integrales triples

1. 1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
2. “SANTIAGO MARIÑO”
3. AMPLIACIÓN SAN CRISTOBAL
INTEGRALES TRIPLES, APLICACIÓN Y
METODOS
ALUMNO: RUIZ URIBE LUIS ANTONIO
C.I: 23.828.595
INGENIERIA INDUSTRIAL, COD: 45
TACHIRA, SAN CRISTOBAL
19/12/15

2. 2. INTEGRALES TRIPLES
En esta sección se presenta la integral triple para funciones de tres variables,
funciones
Del tipo f : B ⊆ �3 →� , tal como se hizo en la sección anterior para las integrales
Dobles. Así como se define la integral triple a partir de una triple suma de Riemann
y se
Ilustra el proceso de resolución de la misma, de manera similar se puede esbozar
la
Definición y el cálculo de integrales múltiples de funciones del tipo f :Q ⊆ �n →� .
2.1 INTEGRAL TRIPLE SOBRE UNA CAJA
RECTANGULAR
Sea f una función definida sobre la caja rectangular B , esto es
f : B ⊆ �3 →� , donde B está definida como:
B = [a,b]×[c,d ]×[r,s] (II.1)
o también:
B = {( x, y,z)∈�3 a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ r ≤ z ≤ s} (II.2)
Sea P una partición del paralelepípedo B , la cual se logra con el
producto cartesiano de las particiones x P , y P y z P y de los
intervalos [a,b], [c, d] y [r,s], respectivamente, como se muestra
a continuación:
{ } x i i n n P x , x , x , , x , x , , x , x 0 1 2 −1 −1 = … … (II.3)
{ } y j j m m P y , y , y , , y , y , , y , y 0 1 2 −1 −1 = … … (II.4)
{ } z 0 1 2 k 1 k l 1 l P z ,z ,z , ,z ,z , ,z ,z − − = … … (II.5)
ENTONCES.
P = Px × Py × Pz (II.6)
entonces
La caja rectangular B ,
también recibe el
nombre
de rectángulo en �3 , O
intervalo tridimensional,
aunque el nombre más
apropiado para B es
paralelepípedo.

3. La partición P del paralelepípedo B , entonces se obtiene al
dividirla en pequeñas cajas rectangulares tal como se muestra en
la siguiente figura.
Figura 2.1
Partición P de una caja rectangular B .
Si la partición x P tiene n +1 elementos y n subintervalos [ ] i i x , x −1
de longitud −1 Δ = − i i i x x x ; la partición y P tiene m+1 elementos y m
subintervalos [ ] j j y , y −1 de longitud −1 Δ = − j j j y y y y la partición z P
tiene l +1 elementos y l subintervalos [ ] k 1 k z ,z − de longitud
k k k 1 z z z−
Δ = − , entonces la caja rectangular B queda dividida por
la partición P en n ⋅m⋅l paralelepípedos denominados ijk B , donde
el volumen de cada una de estas pequeñas cajas o
subparalelepípedos, denotado ijk ΔV , se obtiene de acuerdo a la
siguiente ecuación: ΔVijk = Δxi Δy⋅ j Δz⋅ k
Al evaluar la función f en un punto arbitrario ( * * * )
i j k x , y ,z del
subparalelepípedo ijk B , se puede establecer la triple suma de

4. Riemann para la función f en la partición P , denotada como T S :
( )
1 1 1
n m l
* * *
T i j k ijk
i j k
S f x , y ,z V
= = =
=ΣΣΣ Δ (II.8)
En la figura 2.2 se observa el punto ( * * * )
i j k x , y ,z contenido en el
elemento ijk B de la partición P .
Figura 2.2
Paralelepípedo genérico ijk B de la partición P.

5. La norma de la partición P , denotada como P , es la longitud de
la diagonal más grande de todos los paralelepípedos ijk B . Si se selecciona
una partición más fina, de manera que la norma de la
partición tienda a cero, esto es P →0 , entonces la expresión
(II.8) cambia y recibe el nombre del límite de la triple suma de
Riemann, como se muestra a continuación:
( ) 0 0 1 1 1
n m l
* * *
P T P i j k ijk i j k
Lim S Lim f x , y ,z V
→ →
= = =
= ΣΣΣ Δ (II.9)
A partir del límite de la triple suma de Riemann se establece la
definición de la integral triple de una función f en un
paralelepípedo B .

6. 2.2 TEOREMA DE FUBINI
El teorema de Fubini proporciona un método práctico para evaluar
una integral triple por medio de integrales iteradas, tal como se
mostró para las integrales dobles en el capítulo anterior.

7. La integral iterada presente en la ecuación (II.11) del teorema de
Fubini también puede ser escrita de otras cinco formas diferentes,
que se obtienen al cambiar el orden de integración de las variables
x, y y z. Estas integrales iteradas son:
( ) ( )
d s b
B cr a
∫∫∫ f x, y,z dV = ∫ ∫ ∫ f x, y,z dxdzdy (II.12)
( ) ( )
s b d
B ra c
∫∫∫ f x, y,z dV = ∫ ∫ ∫ f x, y,z dydxdz (II.13)
( ) ( )
b s d
B ar c
∫∫∫ f x, y,z dV = ∫ ∫ ∫ f x, y,z dydzdx (II.14)
( ) ( )
b d s
B ac r
∫∫∫ f x, y,z dV = ∫ ∫ ∫ f x, y,z dzdydx (II.15)
( ) ( )
d b s
B ca r
∫∫∫ f x, y,z dV = ∫ ∫ ∫ f x, y,z dzdxdy (II.16)

8. Evalúe la integral triple ( ) B
∫∫∫ f x, y,z dV y dibuje el paralelepípedo
B , donde f ( x, y,z) = xz3 (1− y) y B = [2,3]×[−2,1]× 0, 2 .
Solución:
Para resolver la integral triple de la función f se debe seleccionar
primero el orden de integración. En la figura 2.3 se muestra el
paralelepípedo B , donde además se señala, mediante la flecha
que atraviesa verticalmente a la región B , que la integración se
comienza con la variable z.

12. 2.3 INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES MÁS
GENERALES
Así como en el capítulo anterior se definió la integral doble sobre
regiones generales, en esta sección se amplía la definición de la
integral triple de una función f sobre una región general B
acotada del espacio tridimensional.
Por ejemplo, considere una región B , más general que un
paralelepípedo, del espacio tridimensional, tal como se ilustra en
la figura 2.6.
Para evaluar la integral triple de la función f : �3 →� sobre la
región general B , usando una integral iterada, primero debe
seleccionarse el orden de integración. En la figura 2.7, donde
se aprecian las superficies que acotan superior e inferiormente
a la región B , se señala el orden de integración sugerido para
esta región.

20. 2.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLE
A continuación se presentan las propiedades de la integral triple
de una función f : �3 →� real de tres variables sobre una región
general B del espacio tridimensional. Estas propiedades son
similares a las propiedades de las integrales dobles.
2.4.1 Propiedad de linealidad
Sean f : �3 →� y g : �3 →� dos funciones reales y continuas
definidas en una región tridimensional B , y sean α y β dos
números reales cualesquiera, entonces:

23. Definición (Integral triple)
Si f es una función acotada y, existe el y no depende de la elección de
Los entonces se dice que f es integrable, y al valor de este límite se le llama integral
triple sobre R, y se representa
Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1, entonces = V representa el
volumen.
Propiedades.
Se cumplen las mismas propiedades que en la integral doble.
1. Toda función continua es integrable
2. Linealidad, monotonía y aditividad
3. Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se
puede hallar por integración reiterada.
Integrales triplessobre regionesmás generales
Se repite el mismo proceso que en las integrales dobles. Se consideran los siguientes
tipos de regiones:
Tipo I: (paralelepípedo con
paredes frontal y posterior rectas).
Las regiones del tipo II son aquellas en las que (paralelepípedos con paredes
izquierda y derecha planas).
Las regiones del tipo III son aquellas en las que e (paralelepípedos con fondo y
tapa planas).
Sus integrales triples se resuelven de manera análoga.
Las regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como
regiones de los tipos I, II o III.
Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1 y W es una región acotada de entonces