Guia de conjuntos y numeros reales

1. República Boliariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la educación
Universidad Politécnica Teritorial Andrés Eloy Blanco
Estudiante: María José Pérez/303532820

2. Conjunto
• En matemáticas, un conjunto es una colección de
elementos con características similares considerada en sí
misma como un objeto. Los elementos de un conjunto,
pueden ser las siguientes: personas, números, colores,
letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro)
pertenece al conjunto si está definido como incluido de
algún modo dentro de él.
• Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
• AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}
• Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que
todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los
números naturales, si se considera la propiedad de ser un
número primo, el conjunto de los números primos es:
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…}
• Los diversos polígonos en la imagen constituyen un
conjunto. Algunos de los elementos del conjunto, además
de ser polígonos son regulares. La colección de estos
últimos —los polígonos regulares en la imagen— es otro
conjunto, en particular, un subconjunto del primero.

3. Operaciones de Conjuntos
• Las operaciones con conjuntos también conocidas como
álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones
sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las
operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión,
intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento.
• Unión o Reunión de Conjuntos
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos
para formar otro conjunto que contendrá a todos los
elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es
decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los
conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los
elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir
ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la
operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos
diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se
sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo.
Luego se escribe por fuera la operación de unión.
• Ejemplo 1
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la
unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn
se tendría lo siguiente:

4. • También se puede graficar de la siguiente forma
Ejemplo 2: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn
se tendría lo siguiente:
Ejemplo 3: Dados dos conjuntos F={x/x
estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x
estudiantes que juegan básquet}, la unión será
F∪B={x/x estudiantes que juegan fútbol o
básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:

5. • Ejemplo 4: Dados los dos conjuntos A={3, 5, 6, 7}
y B={5,6}, en donde B está incluido en A, la unión
será AUB={3,5,6,7}. Usando diagramas de Venn se
tendría
Intersección de Conjuntos:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo
con los elementos comunes involucrados en la operación.
Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de
los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de
A y los elementos de B que sean comunes, los elementos
no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa
para indicar la operación de intersección es el siguiente:
∩.
Ejemplo 1: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos
será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:

6. • Ejemplo 2: Dados dos conjuntos A={x/x
estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x
estudiantes que juegan básquet}, la intersección
será F∩B={x/x estudiantes que juegan fútbol y
básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:
• Diferencia de Conjuntos:
Es la operación que nos permite formar un conjunto,
en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el
que tendrá todos los elementos que pertenecen al
primero pero no al segundo. Es decir dados dos
conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A
y B, estará formado por todos los elementos de A que
no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta
operación es el mismo que se usa para la resta o
sustracción, que es el siguiente.
Ejemplo 1 Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será
A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:

7. Ejemplo 2: Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
diferencia de estos conjuntos será B-
A={6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn
se tendría lo siguiente:
Ejemplo 4: Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol}
y B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la diferencia de B con F, será
B-F={x/x estudiantes que sólo juegan básquet}. Usando diagramas de
Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 3: Dados dos conjuntos F={x/x
estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x
estudiantes que juegan básquet}, la diferencia
de F con B, será F-B={x/x estudiantes que
sólo juegan fútbol}. Usando diagramas de
Venn se tendría lo siguiente:

8. Números Reales
Los números reales son cualquier número que
corresponda a un punto en la recta real y
pueden clasificarse en números naturales,
enteros, racionales e irracionales.
• Desigualdades
Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a £ b (a < b o a =
b) y a ³ b (a > b o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se
llaman desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas
o amplias.
En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad
de comparar dos cantidades y establecer una relación entre ellas. Las
desigualdades se comportan muy bien con respecto a la suma pero se
debe tener cuidado en el caso de la división y la multiplicación.
Ejemplos
· Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.
· Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1
· Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30
· Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10.(- 3), esto es - 21 > - 30
En otras palabras, cualquier número real está
comprendido entre menos infinito y más
infinito y podemos representarlo en la recta
real.
Los números reales son todos los números
que encontramos más frecuentemente dado
que los números complejos no se encuentran
de manera accidental, sino que tienen que
buscarse expresamente.
Los números reales se representan mediante
la letra R

9. Valor Absoluto
El valor absoluto de un número entero es el
número natural que resulta al suprimir su
signo.
El valor absoluto lo escribiremos entre barras
verticales.
|−5| = 5
|5| = 5
• El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los
valores absolutos de los sumandos.
Función del valor absoluto
Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.
Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos
donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
Valor absoluto de un número real a, se
escribe |a|, es el mismo número a cuando
es positivo o cero, y opuesto de a, si a
es negativo.
|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0
|x| = 2 x = −2 x = 2
Propiedades
Los números opuestos tienen igual valor
absoluto.
El valor absoluto de un producto es igual al
producto de los valores absolutos de los
factores.