absoluto
14. Ejercicio Resuelto
Nuestra inecuación a resolver es la siguiente:
Procedamos, para esto nos desharemos de las
fracciones primero y luego despejaremos x.
Para deshacernos de las fracciones
necesitamos el mínimo común múltiplo de
los denominadores, el cual es{MCM}(7, 3,
14, 6) = 42, así, obtenemos
Notemos que esto nos dice
que o bien, tenemos
que su conjunto de solución
es el intervalo
