Definición de Conjuntos. Operaciones con conjuntos. Números Reales Desigualdades. Definición de Valor Absoluto Desigualdades con Valor Absoluto

1. CONJUNTO NUMÈRICO
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
Barquisimeto, Estado Lara
Autora:
Lorenny Colmenares.
Prof. Consuelo Pérez.
CI: V-27.666.482
Matemática Inicial
Grupo C
BARQUISIMETO, FEBRERO 2021

2. Definición de conjunto
En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características
similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto,
pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc.
Operaciones con conjuntos.
Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:
 Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los
elementos de A y de B.
 Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que
contiene todos los elementos comunes de A y B.
 Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que
contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
 Diferencia simétrica. La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el
conjunto que contiene los elementos de A y B que no son comunes.

3.  Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A.
 Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento
pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B.
Propiedades
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con
números naturales. Por ejemplo, la unión y la intersección
son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y
el elemento absorbente de la intersección y el producto cartesiano. El conjunto
universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión.
Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy
similares a las operaciones en un álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de
la lógica proposicional.
Números reales.
Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros,
racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ.
La palabra real se usa para distinguir estos números del número imaginario i, que es
igual a la raíz cuadrada de -1, o √-1. Esta expresión se usa para simplificar la
interpretación matemática de efectos como los fenómenos eléctricos.
Características de los números reales
Además de las características particulares de cada conjunto que compone el súper
conjunto de los números reales, mencionamos las siguientes características.

4. Orden
Todos los números reales tienen un orden.
En el caso de las fracciones y decimales:
Integral
La característica de integridad de los números reales es que no hay espacios vacíos en
este conjunto de números. Esto significa que cada conjunto que tiene un límite superior,
tiene un límite más pequeño.
Infinitud
Los números irracionales y racionales son infinitamente numerosos, es decir, no tienen
final, ya sea del lado positivo como del negativo.
Expansión decimal
Un número real es una cantidad que puede ser expresada como una expansión decimal
infinito. Se usan en mediciones de cantidades continuas, como la longitud y el tiempo.
Cada número real se puede escribir como un decimal. Los números irracionales tienen
cifras decimales interminables e irrepetibles, por el ejemplo, el número pi π es
aproximadamente 3,14159265358979...
Clasificación de los números reales

5. Conjuntos de los números reales.
Números naturales
De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los
números con los que estamos más cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6,...hasta el infinito. El
conjunto de los números naturales se designa con la letra mayúscula N.
Todos los números están representados por los diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, y
9, que reciben el nombre de dígitos.
Ejemplo
Los números naturales nos sirven para decir cuántos compañeros tenemos en clases, la
cantidad de flores que hay en un ramo y el número de libros que hay en una biblioteca.
Números enteros
El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números
simétricos. Esto incluye los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los
números negativos se denotan con un signo "menos" (-). Se designa por la letra
mayúscula Z y se representa como:
Un número simétrico es aquel que sumado con su correspondiente número natural da
cero. Es decir, el simétrico de n es -n, ya que: Los enteros positivos son números
mayores que cero, mientras que los números menores que cero son los enteros
negativos.
Los números enteros nos sirven para:
 Representar números positivos: ganancias, grados sobre cero, distancias a la
derecha;
 Representar números negativos: deudas, pérdidas, grados bajo cero y distancias
a la izquierda.

6. Ejemplos
En el polo Norte la temperatura está por debajo de 0ºC durante casi todo el año, entre -
43 ºC y -15ºC en invierno. Una persona compra un vehículo por 10.000 pesos pero solo
tiene 3.000 pesos.
Esto significa que queda debiendo 7.000 pesos.
Desigualdad.
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores
cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o
los reales, entonces pueden ser comparados.
 La notación a < b significa a es menor que b;
 La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser
igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor
que"
 La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
 La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no
estrictas).
 La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
 La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo
general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
 La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es
mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos
que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del

7. elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo
señala/apunta al elemento menor.
Valor absoluto de un número entero.
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su
signo.
El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.
|−5| = 5
|5| = 5
Valor absoluto de un número real.
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando
es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0
|x| = 2 x = −2 x = 2
|x|< 2 − 2< x < 2 x (−2, 2)
|x|> 2 x< −2 ó x>2 (−∞, −2) ∪ (2, +∞)
|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5
− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7
Propiedades del valor absoluto
1. Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
|5| = |−5| = 5
2. El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores
absolutos de los factores.
|a · b| = |a| ·|b|
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10

8. 3. El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los
valores absolutos de los sumandos.
|a + b| ≤ |a| + |b|
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| ≤ |5| + |2| 3 ≤ 7
Desigualdades de valor absoluto.
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4.
El conjunto solución es:
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .
Ejemplo 1:
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad
compuesta.
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3

9. Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así: