MUY BUENO

1. b
TRIGONOMETRÍA BA
c
DEFINICIÓN
Es aquella parte de la matemática elemental que estudia TABLAS DE VALOR DE FUNCIONES
la medida de los tres ángulos de un triángulo en relación TRIGONOMÉTRICAS DE TRIÁNGULOS
con sus lados. NOTABLES
MEDIDA DE ÁNGULOS VALORES DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS DE 30º Y 60º
(30º = /6 Y 60º = /3)
SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS __
Hay tres sistemas para medir los ángulos; Sexagesimal,
Centesimal y Radial. sen 30º = –1– sen 60º = –√–3––
22
SEXAGESIMAL __
Toma como unidad de medida un arco que es igual a la cos 30º = –√–3–– cos 60º = –1–
360 ava parte de la circunferencia, y a cada parte se le 22
llama grado sexagesimal. Se simboliza así: º
__ __ tg 30º = –√–3–– tg 60º = √3
Ejemplo: 30º Se lee: 30 grados sexagesimales
3 __ __ ctg 30º = √3 ctg 60º = –√–3––
CENTESIMAL __ 3
Toma como unidad de medida un arco que es igual a la sec 30º = –2–√–3–– sec 60º = 2
400 ava parte de la circunferencia, y a cada parte se le 3 __
llama grado centesimal. Se simboliza así: g.
g 2√3
Ejemplo: 40 . Se lee: 40 grados centesimales cosec 30º = 2 cosec 60º = –––––
3
RADIAL C
Toma como unidad de medida un arco de una longitud 60º
igual a la de su radio, y a esta longitud de arco se le 21
llama radián. Se simboliza así: rad. 30º
Ejemplo: 2,16 rad. Se lee: 2,16 radianes. B __ A
√3
VALORES DE LAS FUNCIONES DE 45º
(45º = /4)
__ __
sen 45ª = √––2– cos 45º = –√–2–
22
tg 45º = 1 ctg 45º = 1
__ __
EQUIVALENCIA ENTRE LOS TRES sec 45º = √2 cosec 45º = √2
SISTEMAS C
2 45º 1
1 circunferencia < > 360º < > 400 < > 2 rad. B 45º A
1º < > 60’ y 1’ < > 60” 1
1 g < > 100 min y 1 min < > 100 s VALORES APROXIMADOS DE LAS FUNCIONES
––S–– = ––C–– = –R–– DE 37º y 53º (37º = /4,865 y 53º _ /3,396)
180 200 sen 37º = –3– sen 53º = –4–
LONGITUD DE UN ARCO: 55
L=r. cos 37º = –4– cos 53º = –3–
: ángulo central, debe estar en radianes 55
r tg 37º = –3– tg 53º = –4–
O L 43
ctg 37º = –4– ctg 53º = –3–
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN 34
EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO sec 37º = –5– sec 53º = –5–
FUNCIONES BÁSICAS 43
sen B = –b– cos B = –c– cosec 37º = –5– cosec 53º = –5–
aa 34
tg B = –b– ctg B = –c– C
cb 53º
sec B = –a– cosec = –a– 5
cb 3
C 37º
a

2. BA BA
4 7
VALORES APROXIMADOS DE LAS FUNCIONES VALORES APROXIMADOS DE LAS FUNCIONES
DE 15º y 75º (15º = /12 y 75º = /2,4) DE 18º Y 72º (18º = /10 Y 72º = /2,5)
__ __ __ __ __ ___________
√6 - √2 √6 + √2 √5 - 1 √10 + 2√5
sen 15º = –––––––– sen 75º = ––––––––
sen 18º = –––––– sen 72º = ––––––––––
44
44
__ __ __ __
___________ __
√6 + √2 √6 - √2
cos 15º = –––––––– cos 75º = –––––––– cos 18º = √––1–0– –+–2–√––5– cos 72º = –√–5– –
44 -– –1–
__ __ 44
tg 15º = 2 - √3 tg 75º = 2 + √3 ____________ √ ___________ 25 -10√5
__ __
ctg 15º = 2 + √3 ctg 75º = 2 - √3 tg 18º = –––––––––––– tg 72º = √5 + 2√5
__ __ __ __ 5
sec 15º = √6 - √2 sec 75º = √6 + √2 ___________ ___________ √25-10√5
__ __ __ __
cosec 15º = √6 + √2 cosec 75º = √6 - √2 ctg 18º = √ 5 + 2√5 ctg 72º = ––––––––––
FORMULARIOMATEMÁTICO 5
- 141 -
_____________ √ __ sec 18º = ––5–0– –-–1–0–√–
5–– sec 72º = √5 + 1
www.edici 5
___________
–– √50-10√5
onesrubin cosec 18º = √5 + 1 cosec 72º = ––––––––––
5
C
18º
___________
os.com
C
4√
72º
10 + 2√5
B __ A
15º √5 - 1
__ __ __ ÁNGULOS DIRECTRICES
√6 +√2 2 + √3 Ángulo de Elevación:
- 142 -
75º
Objeto
BA
Horizontal
1
VALORES APROXIMADOS DE LAS FUNCIONES
DE 16º y 74º (16º = /11,25 y 74º _ /2,43)
sen 16º = –7–– sen 74º = –2–4–
25 25
cos 16º = –2–4– cos 74º = –7––
25 25
www.edici
tg 16º = –7–– tg 74º = –2–4–
24 7
ctg 16º = –2–4– ctg 74º = –7––
7 24
sec 16º = –2–5– sec 74º = –2–5–
onesrubin
os.com
24 7
cosec 16º = –2–5– cosec 74º = –2–5–
7 24
C
16º Ángulo de Depresión:
25 24 Ángulo que Subtiende:
74º Los ángulos de elevación ( ) y depresión ( )

3. siempre están en plano vertical. El ángulo que ] intervalo abierto cerrado
subtiende ( ) dos objetos observados puede estar [ intervalo cerrado abierto
en cualquier plano. sen x -1; + 1
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS O cos x -1; + 1
CIRCULARES EN EL CÍRCULO tg x - ;+
TRIGONOMÉTRICO DE RADIO = 1 ctg x - ;+
sen a = PM sec x - ; -1 +1; +
cos a = OP cosec x - ; -1 +1; +
tg a = AT DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES
ctg a = BN TRIGONOMÉTRICAS
sec a = OS En las funciones trigonométricas, DOMINIO es el
cosec a = OQ valor del ángulo o arco; RANGO es el valor de la
Q función.
BN Las funciones trigonométricas no son BIUNIVOCAS;
M es decir, para un ángulo hay más de un valor
II I T para su función, repitiéndose dentro de un período.
S FUNCIÓN DOMINIO RANGO PERÍODO
A’ O P A sen x _ x [-1; +1] 2
III IV cos x _ x [-1; +1] 2
tg x _ x - { 2n + 1} – – _ o - ; +
° AM = a =
2
FORMULARIOMATEMÁTICO ctg x _ x - {n } _ o - ; +
- 143 - sec x _ x - { 2n + 1} – – _ - -1; +1 2
Objeto 2
Horizontal cosec x _ x - {n } _ - -1; +1 2
VARIACIÓN DE LAS FUNCIONES
Objeto B
TRIGONOMÉTRICAS SEGÚN EL
Objeto A CUADRANTE
SIGNOS DE LAS FUNCIONES FUNCIÓN I C II C III C IV C
TRIGONOMÉTRICAS SEGÚN EL seno c: de 0 a 1 d: de 1 a 0 d: de 0 a -1 c: de -1
CUADRANTE a0
FUNCIÓN I C II C III C IV C coseno d: de 1 a 0 d: de 0 a -1 c: de -1 a 0 c: de
seno + + - - 0a1
coseno + - - + tangente c: de 0 a c: de - a 0 c: de 0 a c:
tangente + - + - de - a 0
cotangente + - + - cotangente d: de a 0 d: de 0 a - d: de a 0
secante + - - + d: de 0 a -
cosecante + + - - secante c: de 1 a c: de - a – 1 d: de -1 a -
d: de a 1
www.edici cosecante d: de a 1 c: de 1 a c: de - a -1
d: de -1 a -
c = crece ; d = decrece
_ = número real
onesrubin www.edici
os.com
- 144 -
onesrubin
INTERVALO DE LAS FUNCIONES
os.com
TRIGONOMÉTRICAS
Intervalo es el espacio o valor dentro de dos
extremos en el cual se encuentra el valor de la función.
Se denota así:
[ ] intervalo cerrado FORMULARIOMATEMÁTICO
intervalo abierto

4. - 145 -
RELACIÓN DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS EN TÉRMINOS
DE UNA SOLA
sen a cos a tg a ctg a sec a cosec a
www.edici
onesrubin
________
________ 1 1 ± √sec2a - 1 1 sen ± √1 - cos2a ––––_–
_–_–_–_–_–_– –––_–_–_–_–_–_–_–_– –––––––––––––
––––––
± √1 + tg2a ±√1 + ctg2a sec a cosec a
_________
________
tg a ctg a 1 ± √cosec2a - 1
os.com
- 146 -
cos a ± √1 - sen2a ––––_–_–_–_–_–_–_– ––––_–__–
_–_–_–_–_– ––––– ––––––––––––
ARCOS COMPUESTOS
FUNCIONES DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE
± √1 + tg2a ±√1 + ctg2a cos a cosec a ARCOS
________ sen (a b) = sen a . cos. b sen b . cos a
_______ cos (a b) = cos a . cos . b _ sen a . sen b
sen a ± √1 - cos2a 1 1 tg a ––––_–_–_–_–_–_–_–_ ––– tg a tg b
–––––––– ––––– ± √sec2a - 1 –––_–_–_–_–_–_–_–_– tg (a b) = ––––––––––––––
_– 1 _ tg a . tg b
ctg a . ctg b _ 1
± √1 - sen2a cos a ctg a ± √cosec2a - 1
ctg (a b) = ––––––––––––––
________
ctg b ctg a
± √1 - sen2a _________ ctg a cos a 1 1 ––––––––––– FUNCIONES DE LA SUMA DE TRES ARCOS
–––_–_–_–_–_–_–_–_– –––– ––––_–__–_–_–_–_–_– ± sen (a + b + c) = sen a . cos b . cos c - sen a
√cosec2a - 1 . sen b . sen c + sen b . cos a
. cos c + sen c . cos a . cos b
sen a ± √1 - cos2a tg a ± √sec2a - 1
cos (a + b + c) = cos a . cos b . cos c - sen b
________
. sen c . cos a - sen a . sen c
_______
. cos b - sen a . sen b . cos c
sec a ––––––1––––– ––1–– ± √1 + tg2a –±––√–1– tag a + tg b + tg c – tg a . tg b . tg c
+– –c–t–g–2a– ___c_o_s_e_c _a____ ________ tg (a + b + c) = –––––––––––––––––––––––––––––––––
_________ –––––
± √1 - sen2a cos a ctg a ± √cosec2a - 1 1 - tg a . tg b - tg a . tg c - tg b . tg c
_______ EQUIVALENCIA DE LAS FUNCIONES DE LOS
_______ ARCOS COMPLEMENTARIOS
cosec a ––1–– ––––––1––––– –±––√–1– –+– t–g–2a–
–– ± √1 + ctg2a –––––s–ec– –a––––– ________ Sean: ( – –-a ) y “a” dos arcos complementarios:
________ 2
sen a ± √1 - cos2a tg a ± √sec2a - 1
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES
( – –-a ) +a=– –
22
sen2a + cos2a = 1 se cumple:
sen a
tg a = –––––
cos a sen ( )
– – - a = cos a
tg a . ctg a = 1 2
1 + tg2 a = sec2 a
cos a
ctg a = –––––
cos ( )
– – - a = sen a
sen a 2
sen a . cosec a = 1
cos a . sec a = 1
1 + ctg2 a = co sec2 a
tg ( – –-a ) = ctg a
2
Ejemplo:
sen 40º = cos 50º
puesto que:
40º + 50º = 90º

5. EQUIVALENCIAS DE LAS FUNCIONES DE LOS cos 2a = 1 – 2 sen2a
ARCOS SUPLEMENTARIOS 2 tg a
Sean: ( - a) y “a” dos arcos suplementarios, entonces: tg 2a = –––––––
( - a) + a = 1 – tg2a
se cumple: FUNCIONES DE ARCO MITAD
sen ( - a) = sen a 1 - cos a = 2 sen2 –a–
cos ( - a) = - cos a 2
tg ( - a) = - tg a ––––––––
Ejemplos: a 1 - cos a
cos 120º = - cos 60º sen –– = ± ––––––––
√
notar que:
120º + 60º = 180º 2 2
tg 130º = -tg 50
EQUIVALENCIAS DE LAS FUNCIONES 1 + cos a = 2 cos2 –a–
TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ARCOS 2
NEGATIVOS ________
Sean “a” y “-a” dos arcos iguales pero de signo cotrario. a 1 + cos a
Es decir, del mismo origen pero de sentido contrario. cos –– = ± ––––––––
√
(En el gráfico todos de origen A).
sen a = MP ; sen (-a) = M’P = -MP
2 2
cos a = OP ; cos (-a) = OP = OP
tg a = AT ; tg (-a) = AT’ = -AT 1 - cos a a
–––––––– = tg2 ––
www.edici
1 + cos a 2
FUNCIONES DE ARCOS TRIPLES
sen 3a = 3 sen a - 4 sen3a
cos 3a = 4 cos3a - 3 cos a
3 tg a - tg3a
onesrubin tg 3a = ––––––––––
1 - 3 tg2a
FUNCIONES AUXILIARES
seno verso a = 1 - cos a
cos verso a = 1 - sen a
os.com
FORMULARIOMATEMÁTICO
ex-sec a = sec a - 1
NOTA: A la ex-secante se le llama también
external.
TRANSFORMACIÓN A PRODUCTO
- 147 - SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS
T sen A + sen B = 2 sen –A– –+– B– cos –A– –-– B–
M 22
a sen A - sen B = 2 cos –A– –+– B– sen –A– –-– B–
P 22
OA
-a
M’
T’
Luego:
www.edici
sen (-a) = -sen a
cosec (-a) = -cosec a
cos (-a) = cos a
sec (-a) = sec a
tg (-a) = -tg a
onesrubin
ctg (-a) = -ctg a
FUNCIONES DE ARCOS DOBLES
sen 2a = 2 sen a . cos a
2 tg a
sen 2a = –––––––
os.com De donde:
sen (arco sen m) = m arco sen (sen A) = A
1 + tg2a cos (arco cos n) = n arco cos (cos A) = A
cos 2a = cos2a – sen2 a tg (arco tg p) = p arco tg (tg A) = A
1 - tg2a - 148 -
cos 2a = –––––––
1 + tg2a
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
cos 2a = 2 cos2a – 1 INVERSAS

6. Son expresiones que dan el valor del ángulo “en forma
www.edici
indicada”.
Sea “A” un arco ó ángulo: denotación inglesa
denotación francesa
sen A = m A = arco sen m A = sen-1 m
cos A = n A = arco cos n A = cos-1 n
tg A = p A = arco tg p A = tg-1 p
ctg A = q A = arco ctg q A = ctg-1 q
sec A = r A = arco sec r A = sec-1 r
cosec A = s A = arco cosec s A = cosec-1 s
onesrubin
SUMA Y DIFERENCIA DE COSENOS
cos A + cos B = 2 cos –A– –+– B– sen –A– –- –B–
22
cos A - cos B = -2 sen –A– +– –B– sen –A– –-– B–
22
os.com
Ejemplo: Calcular
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS __ ___
1. En el primer cuadrante se cumple que el arco es y = arco sen –√–3–– + arco tg –1– + arco sec –√–1–
mayor que el seno pero menor que su tangente. 0–– (1)
sen a < a < tg a 223
o: Procedimiento. Llamando:
0<a<– – __ __
2
2. Cuando el arco es muy pequeño; es decir, cercano
√3 √3
a cero, el seno, el arco y la tangente tienden a A = arco sen –––– sen A = –––– A = 60º
confundirse. 22
a B = arco tg –1– tg B = –1–
lim ––––– = 1 22
a 0 sen a ___ ___
y: √10 √10 1
a C = arco sec ––––– sec C = ––––– tg C = ––
lim ––––– = 1 333
a 0 tg a Sustituyendo en (1):
De donde: y=A+B+C
sen a = a = tg a a 0 o sea:
Ejemplo: y = 60 + B + C
¿Cuál es el límite de ––3––x–– , cuando x tiende y – 60 = B + C
a cero? (x 0) sen –x– tomando tangente:
2 tg (y - 60) = tg (B + C)
3 –2–x– 6 –x– tg B + tg C
lim ––3––x–– = lim –––2–– = lim –––2–– tg (y – 60) = ––––––––––––
x 0 sen –x– x 0 sen –x– x 0 sen –x– 1 – tg B . tg C
222 sustituyendo valores de tg B y tg C:
x –– 115
2 –– + –– ––
= 6 . lim –––––– = 6 . 1 236
x 0 sen –x– tg (y – 60 ) = ––––––––– = –– = 1
2 1 - –1– . –1– –5–
3x 236
lim –––––– = 6 tg (y – 60) = 1
x 0 sen –x– y – 60 = 45º
2 y = 105º
FORMULARIOMATEMÁTICO
- 149 -
DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES
INVERSAS
En las funciones inversas, como su nombre lo indica, el
DOMINIO de una función es el RANGO de la inversa
y viceversa, consideradas dentro de un INTERVALO.
FUNCIÓN INVERSA DOMINIO RANGO
arco sen x [- 1 ; + 1 ] [ -– –;– – ] 22

7. leyes o propiedades:
arco cos x [- 1 ; + 1 ] [ 0;– – ] 2 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
1. Ley de los senos: En todo triángulo, los lados son
directamente proporcionales a sus lados
arco tg x _ o - ;+ [ -– –;– – ] 22 opuestos.
A
arco ctg x _ o - ;+ 0; cb
arco sec x - ; -1] [1;+ [ 0;– –
BC
a
––a––– = ––b––– = ––c–––
– –; ] 22
sen A sen B sen C
2. Corolario: En todo triángulo inscrito en una
circunferencia,
arco cosec x - ; - 1] [1;+ [ -– –;
la relación de la Ley de los senos es
constante e igual al diámetro de la circunferencia
circunscrita.
0 0;– – ] 22
A
c
b
www.edici
R
BO
a
C
––a––– = ––b––– = ––c––– = 2R
onesrubin www.edici
sen A sen B sen C
os.com
- 150 - onesrubin
SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES
Para resolver ecuaciones debe tenerse presente que:
os.com
sen x = a x = sen-1 a X = k + (-1)K sen-1 a
cos x = b x = cos-1 b X = 2k ± cos-1 b
tg x = c x = tg-1 c X = k + tg-1 c
ctg x = d x = ctg-1 d X = k + ctg-1 d
FORMULARIOMATEMÁTICO
sec x = e x = sec-1 e X = 2k ± sec-1 e
cosec x = f x = cosec-1 f X = k + (-1)K cosec-1 f - 151 -
Donde: K _ ; x = solución principal y X = solución 3. Ley de cosenos (Carnot).- Para todo triángulo:
general A
ba
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS BC
La solución puede ser la más pequeña de todas (solución c
principal) o puede ser una expresión algebraica C
que incluya todos los arcos que satisfagan la ecuación ba
dada (solución general). AcB
Expresión de todos los arcos que tienen la a2 = b2 + c2 - 2 . b . c cos A
misma función trigonométrica. b2 = a2 + c2 - 2 . a . c cos B
Que tienen el mismo seno: c2 = a2 + b2 - 2. a . b cos C
X = K + (-1)k 4. Ley de las tangentes (Nepper).- Para todo
= solución principal triángulo:
Que tiene el mismo coseno: A
X = 2K ± ba
= solución principal BcC
Que tienen la misma tangente: tg A–– +– –B–
X=K + –a– +– –b– = –––––2–––
= solución principal a - b tg –A– –- –B–
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 2
Para resolver triángulos que equivale a calcular sus 5. Ley de las proyecciones.- Para todo triángulo:
lados o sus ángulos, debe conocerse las siguientes A

8. ba Donde:
BcC p = semiperímetro
a = b . cos C + c . cos B r = radio círculo inscrito
b = a . cos C + c. cos A R = radio círculo circunscrito
c = a . cos B + b . cos C a = radio del círculo exinscrito al lado a
CÁLCULO DE ÁNGULOS ELEMENTOS SECUNDARIOS EN LA
(Fórmula de Briggs) SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
Si: Para calcular los elementos secundarios, lo aconsejable
a+b+c es despejar las fórmulas conocidas, tales como
p = ––––––––– las siguientes:
2 RADIOS
_______ RADIO CIRCUNSCRITO:
A p(p - a) Es el radio “R” de la circunferencia circunscrita al
cos –– = –––––––– triángulo.
√
A
c
2 bc
b
___________ BRO
A (p - b)(p - c) a
sen –– = –––––––––––– C
1.- De: 2R = ––a–––
2 √ 2
sen A
R = ––a–––
___________ 2senA
A p(p - a) 2.- De: –a–b–c– = S
tg –– = ––––––––––– 4R
R = –a– .– –b– .– c–
2 √ (p - b)(p - c)
4.S
RADIO INSCRITO O INRADIO:
CÁLCULO DE SUPERFICIES Es el radio “r” de la circunferencia inscrita en el
Fórmula Trigonométricas triángulo.
C B
ba ca
AcB O
S = –a– .– b–– sen C r
2 AC
S = –b– –. –c– sen A (I) b
2 1.- De: pr = S
S = –a– .– –c– sen B r = –S–
2 p
Fórmulas Geométricas 2.- De: –––r–– = tg –A–
a.b.c p-a2
S = p . r S = ––––––– r = (p - a)tg –A–
4R 2
__________________ BC
S = p(p - a)(p - b)(p - c) (II)
S = a (p - a) 3.- De: a = r ( ctg –– + ctg –– ) 22
a
www.edici r = –––––––––––––
ctg –B– + ctg –C–
22
RADIO EX-INSCRITO:
Es el radio “ ” de la circunferencia, ex-inscrito a uno
onesrubin de los lados del triángulo.
T
B
O
A/2 a
os.com
- 152 -
A/2
AbCP
De la propiedad:

9. AP = AT = –a –+– –b– –+– c– , se demuestra: a2
2 A
a+b+cA cb
1.- –––––––– . tg –– ma
22 BC
o: M
= p . tg –A– a/2 a/2
2 a2
2.- De: S = (p - a) 2.- m2 = ––– + c2 – a . c . cos B
o: b4
S a2
= ––––– m2 = ––– + b2 – a . b . cos C
p-a c4
4m2 = b2 + c2 + 2 . b . c . cos A
www.edici
a
La intersección de las tres medianas se denomina
CENTRO DE GRAVEDAD o BARICENTRO.
B
ca
onesrubin
mb
TM
G
ma mc
AC
os.com
bN
BISECTRIZ INTERIOR
Es la recta que divide a un ángulo interior en dos
ángulos iguales.
FORMULARIOMATEMÁTICO A
- 153 -
bc
3.- De: a = ( tg –B– + tg –C– ) 22
ta
S1 S2
a mn
= ––––––––––– CB
tg –B– + tg C–– D
22 a
CEVIANAS Fórmulas Geométricas:
Son rectas que partiendo de un vértice tocan un 1.- –b– = –c–
punto del lado opuesto. Las principales son: altura, nm
mediana, bisectriz interna y bisectriz externa.
ALTURA
Es la perpendicular trazada de un vértice al lado
opuesto.
A
cb
www.edici
ha
BC
a
1.- ha = b . sen C
o:
onesrubin
ha = c . sen B
2.- ha = 2 . R . sen b . sen C
3.- ha = –2– –. –S–
a
os.com
- 154 -
ha = altura con respecto al lado “a”
2.- t2 = b . c – m . n
MEDIANA a
Es la recta trazada de un vértice al punto medio del Fórmula Trigonométrica:
lado opuesto. 2.b.cA
a2 ta = ––––––– cos ––
1.- De: b2 + c2 = 2 . m2 + ––– a 2 b+c2
a2 La intersección de las tres bisectrices interiores se
b2 + c2 - ––– llama INCENTRO.
m2 = –––––––––2–– BISECTRIZ EXTERIOR

10. Es la recta que divide a un ángulo exterior en dos
www.edici
ángulos iguales.
Fórmulas Geométricas:
1.- –b– = –c–
nm
2.- t2 = m . n – b . c
onesrubin
a
Fórmula Trigonométrica:
2.b.cA
ta = ––––––– sen ––
b-c2
La intersección de las tres bisectrices interiores se
llama EXCENTRO.
90 - –A–
A 2
ta
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FORMULARIOMATEMÁTICO
b - 155 -
c CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO
S1 S2 b
CaB BC
n ac
m AD
CUADRILÁTEROS CONVEXOS d
Son cuadriláteros cuyos ángulos son menores que Propiedad de Pitot:
180º. a+b=c+d=p
B POLÍGONOS REGULARES
a CIRCUNSCRITOS:
A Valor del lado “l” y la del área “S”
b l = 2r . tg – – S = n . r2 . tg – –
d nn
DC l/2
c r /n
SUPERFICIES O
AC . BD INSCRITOS:
1.- S = ––––––– . sen l/2
2 P
__________________________________ /n
2.- S = √(p - a) (p - b) (p - c) (p - d) – a . b . c . d . cos R
O
donde:
Cálculo del lado “l”, apotema “Ap” y área “S”
p = semiperímetro
l = 2r . sen – – n
ˆ A + ˆC = ––––––
2 Ap = R . cos – – n
o: S = –R–2––. –n– . sen –2– __________–
ˆB + ˆD = –––––– 2n
2 OP = Ap
CUADRILÁTERO INSCRITO O CICLÍCO n = número de lados
Aˆ + Cˆ = Bˆ + Dˆ = 180º R = radio circunscrito
C S = área
B PROBLEMA DE POTHENOT-SNELLIUS
A Conocido también como problema de los cuatro
D puntos o problema de la carta (geográfica):
________________________ Dados tres puntos no colineales: A, B y C, calcular
sus distancias a un cuarto punto D (situado en
S = √(p - a)(p - b)(p - c)(p - d) el plano ABC, interno al ángulo convexo ACB),
Fórmula de Brahma-Gupta desde el cual se vean las distancias AC y BC bajo
ángulos dados. Se supone como incógnitas los
ángulos x e y.
Por ley de senos en los triángulos (1) Y (2):
___
–s–e–n– x– = D––C–
sen a
___
sen y DC
––––– = –––

11. sen b
sen x b sen
––––– = –––––––– (1)
sen y a sen
x + y = 360º - ( + + C) (2)
D
12
xy
ab
C
Como a, b, , , y Cˆ se conoce, se tiene un sistema
de ecuaciones trigonométricas cuyas incógnitas
son “x” e “y”. Hallando “x” e “y” el problema
queda resuelto, al conocer todos los ángulos y
un lado de cada uno de los triángulos (1) y (2).