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Actividad 4
Expresiones Algebraicas
G. Edgar Mata Ortiz
Expresiones algebraicas, operaciones
fundamentales y lenguaje algebraico.

Expresiones algebraicas.
http://licmata-math.blogspot.mx/ 2
El álgebra es un lenguaje, específicamente es el lenguaje en el que está escrita la ciencia. Cualquier libro de
física, química o cualquier otra ciencia, contiene leyes que describen y predicen el comportamiento de la
naturaleza, estas leyes se sintetizan en forma de expresiones que contienen signos, constantes, variables y las
operaciones aritméticas que las relacionan, es decir, expresiones algebraicas.
En el presente material se aborda el tema de las expresiones algebraicas, las operaciones básicas entre ellas y
la forma en la que el lenguaje natural es expresado algebraicamente.
Contenido
Introducción. ............................................................................................................................................................3
Conceptos fundamentales del álgebra.....................................................................................................................4
Término Algebraico. .............................................................................................................................................5
Lenguaje algebraico..............................................................................................................................................6
Operaciones algebraicas...........................................................................................................................................9
Modelos matemáticos....................................................................................................................................... 10
Importancia de las operaciones algebraicas en la resolución de problemas.................................................... 10
Reducción de términos semejantes. ................................................................................................................. 11
Suma y resta de polinomios. ............................................................................................................................. 11
Multiplicación de polinomios. ........................................................................................................................... 13
División de polinomio entre monomio.............................................................................................................. 13
División de polinomio entre polinomio............................................................................................................. 15
El uso de Excel en la comprensión y resolución de problemas del álgebra. ......................................................... 17

Introducción.
El álgebra, como cualquier lenguaje, fue desarrollándose a lo largo del
tiempo. Desde los matemáticos babilónicos, egipcios y chinos, quienes
eran capaces de resolver ecuaciones y despejar incógnitas fue evidente la
necesidad de una forma de notación que simplificara la representación de
estos procesos; la notación algebraica.
En el siglo IX, los matemáticos árabes lograron grandes avances al aplicar
las propiedades de la igualdad como estrategia para la resolución de
ecuaciones, aunque con una notación todavía no desarrollada por
completo.
Uno de los mayores adelantos en el estudio del álgebra ocurrió en el siglo
XVI: el uso de símbolos para representar las variables, incógnitas, y
operaciones algebraicas. La mayor parte de la notación algebraica
moderna, proviene de esta época.
En el siguiente enlace se encuentra una línea del tiempo señalando las
etapas más importantes del desarrollo del álgebra:
http://timemapper.okfnlabs.org/hanakham/historyofalgebra#0
Elabora un ensayo de 600 palabras acerca de una de las etapas del
desarrollo del álgebra. No olvides agregar, al menos, tres fuentes
bibliográficas y tres referencias en línea.
Fotografía del papiro Rhind.
Es un rollo que, al extenderlo, mide
30 cm x 2 metros, fue encontrado
en una tumba en la ciudad de Tebas
y es la fuente de información más
valiosa de la que disponemos
acerca de la matemática egipcia.
Este papiro fue comprado en un
mercado en la ciudad de Luxor por
un joven escocés de 25 años, Henry
Rhind, que fue a Egipto por razones
de salud y se interesó por la
arqueología.
Imagen tomada de:
http://www.daviddarling.info/encyclopedia/R/Rhind_papyrus.html
El Lenguaje de
la ciencia.
La matemática en general, y
el álgebra en particular, son
importantes porque es la
forma en la que se expresa
la ciencia. Los libros de
cualquier disciplina
científica están llenos de
ecuaciones y otras
expresiones algebraicas.
Si entendemos la
matemática como un
lenguaje, entonces una
buena parte del trabajo de
aprenderla debe estar
centrada en las reglas de
dicho lenguaje; la sintaxis
algebraica. Pero otro
aspecto que también es muy
importante tiene que ver
con la traducción entre el
lenguaje natural y el
algebraico.
La mayor parte de los
problemas que deberemos
resolver contienen
expresiones como; “el
doble”, “la mitad”, “el
producto”, “el cociente”, “la
semisuma” entre otras. Lo
que debemos aprender es a
escribir dichas expresiones
en forma de símbolos
algebraicos, sin perder de
vista su significado y la
relación que tiene con la
situación original.

Conceptos fundamentales del álgebra.
Al estudiar una disciplina científica es necesario definir sus conceptos
fundamentales, con la finalidad de comprenderla y aplicarla
adecuadamente en la resolución de problemas. Sin embargo, estas
definiciones deben ser comprendidas y no simplemente memorizadas.
A continuación, vamos a realizar un ejercicio de análisis y comprensión
de la información. Investiga al menos tres definiciones de cada uno de
los conceptos siguientes en fuentes bibliográficas, no páginas de
internet, anótalas en tu cuaderno y, a partir de esta información,
construye su definición y escríbela en las siguientes líneas. No olvides
anotar la bibliografía.
Álgebra.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Teorema fundamental del álgebra.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Expresión algebraica.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Término algebraico.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Monomio
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Binomio
___________________________________________________________________________________________
Trinomio
___________________________________________________________________________________________
Polinomio
___________________________________________________________________________________________
Nos enseña a operar con expresiones que contienen variables,
constantes y operaciones de una manera muy general y a utilizar
estas expresiones para resolver problemas concretos.
Es la combinación de variables, números y operaciones.
Consta de una o varias literales que se dividen o multiplican
entre si.
Expresión algebraica de un término.
Expresión algebraica de dos términos.
Expresión algebraica de tres términos
Es la suma de uno o más monomios.
Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeﬁcientes
reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja).

Bibliografía.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Término Algebraico.
Tomando como base la información contenida en la presentación: “Término Algebraico” que se encuentra en la
siguiente dirección:
http://licmata-math.blogspot.mx/2015/10/algebraic-language-part-1.html
Completa la información indicada en la siguiente imagen:
Signo
Coeﬁciente
Exponentes
1
Variables
Álgebra A. Baldor.
Álgebra. Oteyza Lam Hernández Carrillo

Clasifica como monomio, binomio, trinomio o polinomio las siguientes expresiones
algebraicas y determina su grado.
Expresión algebraica Clasificación Grado
4
7z
1762 245
xxx
yyy 958 34
224
43 xwxw
yzzyxzxy 324
28
Lenguaje algebraico
Como se mencionó anteriormente, el álgebra es una forma de comunicación, y como cualquier otro lenguaje,
es necesario aprender: vocabulario, gramática, pronunciación, convenciones, abreviaturas, y, sobre todo,
semántica.
Es un lenguaje simbólico, no instintivo, convencional, sintético y preciso; características que no facilitan su
aprendizaje. Por ejemplo: Si escribimos un par de números separados por comas y entre paréntesis, tienen
diferentes significados, dependiendo del contexto.
(5, 6) Pueden ser las coordenadas de un punto en el plano cartesiano, pero también pueden interpretarse
como un intervalo abierto. ¿Y si los paréntesis son rectangulares? [5, 6], ¿o llaves? {5, 6}
Es evidente que, para aprender matemáticas, es necesario leer cuidadosamente los conceptos teóricos, de otra
forma, el aprendizaje carece de sentido y solamente se memoriza para resolver exámenes. Es muy común que,
cuando estudiamos álgebra, pasamos por alto todos estos conceptos básicos. Muchos estudiantes jamás leen
un libro, por lo que dependen casi por completo, de lo que explica el profesor en el pizarrón.
Una actividad fundamental es practicar la lectura de expresiones matemáticas y su “traducción al lenguaje
natural” y viceversa.
La ley de Boyle - Mariotte puede expresarse como:
“La presión de un gas, en un recipiente cerrado, es inversamente
proporcional al volumen del recipiente, cuando la temperatura
permanece constante.”
Si la decimos así, verbalmente, es probable que no resulte muy clara, en
cambio, si la representamos con símbolos matemáticos obtenemos:
𝑷 =
𝒌
𝑽
Monomio 4
Polinomio 5
Trinomio 5
Binomio 4
Trinomio 4

Completa la tabla siguiente tomando como base los ejemplos que se encuentran en
la misma.
Lenguaje común
Lenguaje
algebraico
Expresión inversa o relacionada
con la original
Lenguaje
algebraico
1
El doble de un número
cualquiera
2x
La mitad de un número
cualquiera
1
2 2
x
x ó
2 3x
3
Un número aumentado en tres
unidades
4 Juan es 15 cm más alto que Luis
5 y = x + 5
6
La suma de dos números es igual
a 150
7
La suma de los ángulos
interiores de un triángulo es
igual a 180°
8
La suma de dos ángulos
suplementarios es igual a 180°
9
La semisuma de dos números es
igual a 18
10
El área de un triángulo es igual al
semi producto de la base por la
altura
11
El semi perímetro de un
triángulo es igual a 24
12
El área de un cuadrado es igual a
25
13
El volumen de un cubo es igual a
8
El triple de un numero
cualquiera
La tercera parte de un numero
cualquiera
x/3
y=x+15
x+3 x-3
Un numero disminuido 3
unidades
y=x-15Juan es 15 cm menos
alto que Luis
Rosa es 5 millones mas rica
que Diana
Rosa es 5 millones menos rica
que Diana
y=x-5
x+y=150
La resta de dos números
es igual a 150
y-x=150
A+B+C=180
La suma de los angulos externos
de un triangulo es igual a 360°
A+B+C+A’+B’+C’=
540° - 180°=360°
A + A’=180°
La suma de dos ángulos
complementarios es igual a 90°
α+β=90°
x+y/2=18
La semidiferencia de dos números
es igual a 18
x-y/2=18
b•h/2 El doble del área entre la base 2•A/b
a+b+c/2=24
El área de un triangulo es igual a la raíz cuadrada
del semiperimetro, por el semiperimetro menos
el lado a, por el semiperimetro menos el lado b
por el semiperimetro menos el lado c
A= √ s(s-a)(a-b)(s-c)
a•a•a
a•a
El lado de un cuadrado es igual
a la raíz cuadrada de su área
√a
El lado de un cubo es igual a la
raiz cubica de su área
ℨ√a
☆

(Continuación)
Lenguaje común
Lenguaje
algebraico
Expresión inversa o
relacionada con la original
Lenguaje
algebraico
14
El 6 % de los alumnos de la
Universidad tienen automóvil
propio
0.06x
15
El libro cuesta un 50% más que
el juego de escuadras
16
La inflación este año ha sido un
12 % menor que el año pasado
17
El cuadrado de la suma de dos
números es igual al cuadrado
del primero, más el doble
producto del primero por el
segundo, más el cuadrado del
segundo.
18
El cubo de la suma de dos
números es igual a:
19
La diferencia de los cuadrados
de dos números es igual al
producto de:
20
La diferencia de los cubos de
dos números es igual a:
No siempre es posible encontrar una expresión que sea exactamente lo contrario de la que se indica, escribe
alguna expresión que se relacione con ella de alguna forma, sólo se trata de practicar la traducción entre
lenguaje natural y algebraico.
En el reverso de esta hoja o en hoja aparte, indica qué representan las incógnitas en cada ejercicio.
Algunas de las expresiones algebraicas escritas en el ejercicio 2 contienen el signo de igual; reciben el nombre
de ecuaciones, las que no lo contienen son solamente monomios, binomios, trinomios o polinomios.
El 94 % de los alumnos de la
Universidad no tiene automóvil
propio
0.94x
x=y+0.50
El libro cuesta un 50% menos
que el juego de escuadras
x=y-0.50
La inﬂación este año ha sido un
12% mayor que el año pasado
0.12<x 0.12>x
(a+b)²=
a²+2ab+b²
(a+b)³=
a³+3a²b+3ab²+b³
El producto de la suma de dos
números por su diferencia.
(a+b) (a−b)
Cuatro veces el cubo de la
diferencia de dos números.
4(a−b)³
x² - y²
x³ - y³
La cuarta parte del cubo de un
número
4(x³)
El cuadrado
del cociente de dos números. (a/b)²

Operaciones algebraicas.
Al obtener una expresión algebraica a partir de un problema, puede ser que dicha expresión resulte poco clara
y sea necesario simplificarla para una mejor comprensión y facilitar la resolución del problema, para ello, es
necesario efectuar operaciones; suma, resta, multiplicación y división.
Ejemplo:
El ingeniero Rodríguez es dueño de una fundición cuyos costos fijos son de
$25,000 mensuales. Está fabricando piezas cuyo costo unitario es de $60,
incluyendo materia prima y mano de obra. Escribe una expresión algebraica
para el costo total de operación de la fundición, por mes.
Solución:
El costo fijo debe pagarse mensualmente, seguramente corresponde a renta y
pago de servicios como electricidad, agua, teléfono, entre otros.
Costo fijo = $25,000
El costo de fabricación no es constante, depende del número de piezas fabricadas por mes, pero esta cantidad
varía cada mes, de modo que la identificaremos como una variable: x. Este costo recibe el nombre de costo
variable y se obtiene multiplicando el costo unitario de fabricación por el número de piezas fabricadas.
Costo variable = Costo unitario × número de piezas fabricadas en el mes.
CV = $60 × x
Para evitar confusiones, no escribimos el signo de multiplicación, es una convención que al poner juntas dos
variables, o una constante y una variable, indica una multiplicación.
CV = $60x
Entonces el costo mensual es la suma de los costos fijos y los costos variables.
Costo Total = Costo fijo + Costo variable
CT = 25000 + 60x
Desde el punto de vista del álgebra, es preferible usar las últimas letras del alfabeto como variables, por lo que
se representará el costo total como y.
y = 25000 + 60x
Los términos 25000 y 60x no se pueden sumar porque no son términos semejantes, solamente se ordenan
colocando primero el que tenga la variable con mayor exponente.
y = 60x + 25000
Esta expresión algebraica es una ecuación que permite calcular los costos totales de operación de la fundición y
puede ser empleada para determinar los costos de un mes cualquiera (y), tomando como dato la cantidad de
piezas producidas durante ese mes (x). Por ejemplo:
Si en el mes de enero se fabrican 560 piezas, determina el costo total de producción.

Solución:
La expresión algebraica que desarrollamos para el costo
total es:
y = 60x + 25000
El valor que nos proporcionan en los datos es: x = 560
piezas.
y = 60(560) + 25000
Efectuando operaciones:
y = 33600 + 25000 → y = 58600
El resultado obtenido es:
El costo total al fabricar 560 piezas es de $58600
¿Qué ocurre si un mes no se fabrica ninguna pieza? ¿El costo es igual a cero?
Al sustituir cero en la ecuación obtenemos:
y = 60(0) + 25000 → y = 0 + 25000 → y = 25000
Como podemos observar, a pesar de que no se fabrica ninguna pieza, el costo no es igual a cero; los costos fijos
deben pagarse, independientemente del número de piezas fabricadas.
Modelos matemáticos.
Esta forma de resolver problemas
utilizando herramientas matemáticas
recibe el nombre de modelado
matemático. Consiste en abstraer la
complejidad del mundo real y
representarlo simbólicamente, en forma
más simple para resolver alguna situación
problemática.
Cuando se usa un modelo matemático debemos estar, constantemente, interpretando la información
matemática que se produce al efectuar operaciones algebraicas.
Es un constante ir y venir entre la teoría matemática y la aplicación práctica que se está modelando: los valores
de variables, resultados numéricos y operaciones algebraicas que pertenecen al modelo matemático, tienen un
significado en la realidad.
Importancia de las operaciones algebraicas en la resolución de problemas.
Al representar matemáticamente la realidad en un modelo, podemos estudiar el comportamiento de la
situación real sin afectarla, cambiando valores de variables o parámetros en el modelo y observando su
comportamiento. Para ello, es necesario efectuar operaciones algebraicas. A continuación, estudiaremos los
procedimientos para efectuar operaciones algebraicas.

Reducción de términos semejantes.
Las reglas para la reducción de términos semejantes son
sencillas; solamente se pueden sumar o restar aquellos
términos que contengan las mismas variables elevadas a los
mismos exponentes. El resultado final se ordena
comenzando por las variables con mayor exponente hasta
las de menor exponente.
Siguiendo estas reglas, simplifica las siguientes expresiones algebraicas:
1. 2𝑥2
+ 3𝑥 − 6 − 5𝑥 − 7𝑥2
+ 8𝑥 − 1 =
2. −5𝑦3
+ 4𝑦2
+ 6𝑦 − 9 + 7𝑦3
+ 5𝑦 + 13 =
3. 2𝑎𝑏 + 3𝑏𝑐 − 5𝑎𝑐 + 7𝑏𝑐 − 9𝑎𝑏 + 8𝑐𝑎 =
4. −9𝑥𝑦 + 8𝑦𝑧 − 5𝑥𝑧 + 6𝑦𝑥 − 9𝑧𝑦 + 12𝑥𝑧 =
5. 2𝜋𝑟2
− 4𝜋𝑟 + 𝜋𝑟2
+ 9𝑟 + 8 =
6. 4𝜋𝑟3
− 3𝜋𝑟2
+ 2𝜋 − 6𝑟2
+ 𝜋𝑟3
− 9𝑟 + 4 =
7. −6𝑥𝑦 + 7𝑥2
𝑦 − 8𝑥𝑦2
+ 9𝑥 − 4𝑥2
𝑦 + 6𝑦2
𝑥 − 7𝑦 + 4𝑥 =
8. 𝑎2
𝑏 − 3𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏2
+ 5𝑎2
𝑏2
+ 2𝑎𝑏 − 9𝑏𝑎2
+ 7𝑏𝑎2
=
9.
1
2
𝑥 + 𝑦 −
2
3
𝑦 + 4𝑥 −
5
6
+ 𝑦 − 2 =
10.2𝑎 −
7
8
𝑏 + 5 −
3
4
𝑎 + 𝑏 −
1
5
=
Suma y resta de polinomios.
Estas operaciones se resuelven siguiendo las mismas reglas, por lo que se le da el nombre de suma algebraica y
suele contener tanto sumas como restas en la misma operación. El procedimiento para resolver estas
operaciones se explica en la presentación que se encuentra en el siguiente enlace:
http://licmata-math.blogspot.mx/2015/10/algebraic-operations-polynomial-addition.html
5x²+6x-7
2y³+4y²+11y+4
-7ab+3ac+10bc
-3xy+7xz-yz
5𝛑r³-3𝛑r²+2𝛑 -6r²-9r+4
3𝛑r²-4𝛑r+9r+8
3x²y-2xy²-6xy+13x-7y
-a²b+5a²b²+2ab²-ab
4¹/₂x +1¹/₃y -2⁵/₆
1¹/₄a +¹/₈b+4⁴/₅

Siguiendo las instrucciones que ahí se describen, resuelve las siguientes operaciones:
1. (−2𝑥2
+ 4𝑥 − 8) − (5𝑥 − 4𝑥2) + (3𝑥2
− 8𝑥 − 1) =
2. −(5𝑦3
+ 4𝑦2
+ 6𝑦 − 9) + (7𝑦3
+ 6𝑦 + 13) =
3. (2𝑎𝑏 + 3𝑏𝑐 − 5𝑎𝑐) − (7𝑏𝑐 − 9𝑎𝑏 + 8𝑐𝑎) + (5𝑎𝑏 − 6𝑐𝑏 + 7𝑐𝑎) =
4. (−9𝑥𝑦 + 8𝑦𝑧 − 5𝑥𝑧) − (6𝑦𝑥 − 9𝑧𝑦 + 12𝑥𝑧) + (2𝑧𝑦 − 5𝑧𝑥) =
5. −(2𝜋𝑟2
− 4𝜋𝑟) + (𝜋𝑟2
+ 9𝑟 + 8) − (7 + 𝜋𝑟) =
6. −(4𝜋𝑟3
− 2𝜋𝑟2
+ 3𝜋) − (3𝑟2
+ 𝜋𝑟3) + (𝜋𝑟2
− 9𝑟 + 5) =
7. −(3𝑥𝑦 + 5𝑥2
𝑦 − 6𝑥𝑦2
+ 8𝑥) − (2𝑥2
𝑦 − 5𝑦2
𝑥 − 9𝑦 + 4𝑥) =
8. (𝑎2
𝑏 − 3𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏2
+ 5𝑎2
𝑏2) − (2𝑏2
𝑎2
+ 2𝑎𝑏 − 9𝑏𝑎2
+ 7𝑏𝑎2) =
9. (
1
2
𝑥 + 3𝑦 − 4) − (
2
3
𝑦 + 7𝑥) − (
5
6
+ 𝑦 − 2) =
10.(2𝑎 −
7
8
𝑏 + 5) − (
3
4
𝑎 + 𝑏 −
1
5
) + (
1
8
𝑎 − 2𝑏 + 6) =
-2x²+4x -8 -5x +4x² +3x² -8x -1
5x² -9x -9
-5y³ -4y² -6y +9 + 7y³ +6y +13
2y³ -4y² +22
2ab +3bc -5ac -7bc +9ab -8ac +5ab -6bc +7ac
16ab -6ac -10bc
-9xy +8yz -5xz -6yz +9yz -12xz + 2yz -5xz
-9xy -22xz +13yz.
-2𝛑r² +4𝛑r +𝛑r² +9r +8 -7 -𝛑r
𝛑r² +3𝛑r +9r +1
-4𝛑r³ +2𝛑r² -3𝛑 -3r² -𝛑r³ +𝛑r² -9r +5
-5𝛑r³ +3𝛑r² -3𝛑 -3r² -9r +5
-3xy -5x²y +6xy²-8x -2x²y +5xy² +9y -4x
-7x²y +11xy² -3xy -12x +9y
a²b -3ab +2ab² +5a²b² -2a²b² -2ab +9a²b -7a²b
3a²b +3a²b²+2ab² -5ab
¹/₂x +3y -4 -²/₃y -7x -⁵/₆ -y +2
-6¹/₂ +1¹/₃y -2⁵/₆
2a -⁷/₈b +5 -³/₄a -b +¹/₅ + ¹/₈a -2b +6
1³/₈a -3⁷/₈b +11¹/₅

Multiplicación de polinomios.
El procedimiento para efectuar esta operación se explica en la presentación que se encuentra en el siguiente
enlace:
http://licmata-math.blogspot.mx/2015/10/algebraic-operations-polynomial.html
Siguiendo las instrucciones que ahí se describen, resuelve las siguientes operaciones:
1. (3𝑥 − 6)(5𝑥 + 3) =
2. (−5𝑥2
+ 3𝑥 − 6)(−7𝑥2
+ 8𝑥) =
3. (3𝑦3
+ 2𝑦2
− 5𝑦 − 1)(+7𝑦3
+ 5𝑦 + 13) =
4. (2𝑎 + 3𝑏 − 5𝑐)(−5𝑎 + 6𝑏 − 4𝑐) =
5. (2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧)(4𝑥 − 9𝑦 + 𝑧) =
6. (2𝜋𝑟2
− 4𝜋𝑟 + 2)(+𝜋𝑟2
+ 9𝑟) =
7. (4𝜋𝑟3
− 3𝜋𝑟2
+ 2𝜋𝑟)(−6𝜋𝑟2
+ 𝜋𝑟3
− 9𝜋 + 4) =
8. (7𝑥2
𝑦 − 8𝑥𝑦2
+ 9𝑥 − 4𝑥2
𝑦)(−7𝑦 + 4𝑥 + 2) =
9. (𝑎2
𝑏 − 3𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏2)(2𝑎 + 3𝑏 − 5) =
10.(
1
2
𝑥 + 𝑦) (−
2
3
𝑦 + 4𝑥) (−
5
6
+ 𝑦 − 2) =
División de polinomio entre monomio
Esta operación, y la división de monomio entre monomio, se emplean bajo diferentes circunstancias, una de
ellas es la conversión de unidades. Por ejemplo:
El hombre más rápido del mundo puede recorrer una distancia de 100 metros en poco menos de 10 segundos,
su velocidad es de aproximadamente 10 metros por segundo.
𝒗 =
𝒅
𝒕
=
𝟏𝟎𝟎 𝒎
𝟏𝟎 𝒔
= 𝟏𝟎
𝒎
𝒔
¿Cuál es su velocidad en kilómetros por hora?
𝒗 = 𝟏𝟎
𝒎
𝒔
×
𝟏 𝒌𝒎
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎
×
𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔
𝟏 𝒉
=
𝟏𝟎 × 𝟏 × 𝟑𝟔𝟎𝟎
𝟏 × 𝟏𝟎𝟎𝟎 × 𝟏
𝒎 𝑲𝒎 𝒔
𝒔 𝒎 𝒉
= 𝟑𝟔
𝑲𝒎
𝒉
5x² -30x +9x -18 =
35x⁴ -21x³ +42x² -40x³ +24x² -48x =
5x² -21x -18.
35x⁴ -61x³ +66x² -48x
21y⁶ +14y⁵ -35y⁴ -7y³ +15y⁴ +10y³ -25y² -5y +39y³ +26y² -65y -13
= 21y⁶ +14y⁵ -20y⁴ +42y³+y² -70y -13
-10a² -15ab +25ac +12ab +18b² -30bc -8ac -12bc +20c²
= -10a² +18b² +20c² -3ab +17ac -42bc
8x² +12xy -20xz -18xy -27y² +45yz +2xz +3yz -5z²
= 8x² -27y² -5z² -6xy -18xz +48yz
2𝜋²r⁴ -4𝜋²r³ +2𝜋r² +18𝜋r³ -36𝜋r² +18r
=2𝜋²r⁴ -4𝜋²r³ -34𝜋r² +18𝜋r³ +18r
-24𝜋²r⁵ +18𝜋²r⁴ -12𝜋²r³ +4𝜋²r⁶ -3𝜋²r⁵ +2𝜋²r⁴ —36𝜋²r³ +27𝜋²r² -18𝜋²r +16𝜋r³ -12𝜋r² +8𝜋r
= 4𝜋²r⁶ -27𝜋²r⁵ +20𝜋²r⁴ -48𝜋²r³ +27𝜋²r² - 18𝜋²r +16𝜋r³ -12𝜋r² +8𝜋r
-49x²y² +56xy³ -63xy +28x²y² +28x³y -32x²y² +36x² -16x³y +14x²y -16xy² +18x -8x²y = 56xy³ -53x²y² +12x³y +6x²y -16xy² -63xy +36x² +18x
2a³b -6a²b +4a²b² +3a²b² -9ab² +6ab³ -10ab² -5a²b +15ab -10ab²
= 2a³b +7a²b² -11a²b -19ab² -6ab³ +15ab
⁵/₁₈xy +⁵/₉y² -1²/₃x² -3¹/₃xy -¹/₃xy² -²/₃y³ +2x²y +4xy² +²/₃xy +1¹/₃y² -4x² -8xy = -²/₃x³ +1⁸/₉y² -5²/₃x² +2x²y + 3²/₃xy² -10⁷/₁₈xy

Consulta el procedimiento empleado para resolver la división de monomio entre
monomio y la de polinomio entre monomio y resuelve las siguientes operaciones.
1.
6𝑥2 𝑦3 𝑧
−2𝑥𝑦2 𝑧
=
2.
−9𝑎4 𝑏3 𝑐𝑑2
3𝑎𝑏2 𝑐𝑑
=
3.
−9𝑥3 𝑦3 𝑧3+12𝑤2 𝑥𝑦2+15𝑤3 𝑥4 𝑧
3𝑤𝑥𝑦2 𝑧
=
4.
4𝑎2 𝑏3 𝑑5+16𝑏2 𝑐𝑑3−8𝑎3 𝑐4 𝑑
−4𝑎𝑏3 𝑐2 𝑑4 =
5.
3𝑚3 𝑛4 𝑝𝑞+12𝑛2 𝑝𝑞4−18𝑚3 𝑛4 𝑞+6𝑛3 𝑝𝑞4
−6𝑚𝑛2 𝑝3 𝑞2 =
6.
10𝑝3 𝑞2 𝑟−15𝑞2 𝑟𝑠3−5𝑝4 𝑞3 𝑠+20𝑝3 𝑟𝑠2
10𝑝3 𝑞2 𝑟𝑠2 =
7.
3𝑤3 𝑦2 𝑧+18𝑥2 𝑦𝑧4−12𝑤4 𝑥4 𝑦𝑧+24𝑤5 𝑥𝑧3
12𝑤2 𝑥3 𝑦2 𝑧
=
8.
−14𝑛3 𝑝2 𝑞+7𝑚2 𝑝𝑞3−21𝑚3 𝑛3 𝑞+28𝑚𝑛3 𝑝𝑞2
−14𝑚𝑛2 𝑝2 𝑞4 =
-3xy
-3a³bd
-3x²yz² + 4w + 5w²x³⎯⎯⎯ ⎯ ⎯⎯
w z y²
- ad - 4 + 2a²c²⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯⎯
c² abcd b³d³
-0.5m²n² - 2q² + 3m²n² - nq²⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯
p²q mp² p³q p³
1 - 1.5s² - 0.5pq + 2
⎯ ⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯
s² p³ rs q²
0.25w + 1.5z³ - w²x + 2w³z⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯⎯
x³ w²xy y x²y²
n - 0.5m + 1.5m²n - 2n⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯
mq³ n²pq p²q³ pq²

División de polinomio entre polinomio.
La operación algebraica básica que, probablemente, resulta más laboriosa, es la división de polinomio entre
polinomio. El procedimiento que se sigue para resolverla es muy parecido al de la división en aritmética
elemental.
En el siguiente ejemplo, ve anotando, del lado derecho, la explicación del procedimiento que se sigue para
efectuar la operación indicada.
Ejemplo: Dividir (𝑥3
+ 𝑥2
− 7𝑥 − 1) entre (𝑥 − 2)
Primer paso: Identifica dividendo, divisor, cociente y residuo. Explica brevemente cada uno de estos conceptos.
Segundo paso: Divide el primer término del dividendo entre el
primer término del divisor.
En el recuadro de la izquierda, efectúa la división de monomio
entre monomio y escribe el resultado.
El resultado de esta división se escribe en el cociente, de forma
tal, que quede alineado con el término del mismo grado que se
encuentra en el dividendo.
Tercer paso: Multiplica el resultado de la división efectuada en el
paso 2, por el divisor; al resultado se le cambian los signos porque
se resta del dividendo. Anota los resultados en los dos lugares
correspondientes (recuadros rojos).
Cuarto paso: Efectúa la suma algebraica de 𝑥3
+ 𝑥2
que se
encuentra en el dividendo, y el resultado del tercer paso. Escribe la
respuesta en el óvalo color azul de la derecha.
Quinto paso: “Se baja” el – 7x del dividendo y se coloca junto al
resultado de la suma algebraica del cuarto paso y el procedimiento
se repite hasta terminar de “bajar” todos los términos del
dividendo.
Último paso: Termina de efectuar la división y elabora una
presentación en la que expliques, paso a paso, el procedimiento
para dividir polinomio entre polinomio.
Cociente
Divisor
Dividendo
Residuo
Dividendo.
Número que se divide entre otro
(el divisor).
Divisor
Número, cantidad que está contenido
en otra cantidad un número exacto de
veces.
Resultado.
Cociente
Residuo
Parte o porción que queda de un todo
después de quitar otra parte.
x³/x = x²
x²
-x³ + 2x²
3x²
-x/x = -1
3x²/x = 3x
+3x
-3x² + 6x⎯⎯⎯⎯⎯⎯
0 - x -1
-1
x -2⎯⎯⎯⎯⎯
0 -3

Efectúa las siguientes divisiones y anota las explicaciones, en los recuadros de la
derecha, acerca del procedimiento que se siguió.
1.
2.
3.
4.
2x⁴/x = 2x³
2x³
(x-2)
-2x⁴+ 4x³⎯⎯⎯⎯⎯⧸5x³ - 3x²
5x³/x = 5x²(x-2)
+5x²
-5x³+10x²⎯⎯⎯⎯⎯⧸ 7x² + 6x
7x²/x = 7x(x-2)
+7x
-7x² + 14x⎯⎯⎯⎯⎯⧸ 20x - 1
20x/x = 20(x-2)
+20
-20x + 40⎯⎯⎯⎯⎯⧸ 39
y⁴/y = y³(y-1)
texto
y⁴ -3y²+5x-2
y-1
y³
-y⁴+y³
⎯⎯⎯⧸y³-3y²+5x-2
En el dividendo no hay y³ ni y,
así que respetamos su lugar
dejando un espacio en blanco
o agregando un cero
y³/y = y²(y-1)+y²
-y³+y²
⎯⎯⎯⧸-2y² +5x-2
-2y²/y = -2y(y-1)
2y²-2y
⎯⎯⎯⎯⧸-2y +5x -2
-2y
-2y/y = -2(y-1)
2y -2
⎯⎯⎯⎯⧸
-2
Dividendo⇢
Divisor⇠
Cociente
⇡
5x -4
a⁵/a = a⁴(a-1)
a⁴
-a⁵ + a⁴
⎯⎯⎯⎯⎯
-2a⁴ - 2a³ + 4a - 1
⧸ -2a⁴/a = -2a³(a-1)
- 2a³
2a⁴ - 2a³
⎯⎯⎯⎯⧸-4a³ + 4a - 1
-4a³/a = -4a²(a-1)
-4a²
4a³ - 4a²⎯⎯⎯⎯⧸-4a² + 4a - 1
-4a²/a = -4a(a-1)
-4a
4a² +4a⎯⎯⎯⎯⧸ 8a - 1
8a/a = 8(a-1)
+8
-8a + 8⎯⎯⎯
7⧸
z⁴/z = z³(z-1)
z³
-z⁴+z³⎯⎯⎯⧸z³- 3z² - 2z - 1
z³/z =
z²(z-1)
-z³+ z²
⎯⎯⎯
-2z² - 2z -1⧸
-2z²/z = -2z(z-1)
+ z² - 2z
2z² - 2z⎯⎯⎯⎯⧸-4z - 1
⧸
-4z/z = -4(z-1)
- 4
4z - 4
⎯⎯⎯
-5

El uso de Excel en la comprensión y resolución de problemas del álgebra.
Una excelente herramienta para entender y aprender álgebra es la hoja de cálculo. Debido a que es una
herramienta que puede efectuar operaciones fácilmente y en la es posible utilizar fórmulas, es sencillo registrar
la información general de un problema como una colección de fórmulas y, posteriormente, introducir
diferentes valores y observar el comportamiento general del modelo.
Ejemplo:
Con referencia al problema de la fundición:
El costo fijo es de $25000
El costo variable es de $60 por pieza
El costo total se obtiene sumando costos fijos y variables.
Podemos elaborar una hoja de cálculo con la información que se
muestra a la derecha.
Los datos sencillamente se introducen en cada celda.
Para calcular el costo total se escribe, en la celda C8 la fórmula: =C4*C6+C3
Al escribir la fórmula y presionar la tecla <Intro>, se calculan los resultados y obtenemos la imagen que se
muestra en seguida.
La ventaja del uso de Excel es que podemos modificar cualquiera
de los valores de las celdas y, automáticamente, Excel nos
muestra el resultado de la fórmula; el costo total.
Incluso es posible plantear escenarios con diferentes valores para
el número de piezas y luego trazar una gráfica que muestre el
comportamiento del costo según diferentes niveles de
producción.
Lecturas recomendadas.
texto

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