Este documento contiene la solución a 10 problemas de álgebra que involucran factorización de polinomios. Los problemas van desde factorizar expresiones algebraicas hasta encontrar factores primos y sumas de coeficientes. En general, el documento muestra diferentes métodos algebraicos para resolver una variedad de problemas relacionados con la factorización de polinomios.

1. S O L U C I Ó N 1
BIMONTHLY EXAM OF
ALGEBRA
Problema 1
Factorizar:
6x2
− 7xy + 2y2
+ 12x − 7y + 6
La suma de los coeficientes de unos de sus factores primos es:
Solución
Aplicando aspa doble
6x2 −7xy +2y2 +12x −7y +6
3x +2y 3
2x −1y 2
Agrupando términos tenemos
(3x − 2y + 3).(2x − y + 2)
ΣCoe f icientes = 2 − 1 + 2 = 3
Problema 2
Si el polinomio:
T(x) = x2
+ (2m − 1)x + (m + 1)(m − 2)
Es factorizable mediante un aspa simple (en los enteros), además: m Z m 13,
indique un factor primo:

2. 1 BIMONTHLY EXAM OF ALGEBRA
Solución
x2 +(2m − 1)x +(m + 1)(m − 2)
x (m + 1)
x (m − 2)
(x + m + 1).(x + m − 2)
x + m + 1
Problema 3
Un teatro tiene hasta el momento 143 butacas habilitadas y cada 20 de marzo
de cada año, se adquiere un número de butacas igual al número de factores primos
de:
p(x,y) = 12x2
+ 2xy2
− 2y4
+ 9x − 3y2
.
¿ Cuántas butacas en total tendrá el teatro en su aniversario que será el 19 de
marzo del 2025?
Solución
Aplicando aspa doble
12x2 +2xy2 −2y4 +9x −3y2 +0
4x +2y2 3
3x −1y2 0
Agrupando términos tenemos:
(4x + 2y2 + 3).(3x − y2)
#FP = 2
#Butacas = 143 + 6(2) = 155
Problema 4
Tomas es un matemático brillante de la Facultad de Ciencias Matemáticas de
la UNMSM y él se percata que h(x) es un factor primo de:
p(x) = 6x5
− 20x4
+ 63x3
− 118x2
+ 165x − 44.
en [x], el cual genera números primos para los primeros 11 enteros no negativos.
Halle la suma del mayor número primo con el menor número primo generado
por h(x).
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3. PROFESOR MARCO ALPACA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA
Solución
Utilizando el teorema de las raíces racionales. Por lo tanto
a (±1, ±2, ±4, ±11, ±22, ±44) y b (±1, ±2, ±3, ±6)
Al formar todos los posibles números racionales a/b con estas elecciones de a y
b, y probando todos estos posibles valores por la división sintética, se halla que
x=1/3 es una raíz.
3x − 1 = 0 6 -20 63 -118 165 -44
x = 1/3
2 -6 19 -33 44
÷3 6 -18 57 -99 132 0
2 -6 19 -33 44
Ahora aplicando aspa doble especial tenemos:
(3x − 1) 2x4 −6x3 +19x2 −33x +44
2x2 0x 11 = 11x2
1x2 −3x 4 = 8x2
0x2 19x2
Agrupando términos tenemos:
p(x) = (3x − 1).(2x2 + 11).(x2 − 3x + 4)
h(x) = 2x2 + 11
h(0) = 11 h(10) = 211
Σ = 11 + 211 = 222
Problema 5
Al factorizar el polinomio
p(x) = (x − 1)4
+ 5(x − 1)2
+ 9
en Z [x],determine el resto de dividir la suma de los factores primos de p(x) por
x+2.
Solución
Ahora aplicando aspa doble especial tenemos:
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4. 1 BIMONTHLY EXAM OF ALGEBRA
(x − 1)4 +0(x − 1)3 +5(x − 1)2 +0(x − 1) +9
1(x − 1)2 1(x − 1) 3 = 3(x − 1)2
1(x − 1)2 −1(x − 1) 3 = 3(x − 1)2
−(x − 1)2 6(x − 1)x2
Agrupando términos tenemos:
[(x − 1)2 + (x − 1) + 3].[(x − 1)2 − (x − 1) + 3]
Σ Factores primos= 2(x − 1)2 + 6
Piden resolver
2(x − 1)2
+ 6
x + 2
Utilizando el teorema del resto tenemos:
R = 2(−2 − 1)2 + 6 = 24
Problema 6
Factorice los polinomios:
P (x, y) = 6x2
+ 19xy + 15y2
− 11x − 17y + 4
F (x, y) = x2
+ 2xy + y2
+ 3x + 3y − 4
y señale como respuesta el factor primo no común de mayor suma de coefi-
cientes.
Solución
Aplicando aspa doble tenemos:
6x2 +19xy +15y2 −11x −17y +4
3x +5y −4
2x 3y −1
Agrupando tenemos:
(3x + 5y − 4).(2x + 3y − 1)
De igual forma tenemos:
x2 +2xy +y2 +3x +3y −4
x y +4
x y −1
Agrupando tenemos:
(x + y + 4).(x + y − 1)
(x + y + 4)
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5. PROFESOR MARCO ALPACA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA
Problema 7
Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes del polinomio:
p(x) = x4
− 2x3
− 13x2
+ 14x − 24
Solución
Aplicando aspa doble especial tenemos:
x4 −2x3 −13x2 +14x +24
1(x)2 1x −6 = −6x2
1(x)2 −3x −4 = −4x2
−3x2 −10x2
Agrupando términos y aplicando un aspa simple tenemos:
(x2
+ x − 6).(x2
− 3x − 4)
(x2 +x −6) (x2 −3x −4)
x 3 x −4
x −2 x +1
Agrupando términos tenemos:
(x + 3)(x − 2)(x − 4)(x + 1)
ΣCoe f(x+3) = 1 + 3 = 4
Problema 8
En el polinomio:
P(a, b) = a3
b + a2
b − a3
− a2
,
calcule la suma entre el número de factores algebraicos y el número de factores
primos.
Solución
Agrupando términos tenemos:
P(a, b) = a3b + a2b − a3 − a2
P(a, b) = ba2(a + 1) − a2(a + 1)
P(a, b) = (a + 1(ba2 − a2)
P(a, b) = a2(a + 1)(b − 1)
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6. 1 BIMONTHLY EXAM OF ALGEBRA
#FA = 3(2)(2) − 1 = 11
#FP = 3
Σ = 11 + 3 = 24
Problema 9
¿ Cuál de los polinomios no es factor primo de P(x), donde P(x) = 2x4 + x3 −
9x2 − 4x + 4?
Solución
Aplicando aspa doble especial tenemos:
2x4 +x3 −9x2 −4x +4
2x2 1x −1 = −x2
1x2 0x −4 = −8x2
0x2 −9x2
Agrupando términos tenemos y aplicando un aspa simple tenemos:
(2x2 +x −1) (x2 −4)
2x −1 x 2
1x 1 x −2
Agrupando términos tenemos:
(2x − 1)(x + 1)(x + 2)(x − 2)
No es un factor primo: 2x + 1
Problema 10
Tomas es un matemático brillante de la Facultad de Ciencias Matemáticas de
la UNMSM y él se percata que h(x) es un factor primo de:
p(x) = 6x5
− 20x4
+ 63x3
− 118x2
+ 165x − 44.
en [x], el cual genera números primos para los primeros 11 enteros no negativos.
Halle la suma del mayor número primo con el menor número primo generado
por h(x).
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7. PROFESOR MARCO ALPACA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA
Solución
Utilizando el teorema de las raíces racionales. Por lo tanto
a (±1, ±2, ±4, ±11, ±22, ±44) y b (±1, ±2, ±3, ±6)
Al formar todos los posibles números racionales a/b con estas elecciones de a y
b, y probando todos estos posibles valores por la división sintética, se halla que
x=1/3 es una raíz.
3x − 1 = 0 6 -20 63 -118 165 -44
x = 1/3
2 -6 19 -33 44
÷3 6 -18 57 -99 132 0
2 -6 19 -33 44
Ahora aplicando aspa doble especial tenemos:
(3x − 1) 2x4 −6x3 +19x2 −33x +44
2x2 0x 11 = 11x2
1x2 −3x 4 = 8x2
0x2 19x2
Agrupando términos tenemos:
p(x) = (3x − 1).(2x2 + 11).(x2 − 3x + 4)
h(x) = 2x2 + 11
h(0) = 11 h(10) = 211
la distancia es 211 − 11 = 200
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