Dokumen tersebut membahas tentang fungsi komposisi. Fungsi komposisi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan yang menghasilkan fungsi baru. Dokumen tersebut memberikan contoh-contoh soal tentang menentukan fungsi komposisi, fungsi identitas, sifat-sifat komposisi fungsi, dan menentukan suatu fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi lain diketahui.

1. 1
Fungsi Komposisi

2. 2
Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan:
•fungsi komposisi
•salah satu fungsi
jika fungsi komposisi
dan fungsi yang lain
diketahui

3. 3
Fungsi
Suatu relasi dari A ke B
yang memasangkan
setiap anggota A ke
tepat satu anggota B
disebut fungsi atau pemetaan
dari A ke B

4. 4
Notasi Fungsi
Suatu fungsi atau pemetaan
umumnya dinotasikan dengan
huruf kecil.
Misal, f adalah fungsi dari A ke B
ditulis f: A → B
A disebut domain
B disebut kodomain

5. 5
Range atau Daerah Hasil
Jika f memetakan
x  A ke y  B
dikatakan y adalah peta dari x
ditulis f: x → y atau y = f(x).
Himpunan y  B
yang merupakan peta dari x  A
disebut range atau daerah hasil

6. 6
contoh 1
Perhatikan gambar pemetaan
f : A → B
a
b
c
d
1
2
3
4
5
f
A
B
domain adalah
A = {a, b, c, d}
kodomain adalah
B = {1, 2, 3, 4, 5}

7. 7
Perhatikan gambar pemetaan
f : A → B
a
b
c
d
1
2
3
4
5
f
A
B
f(a) = 1, f(b) = 2
f(c) = 3, f(d) = 4
range adalah
R = {1, 2, 3, 4}

8. 8
contoh 2
Misal f: R → R
dengan f(x) = √1 - x2
Tentukan domain dari fungsi f.

9. 9
Jawab
Supaya f: R→R dengan f(x)=√1-x2
maka haruslah 1 – x2 ≥ 0.
1 – x2 ≥ 0 → x2 – 1 ≤ 0 atau
(x - 1)(x + 1) ≤ 0 atau -1 ≤ x ≤ 1.
Jadi, domain fungsi tersebut
adalah -1 ≤ x ≤ 1.

10. 10
contoh 3
Misal f: R → R
dengan f(x – 1) = x2 + 5x
Tentukan : a. f(x)
b. f(-3)

11. 11
Jawab
a.Misal y = x – 1 maka x = y + 1
karena f(x – 1) = x2 + 5x
maka f(y) = (y + 1)2 + 5(y + 1)
f(y) = y2 + 2y + 1 + 5y + 5
f(y) = y2 + 7y + 6

12. 12
f(y) = y2 + 7y + 6
a. f(x) = x2 + 7x + 6
b. f(-3) = (-3)2 + 7(-3) + 6
= 9 – 21 + 6
= -6

13. 13
Komposisi Fungsi
Penggabungan operasi dua fungsi
secara berurutan akan
menghasilkan sebuah fungsi baru.
Penggabungan tersebut disebut
komposisi fungsi dan hasilnya
disebut fungsi komposisi.

14. 14
x  A dipetakan oleh f ke y  B
ditulis f : x → y atau y = f(x)
y  B dipetakan oleh g ke z  C
ditulis g : y → z atau z = g(y)
atau z = g(f(x))
A
x
C
z
B
y
f g

15. 15
maka fungsi yang memetakan
x  A ke z  C
adalah komposisi fungsi f dan g
ditulis (g o f)(x) = g(f(x))
A B C
x z
y
f g
g o f

16. 16
contoh 1
f : A → B dan g: B → C
didefinisikan seperti pada gambar
Tentukan (g o f)(a) dan (g o f)(b)
A B C
a
b
p
q
1
2
3
f g

17. 17
Jawab:
A B C
a
b
p
q
1
2
3
f g
f(a) = 1 dan g(1) = q
Jadi (g o f)(a) = g(f(a)) = g(1) q
(g o f)(a) = ?

18. 18
A B C
a
b
p
q
1
2
3
f g
f(b) = 3 dan g(3) = p
Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3) = p
(g o f)(b) = ?

19. 19
contoh 2
Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).
Jika f(x) = 2x + p dan
g(x) = 3x + 120
maka nilai p = … .

20. 20
Jawab:
f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120
g(f(x)) = f(g(x))
g(2x+ p) = f(3x + 120)
3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p
6x + 3p + 120 = 6x + 360 + p
3p – p = 360 – 120
2p = 240  p = 120

21. 21
Sifat Komposisi Fungsi
1.Tidak komutatif:
f o g ≠ g o f
2. Bersifat assosiatif:
f o (g o h) = (f o g) o h = f o g o h
3. Memiliki fungsi identitas: I(x) = x
f o I = I o f = f

22. 22
contoh 1
f : R → R dan g : R → R
f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
Tentukan: a. (g o f)(x)
b. (f o g)(x)

23. 23
Jawab:
f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
a. (g o f)(x) = g[f(x)] = g(3x – 1)
= 2(3x – 1)2 + 5
= 2(9x2 – 6x + 1) + 5
= 18x2 – 12x + 2 + 5
= 18x2 – 12x + 7

24. 24
f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
b. (f o g)(x) = f[g(x)] = f(2x2 + 5)
= 3(2x2 + 5) – 1
= 6x2 + 15 – 1
(f o g)(x) = 6x2 + 14
(g o f)(x) = 18x2 – 12x + 7
(g o f)(x) ≠ (f o g )(x)
tidak bersifat komutatif

25. 25
contoh 2
f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1 dan
h(x) = 1/x
Tentukan: a. (f o g) o h
b. f o (g o h)

26. 26
Jawab:
f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1
dan h(x) = 1/x
((f o g) o h)(x) = (f o g)(h(x))
(f o g)(x) = (x2 – 1) – 1
= x2 – 2
(f o g(h(x))) = (f o g)(1/x)
= (1/x)2 – 2

27. 27
f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1
dan h(x) = 1/x
(f o (g o h))(x) = (f(g oh)(x))
(g o h)(x)= g(1/x)
= (1/x)2 – 1
= 1/x2 - 1
f(g o h)(x)= f(1/x2 – 1)
= (1/x2 – 1) – 1
=(1/x)2 – 2

28. 28
contoh 3
I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1
Tentukan:
a.(f o I)(x) dan (g o I)
b.(I o f) dan (I o g)

29. 29
Jawab:
I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1
(f o I)(x) = x2
(g o I)(x) = x + 1
(I o f)(x) = x2
(I o g)(x) = x + 1
(I o f)(x) = (f o I) = f

30. 30
Menentukan
Suatu Fungsi
Jika Fungsi Komposisi
dan
Fungsi Yang Lain Diketahui

31. 31
Contoh 1
Diketahui f(x) = 3x – 1
dan (f o g)(x) = x2 + 5
Tentukan g(x).

32. 32
Jawab
f(x) = 3x – 1dan (f o g)(x) = x2 + 5
fg(x)] = x2 + 5
3.g(x) – 1 = x2 + 5
3.g(x) = x2 + 5 + 1 = x2 + 6
Jadi g(x) = ⅓(x2 + 6)

33. 33
contoh 2
Diketahui g(x) = x + 9 dan
(f o g)(x) = ⅓x2 – 6
maka f(x) = … .

34. 34
Jawab:
g(x) = x + 9
(f o g)(x) = f(g(x)) = ⅓x2 – 6
f(x + 9) = ⅓x2 – 6
Misal: x + 9 = y  x = y – 9
f(y) = ⅓(y – 9)2 – 6

35. 35
f(y) = ⅓(y – 9)2 – 6
= ⅓(y2 – 18y + 81) – 6
= ⅓y2 – 6y + 27 – 6
Jadi f(x) = ⅓x2 – 6x + 21

36. 36
contoh 3
Diketahui f(x) = x – 3 dan
(g of)(x) = x2 + 6x + 9
maka g(x – 1) = … .

37. 37
Jawab:
f(x) = x – 3;
(g o f)(x) = g (f(x)) = x2 + 6x + 9
g(x – 3) = x2 + 6x + 9
Misal: x – 3 = y  x = y + 3
g(y) = (y + 3)2 + 6(y + 3) + 9
= y2 + 6y + 9 + 6y + 18 + 9

38. 38
g(y) = y2 + 6y + 9 + 6y + 18 + 9
= y2 + 12y + 36
g(x – 1) = (x – 1)2 + 12(x – 1) + 36
= x2 – 2x + 1 + 12x – 12 + 36
= x2 + 10x + 25
Jadi g(x – 1) = x2 + 10x + 25

39. 39
Contoh 4
Diketahui f(x) = 2x + 1
dan (f o g)(x + 1)= -2x2 – 4x + 1
Nilai g(-2) =….

40. 40
Jawaban:
f(g(x + 1))= -2x2 – 4x + 1
f(x) = 2x + 1 → f(g(x))= 2g(x) + 1
f(g(x + 1)) = 2g (x + 1) + 1
2g(x + 1) + 1 = -2x2 – 4x – 1
2g(x + 1) = -2x2 – 4x – 2
g(x + 1) = -x2 – 2x – 1

41. 41
g(x + 1) = -x2 – 2x – 1
g(x) = -(x – 1)2 – 2(x – 1) – 1
g(2) = -(2 – 1)2 – 2(2 – 1) – 1
= -1 – 2 – 1 = -4
Jadi g(2) = - 4

42. 42