1. II
Aplicaciones de las EDO de Segundo orden
Introducción: En esta sección, se van a considerar varios sistemas dinámicos
lineales en los que cada modelo matemático es una ecuación diferencial de
segundo orden con coeficientes constantes junto con condiciones iniciales
especificadas en un tiempo que tomaremos como:
Recuerde que la función g es la entrada, función de conducción o función forzada
del sistema. Una solución de la ecuación en un intervalo I que contiene a
que satisface las condiciones iniciales se llama salidao respuesta del
sistema.
LEY DE HOOKE
Suponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se
le fija una masa a su extremo libre. Por supuesto, la cantidad de alargamiento o
elongación del resorte depende de la masa; masas con pesos diferentes alargan el
resorte en cantidades diferentes. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una
fuerza restauradora opuesta a la dirección de la elongación y proporcional a la
cantidad de elongación y es expresada en forma simple como , donde es
una constante de proporcionalidad llamada
constante de resorte. El resorte se caracteriza
en esencia por el número . Por ejemplo, si
una masa que pesa 10 [libras] hace que un
resorte se alargue pie, entonces
implica que . Entonces
necesariamente una masa que pesa, digamos,
8 libras alarga el mismo resorte sólo pie .
SEGUNDA LEY DE NEWTON

2. II
Después de quese une una masa a un resorte, ésta alarga el resorte una
cantidad y logra una posición de equilibrio en la cual su peso se define mediante
donde la masa se mide en slugs, kg o gramos y g es la gravedad tomada
como . La condición de equilibrio es Si
la masa es una cantidad de su posición de equilibrio, la fuerza restauradora del
resorte es entonces . Suponiendo que no hay fuerzas restauradoras que
actúan sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre de otras fuerzas
externas «movimiento libre» se puede igualar la segunda ley de Newton con la
fuerza neta o resultante de la fuerza restauradora y el peso.
El signo negativo de esta ecuación indica que la fuerza restauradora que actúa
opuesta a la dirección de movimiento. Además, se adopta la convención de que los
desplazamientos medios debajo de la posición de equilibrio son positivos.
ECUACION DIFERENCIAL DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO
Dividiendo la ecuación anterior para , se obtiene la ecuación diferencial de
segundo orden o,
Donde . Se dice que la ecuación describe el movimiento armónico
simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias
relacionadas con y , el desplazamiento inicial de la masa,
respectivamente. Por ejemplo, si la masa parte de un punto abajo
de la posición de equilibrio con una velocidad impartida hacia arriba. Cuando
, se dice que la masa se libera a partir del reposo. Por ejemplo, si y
, la masa se libera desde el reposo de un punto unidades arribade la
posición de equilibrio.
ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO

3. II
Para resolver la ecuación, se observa que la solución de su ecuación auxiliar
son los números complejos y . Así la solución
general bien dad por:
PERIODO
Es descrito por la ecuación es donde el número T representa el tiempo
[segundos] que tarda la masa en ejecutar un ciclo de movimiento. Un ciclo es una
oscilación completa de la masa.
FRECUENCIA
Es y es el número de ciclos completado por segundo
Ejemplo “Movimiento libre no amortiguado”
1. Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte. En t = 0 se libera la
masa desde un punto que está 8 pulgadas debajo de la posición de equilibrio con
una velocidad ascendente de . Determinar la ecuación del Movimiento.
Solución:
Debido a que se está usando el sistema de unidades de ingeniería, las mediciones
dadas en términos de pulgadas se deben convertir:
El desplazamiento inicial y la velocidad inicial son x(0) = 2/3 , x(0)=4/3, donde el
signo negativo en la última condición es un consecuencia del hecho de que la masa
se le da una velocidad inicial en la dirección negativa o hacia arriba.
Ahora , por lo que la solución general de la ecuación diferencial
es:

4. II
Movimiento vibratorio con amortiguación
Todos los osciladores reales están sometidos a alguna fricción. Las fuerzas de
fricción son disipativas y el trabajo que realizan es transformado en calor que es
disipado fuera del sistema. Como consecuencia, el movimiento está amortiguado,
salvo que alguna fuerza externa lo mantenga. Si el amortiguamiento es mayor que
cierto valor crítico, el sistema no oscila, sino que regresa a la posición de equilibrio.
La rapidez con la que se produce este regreso depende de la magnitud del
amortiguamiento, pudiéndose dar casos distintos: el sobre amortiguamiento y el
movimiento críticamente amortiguado. Cuando el amortiguamiento no supera este
valor crítico el sistema realiza un movimiento ligeramente amortiguado, semejante
al movimiento armónico simple, pero con una amplitud que disminuye
exponencialmente con el tiempo.
Consideremos una masa m en una posición de equilibrio y sujeta a una fuerza de
recuperación proporcional al desplazamiento x del equilibrio y opuesta a él según
la ecuación
F= -kx

5. II
Suponiendo que no actúa ninguna otra fuerza sobre el cuerpo, y aplicando la
segunda ley de Newton (F= m.a) obtendremos la ecuación diferencial
delmovimientoque describe un oscilador armónico simple.
En todos los casos físicos existe alguna fuerza de rozamiento que generalmente se
considera proporcional a la velocidad quedando la ecuación diferencial de
movimiento
donde b es la constante de amortiguamiento. Dado que Fr se opone al movimiento,
signo opuesto a la velocidad del objeto, realiza un trabajo negativo y es la causa de
que la energía disminuya. Introducido este término en la 2º ley de Newton
obtenemos la ecuación diferencial de movimiento de un sistema amortiguado.
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden. Tiene tres
tipos de soluciones según el valor de :
Si el sistema está sobre amortiguado (amortiguamiento fuerte o
supercrítico)
Si el sistema tiene amortiguamiento crítico.
Si el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil
o sub crítico)
OSCILADOR SOBRE AMORTIGUADO
En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución
es de la forma: En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no
oscila. La solución es de la forma:
donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo
que no hay oscilación):

6. II
y
y dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema
para ). La posición no es oscilante y tiende hacia la posición de equilibrio de manera
asintótica. Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes
de tiempo diferentes. Una es pequeña y corresponde a la rápida cancelación del
efecto de la velocidad inicial. La segunda es más grande y describe la lenta
tendencia hacia la posición de equilibrio.
Recomendaciones
Manejar eficientemente las técnicas de derivación e integración
Repasar los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de
primer orden u orden superior.