GUIA 4 F

MECÁNICA DE LOS
FLUIDOS
Ing°. Gregorio Mechato Quintana
Escuela Profesional de Ingeniería de Petróleo
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS

CAPITULO IV
FLOTABILIDAD Y ESTABILIDAD
Temas:
4.1 Introducción
4.2 Objetivos
4.3 Flotabilidad
4.3.1 Análisis de flotabilidad en cuerpos sumergidos
4.3.2 Análisis de flotabilidad en cuerpos flotantes
4.3.3 Ejercicios de flotabilidad
4.4 Estabilidad
4.4.1 Análisis de la estabilidad en cuerpos sumergidos
4.4.2 Análisis de la estabilidad en cuerpos flotantes
4.5 Ejercicios de estabilidad
Ing°. Gregorio Mechato Quintana Escuela Profesional de Ingeniería de Petróleo –FIM

ESTATICA DE LOS FLUIDOS
4.0 FLOTABILIDAD Y ESTABILIDAD
4.1 INTRODUCCIÓN
La flotabilidad es la tendencia de un fluido para ejercer una fuerza de apoyo
sobre un cuerpo colocado en él. La estabilidad se refiere a la capacidad de un
cuerpo de regresar a su posición inicial después de haber sido inclinado con
respecto a un eje horizontal.
4.2 OBJETIVOS
Analizar el caso de cuerpos que flotan en un fluido
Utilizar el principio de equilibrio estático para determinar las fuerzas involucradas
en los problemas de flotabilidad
Definir las condiciones para que un cuerpo esté estable cuando se encuentre
sumergido o cuando flote.

FLOTABILIDAD Y ESTABILIDAD
FLOTABILIDAD
Un cuerpo que se encuentre en un fluido, ya
sea flotando o sumergido, es empujado
hacia arriba con una fuerza igual al peso del
fluido desplazado. La fuerza boyante
(flotante) actúa verticalmente hacia arriba a
través del centroide del volumen desplazado
y se le puede definir matemáticamente
mediante el principio de Arquímedes como:
Donde:
: fuerza boyante
: peso especifico del fluido
: volumen desplazado del fluido
Cuando un cuerpo flota libremente,
desplaza un volumen suficiente de fluido
para equilibrar su propio peso.
La resultante de las fuerzas ejercidas por
un fluido en reposo sobre un cuerpo
sumergido o flotante se llama Empuje. El
empuje siempre actúa verticalmente
hacia arriba.

FLOTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS
FUERZA DE EMPUJE O FLOTABILIDAD EN CUERPO SUMERGIDO
El empuje sobre un cuerpo sumergido es la diferencia entre la
componente vertical de la fuerza debido a la presión sobre su parte
inferior y la componente vertical de la fuerza debida a la presión
sobre su parte superior.
La fuerza vertical ejercida sobre un elemento del cuerpo de forma
prismática vertical de sección dA es:


Para encontrar la línea de acción de la fuerza de empuje, se toman
momentos alrededor de un eje conveniente “O” y se iguala al
momento de la resultante:


Siendo la distancia desde el eje a la línea de acción. Esta ecuación nos da la distancia al centroide del
volumen; por consiguiente, la línea de acción de la fuerza de empuje pasa por el centroide del volumen de
fluido desplazado. Esto sirve para cuerpos sumergidos y cuerpos flotantes. El centroide del volumen de fluido
desplazado se llama centro de empuje

FLOTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES
EMPUJE CUANDO EL CUERPO FLOTA EN SUPERFICIE
Cuando el cuerpo flota en la superficie de
separación de un sistema de dos fluidos, el empuje
sobre un prisma vertical de sección recta es:

Siendo y los pesos específicos de los fluidos.


Donde es el volumen del fluido menos denso y
, el volumen desplazado del fluido mas denso.

FLOTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES
LINEA DE ACCIÓN DE LA FZA DE EMPUJE
Para situar la línea de acción de la fuerza de
empuje, se toman momentos.
 , donde:


Siendo y , las distancias a los centroides
de los volúmenes y respectivamente. La
resultante no pasa, en general, por el centroide
del volumen total.

FLOTABILIDAD - APLICACIONES Y EJERCIICOS
APLICACIÓN:
Se tiene un objeto amorfo suspendido por un hilo y
sumergido en dos fluidos diferentes. Determinar su
peso, volumen, peso especifico y peso especifico
relativo.
APLICACIÓN:
Escribiendo las ecuaciones de equilibrio:


Resolviendo:
 ;


APLICACIÓN 2:
 Un hidrómetro usa el principio de Arquímedes para determinar el
peso especifico relativo de un liquido. Este instrumento tiene un
vástago de sección recta “a” , esta sumergido en dos líquidos: agua
(G.E=1.00) y otro líquido de G.E desconocida, como se observa en la
figura. W es el peso del hidrómetro
SOLUCIÓN:
 En el equilibrio el hidrómetro flota cuando:
 𝑉 . 𝛾 = 𝑊,
 La posición libre de la superficie libre del liquido se graba con 1.00
sobre el vástago para indicar la unidad de peso especifico relativo
𝐺𝐸 del liquido
 Cuando el hidrómetro flota en otro liquido la ecuación de equilibrio
da:
 (𝑉 − ∆𝑉). 𝐺𝐸 𝛾 = 𝑊, siendo ∆𝑉 = 𝑎. ∆ℎ
 Resolviendo:
 ∆ℎ = ∗
 Con lo que la varilla puede ser grabada para leer pesos específicos

CONCLUSIONES:
De la ecuación anterior podemos
deducir que:
Sí la fuerza de flotabilidad es mayor
que el peso del cuerpo, este flotará.
Sí la fuerza de flotabilidad es menor
que el peso del cuerpo, este se hundirá.
Sí la fuerza de flotabilidad es igual al
peso del cuerpo, este se encontrará
suspendió en el fluido

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE FLOTABILIDAD:
Determine el objetivo de la solución: encontrar fuerza, peso, volumen,etc
Dibujar un diagrama de cuerpo libre del objeto en el líquido. Mostrar todas las
fuerzas que actúan, incluyendo fuerzas externas. Si la dirección de una fuerza no
se conoce, suponer la mas probable.
Escribir la ecuación de equilibrio estático en la dirección vertical,tomando la
dirección positiva hacia arriba:

Resolver la ecuación para la incognita deseada, tomando en consideración los
siguientes conceptos:
a) La fuerza boyante se calcula con la ecuación:
b) El peso de un objeto sólido es :
c) Un objeto con un peso especifico menor que el del fluido ( ), tenderá a flotar.
d)Un objeto con un peso especifico mayor que el del fluido ( ), tenderá a hundirse.
e)La flotabilidad neutral se presenta cuando un cuerpo permanece en una posición dada en
cualquier lugar que esté sumergido en el fluido. ( )

EJEMPLO 1
Un cubo de 0.50 m de lado está hecho de bronce con un
peso especifico de .Determine la
magnitud y dirección de la fuerza requerida para
mantener el cubo en equilibrio cuando se encuentra
completamente sumergido en: (a) agua y (b) En
mercurio de G.E =13.54
SOLUCIÓN:
Suponiendo que el cubo no se quedará en equilibrio por
si mismo, se requiere una fuerza externa. El objetivo
será encontrar la magnitud y dirección de esa fuerza.
El cubo de bronce sólido tendería a hundirse en el agua,
por lo tanto la fuerza externa tendría que ser hacia
arriba, para mantener el equilibrio.

SOLUCIÓN:
En este primer caso el cubo de bronce esta sumergido
en agua:





.

.

Obsérvese que como el resultado de la fuerza externa
es positivo, entonces la dirección que se supuso es
correcta.

SOLUCIÓN b:
En este caso el cubo de bronce sólido, esta sumergido en
mercurio:





. ( . )


Obsérvese que la fuerza tiene signo negativo.En conclusión
la fuerza externa Fe debe ser hacia abajo.

EJEMPLO 2:
Un cierto objeto de metal sólido tiene una forma
irregular, su peso es de 60 lbs. Utilizando una
balanza hidrostática (de Mohr) como se muestra en
la figura se determinó su peso aparente de 46.5 lbs.
Se pide encontrar el volumen y peso especifico del
metal
SOLUCIÓN:





.
. /

.

EJEMPLO 3
Un cubo de 80 mm de lado, esta hecho con un material
esponjoso rígido y flota en el agua con 60 mm debajo de la
superficie. Calcule la magnitud y la dirección de la fuerza
requerida para mantenerlo completamente sumergido en
glicerina, que tiene una gravedad específica de 1.26.
SOLUCIÓN:
Determinación del peso del cubo en situación (a):W





( )
 .767 N

……. solución
Fuerza externa requerida para mantener el cuerpo
sumergido en glicerina (b)






. ∗


EJEMPLO 4
Un cubo de latón de 6 pulg. de lado pesa 67 lb. Deseamos mantener
este cubo en equilibrio bajo el agua atándole una boya ligera de
hule espuma. Si el hule espuma pesa 4.5 lb/pie3. ¿Cuál es el
volumen mínimo requerido para la boya?
SOLUCIÓN:
Obsérvese que se tiene una fuerza boyante en cada cuerpo.


 ………. (1)

 ;
Reemplazando valores en la ecuación (1)
 , despejando el volumen del
hule Vh:

.
( )
.
. . /

ESTABILIDAD DE LOS CUERPOS EN UN FLUIDO
ESTABILIDAD
Un cuerpo en un fluido es considerado estable si regresa a su posición original después de
habérsele girado un poco alrededor de un eje horizontal. Las condiciones para la estabilidad son
diferentes, dependiendo de si el cuerpo está completamente sumergido o se encuentra flotando.
Cuerpos sumergidos completamente en un fluido: los submarinos o un globo climatológico.
La condición de estabilidad para cuerpos flotantes es diferente de la de cuerpos sumergidos: un
barco, una boya.

ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS TOTALMENTE
En la figura se presenta la sección transversal de un submarino. La sección circular es un cilindro hueco que
sirve como cabina para la tripulación y como almacen para el instrumental delicado. La sección rectangular
que se encuentra en el fondo contiene baterías pesadas y otros tipo de equipo. Con esta distribución de peso
y volumen, el centro de gravedad (Cg) y el centro de flotabilidad Cb están localizados como se muestra la
figura (a)

Estabilidad de cuerpos sumergidos totalmente
En la figura (b) se muestra la acción de la fuerza boyante y del peso necesaria para
producir un par que tiende a girar el vehículo de regreso a su posición original después de
haber sido desplazado ligeramente. En consecuencia, el cuerpo es estable.

Estabilidad de cuerpos sumergidos totalmente
En la figura (c), si la configuración estuviera al contrario de lo que se presenta en la figura (a). Cuando se gira
este cuerpo en sentido contrario a las agujas del reloj, una pequeña cantidad, el peso y la fuerza boyante
producen un par que tiende a voltear el vehículo. En consecuencia esta orientación es inestable.
Si el centro de gravedad y el
centro de flotabilidad de un
cuerpo coinciden como en
el caso de un cuerpo sólido,
el peso y la fuerza boyante
actúan a través del mismo
punto, sin que se produzca
el par. En este caso, el
cuerpo tendría una
estabilidad neutral y
permanecería en cualquier
orientación en la que se
colocara, con respecto a un
eje horizontal.

ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES:
La condición es diferente que para cuerpos sumergidos.
Figura (a): el cuerpo flotante está en su posición de equilibrio, y el centro de gravedad (cg) está por
encima del centro de flotabilidad (cb). La recta vertical que pasa por estos dos puntos se le conoce
como eje vertical del cuerpo.
Figura (b): si se gira el cuerpo ligeramente con respecto a un eje horizontal, el centro de flotabilidad se
desplaza a una nueva posición (la geometría del volumen desplazado se ha modificado). La Fb y el W,
producen un par de rectificación que tiende a regresar el cuerpo a su orientación original, de cuerpo
estable
Con el fin de establecer la condición de
estabilidad de un cuerpo flotante, se
debe definir un nuevo término, el
metacentro. El metacentro (mc) se
define como el punto de intersección del
eje vertical de un cuerpo cuando se
encuentra en posición de equilibrio y la
recta vertical que pasa por la nueva
posición del centro de flotabilidad,
cuando el cuerpo es girado ligeramente.

ESTABILIDAD DE LOS CUERPOS FLOTANTES
Condición de estabilidad para cuerpos flotantes: Un cuerpo flotante es
estable si su centro de gravedad está por debajo del metacentro
 Calculo de la posición del
metacentro:
 La distancia del mc al centro de
flotabilidad se denota como MB
y se calcula:
𝑀𝐵 = 𝐼/𝑉
 Vd: volumen desplazado
 I: mínimo momento de inercia
de una sección horizontal del
cuerpo, tomada en la superficie
del fluido.
 Si la distancia MB coloca al mc
por encima del Cg, el cuerpo es
estable.

PROCEDIMIENTO PARA LA EVALUACIÓN DE LA ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES:
1. Determine la posición del cuerpo flotante, utilizando los principios de la flotabilidad.
2. Localice el centro de la flotabilidad, cb y calcule la distancia desde algún eje de referencia
a cb, llámela 𝒄𝒃. Normalmente, el fondo del objeto se toma como el eje de referencia.
3. Localice el centro de gravedad, cg y calcule 𝒄𝒈 medida desde el mismo eje de referencia.
4. Determine la forma del área en la superficie del fluido y calcule el menor momento de
inercia, I, para esa geometría.
5. Calcule el volumen desplazado, Vd
6. Calcule MB=I/Vd
7. Calcule
8. Si , el cuerpo es estable
9. Si , el cuerpo es inestable.

EJEMPLO 1:
En la figura (a) se presenta el
casco de una chalana que,
cuando está completamente
llena, pesa 150 KN. En las
partes (b), (c) y (d) se muestran
las vistas superior, frontal y
lateral del bote. Observe la
localización del cg. Determinar
si la chalana es estable en agua
dulce. Determine si el bote
flotara.

SOLUCIÓN:
1. En el equilibrio:







∗ ∗

( . )( . )(
.
)

SOLUCIÓN:
2. Determinación del metacentro: MB= I/Vd
𝐼 =
𝐿. 𝐵
12
=
6.0𝑚 ∗ (2.4) 𝑚
12
= 6.91 𝑚
𝑀𝐵 =
𝐼
𝑀
=
6.91 𝑚
15.26 𝑚
= 0.45 𝑚
4.
6. Por lo tanto el cuerpo es estable. El metacentro
está por encima del centro de gravedad.

EJEMPLO 2:
Un cilindro sólido tiene 3.0 pies de diámetro, 60 pies de alto y
pesa 1550 lb. Si el cilindro está colocado en aceite (sg=0.90), con
su eje en posición vertical. ¿será estable?
SOLUCIÓN:
1. En el equilibrio:
 𝐹 − 𝑊 = 0
 𝐹 = 𝑊
 𝛾 ∗ 𝑉 = 𝑊
 𝛾 ∗
.
𝑋 = 𝑊
 𝑋 =
∗ ∗

( )( )
( ) . . (
.
)
 El centro de flotabilidad cb, está a una distancia X/2 del fondo del
cilindro:
𝑦 = = 3.90 = 1.95 𝑝𝑖𝑒𝑠

SOLUCIÓN:
2. El centro de gravedad “cg”, está a H/2 = 3.0 pies del
fondo del cilindro.
3. Determinación del metacentro: MB= I/Vd
𝑉 =
𝜋𝐷
4
𝑋 =
𝜋 ∗ (3 𝑝𝑖𝑒𝑠)
4
∗ 3.90 𝑝𝑖𝑒𝑠 = 27.6 𝑝𝑖𝑒𝑠
𝐼 =
𝜋. 𝐷
64
=
𝜋 ∗ (3 𝑝𝑖𝑒𝑠)
64
= 3.98 𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑀𝐵 =
𝐼
𝑀
=
3.98 𝑝𝑖𝑒𝑠
27.6 𝑝𝑖𝑒𝑠
= 0.144 𝑝𝑖𝑒𝑠
4.
6. Por lo tanto el cuerpo es inestable. El metacentro
está por debajo del centro de gravedad.

GRADO DE ESTABILIDAD
Las condiciones para la estabilidad de cuerpos en un fluido pueden resumirse de la
siguiente manera:
Los cuerpos completamente sumergidos son estables si el centro de gravedad está
por debajo del centro de flotabilidad.
Los cuerpos que se encuentran flotando son estables si el centro de gravedad está
por debajo del metacentro.
El caso limite de estabilidad ha sido establecido como cualquier diseño para el
cual el metacentro se encuentra por arriba del centro de gravedad, algunos
objetos pueden ser mas estables que otros. Una medida de la estabilidad relativa
se conoce como la altura metacéntrica, definida como la distancia al metacentro
desde el centro de gravedad.

GRADO DE ESTABILIDAD
La altura metacéntrica esta señalada como MG.
Utilizando los procedimientos analizados, podemos
calcular MG con la ecuación:
Los vehículos marinos pequeños deben tener un
valor mínimo de MG de 1.5 pies.
Los barcos grandes deberán tener MG>5.5 pies.
Pero la altura metacéntrica no debe ser demasiado
grande porque la nave, puede tener movimiento de
balanceo.

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