1. I.U.T ANTONIO JOSE DE SUCRE
RELACION ENTRE CONJUNTOS
Nombre: Luis Rodriguez
C.I. 21 141 816
IMFORMATICA (78)

2. Parejas ordenadas
El orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo:
{3, 5} = {5, 3} Por otra parte, una pareja ordenada consiste en dos elementos, de los
cuales uno designa el primer elemento, y el otro, el segundo. Tal pareja ordenada se
escribe (a, b), en donde a es el primer elemento y b es el segundo. Dos parejas ordenadas
(a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d.
Producto cartesiano
Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas
(a, b) en donde a ∈ A y b ∈ B se llama producto o producto cartesiano de A y B.
La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más de dos
conjuntos.
Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto de
pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el
segundo elemento al segundo conjunto. Es decir:
A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}
El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A.
Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes.

3. EJEMPLO
Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}
Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como se
muestra a continuación. Aquí, cada punto P representa una pareja ordenada (a, b)
de números reales y viceversa; la línea vertical a través de P encuentra al eje x en
a, y la línea horizontal a través de P encuentra el eje y en b. A esta representación
se le conoce como diagrama cartesiano.
B
4
3
2
1
a b c A

4. Hay otra manera de visualizar una relación y es a través de una representación
gráfica, donde se destaquen los puntos en el plano que pertenecen a A y los
puntos que pertenecen a B. Se trazan flechas que indican la relación que existe
entre cada elemento del conjunto A y su correspondiente en el conjunto B.
A esta representación gráfica se le conoce como un diagrama de flechas.
EJEMPLO
A B
a 1
b 2
c 3
4

5. Correspondencias y aplicaciones entre conjuntos
A partir de la definición de producto cartesiano, introduciremos las relaciones más
importantes que se pueden establecer entre los elementos de dos conjuntos
dados.
Correspondencias Dados dos conjuntos A y B, se denomina correspondencia ƒ
entre A y B a un subconjunto del producto cartesiano de A por B.
Al conjunto de los pares de una correspondencia se le denomina grafo, y se
representa por G.
Se definen también los siguientes conjuntos:
• El conjunto A es el conjunto inicial o conjunto de partida, que es del que salen
las flechas.
• El conjunto B es el conjunto final o conjunto de llegada, que es al que llegan las
flechas.
• El conjunto original es el conjunto formado por los elementos del conjunto
inicial de los que parte alguna flecha. Por tanto, el conjunto original está incluido
en el conjunto inicial.
• El conjunto imagen es el conjunto formado por los elementos del conjunto final
a los que llega alguna flecha. Por tanto, el conjunto imagen está incluido en el
conjunto final.

6. EJEMPLO
Si A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, y un grafo G = [(a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 4)}. Vemos
que G es un subconjunto de A x B, es decir, G ⊂ (A x B).
La correspondencia está representada gráficamente en:
a) un diagrama cartesiano:
B
4
3
2
1
a b c A
b) Un diagrama de flechas:
B
A 1
a 2
b 3
c 4

7. Relación binaria
La relación binaria definida en un conjunto A es un subconjunto del producto
cartesiano A x A.
EJEMPLO
Sea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representa una relación
binaria definida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y, y) constituyen un
subconjunto de A x A.
X
Y
Z
Se dice que dos elementos a y b están relacionados, y se escribe a R b, “a está
relacionado con b mediante la relación binaria R”, cuando el par ordenado (a, b)
pertenece al subconjunto del producto cartesiano que define la relación.
Si dos elementos a y b no están relacionados mediante R en algún
sentido, escribiremos a R b o b R a o ambas cosas.

8. Propiedades de una relación binaria
Las principales propiedades que puede presentar una relación binaria R definida
en un conjunto A se indican en la siguiente tabla, junto con sus respectivas
condiciones.
Propiedad Condicion
1. Reflexiva ∇ a ∈ A, a R a
2. Anti reflexiva ∇ a ∈ A, a R a
3. Simétrica ∇ a, b ∈ A, a R b ⇒ b R a
4. Anti simétrica en sentido amplio ∇ a, b ∈ A, ( a R b y b R a) ⇒ a = b
5. Anti simétrica en sentido estricto ∇ a, b ∈ A, a R b ⇒ b R a
6. Transitiva ∇ a, b, c ∈ A, (a R b y b R c) ⇒ a R c

9. Relación de equivalencia
Una relación binaria R es una relación de equivalencia definida en un conjunto A,
si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
Así, en el plano euclídeo considerando el conjunto de todas las rectas, la relación
R “ser paralela a” es una relación de equivalencia. Comprobémoslo:
a) Reflexiva: a || a, puesto que cualquier recta es paralela a sí misma.
b) Simétrica: si a || b, entonces b || a.
c) Transitiva: si a || b y b || c, entonces a || c.
Luego por cumplir las tres propiedades anteriores es una relación de quivalencia.
Clases de equivalencia, conjunto cociente
Dada una relación de equivalencia R definida en un conjunto A, si a ∈ A se llama
clase de equivalencia de a y se denota por [ a ], al subconjunto formado por todos
los elementos de A relacionados con a por la relación de equivalencia R.
[ a ] = {x / x ∈ A y x R a}

10. Relaciones de orden
Una relación binaria R es una relación de orden amplio si cumple las propiedades
reflexiva, antisimétrica en sentido amplio y transitiva.
Una relación binaria R es una relación de orden estricto si cumple las propiedades
antirreflexiva, antisimétrica en sentido estricto y transitiva.
Una relación binaria R es una relación de orden total si dos elementos ualesquiera
están relacionados en cualquier sentido. Es decir:
∇ a, b ∈ A, a R b o b R a
EJEMPLO
La relación R “ser menor o igual que” definida en un conjunto numérico A, es una
relación de orden amplio, y además de orden total.
Si tomamos:
A = {1, 3, 4, 8}
La relación está formada por:
R = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 8), (3, 3), (3, 4), (3, 8), (4, 4), (4, 8), (8, 8)}