SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 29
Rodamientos, Cojinetes
deslizantes y Engranajes
María José Roas
III-143-01261
C.I.27034230
República Bolivariana de Venezuela
Universidad Yacambú
Cabudare – Lara
SOPORTES:
 Son elementos de máquinas que se utilizan para alojar y fijar en su interior
rodamientos que reciben ejes por medio de los cuales se transmite fuerza y
movimiento.
TIPOS DE SOPORTES
Los soportes se pueden clasificar según la magnitud de la carga:
 1. Para cargas ligeras:
Se caracterizan porque generalmente llevan incorporados un rodamiento tipo Y.
Encontrándose los tipos de pie (Base) identificados comercialmente como tipo S.
Los tipos Brida (Flanche) identificado comercialmente como tipo F ,tiene gran
aplicación donde las condiciones de trabajo no son demasiado severas.
Son livianos y presentan gran facilidad para el montaje. Se les utiliza
especialmente en maquinaria agrícola, máquinas para productos alimenticios,
transportadores, etc.
TIPOS DE SOPORTES
 2. Soportes para rodamientos de cargas pesadas:
Se utilizan los denominados chumacera o soporte tipo SN que constan de:
A.- Base del soporte con superficie inferior plana y maquinada y una cavidad interior
para alojar el rodamiento y además sirve de depósito del lubricante.
B. La tapa que ajusta perfectamente sobre la base, tiene guías de ajuste para
asegurar mayor precisión y que el mecánico ha de tener en cuenta en el montaje no
permitiendo el intercambio de tapas con otros soportes o e! cambio de posición.
C. Rodamiento casi siempre a rótula de doble hilera de bolas o de rodillos.
D. Agujero de fijación a la base.
E. Agujero roscado para fijar a la tapa.
F. Retenedores de lubricante.
 Todos los órganos móviles deben estar soportados al menos en dos puntos de
apoyo que permitan el giro de los ejes oponiendo la mínima oposición posible,
a estos elementos se les llama soportes o bastidores.
 Para facilitar el giro e impedir desplazamientos axiales se emplean unas
piezas cilíndricas, dependiendo de la forma de apoyo entre los gorrones y sus
soportes, se diferencian dos tipos: Cojinetes de deslizamiento o fricción, y
cojinetes de rodadura o rodamientos.
Cojinetes de deslizamiento o de
fricción.
Las superficies fija y móvil "friccionan", por deslizamiento, separadas de una película de
lubricante.
Están constituidos por un soporte perfectamente acoplado sobre un casquillo de metal duro, que
es el cojinete propiamente dicho, dado que siempre se produce rozamiento es necesario recurrir
al uso de los cojinetes deben cumplir las siguientes condiciones:
 Una superficie exterior suficientemente lisa para que el lubricante sea arrastrado por el árbol
al girar.
 Un elevado coeficiente de transmisión de calor, para disparar el incremento de temperatura
producido por el rozamiento.
 Un coeficiente de rozamiento lo menor posible en el deslizamiento en seco con el fin de
reducir la resistencia en el momento de arranque.
 Una buena unión entre el casquillo y su soporte.
Este tipo de cojinete queda limitado por la carga admisible a soportar para poder formar la
película lubricante, pero cuando este inconveniente no se presenta, se pueden emplear en
órganos giratorios a grandes velocidades y con poco ruido.
COJINETES DE FRICCIÓN:
 En las máquinas, los árboles y ejes están sostenidos en su movimiento por
soportes o cojinetes. Por lo general el soporte está fijo y el árbol gira Por lo
anterior podemos afirmar que el objetivo de un cojinete es soportar
árboles rotativos y otras partes en movimiento.
 Habitualmente, los ejes y los árboles llevan dos soportes, pero suele haber
árboles con muchos soportes (cojinetes) por ejemplo:
Los árboles de transmisión, los árboles cigüeñales de los motores de varios
cilindros
Cojinete de deslizamiento o de fricción.
Cojinetes de rodadura o rodamientos.
 En ellos el gorrón del árbol y la superficie de rodadura del soporte están
separados por elementos rodantes, de forma que con el giro del gorrón o del
cojinete se genera un movimiento de rodadura y no de deslizamiento, como
el caso anterior.
 Están constituidos por dos anillos rodantes separados entre sí por unos
cuerpos, también rodantes, interpuestos entre éstos, cuya forma varía
según su uso, pueden ser de diferentes formas: bolas, rodillos, cilíndricos,
agujas, etc.
Los rodamientos poseen
determinadas ventajas frente a los cojinetes
de fricción
 El coeficiente de rozamiento no depende de la carga que deben soportar, ni
de la velocidad de giro, ni del tiempo de utilización.
 Su longitud es menor, lo que le hace idóneo en diseños más reducidos.
 Menor necesidad de lubricación.
 Debido al bajo rozamiento, su calentamiento es más reducido, por lo que la
temperatura de trabajo es menor.
 Son muy versátiles, pueden ser empleados casi para todas las necesidades.
También presentan inconvenientes:
 En su montaje se tiene que ser muy preciso en los ajustes, si no su rotura es
inmediata.
 Son más sensibles a los choques o cargas bruscas.
 La suciedad acorta su vida.
 Son más ruidosos.
Tipos de rodamiento
Desde el punto de vista cinemático, pueden clasificarse en 3:
• Rodamientos para cargas radiales: pueden soportar preferentemente cargas
dirigidas en la dirección perpendicular al eje de rotación.
• Rodamientos para cargas axiales: Pueden soportar cargas que actúen
únicamente en la dirección del eje de rotación. A su vez pueden ser rodamientos
de simple efecto, que pueden recibir cargas axiales de un sentido, y rodamiento
de doble efecto, que pueden recibir cargas axiales en ambos sentidos.
• Rodamientos para cargas mixtas: Soportan esfuerzos radiales, axiales o
combinados.
Tipos de rodamiento
1. Rodamientos rígidos de bola: Estos rodamientos son de uso general, ya que pueden
absorber cargas radiales y axiales en ambos sentidos, así como las fuerzas resultantes
de estas cargas combinadas; a su vez, pueden operar a elevadas velocidades.
2. Rodamiento de bolas a rotula: Este tipo de rodamientos dispone de dos hileras de
bolas. La pista de rodadura del anillo exterior forma una superficie esférica común
para las dos hileras de bolas, y su centro es coincidente con el del rodamiento; por su
parte, el anillo interior tiene dos pistas de rodadura, una para cada hilera de bolas.
3. Rodamiento de bolas con contacto angular: En este tipo de rodamientos, la línea
que une los puntos de contacto de las bolas de acero con los anillos interior y exterior,
forma un ángulo con la línea que define la dirección radial, llamado ángulo de
contacto. Este ángulo es de 30º, aunque existen rodamientos que tienen un ángulo de
contacto de 40º y otros de 15º (estos últimos para elevadas velocidades).
4. Roldana: Unidades de rodamiento listas para montar con aro exterior reforzado para cargas
pesadas, incluyendo las cargas de impacto. Los rodamientos con diámetro exterior bombeado
pueden aceptar desalineación.
5. Rodamientos de sección estrecha: Son compactos, rígidos y ahorran espacio. Pueden soportar
cargas combinadas. Una variedad de diseños ISO y de sección fija ofrece gran flexibilidad para
diseñar disposiciones debajo peso y bajo rozamiento. También disponibles en versiones obturadas
para un mantenimiento sencillo.
6. Rodamiento de agujas: Estos rodamientos se llaman así por tener como elementos rodantes
unos cilindros muy largos con respecto a su diámetro, denominados agujas.
7. Rodamiento de rodillos cilíndricos: Estos rodamientos son desmontables, lo cual, facilita el
montaje y desmontaje en su alojamiento. Dado que los rodillos hacen contacto lineal con las
pistas de rodadura, pueden soportar grandes cargas radiales, siendo baja su capacidad de carga
axial. Los rodillos pueden ser guiados por los rebordes del anillo exterior o del anillo interior.
8. Rodamientos de Rodilla a rotula: Están constituidos por dos hileras de rodillos en forma de
tonel .Al igual que los rodamientos de bolas a rótulas, la pista de rodadura del anillo exterior
forma una superficie esférica común para las dos hileras de rodillos; por su parte, el anillo
interior tiene dos pistas de rodadura, una para cada hilera de rodillos, separadas por un borde
central para guiar los rodillos.
9. Rodamiento de rodillos cónicos: En este tipo de rodamientos, los rodillos y las pistas de
rodadura tienen forma cónica. La configuración de su diseño hace que los vértices de los conos de
rodillos y pistas de rodadura se encuentren en un punto común sobre el eje del rodamiento.
10. Rodamiento de rodillos esféricos: Estos rodamientos son excelentes para cargas radiales
fuertes y empuje moderado. Su característica de auto alineamiento interno es útil en muchas
aplicaciones, pero no se debe abusar de ello. Los elementos esféricos tienen la ventaja de
ampliar su área de contacto a medida que la carga aumenta.
11. Rodamientos axiales de bolas: En este tipo de rodamientos, las bolas están alojadas en una
jaula porta bolas dispuesta entre una arandela ajustada en el alojamiento del soporte y una
arandela ajustada al árbol. Es desmontable, siendo su montaje muy simple, ya que los
componentes se pueden montar por separado.
12. Rodamientos axiales de rodillos cilíndricos: Están constituidos por dos aros, uno ajustado en
el eje y otro en el alojamiento del soporte, y unos rodillos cilíndricos alojados en una jaula porta
rodillos. Se puede conseguir un diseño compacto, utilizando únicamente los rodillos y jaula porta
rodillos, empleando el eje y el alojamiento del soporte como pistas de rodadura.
13. Rodamientos axiales de agujas: Estos rodamientos pueden soportar cargas axiales, son
insensibles a las cargas puntuales y permiten disposiciones de rodamientos rígidas, que requieren
un espacio axial mínimo. Son rodamientos de simple efecto ya que sólo pueden soportar cargas
axiales que actúen en una dirección.
14. Rodamientos axiales de rodillos a rotula: Robustos rodamientos auto alineables, insensible a
la desalineación angular. Pueden soportar fuertes cargas axiales. También pueden soportar cargas
radiales de hasta un 55% de la carga axial actuando simultáneamente. Ofrecen una alta fiabilidad
y gran duración, incluso en condiciones de funcionamiento difíciles. El diseño desarmable facilita
el montaje.
15. Rotulas axiales: Las rótulas axiales se parecen a las rótulas con contacto angular en que
tienen superficies de contacto en las arandelas del eje y del alojamiento que forman un ángulo
con el eje de la rótula. Han sido diseñadas sobre todo para cargas axiales aunque pueden
absorber ciertas cargas combinadas.
 16. Rotulas radiales: La ausencia de mantenimiento junto con una larga duración de vida es
cada vez más importante para las rótulas radiales en los vehículos sobre raíles. En todos sus
diseños. Estas rótulas se caracterizan por una elevada capacidad de carga, así como por su
extraordinaria fiabilidad y duración de vida, no sólo en el caso de las dimensiones más
pequeñas para los sistemas de puertas, o de tamaño mediano para la tecnología anti-vuelco,
sino también las de grandes dimensiones, por ejemplo, para los acoplamientos.
17. Cabezal de articulación: Las cabezas de articulación son unidades de rodamientos lisos-
esféricos que constan de un rodamiento alojado en una cabeza en forma de ojo con un
vástago integrado; el soporte de la cabeza de articulación. Se utilizan principalmente en la
cabeza de articulaciones de pistón o junto con cilindros hidráulicos o neumáticos para unir el
cilindro a los componentes asociados. Disponibles en muchos diseños diferentes, y también
sin necesidad de mantenimiento.
18. Corona de Orientación: Transmiten fuertes cargas combinadas y movimientos de
orientación en disposiciones con gran diámetro. Uno o ambos aros pueden tener engranaje
integral y los dos aros tienen agujeros para los pernos de montaje. Forman una parte integral
del sistema de accionamiento. Permiten unas soluciones compactas y económicas, que
pueden reemplazar a las disposiciones de rodamientos múltiples tradicionales.
Cargas estáticas admisibles
 Las cargas muy elevadas o las cargas de choque pueden deformar
permanentemente los caminos de rodadura o los elementos rodantes. En el
caso de las disposiciones de rodamientos de súper precisión, no se deben
producir deformaciones permanentes.
 A fin de garantizar que las cargas estáticas no provoquen una deformación
permanente, es posible comparar la capacidad de carga estática y la carga
estática equivalente del rodamiento para determinar si existe el riesgo de
que un rodamiento sufra deformación permanente.
Capacidad de carga estática
 La capacidad de carga estática C0 según la definición de la normativa ISO
76:2006 corresponde a una tensión de contacto calculada en el centro de la
superficie de contacto más cargada entre los elementos rodantes y el camino
de rodadura.
 Esta tensión produce una deformación permanente total del elemento
rodante y del camino de rodadura, que equivale aproximadamente a 0,0001
del diámetro del elemento rodante. Las cargas son puramente radiales para
los rodamientos radiales, y axiales y centradas para los rodamientos axiales.
 Los valores para la capacidad de carga estática C0 se indican en las tablas de
productos.
Carga estática equivalente
 A fin de comparar la capacidad de carga estática con las cargas reales, éstas
últimas se deben convertir a una carga equivalente.
 La carga estática equivalente P0 se define como la carga hipotética (radial
para los rodamientos radiales y axial para los rodamientos axiales) que, de ser
aplicada, causaría en el rodamiento la misma carga máxima en los elementos
rodantes que las cargas reales a las que está sometido el rodamiento.
 La información y los datos requeridos para calcular la carga estática
equivalente se ofrecen en cada sección de productos.
Capacidad de carga estática requerida
 La capacidad de carga estática requerida C0, para proteger el rodamiento de la
deformación permanente, se puede calcular según
C0 ≥ s0 P0
 Donde
C0 = capacidad de carga estática básica [kN]
P0 = carga estática equivalente [kN]
s0 = factor de seguridad estático
 Para los rodamientos híbridos, el factor de seguridad estático se debe incrementar
un 10%.
 Para los rodamientos axiales de bolas de contacto angular para accionamientos
mediante husillo, se pueden usar factores de seguridad de hasta s0 = 1.
• Engranajes.
 Los engranajes son juegos de ruedas que disponen de unos elementos
salientes denominados “dientes”, que encajan entre sí, de manera que unas
ruedas (las motrices) arrastran a las otras (las conducidas o arrastradas).
 Transmiten el movimiento circular a circular.
 La condición para que las ruedas “engranen”, es decir, que puedan acoplarse
y transmitir el movimiento correctamente, es que tengan los mismos
parámetros o dimensiones en el diente.
 Una rueda dentada transmite el movimiento a la contigua que se mueve en
sentido opuesto al original.
 Son sistemas muy robustos que permiten transmitir grandes potencias entre
ejes próximos, paralelos, perpendiculares o oblicuos, según su diseño. Por el
contrario son bastante ruidosos.
 Los engranajes son sistemas de transmisión del movimiento circular de
constituidos por el acoplamiento, diente a diente, de dos ruedas dentadas,
una motriz y otra conducida. A la mayor se le llama corona y a la menor
piñón.
Tipos de engranajes:
 Según la forma de sus dientes:
Tipos de engranajes:
Según la posición de sus ruedas dentadas:
Relación entre diámetro y paso .
 El paso diametral: (Módulo) es el resultado que se obtiene al dividir el numero
de dientes entre el paso circunferencial.
 Definido de otra manera sería, el número de dientes por pulgada del diámetro
de sucircunferencia primitiva.
 El paso diametral Pd se expresa por la ecuación.
 Debe observarse que el paso circunferencial es una dimensión lineal,
expresada comúnmente en pulgadas. Las unidades del paso diametral son
recíprocas de las pulgadas.
La Fig. 9.16 nos es útil para visualizar el tamaño de los dientes con varios
pasos diametrales. Puede observarse que la relación entre el paso
circunferencial y el paso diametral se obtiene al multiplicar las dos
ecuaciones, obteniéndose: p Pd = π

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt? (20)

Tipos de rodamientos
Tipos de rodamientosTipos de rodamientos
Tipos de rodamientos
 
Rodamientos mecánicos
Rodamientos mecánicosRodamientos mecánicos
Rodamientos mecánicos
 
Tipos de rodamientos
Tipos de rodamientosTipos de rodamientos
Tipos de rodamientos
 
Elementos rodantes
Elementos rodantesElementos rodantes
Elementos rodantes
 
Tipos de rodamientos
Tipos de rodamientosTipos de rodamientos
Tipos de rodamientos
 
Rodamientos
RodamientosRodamientos
Rodamientos
 
Rodamientos
RodamientosRodamientos
Rodamientos
 
Rodamientos Informe
Rodamientos InformeRodamientos Informe
Rodamientos Informe
 
Tipos de rodamientos
Tipos de rodamientosTipos de rodamientos
Tipos de rodamientos
 
14 rodamientos - sm1314 - grupof
14   rodamientos - sm1314 - grupof14   rodamientos - sm1314 - grupof
14 rodamientos - sm1314 - grupof
 
Tipos de rodamientos
Tipos de rodamientos Tipos de rodamientos
Tipos de rodamientos
 
Definición de rodamientos e interpretacion de sus codigos
Definición de rodamientos e  interpretacion de sus codigosDefinición de rodamientos e  interpretacion de sus codigos
Definición de rodamientos e interpretacion de sus codigos
 
Diapositivas de daniel anzola
Diapositivas de daniel anzolaDiapositivas de daniel anzola
Diapositivas de daniel anzola
 
rodamientos y cojinetes
rodamientos y cojinetesrodamientos y cojinetes
rodamientos y cojinetes
 
Tipos de rodamientos
Tipos de rodamientosTipos de rodamientos
Tipos de rodamientos
 
dibujo-tecnico-rodamientos-elemen-tos-de-proteccion-y-seguridad-soportes-engr...
dibujo-tecnico-rodamientos-elemen-tos-de-proteccion-y-seguridad-soportes-engr...dibujo-tecnico-rodamientos-elemen-tos-de-proteccion-y-seguridad-soportes-engr...
dibujo-tecnico-rodamientos-elemen-tos-de-proteccion-y-seguridad-soportes-engr...
 
Rodamientos
RodamientosRodamientos
Rodamientos
 
Trabajo de rodamientos
Trabajo de rodamientosTrabajo de rodamientos
Trabajo de rodamientos
 
Michellefuertes
MichellefuertesMichellefuertes
Michellefuertes
 
Electri CoVoMoSa rodamientos
Electri CoVoMoSa rodamientosElectri CoVoMoSa rodamientos
Electri CoVoMoSa rodamientos
 

Ähnlich wie Rodamientos, Cojinetes y Engranajes

Ähnlich wie Rodamientos, Cojinetes y Engranajes (20)

Cojinetes
CojinetesCojinetes
Cojinetes
 
Tipos de rodamientos e interpretacion de sus codigos
Tipos de rodamientos e  interpretacion de sus codigosTipos de rodamientos e  interpretacion de sus codigos
Tipos de rodamientos e interpretacion de sus codigos
 
D2
D2D2
D2
 
Cojinetes de rodadura
Cojinetes de rodaduraCojinetes de rodadura
Cojinetes de rodadura
 
Cadenas y catarinas
Cadenas y catarinasCadenas y catarinas
Cadenas y catarinas
 
Tipos de rodamientos
Tipos de rodamientosTipos de rodamientos
Tipos de rodamientos
 
Rodamientos de masas y rotulas
Rodamientos de masas y rotulasRodamientos de masas y rotulas
Rodamientos de masas y rotulas
 
RODAMIENTOS.ppt
RODAMIENTOS.pptRODAMIENTOS.ppt
RODAMIENTOS.ppt
 
Aplicacion de los movimientos 2
Aplicacion de los movimientos 2Aplicacion de los movimientos 2
Aplicacion de los movimientos 2
 
holaaaaa
holaaaaaholaaaaa
holaaaaa
 
3 montaje-de-rodamientos-y-ejes
3 montaje-de-rodamientos-y-ejes3 montaje-de-rodamientos-y-ejes
3 montaje-de-rodamientos-y-ejes
 
Luis rodriguez
Luis rodriguezLuis rodriguez
Luis rodriguez
 
Soportes, Rodamientos y Engranajes
Soportes, Rodamientos y Engranajes Soportes, Rodamientos y Engranajes
Soportes, Rodamientos y Engranajes
 
Soporteengranajerodamiento
SoporteengranajerodamientoSoporteengranajerodamiento
Soporteengranajerodamiento
 
Clase Elementos de Maquina GianfrancoRomano
Clase Elementos de Maquina GianfrancoRomanoClase Elementos de Maquina GianfrancoRomano
Clase Elementos de Maquina GianfrancoRomano
 
Fabiola vegas.soporte.cojinetes.engranajes.rodamientos
Fabiola vegas.soporte.cojinetes.engranajes.rodamientosFabiola vegas.soporte.cojinetes.engranajes.rodamientos
Fabiola vegas.soporte.cojinetes.engranajes.rodamientos
 
Soporte y cojinetes
Soporte y cojinetesSoporte y cojinetes
Soporte y cojinetes
 
Cojinetes
CojinetesCojinetes
Cojinetes
 
Jesus romero elementos
Jesus romero elementosJesus romero elementos
Jesus romero elementos
 
Soporte: Rodamiento y Engranaje
Soporte: Rodamiento y Engranaje Soporte: Rodamiento y Engranaje
Soporte: Rodamiento y Engranaje
 

Kürzlich hochgeladen

hitos del desarrollo psicomotor en niños.docx
hitos del desarrollo psicomotor en niños.docxhitos del desarrollo psicomotor en niños.docx
hitos del desarrollo psicomotor en niños.docxMarcelaArancibiaRojo
 
Propuesta para la creación de un Centro de Innovación para la Refundación ...
Propuesta para la creación de un Centro de Innovación para la Refundación ...Propuesta para la creación de un Centro de Innovación para la Refundación ...
Propuesta para la creación de un Centro de Innovación para la Refundación ...Dr. Edwin Hernandez
 
COMPEDIOS ESTADISTICOS DE PERU EN EL 2023
COMPEDIOS ESTADISTICOS DE PERU EN EL 2023COMPEDIOS ESTADISTICOS DE PERU EN EL 2023
COMPEDIOS ESTADISTICOS DE PERU EN EL 2023RonaldoPaucarMontes
 
Procesos-de-la-Industria-Alimentaria-Envasado-en-la-Produccion-de-Alimentos.pptx
Procesos-de-la-Industria-Alimentaria-Envasado-en-la-Produccion-de-Alimentos.pptxProcesos-de-la-Industria-Alimentaria-Envasado-en-la-Produccion-de-Alimentos.pptx
Procesos-de-la-Industria-Alimentaria-Envasado-en-la-Produccion-de-Alimentos.pptxJuanPablo452634
 
CAPITULO 4 ANODIZADO DE ALUMINIO ,OBTENCION Y PROCESO
CAPITULO 4 ANODIZADO DE ALUMINIO ,OBTENCION Y PROCESOCAPITULO 4 ANODIZADO DE ALUMINIO ,OBTENCION Y PROCESO
CAPITULO 4 ANODIZADO DE ALUMINIO ,OBTENCION Y PROCESOLUISDAVIDVIZARRETARA
 
TERMODINAMICA YUNUS SEPTIMA EDICION, ESPAÑOL
TERMODINAMICA YUNUS SEPTIMA EDICION, ESPAÑOLTERMODINAMICA YUNUS SEPTIMA EDICION, ESPAÑOL
TERMODINAMICA YUNUS SEPTIMA EDICION, ESPAÑOLdanilojaviersantiago
 
Elaboración de la estructura del ADN y ARN en papel.pdf
Elaboración de la estructura del ADN y ARN en papel.pdfElaboración de la estructura del ADN y ARN en papel.pdf
Elaboración de la estructura del ADN y ARN en papel.pdfKEVINYOICIAQUINOSORI
 
Comite Operativo Ciberseguridad 012020.pptx
Comite Operativo Ciberseguridad 012020.pptxComite Operativo Ciberseguridad 012020.pptx
Comite Operativo Ciberseguridad 012020.pptxClaudiaPerez86192
 
PPT ELABORARACION DE ADOBES 2023 (1).pdf
PPT ELABORARACION DE ADOBES 2023 (1).pdfPPT ELABORARACION DE ADOBES 2023 (1).pdf
PPT ELABORARACION DE ADOBES 2023 (1).pdfalexquispenieto2
 
ARBOL DE CAUSAS ANA INVESTIGACION DE ACC.ppt
ARBOL DE CAUSAS ANA INVESTIGACION DE ACC.pptARBOL DE CAUSAS ANA INVESTIGACION DE ACC.ppt
ARBOL DE CAUSAS ANA INVESTIGACION DE ACC.pptMarianoSanchez70
 
Reporte de Exportaciones de Fibra de alpaca
Reporte de Exportaciones de Fibra de alpacaReporte de Exportaciones de Fibra de alpaca
Reporte de Exportaciones de Fibra de alpacajeremiasnifla
 
CHARLA DE INDUCCIÓN SEGURIDAD Y SALUD OCUPACIONAL
CHARLA DE INDUCCIÓN SEGURIDAD Y SALUD OCUPACIONALCHARLA DE INDUCCIÓN SEGURIDAD Y SALUD OCUPACIONAL
CHARLA DE INDUCCIÓN SEGURIDAD Y SALUD OCUPACIONALKATHIAMILAGRITOSSANC
 
04. Sistema de fuerzas equivalentes II - UCV 2024 II.pdf
04. Sistema de fuerzas equivalentes II - UCV 2024 II.pdf04. Sistema de fuerzas equivalentes II - UCV 2024 II.pdf
04. Sistema de fuerzas equivalentes II - UCV 2024 II.pdfCristhianZetaNima
 
ECONOMIA APLICADA SEMANA 555555555544.pdf
ECONOMIA APLICADA SEMANA 555555555544.pdfECONOMIA APLICADA SEMANA 555555555544.pdf
ECONOMIA APLICADA SEMANA 555555555544.pdfmatepura
 
CLASe número 4 fotogrametria Y PARALAJE.pptx
CLASe número 4 fotogrametria Y PARALAJE.pptxCLASe número 4 fotogrametria Y PARALAJE.pptx
CLASe número 4 fotogrametria Y PARALAJE.pptxbingoscarlet
 
LA APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES TEXTUALES A LOS TEXTOS.pdf
LA APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES TEXTUALES A LOS TEXTOS.pdfLA APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES TEXTUALES A LOS TEXTOS.pdf
LA APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES TEXTUALES A LOS TEXTOS.pdfbcondort
 
osciloscopios Mediciones Electricas ingenieria.pdf
osciloscopios Mediciones Electricas ingenieria.pdfosciloscopios Mediciones Electricas ingenieria.pdf
osciloscopios Mediciones Electricas ingenieria.pdfIvanRetambay
 
TAREA 8 CORREDOR INTEROCEÁNICO DEL PAÍS.pdf
TAREA 8 CORREDOR INTEROCEÁNICO DEL PAÍS.pdfTAREA 8 CORREDOR INTEROCEÁNICO DEL PAÍS.pdf
TAREA 8 CORREDOR INTEROCEÁNICO DEL PAÍS.pdfAntonioGonzalezIzqui
 
NTP- Determinación de Cloruros en suelos y agregados (1) (1).pptx
NTP- Determinación de Cloruros  en suelos y agregados (1) (1).pptxNTP- Determinación de Cloruros  en suelos y agregados (1) (1).pptx
NTP- Determinación de Cloruros en suelos y agregados (1) (1).pptxBRAYANJOSEPTSANJINEZ
 

Kürzlich hochgeladen (20)

hitos del desarrollo psicomotor en niños.docx
hitos del desarrollo psicomotor en niños.docxhitos del desarrollo psicomotor en niños.docx
hitos del desarrollo psicomotor en niños.docx
 
Propuesta para la creación de un Centro de Innovación para la Refundación ...
Propuesta para la creación de un Centro de Innovación para la Refundación ...Propuesta para la creación de un Centro de Innovación para la Refundación ...
Propuesta para la creación de un Centro de Innovación para la Refundación ...
 
COMPEDIOS ESTADISTICOS DE PERU EN EL 2023
COMPEDIOS ESTADISTICOS DE PERU EN EL 2023COMPEDIOS ESTADISTICOS DE PERU EN EL 2023
COMPEDIOS ESTADISTICOS DE PERU EN EL 2023
 
Procesos-de-la-Industria-Alimentaria-Envasado-en-la-Produccion-de-Alimentos.pptx
Procesos-de-la-Industria-Alimentaria-Envasado-en-la-Produccion-de-Alimentos.pptxProcesos-de-la-Industria-Alimentaria-Envasado-en-la-Produccion-de-Alimentos.pptx
Procesos-de-la-Industria-Alimentaria-Envasado-en-la-Produccion-de-Alimentos.pptx
 
CAPITULO 4 ANODIZADO DE ALUMINIO ,OBTENCION Y PROCESO
CAPITULO 4 ANODIZADO DE ALUMINIO ,OBTENCION Y PROCESOCAPITULO 4 ANODIZADO DE ALUMINIO ,OBTENCION Y PROCESO
CAPITULO 4 ANODIZADO DE ALUMINIO ,OBTENCION Y PROCESO
 
TERMODINAMICA YUNUS SEPTIMA EDICION, ESPAÑOL
TERMODINAMICA YUNUS SEPTIMA EDICION, ESPAÑOLTERMODINAMICA YUNUS SEPTIMA EDICION, ESPAÑOL
TERMODINAMICA YUNUS SEPTIMA EDICION, ESPAÑOL
 
Elaboración de la estructura del ADN y ARN en papel.pdf
Elaboración de la estructura del ADN y ARN en papel.pdfElaboración de la estructura del ADN y ARN en papel.pdf
Elaboración de la estructura del ADN y ARN en papel.pdf
 
Comite Operativo Ciberseguridad 012020.pptx
Comite Operativo Ciberseguridad 012020.pptxComite Operativo Ciberseguridad 012020.pptx
Comite Operativo Ciberseguridad 012020.pptx
 
VALORIZACION Y LIQUIDACION MIGUEL SALINAS.pdf
VALORIZACION Y LIQUIDACION MIGUEL SALINAS.pdfVALORIZACION Y LIQUIDACION MIGUEL SALINAS.pdf
VALORIZACION Y LIQUIDACION MIGUEL SALINAS.pdf
 
PPT ELABORARACION DE ADOBES 2023 (1).pdf
PPT ELABORARACION DE ADOBES 2023 (1).pdfPPT ELABORARACION DE ADOBES 2023 (1).pdf
PPT ELABORARACION DE ADOBES 2023 (1).pdf
 
ARBOL DE CAUSAS ANA INVESTIGACION DE ACC.ppt
ARBOL DE CAUSAS ANA INVESTIGACION DE ACC.pptARBOL DE CAUSAS ANA INVESTIGACION DE ACC.ppt
ARBOL DE CAUSAS ANA INVESTIGACION DE ACC.ppt
 
Reporte de Exportaciones de Fibra de alpaca
Reporte de Exportaciones de Fibra de alpacaReporte de Exportaciones de Fibra de alpaca
Reporte de Exportaciones de Fibra de alpaca
 
CHARLA DE INDUCCIÓN SEGURIDAD Y SALUD OCUPACIONAL
CHARLA DE INDUCCIÓN SEGURIDAD Y SALUD OCUPACIONALCHARLA DE INDUCCIÓN SEGURIDAD Y SALUD OCUPACIONAL
CHARLA DE INDUCCIÓN SEGURIDAD Y SALUD OCUPACIONAL
 
04. Sistema de fuerzas equivalentes II - UCV 2024 II.pdf
04. Sistema de fuerzas equivalentes II - UCV 2024 II.pdf04. Sistema de fuerzas equivalentes II - UCV 2024 II.pdf
04. Sistema de fuerzas equivalentes II - UCV 2024 II.pdf
 
ECONOMIA APLICADA SEMANA 555555555544.pdf
ECONOMIA APLICADA SEMANA 555555555544.pdfECONOMIA APLICADA SEMANA 555555555544.pdf
ECONOMIA APLICADA SEMANA 555555555544.pdf
 
CLASe número 4 fotogrametria Y PARALAJE.pptx
CLASe número 4 fotogrametria Y PARALAJE.pptxCLASe número 4 fotogrametria Y PARALAJE.pptx
CLASe número 4 fotogrametria Y PARALAJE.pptx
 
LA APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES TEXTUALES A LOS TEXTOS.pdf
LA APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES TEXTUALES A LOS TEXTOS.pdfLA APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES TEXTUALES A LOS TEXTOS.pdf
LA APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES TEXTUALES A LOS TEXTOS.pdf
 
osciloscopios Mediciones Electricas ingenieria.pdf
osciloscopios Mediciones Electricas ingenieria.pdfosciloscopios Mediciones Electricas ingenieria.pdf
osciloscopios Mediciones Electricas ingenieria.pdf
 
TAREA 8 CORREDOR INTEROCEÁNICO DEL PAÍS.pdf
TAREA 8 CORREDOR INTEROCEÁNICO DEL PAÍS.pdfTAREA 8 CORREDOR INTEROCEÁNICO DEL PAÍS.pdf
TAREA 8 CORREDOR INTEROCEÁNICO DEL PAÍS.pdf
 
NTP- Determinación de Cloruros en suelos y agregados (1) (1).pptx
NTP- Determinación de Cloruros  en suelos y agregados (1) (1).pptxNTP- Determinación de Cloruros  en suelos y agregados (1) (1).pptx
NTP- Determinación de Cloruros en suelos y agregados (1) (1).pptx
 

Rodamientos, Cojinetes y Engranajes

  • 1. Rodamientos, Cojinetes deslizantes y Engranajes María José Roas III-143-01261 C.I.27034230 República Bolivariana de Venezuela Universidad Yacambú Cabudare – Lara
  • 2. SOPORTES:  Son elementos de máquinas que se utilizan para alojar y fijar en su interior rodamientos que reciben ejes por medio de los cuales se transmite fuerza y movimiento.
  • 3. TIPOS DE SOPORTES Los soportes se pueden clasificar según la magnitud de la carga:  1. Para cargas ligeras: Se caracterizan porque generalmente llevan incorporados un rodamiento tipo Y. Encontrándose los tipos de pie (Base) identificados comercialmente como tipo S. Los tipos Brida (Flanche) identificado comercialmente como tipo F ,tiene gran aplicación donde las condiciones de trabajo no son demasiado severas. Son livianos y presentan gran facilidad para el montaje. Se les utiliza especialmente en maquinaria agrícola, máquinas para productos alimenticios, transportadores, etc.
  • 4. TIPOS DE SOPORTES  2. Soportes para rodamientos de cargas pesadas: Se utilizan los denominados chumacera o soporte tipo SN que constan de: A.- Base del soporte con superficie inferior plana y maquinada y una cavidad interior para alojar el rodamiento y además sirve de depósito del lubricante. B. La tapa que ajusta perfectamente sobre la base, tiene guías de ajuste para asegurar mayor precisión y que el mecánico ha de tener en cuenta en el montaje no permitiendo el intercambio de tapas con otros soportes o e! cambio de posición. C. Rodamiento casi siempre a rótula de doble hilera de bolas o de rodillos. D. Agujero de fijación a la base. E. Agujero roscado para fijar a la tapa. F. Retenedores de lubricante.
  • 5.
  • 6.  Todos los órganos móviles deben estar soportados al menos en dos puntos de apoyo que permitan el giro de los ejes oponiendo la mínima oposición posible, a estos elementos se les llama soportes o bastidores.  Para facilitar el giro e impedir desplazamientos axiales se emplean unas piezas cilíndricas, dependiendo de la forma de apoyo entre los gorrones y sus soportes, se diferencian dos tipos: Cojinetes de deslizamiento o fricción, y cojinetes de rodadura o rodamientos.
  • 7. Cojinetes de deslizamiento o de fricción. Las superficies fija y móvil "friccionan", por deslizamiento, separadas de una película de lubricante. Están constituidos por un soporte perfectamente acoplado sobre un casquillo de metal duro, que es el cojinete propiamente dicho, dado que siempre se produce rozamiento es necesario recurrir al uso de los cojinetes deben cumplir las siguientes condiciones:  Una superficie exterior suficientemente lisa para que el lubricante sea arrastrado por el árbol al girar.  Un elevado coeficiente de transmisión de calor, para disparar el incremento de temperatura producido por el rozamiento.  Un coeficiente de rozamiento lo menor posible en el deslizamiento en seco con el fin de reducir la resistencia en el momento de arranque.  Una buena unión entre el casquillo y su soporte. Este tipo de cojinete queda limitado por la carga admisible a soportar para poder formar la película lubricante, pero cuando este inconveniente no se presenta, se pueden emplear en órganos giratorios a grandes velocidades y con poco ruido.
  • 8. COJINETES DE FRICCIÓN:  En las máquinas, los árboles y ejes están sostenidos en su movimiento por soportes o cojinetes. Por lo general el soporte está fijo y el árbol gira Por lo anterior podemos afirmar que el objetivo de un cojinete es soportar árboles rotativos y otras partes en movimiento.  Habitualmente, los ejes y los árboles llevan dos soportes, pero suele haber árboles con muchos soportes (cojinetes) por ejemplo: Los árboles de transmisión, los árboles cigüeñales de los motores de varios cilindros
  • 9. Cojinete de deslizamiento o de fricción.
  • 10. Cojinetes de rodadura o rodamientos.  En ellos el gorrón del árbol y la superficie de rodadura del soporte están separados por elementos rodantes, de forma que con el giro del gorrón o del cojinete se genera un movimiento de rodadura y no de deslizamiento, como el caso anterior.  Están constituidos por dos anillos rodantes separados entre sí por unos cuerpos, también rodantes, interpuestos entre éstos, cuya forma varía según su uso, pueden ser de diferentes formas: bolas, rodillos, cilíndricos, agujas, etc.
  • 11.
  • 12. Los rodamientos poseen determinadas ventajas frente a los cojinetes de fricción  El coeficiente de rozamiento no depende de la carga que deben soportar, ni de la velocidad de giro, ni del tiempo de utilización.  Su longitud es menor, lo que le hace idóneo en diseños más reducidos.  Menor necesidad de lubricación.  Debido al bajo rozamiento, su calentamiento es más reducido, por lo que la temperatura de trabajo es menor.  Son muy versátiles, pueden ser empleados casi para todas las necesidades.
  • 13. También presentan inconvenientes:  En su montaje se tiene que ser muy preciso en los ajustes, si no su rotura es inmediata.  Son más sensibles a los choques o cargas bruscas.  La suciedad acorta su vida.  Son más ruidosos.
  • 14. Tipos de rodamiento Desde el punto de vista cinemático, pueden clasificarse en 3: • Rodamientos para cargas radiales: pueden soportar preferentemente cargas dirigidas en la dirección perpendicular al eje de rotación. • Rodamientos para cargas axiales: Pueden soportar cargas que actúen únicamente en la dirección del eje de rotación. A su vez pueden ser rodamientos de simple efecto, que pueden recibir cargas axiales de un sentido, y rodamiento de doble efecto, que pueden recibir cargas axiales en ambos sentidos. • Rodamientos para cargas mixtas: Soportan esfuerzos radiales, axiales o combinados.
  • 15.
  • 16. Tipos de rodamiento 1. Rodamientos rígidos de bola: Estos rodamientos son de uso general, ya que pueden absorber cargas radiales y axiales en ambos sentidos, así como las fuerzas resultantes de estas cargas combinadas; a su vez, pueden operar a elevadas velocidades. 2. Rodamiento de bolas a rotula: Este tipo de rodamientos dispone de dos hileras de bolas. La pista de rodadura del anillo exterior forma una superficie esférica común para las dos hileras de bolas, y su centro es coincidente con el del rodamiento; por su parte, el anillo interior tiene dos pistas de rodadura, una para cada hilera de bolas. 3. Rodamiento de bolas con contacto angular: En este tipo de rodamientos, la línea que une los puntos de contacto de las bolas de acero con los anillos interior y exterior, forma un ángulo con la línea que define la dirección radial, llamado ángulo de contacto. Este ángulo es de 30º, aunque existen rodamientos que tienen un ángulo de contacto de 40º y otros de 15º (estos últimos para elevadas velocidades).
  • 17. 4. Roldana: Unidades de rodamiento listas para montar con aro exterior reforzado para cargas pesadas, incluyendo las cargas de impacto. Los rodamientos con diámetro exterior bombeado pueden aceptar desalineación. 5. Rodamientos de sección estrecha: Son compactos, rígidos y ahorran espacio. Pueden soportar cargas combinadas. Una variedad de diseños ISO y de sección fija ofrece gran flexibilidad para diseñar disposiciones debajo peso y bajo rozamiento. También disponibles en versiones obturadas para un mantenimiento sencillo. 6. Rodamiento de agujas: Estos rodamientos se llaman así por tener como elementos rodantes unos cilindros muy largos con respecto a su diámetro, denominados agujas. 7. Rodamiento de rodillos cilíndricos: Estos rodamientos son desmontables, lo cual, facilita el montaje y desmontaje en su alojamiento. Dado que los rodillos hacen contacto lineal con las pistas de rodadura, pueden soportar grandes cargas radiales, siendo baja su capacidad de carga axial. Los rodillos pueden ser guiados por los rebordes del anillo exterior o del anillo interior. 8. Rodamientos de Rodilla a rotula: Están constituidos por dos hileras de rodillos en forma de tonel .Al igual que los rodamientos de bolas a rótulas, la pista de rodadura del anillo exterior forma una superficie esférica común para las dos hileras de rodillos; por su parte, el anillo interior tiene dos pistas de rodadura, una para cada hilera de rodillos, separadas por un borde central para guiar los rodillos. 9. Rodamiento de rodillos cónicos: En este tipo de rodamientos, los rodillos y las pistas de rodadura tienen forma cónica. La configuración de su diseño hace que los vértices de los conos de rodillos y pistas de rodadura se encuentren en un punto común sobre el eje del rodamiento.
  • 18. 10. Rodamiento de rodillos esféricos: Estos rodamientos son excelentes para cargas radiales fuertes y empuje moderado. Su característica de auto alineamiento interno es útil en muchas aplicaciones, pero no se debe abusar de ello. Los elementos esféricos tienen la ventaja de ampliar su área de contacto a medida que la carga aumenta. 11. Rodamientos axiales de bolas: En este tipo de rodamientos, las bolas están alojadas en una jaula porta bolas dispuesta entre una arandela ajustada en el alojamiento del soporte y una arandela ajustada al árbol. Es desmontable, siendo su montaje muy simple, ya que los componentes se pueden montar por separado. 12. Rodamientos axiales de rodillos cilíndricos: Están constituidos por dos aros, uno ajustado en el eje y otro en el alojamiento del soporte, y unos rodillos cilíndricos alojados en una jaula porta rodillos. Se puede conseguir un diseño compacto, utilizando únicamente los rodillos y jaula porta rodillos, empleando el eje y el alojamiento del soporte como pistas de rodadura. 13. Rodamientos axiales de agujas: Estos rodamientos pueden soportar cargas axiales, son insensibles a las cargas puntuales y permiten disposiciones de rodamientos rígidas, que requieren un espacio axial mínimo. Son rodamientos de simple efecto ya que sólo pueden soportar cargas axiales que actúen en una dirección. 14. Rodamientos axiales de rodillos a rotula: Robustos rodamientos auto alineables, insensible a la desalineación angular. Pueden soportar fuertes cargas axiales. También pueden soportar cargas radiales de hasta un 55% de la carga axial actuando simultáneamente. Ofrecen una alta fiabilidad y gran duración, incluso en condiciones de funcionamiento difíciles. El diseño desarmable facilita el montaje. 15. Rotulas axiales: Las rótulas axiales se parecen a las rótulas con contacto angular en que tienen superficies de contacto en las arandelas del eje y del alojamiento que forman un ángulo con el eje de la rótula. Han sido diseñadas sobre todo para cargas axiales aunque pueden absorber ciertas cargas combinadas.
  • 19.  16. Rotulas radiales: La ausencia de mantenimiento junto con una larga duración de vida es cada vez más importante para las rótulas radiales en los vehículos sobre raíles. En todos sus diseños. Estas rótulas se caracterizan por una elevada capacidad de carga, así como por su extraordinaria fiabilidad y duración de vida, no sólo en el caso de las dimensiones más pequeñas para los sistemas de puertas, o de tamaño mediano para la tecnología anti-vuelco, sino también las de grandes dimensiones, por ejemplo, para los acoplamientos. 17. Cabezal de articulación: Las cabezas de articulación son unidades de rodamientos lisos- esféricos que constan de un rodamiento alojado en una cabeza en forma de ojo con un vástago integrado; el soporte de la cabeza de articulación. Se utilizan principalmente en la cabeza de articulaciones de pistón o junto con cilindros hidráulicos o neumáticos para unir el cilindro a los componentes asociados. Disponibles en muchos diseños diferentes, y también sin necesidad de mantenimiento. 18. Corona de Orientación: Transmiten fuertes cargas combinadas y movimientos de orientación en disposiciones con gran diámetro. Uno o ambos aros pueden tener engranaje integral y los dos aros tienen agujeros para los pernos de montaje. Forman una parte integral del sistema de accionamiento. Permiten unas soluciones compactas y económicas, que pueden reemplazar a las disposiciones de rodamientos múltiples tradicionales.
  • 20. Cargas estáticas admisibles  Las cargas muy elevadas o las cargas de choque pueden deformar permanentemente los caminos de rodadura o los elementos rodantes. En el caso de las disposiciones de rodamientos de súper precisión, no se deben producir deformaciones permanentes.  A fin de garantizar que las cargas estáticas no provoquen una deformación permanente, es posible comparar la capacidad de carga estática y la carga estática equivalente del rodamiento para determinar si existe el riesgo de que un rodamiento sufra deformación permanente.
  • 21. Capacidad de carga estática  La capacidad de carga estática C0 según la definición de la normativa ISO 76:2006 corresponde a una tensión de contacto calculada en el centro de la superficie de contacto más cargada entre los elementos rodantes y el camino de rodadura.  Esta tensión produce una deformación permanente total del elemento rodante y del camino de rodadura, que equivale aproximadamente a 0,0001 del diámetro del elemento rodante. Las cargas son puramente radiales para los rodamientos radiales, y axiales y centradas para los rodamientos axiales.  Los valores para la capacidad de carga estática C0 se indican en las tablas de productos.
  • 22. Carga estática equivalente  A fin de comparar la capacidad de carga estática con las cargas reales, éstas últimas se deben convertir a una carga equivalente.  La carga estática equivalente P0 se define como la carga hipotética (radial para los rodamientos radiales y axial para los rodamientos axiales) que, de ser aplicada, causaría en el rodamiento la misma carga máxima en los elementos rodantes que las cargas reales a las que está sometido el rodamiento.  La información y los datos requeridos para calcular la carga estática equivalente se ofrecen en cada sección de productos.
  • 23. Capacidad de carga estática requerida  La capacidad de carga estática requerida C0, para proteger el rodamiento de la deformación permanente, se puede calcular según C0 ≥ s0 P0  Donde C0 = capacidad de carga estática básica [kN] P0 = carga estática equivalente [kN] s0 = factor de seguridad estático  Para los rodamientos híbridos, el factor de seguridad estático se debe incrementar un 10%.  Para los rodamientos axiales de bolas de contacto angular para accionamientos mediante husillo, se pueden usar factores de seguridad de hasta s0 = 1.
  • 24. • Engranajes.  Los engranajes son juegos de ruedas que disponen de unos elementos salientes denominados “dientes”, que encajan entre sí, de manera que unas ruedas (las motrices) arrastran a las otras (las conducidas o arrastradas).  Transmiten el movimiento circular a circular.  La condición para que las ruedas “engranen”, es decir, que puedan acoplarse y transmitir el movimiento correctamente, es que tengan los mismos parámetros o dimensiones en el diente.  Una rueda dentada transmite el movimiento a la contigua que se mueve en sentido opuesto al original.  Son sistemas muy robustos que permiten transmitir grandes potencias entre ejes próximos, paralelos, perpendiculares o oblicuos, según su diseño. Por el contrario son bastante ruidosos.
  • 25.  Los engranajes son sistemas de transmisión del movimiento circular de constituidos por el acoplamiento, diente a diente, de dos ruedas dentadas, una motriz y otra conducida. A la mayor se le llama corona y a la menor piñón.
  • 26. Tipos de engranajes:  Según la forma de sus dientes:
  • 27. Tipos de engranajes: Según la posición de sus ruedas dentadas:
  • 28. Relación entre diámetro y paso .  El paso diametral: (Módulo) es el resultado que se obtiene al dividir el numero de dientes entre el paso circunferencial.  Definido de otra manera sería, el número de dientes por pulgada del diámetro de sucircunferencia primitiva.  El paso diametral Pd se expresa por la ecuación.  Debe observarse que el paso circunferencial es una dimensión lineal, expresada comúnmente en pulgadas. Las unidades del paso diametral son recíprocas de las pulgadas.
  • 29. La Fig. 9.16 nos es útil para visualizar el tamaño de los dientes con varios pasos diametrales. Puede observarse que la relación entre el paso circunferencial y el paso diametral se obtiene al multiplicar las dos ecuaciones, obteniéndose: p Pd = π