Системы случайных величин

1. Модуль 1.
Тема 6.
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
и
ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

2. §1 Многомерные случайные величины
Пусть пространство элементарных событий – множество студентов
данной группы, участвующих в социологическом опросе. Введем
случайные величины: 𝑋1− рост человека, 𝑋2− его масса. Тогда 𝑋 = (𝑋
1, 𝑋2) − двумерная случайная величина.

3. Системой случайных величин называется множество двух или более
случайных величин, рассматриваемых как единое целое при исследовании того
или иного явления.
Система может быть образована дискретными или непрерывными случайными
величинами или дискретными, и непрерывными случайными величинами.
В зависимости от количества случайных величин, образующих систему, она
называется двумерной, трехмерной, n-мерной. Обозначаются: (X,Y), (X,Y,Z) и
т.д.
Одновременное появление вследствие проведения эксперимента n случайных
величин (X1, X2, ..., Xn) с определенной вероятностью представляет собой n-
мерную случайную величину, которую называют системой n случайных
величин, или n-мерным случайным вектором.

4. §2 Система двух случайных величин(X, Y)
2.1 Закон распределения
Дискретная двумерная случайная величина – это двумерная случайная
величина, принимающая конечное количество или последовательность
разных пар значений. Для полной ее характеристики достаточно указать
множество возможных пар значений (точек плоскости) и вероятность
каждой из них.
Законом распределения двух дискретных
случайных величин называют перечень
возможных значений X=xj, Y=yi и
соответствующих им вероятностей
совместного появления.
.
1
1 1

 

n
i
m
j
ij
P
Так как события (𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗 ) образуют
полную группу, то
Матрица распределений (1)

5. Ряды распределения составляющих X и Y имеют вид:
(2)

6. Пример 1. Двое рабочих трудятся в разных цехах и изготавливают
разные детали, несвязанные между собой технологиями и сырьем.
Найти закон распределения числа бракованных изделий двумя рабочими
за смену. Если:
Найдем вероятности, с которыми случайная величина Х + Y
принимает свои значение.
Закон распределения числа
бракованных деталей вторым
рабочим за смену имеет вид
Решение. Пусть Х - число бракованных деталей изготовленных
первым рабочим за смену, Y - число бракованных деталей
изготовленных вторым рабочим за смену. Х и Y – независимы.
Закон распределения числа
бракованных деталей первым
рабочим за смену имеет вид

7. Тогда закон распределения числа бракованных деталей,
изготовленных двумя рабочими за смену Х + Y имеет вид

8. Пример 2. Число X выбирается наугад из множества {1, 2, 3, 4} , после
чего из того же множества наугад выбирается число YX. Построить
матрицу распределения системы (X,Y) и ряды распределения ее
составляющих.
Решение. По условию задачи составляющая X может принимать любое
значение из заданного множества с вероятностью 1/4. При X=1
составляющая Y не принимает значений 2, 3 и 4, больше единицы,
поэтому вероятности
𝑝12 = 𝑝13 = 𝑝14 = 0.
Она принимает только значение 1 с вероятностью, р=1. Поэтому по
теореме умножения вероятностей зависимых событий
получим

9. При X=2 составляющая Y принимает значений 1 и 2, с вероятностью
1
2
,
поэтому вероятности
При X=3 составляющая Y принимает значений 1, 2 и 3 с вероятностью
1
3
, поэтому вероятности
При X=4 составляющая Y принимает любое из значений 1, 2, 3 и 4 с
вероятностью
1
4
, поэтому вероятности

10. Из полученных результатов составим матрицу распределения системы
(X,Y):
Ряды распределения составляющих X и
Y получаем, взяв суммы вероятностей
соответственно по строкам и столбцам
матрицы
.
1
1 1

 

n
i
m
j
ij
P

11. 4.2.2 Функция распределения системы двух случайных величин и
ее свойства
Функцией распределения системы двух случайных величин
называется функция F(x,y), которая для каждой пары значений (x,y)
определяет вероятность того, что составляющая X примет значение
меньше x, а Y – меньше y :
Геометрически функция F(x,y)
определяет вероятность попадания
случайной точки (X,Y) в бесконечный
квадрант с вершиной в точке (x,y),
расположенный левее и ниже этой точки

12. Свойства функции F(x,y)
Свойство 1. Функция распределения находиться в пределах
Свойство 2. Функция распределения - возрастающая функция своих
аргументов
Свойство 3. Для функции F(x,y) имеют место граничные соотношения
Свойство 4. При y функция F(x,y) превращается в функцию
распределения составляющей Х, при х функция F(x,y) превращается
в функцию распределения составляющей Y.

13. С помощью функции распределения F(x,y) расчитывается
вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в прямоугольник,
вершины которого имеют абсциссы x1 и x2 и ординаты y1 и y2
Функция распределения дает
возможность вычислить вероятность
попадания случайной точки (X,Y) в
бесконечную полосу с вершинами.

14. 2.3 Плотность распределения системы двух непрерывных
случайных величин и свойства
Плотностью вероятности или плотностью распределения
системы (X,Y) непрерывных случайных величин называется функция
f(x,y), равная второй смешанной частной производной функции
распределения F(x,y) :
Отношение в правой части равенства выражает величину вероятности,
приходящуюся на единицу площади прямоугольника со сторонами x и
y или, иначе, плотность вероятности в этом прямоугольнике.
Величина называется элементом вероятности системы (X,Y).

15. Чтобы получить вероятность попадания системы в заданный
прямоугольник нужно проинтегрировать элемент вероятности при
изменении x от x1 до x2 и y от y1 до y2:
Свойства плотности вероятности f(x, y).
Свойство 1. Двумерная плотность вероятности неотрицательна:
Свойство 2. Плотность вероятности f(x,y) связана с функцией
распределения F(x,y) формулой:

16. Свойство 3. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами
от двумерной плотности равен единице:
С геометрической точки зрения третье
свойство плотности распределения означает,
что объем, заключенный между
поверхностью f(x,y) и координатной
плоскостью Х0Y, равен единице. Первое
свойство говорит о том, что поверхность
f(x,y) не может располагаться ниже
координатной плоскости Х0Y.
Свойство 4. Интегрирование плотности вероятности f(x,y) системы по
переменной y приводит к плотности вероятности f1(x) составляющей
Х, а интегрирование плотности вероятности f(x,y) системы по
переменной x приводит к плотности вероятности f2(y) составляющей Y

17. 2.4 Условия независимости случайных составляющих системы
Теорема 1. Пусть система дискретных случайных величин (Х,Y) задана матрицей
распределения. Если составляющие Х и Y независимы, то вероятность 𝑝𝑖𝑗 из
матрицы распределения равняется произведению вероятностей 𝑝𝑖 и 𝑞𝑗 из рядов
распределения составляющих Х и Y
Теорема 2. Пусть система случайных величин задана функцией распределения
F(x,y). Если случайные составляющие Х и Y системы независимы, то функция
распределения F(x,y) равна произведению функций распределения F1(x) и F2(y)
Теорема 3. Пусть система случайных величин задана плотностью распределения
f(x,y). Если случайные составляющие Х и Y системы независимы, то плотность
распределения f(x,y) равна произведению функций распределения f 1(x) и f 2(y)

18. §3 Основные числовые характеристики систем двух случайных величин
Рассмотрим систему (X,Y) дискретных случайных величин, заданную
матрицей распределения (1). Если построены ряды распределения (2)
составляющих X и Y, то их математические ожидания M(X) и M(Y)
вычисляются по формуле
Для системы двух случайных
величин математическое ожидание:
Для системы двух случайных
величин дисперсия:

19. Пример 3. Найти математическое ожидание, дисперсию
и среднее квадратическое отклонение составляющих X и
Y системы по матрице распределения, составленной в
примере 1.

20. Для нахождения числовых характеристик составляющих системы
непрерывных случайных величин (X,Y), заданной плотностью
вероятности f(x,y), можно по свойству 4 плотности найти плотности
вероятности f1(x) i f2(y) составляющих X и Y системы и вычислить
математические ожидания по формуле
или применить к вычислению указанных характеристик двойное
интегрирование и непосредственно плотность вероятности f(x,y)
системы:

21. Для дисперсии
или применить к вычислению указанных характеристик двойное
интегрирование и непосредственно плотность вероятности f(x,y)
системы:

22. Пример 4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратическое отклонение составляющих X и Y системы непрерывных
случайных величин, заданной плотностью вероятности
4
1
))
4
1
(
4
1
(
lim
)
4
1
(
lim
lim 0
4
0
4
0
4


















  e
e
e
dy
e b
b
b
y
b
b
y
b


;
dx
xe x dx
du
x
u 
 ,
x
x
e
v
dx
e
dv 



 ,  









 x
x
x
x
x
e
xe
dx
e
xe
dx
xe
Интегрирование по частям










 

  






 








b
y
b
c
x
c
c b
y
x
c
b
y
x
dy
e
dx
xe
dy
e
dx
xe
dxdy
xe
X
M
0
4
0
0 0 0 0
4
)
4
(
lim
lim
4
4
lim
4
)
(

23. Аналогично
Дисперсии находим по формулам
Предел равен 0
по правилу
Лопиталя
Следовательно

24. §4 Корреляционный момент и
коэффициент корреляции системы случайных величин
После установления условий зависимости или независимости
составляющих X и Y системы случайных величин рассмотрим
характеристики системы, определяющие степень (тесноту) линейной
зависимости ее составляющих. К таким характеристикам относятся
корреляционный момент и коэффициент корреляции.
Корреляционным моментом Kxy системы случайных величин (X,Y)
называется математическое ожидание произведения отклонений этих
величин от их математических ожиданий:
или

25. Для системы дискретных случайных величин, заданной матрицей
распределения, корреляционный момент вычисляют по формуле:
Для системы непрерывных случайных величин, заданной плотностью
вероятности f(x,y), формула для вычисления Kxy имеет вид:
Корреляционный момент Kxy называют еще ковариацией системы (X, Y).
Он характеризует степень зависимости случайных величин X и Y в
системе.
Cov(x,y)=
Cov(x,y)=

26. Теорема 4. Если случайные величины X и Y независимы, корреляционный
момент Kxy равен нулю. При Kxy0 величины X и Y называются
некоррелированными, а при Kxy0 коррелированными.
Корреляционный момент характеризует не только степень зависимости
случайных величин, но и их отклонение от математических ожиданий.
Так, например, если отклонение XM(X) достаточно мало, то и Kxy будет
малым даже при значительной зависимости случайных величин X и Y.
Поэтому для характеристики силы связи случайных величин применяется
нормированный корреляционный момент или коэффициент корреляции
rxy, который вычисляется по формуле
Для независимых случайных величин

27. Свойство 1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке
[-1, 1]:
Свойства коэффициента корреляции
Свойство 2. Если случайные величины независимы, то их коэффициент
корреляции равен нулю.
Равенство нулю коэффициента корреляции - необходимое, но
недостаточное условие независимости случайных величин.
Свойство 3. Если Х и Y связаны линейной
зависимостью Y=аХ+b, то

28. Пример 5. Авиакомпания в течение суток выполняет 2 рейса в аэропорт
N. Вероятность задержки первого рейса по метеоусловиям равна 0,1,
второго – 0,05. Составить закон распределения системы (X,Y), где X –
число задержек первого рейса, а Y – суммарное число задержек по обоим
рейсам и вычислить коэффициент корреляции rxy.
Решение. Случайная величина Х принимает значения 0 и 1, а Y – 0,1,2.
Находим вероятности для матрицы распределения:

29. Тогда матрица распределения системы
будет иметь вид
Соответственно ряды составляющих Х и Y
Находим числовые характеристики:
Корреляционный момент находим по формуле:
Коэффициент корреляции:
Составные системы имеют довольно тесную положительную
кореляционную связь.

30. §5 Теоремы о числовых характеристиках
Теорема 5. Математическое ожидание суммы случайных величин
равно сумме их математических ожиданий:
Теорема 5 справедлива как для зависимых, так и независимых случайных
величин X и Y и может быть обобщена для суммы n случайных величин.
Теорема 6. Дисперсия суммы случайных величин X и Y равна сумме их
дисперсий, увеличенной на удвоенный корреляционный момент этих же
величин:
Дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий:

31. Теорема 7. Математическое ожидание произведения случайных
величин Х и Y определяется по формуле:
Математическое ожидание произведения независимых случайных
величин равно произведению их математических ожиданий:
Теорема 8. Дисперсия произведения независимых случайных величин
Х и Y определяется по формуле:

32. Пример 6.

39. §6 Условные законы распределения

42. Свойства математического ожидания:
1. М(Х+Y)=М(Х)+М(Y)
2. М(Х-Y)=М(Х)-М(Y)
3. ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН М(Х*Y)=М(Х)*М(Y)
4. М(С)=С
5. М(СХ)=СМ(Х)
6. М(Х-МХ)=0, ГДЕ (Х-МХ) – ОТКЛОНЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ В ОТ ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ.

43. Свойства дисперсии:
2
2
2
))
(
(
)
(
)
(
.
4
)
(
)
(
.
3
0
)
(
.
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
.
1
X
M
X
M
X
D
X
D
C
CX
D
C
D
Y
D
X
D
Y
X
D
Y
D
X
D
Y
X
D











44. Лабораторная работа №3