Este documento describe diferentes métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución. Explica que un sólido de revolución se obtiene al girar una región plana alrededor de un eje. Luego, detalla fórmulas para calcular el volumen cuando el eje de rotación es paralelo al eje x o y, usando los métodos de discos, arandelas o capas cilíndricas. Finalmente, compara estos métodos y explica cómo aplicarlos para calcular el volumen en diferentes casos.

1. Instituto Universitario de Tecnología
¨Antonio José de Sucre¨
EXTENSION BARQUISIMETO
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
Integrante:
María Navarrete
Ci:
26 746 409

2. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
Volumen de un sólido de revolución
Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al
rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las
cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.
Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada
en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo
volumen tratamos de determinar.
Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos
El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes
cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones cuadráticas.
Rotación paralela al eje (x)
El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos
gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal,
es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene
dado por la siguiente fórmula genérica
En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y = f(x), y = 0, x = a y x
= b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por
la fórmula:

3. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
Método de discos o rebanadas.
Ambas expresiones se deducen de que al hacer girar un área formada por
innumerables rectángulos de base dx y altura f(x), alrededor del eje X, se forman
discos colocados verticalmente cuyos volúmenes sumados resultan en el
volumen de todo el sólido. Cada disco tiene por volumen el de un cilindro como
si fuera una moneda acomodada verticalmente, es decir, V=Πr²h donde el radio
de la base del cilindro es f(x), y la altura del cilindro es dx, por lo que el volumen
del cilindro resulta ser V = πf²(x)dx y la suma de todos estos volúmenes parciales,
es el volumen total que resulta en la expresión:
Si son dos funciones f(x) y g(x), el volumen total será la resta del volumen mayor
menos el volumen menor
Pero si el giro es alrededor de una recta paralela al eje X: y=K, entonces la
expresión resultante es (siempre que K<X en para todo X):
En el caso en el que K>X, es decir la recta X=K se encuentre a la derecha de las
funciones se debe aplicar:
Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)
Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes generados por el
giro de un área comprendida entre dos funciones cualesquiera, f(x) y g(x), en un
intervalo [a,b], con f(x) > g(x) en el intervalo [a,b].Alrededor de un eje de
revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante
positiva. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:

4. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana
comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de
revolución viene generado por:
Método de cilindros o capas.
Veamos con mayor atencion los casos anteriores y otros nuevos métodos y aplicaciones
El Método de los discos
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El
más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo
alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo.
Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución
general, consideremos una función continua f (x ) definida en el intervalo [a,b], cuya gráfica
determina con las rectas x = a, x = b, y = 0, el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del
eje OX, obtenemos un sólido de revolución.
Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un
proceso similar al realizado en la definición de integral definida.
Elegimos una partición regular de [a, b]:
Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del
mismo.
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene el volumen
requerido. Además, si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula
similar.
El Método de las arandelas
El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos de revolución con un
agujero, reemplazando el disco representativo por una arandela representativa. La arandela se
obtiene girando un rectángulo alrededor de un eje

5. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
Entonces, generalizando de forma análoga como se hizo en el método de los discos, si tenemos dos
funciones continuas f (x) y g (x) definidas en un intervalo cerrado [a,b] con 0" g(x) " f(x), y las rectas x =
a, y x = b, el volumen engendrado se calcula restando los sólidos de revolución engendrados por los
recintos de ambas funciones, como vimos anteriormente.
Si las funciones se cortan, habrá que calcular los volúmenes de los sólidos engendrados en cada uno de los
subintervalos donde se puede aplicar el método anterior.
Método de secciones conocidas
En este apartado veremos cómo se calcula el volumen de algunos cuerpos geométricos cuando conocemos
el área de las bases de los cilindros parciales en que hemos dividido el sólido. Con el método de discos,
podemos hallar el volumen de un sólido que tenga una sección circular cuya área sea A = R2. Podemos
generalizar este método a sólidos de cualquier forma siempre y cuando sepamos la fórmula del área de
una sección arbitraria, como cuadrados, rectángulos, triángulos, semicírculos y trapecios.
Consideremos un sólido que tiene la propiedad de que la sección transversal a una recta dada tiene área
conocida. Esto equivale a decir intuitivamente que en cada corte que hacemos, conocemos el área de la
sección correspondiente.
En particular, supongamos que la recta es el eje OX y que el área de la sección transversal está dada por la
función A(x), definida y continua en [a,b]. La sección A(x) está producida por el plano a perpendicular a OX .
Siguiendo un proceso similar al realizado en la definición de la integral de Riemann:
Si el número de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez más al volumen del sólido; es
decir:

6. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:
Para hallar el volumen de un sólido por el método de las secciones, se procede como se indica
a continuación:
1. Esbozar la figura, incluyendo un eje perpendicular a las secciones de área conocida (es decir,
un eje OX)
2. Escoger una sección perpendicular al eje OX.
3. Expresar el área A (x) de la base de la sección en términos de su posición x sobre el eje OX.
4. Integrar entre los límites apropiados.
Método de capas.
El método de cálculo integral que se explica a continuación, el de los casquetes cilíndricos,
proporciona una forma alternativa de calcular volúmenes de sólidos de revolución. En ciertos
casos es el único método viable porque el de las secciones transversales puede resultar a
veces difícil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto.
Para comenzar a entender en detalle el método de los casquetes cilíndricos debemos
establecer cómo calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior
es r1 y cuyo radio exterior es r2 como el que aparece en la figura. Naturalmente procedemos
restando el volumen V1 del cilindro interior al volumen V2 del cilindro exterior, así:

7. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
En esta expresión podemos reconocer varias cosas. Si ponemos r = 1/2 (r2 +r1),
el radio medio de los cilindros, y si ponemos Dr = r2 − r1, el grosor del casquete
cilíndrico, entonces podemos expresar el volumen V de la forma siguiente:
Esta expresión puede recordarse fácilmente si se piensa en que el casquete
cilíndrico se abre y se aplana convirtiéndose en un caja rectangular de escaso
grosor como se muestra
Ahora bien, consideremos el problema general de hallar el volumen del sólido de
revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está
comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x, es decir, la recta
horizontal y = 0 y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b. La región y el
sólido de revolución que engendra son las diguientes respectivamente:

8. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi−1, xi], todos con el mismo
ancho: Dx = (b − a) / n. Sea xi* el punto medio del i-ésimo subintervalo.
Consideremos el rectángulo Ri construido sobre el i-ésimo subintervalo con una
altura de f (xi*) y hagámoslo girar en torno del eje y. Entonces se produce un
casquete cilíndrico que tiene como radio medio xi*, como altura f (xi*) y cuyo
grosor es Dx = xi−1 − xi.. Por lo tanto, el volumen Vi de este casquete cilíndrico
está dado por:

9. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
Para obtener un cálculo aproximado del volumen total del sólido de revolución
debemos poner n casquetes cilíndricos de éstos, unos dentro de los otros, como
lo ilustra la figura siguiente y después sumar los volúmenes de todos ellos:
Se puede probar que esta aproximación será mejor entre más grande sea n, el
número de casquetes cilíndricos. Por eso, se puede poner:
Y de esta manera hemos llegado a formular una regla general para el cálculo de
volúmenes con el método de los casquetes cilíndricos. Es la siguiente:
Regla general: El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar
alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x)
> 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, está dado por la
integral:

10. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
Para hallar el volumen de un sólido por el método de capas, se procede como se
indica a continuación.
1. Esbozar la región plana que va a ser girada, hallando los puntos de
intersección de las curvas que la limitan.
2. Sobre el dibujo hallar un rectángulo paralelo al eje de revolución.
3. Teniendo como base el boceto, escribir el volumen de la capa.
4. Integrar entre los límites apropiados.
Observación: Los métodos de discos y de capas se distinguen porque en el de
discos el rectángulo representativo es siempre perpendicular al eje de giro,
mientras que en el de capas es paralelo.
Con frecuencia uno de los dos métodos es preferible al otro.