2. 1/4
Tr−êng thpt l−¬ng thÕ vinh
Hµ néi
Năm h c 2014 – 2015
®¸p ¸n – thang ®iÓm
®Ò thi thö thpt quèc gia n¨m 2015
M«n thi: To¸nM«n thi: To¸nM«n thi: To¸nM«n thi: To¸n – LÇn thø 1LÇn thø 1LÇn thø 1LÇn thø 1
--------------- ðáp án có 04 trang --------------
Câu ðáp án ði m
a) (1,0 ñi m) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s 4 2
2 1y x x= − +
T p xác ñ nh: D = R . lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞
ð o hàm: 3
' 4 4y x x= − ; ' 0 0y x= ⇔ = ho c 1x = ± .
0,25
Các kho ng ñ ng bi n: ( ) ( )1;0 ; 1;− +∞ . Kho ng ngh ch bi n: ( ) ( ); 1 ; 0;1−∞ −
C c tr : Hàm s ñ t c c ti u t i 1x = ± , 0CTy = ; ñ t c c ñ i t i 0x = , yCð = 1.
0,25
B ng bi n thiên:
x −∞ -1 0 1 +∞
y' - 0 + 0 - 0 +
y +∞ 1 +∞
0 0
0,25
ð th : (Hs có th l y thêm ñi m ( 2;9); (2;9)− ) 0,25
b) (1,0 ñi m) Tìm m ñ ñ th (1) c t tr c hoành t i b n ñi m phân bi t có hoành ñ nh hơn 2.
Phương trình hoành ñ giao ñi m ( )4 2
3 2 0x m x m+ − + − = (1)
ð t ( )2 2
0 3 2 0t x t m t m= ≥ ⇒ + − + − = (2)
0,25
ð (1) có 4 nghi m phân bi t thì (2) có 2 nghi m dương phân bi t 0, 0, 0S P⇔ ∆ > > >
2; 1m m⇔ < ≠ .
0,25
ði u ki n: Phương trình (2) ph i có nghi m th a mãn ñi u ki n 1 20 , 4t t< <
Phương trình (2) có 1 1t = (th a mãn), 2 2t m= −
0,25
1
(2,0ñ)
ði u ki n: 2 4 2m m− < ⇔ > −
ðáp s : 2 2, 1m m− < < ≠ .
0,25
a) (0,5 ñi m) Gi i phương trình 2 2
3cos sin 1 cos sin 2 sinx x x x x+ − = + − .
Phương trình ñã cho tương ñương v i 2
2cos cos sin 2sin cos 0x x x x x− + − =
( )( )2cos 1 cos sin 0x x x⇔ − − =
0,25
• ( )cos sin 0 tan 1 ,
4
x x x x k k
π
π− = ⇔ = ⇔ = + ∈ℤ
•
1
2cos 1 0 cos 2 ,
2 3
x x x k k
π
π− = ⇔ = ⇔ = ± + ∈ℤ
V y phương trình ñã cho có nghi m: , 2 ,
4 3
x k x k k
π π
π π= + = ± + ∈ℤ .
0,25
b) (0,5 ñi m) Gi i phương trình ( )3
27 33
1
log log ( 2) 1 log 4 3
2
x x x+ + = + −
2
(1,0ñ)
ði u ki n:
4
0
3
x< < . Phương trình ñã cho tương ñương v i
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3log log 2 log 3 log 4 3 log 2 log 3 4 3x x x x x x+ + = + − ⇔  +  =  −    
0,25
w
w
w
.VN
M
ATH
.com

3. 2/4
( ) ( ) 2 1( )
2 3 4 3 11 12 0
12( )
x tm
x x x x x
x L
=
⇔ + = − ⇔ + − = ⇔  = −
ðáp s : 1x = .
0,25
Tính tích phân 2
1
1
ln .
e
x
I xdx
x
+
= ∫
2
1 1
1 1
ln ln
e e
I xdx xdx A B
x x
= + = +∫ ∫
1 1
1
ln ln (ln )
e e
A xdx xd x
x
= =∫ ∫
0,25
21 1
ln
12 2
e
A x= = . 0,25
2
1
1
ln ;
e
B xdx
x
= ∫ ð t 2
1 1 1
ln ' ; 'u x u v v
x x x
= ⇒ = = ⇒ = −
2
1
1 1 1 1
ln ln
1 1 1
e
e e e
B x dx x
x x x x
= − + = − −∫
0,25
3
(1,0ñ)
1 1 2 2
1 1
e
B
e e e e
− 
= − − − = − + = 
 
1 2 3 4
2 2
e e
I A B
e e
− −
= + = + = . ( 0,764)I ∼ (Hs cũng có th tính ngay 2
1
ln ; '
x
u x v
x
+
= = )
0,25
a) (0,5 ñi m) Cho ( )
1
2 5
1
i
i z i
i
−
+ + = −
+
. Tìm môñun c a s ph c 2
1w z z= + + .
Phương trình ñã cho tương ñương v i ( )2 5i z+ =
5
2
2
z i
i
⇔ = = −
+
0,25
T ñó 2
1 6 5w z z i= + + = − . Suy ra | | 36 25 61w = + = . 0,25
b) (0,5 ñi m) Tính xác su t có ít nh t 1 qu t t
G i A là bi n c “Có ít nh t 1 qu t t”, suy ra A là bi n c : “C 2 qu ñ u h ng”
S bi n c ñ ng kh năng: 10.8 = 80
S cách ch n 2 qu h ng: 1 1
4 3. 4.3 12C C = =
0,25
4
(1,0ñ)
Xác su t c a bi n c A là: ( ) 12 3
80 20
p A = =
Suy ra, xác su t c a bi n c A là: ( ) ( ) 3
1 1
20
p A p A= − = − =
17
20
.
0,25
Cho (1; 1;2), (3;0; 4)A B− − , ( ) : 2 2 5 0P x y z− + − =5
(1,0ñ)
ðư ng th ng AB ñi qua ñi m A và có vtcp ( )2;1; 6AB = −
Phương trình tham s c a AB là
1 2
1 ( )
2 6
x t
y t t
z t
= +

= − + ∈
 = −
R .
0,25
w
w
w
.VN
M
ATH
.com

4. 3/4
G i ( )( ) 1 2 ; 1 ;2 6I AB P I AB I t t t= ∩ ⇒ ∈ ⇒ + − + −
1
( ) (1 2 ) 2( 1 6 ) 2(2 6 ) 5 0
6
I P t t t t∈ ⇒ + − − + + − − = ⇒ =
Suy ra t a ñ giao ñi m c a AB và ( )P là ñi m
4 5
; ;1
3 6
I
 
− 
 
.
0,25
M t ph ng ( )Q qua A và có vtpt ,Q Pn AB n =   , trong ñó Pn là vtpt c a ( )P
Ta có ( )1; 2;2Pn = −
0,25
Suy ra ( ), 10;10;5PAB n  =  . Ch n ( )2;2;1Qn =
Phương trình m t ph ng ( ) : 2( 1) 2( 1) 1( 2) 0Q x y z− + + + − = ⇔ 2 2 2 0x y z+ + − = .
0,25
Cho hình chóp .S ABCD có ñáy là hình ch nh t, , 2AB a AD a= = ...
G i H là trung ñi m c a ( )AB SH AB SH ABCD⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ,
suy ra HC là hình chi u c a SC lên ( ) 0
45ABCD SCH⇒ = .
2
2ABCDS a=
0,25
2
2 17
4
4 2
a a
SH HC a= = + =
2
.
1 1 17
. . . .2
3 3 2
S ABCD ABCD
a
V SH S a= = =
3
17
3
a
.
0,25
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
,( ) ,( ) ,( ) ,( )
2 2
d M SAC d D SAC d B SAC d H SAC= = =
K ( ), ( ) ,( )HI AC HK SI HK AC HK SAC d H SAC HK⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = .
0,25
6
(1,0ñ)
K
1
2
BE AC HI BE⊥ ⇒ = . 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5 2
4 4 5 5
a a
BE HI
BE BA BC a a a
= + = + = ⇒ = ⇒ =
T ñó suy ra ( )2 2 2 2 2 2
1 1 1 5 4 89 17
,( )
17 17 89
a
d M SAC
HK HI HS a a a
= + = + = ⇒ = =
1513
89
a
.
0,25
Trong m t ph ng t a ñ ,Oxy cho hình ch nh t ABCD có di n tích b ng 15…
Ta có
10 3 10
( , ) . 5 3 5
23 5 3 5
d G AB BC AB= ⇒ = = ⇒ =
ðư ng th ng d qua G và vuông góc v i : 2 15 0AB d x y⇒ + − =
0,25
G i ( )6;3N d AB N= ∩ ⇒ . Suy ra
1
5
3
NB AB= = 0,25
G i ( ) ( )2 2 2( )
2 ; 5 6 8 0 8;4
4
b L
B b b AB NB b b B
b
=
∈ ⇒ = ⇔ − + = ⇒ ⇒ =
Ta có ( )3 2;1BA BN A= ⇒
0,25
7
(1,0ñ)
( )
3
7;6
2
AC AG C= ⇒ . ( )1;3CD BA D= ⇒
ðáp s : ( ) ( ) ( ) ( )2;1 , 8;4 , 7;6 , 1;3A B C D .
0,25
A D
B C
S
H E
I
K
I
G
A B
D CK
N
w
w
w
.VN
M
ATH
.com