5. Lugares geométricos
Definimos un lugar geométrico como la gráfica cuyos puntos satisfacen una ecuación
algebraica con dos variables que se colocan en un plano cartesiano y tiene
soluciones reales. La cantidad de puntos que forman la gráfica está directamente
relacionada con el número de soluciones que tiene la condición algebraica. En otras
palabras, toda pareja ordenada (x,y) de números reales que satisface una ecuación
pertenece a la gráfica y es parte de su solución.
Es necesario definir un lugar geométrico, cuando:
• Hay que encontrar el lugar geométrico a partir de una ecuación.
• Se plantean algunas condiciones de un lugar geométrico y nos piden hallar su
ecuación.
6. Solución de lugares geométricos.
Ejemplos:
1) Encuentra la ecuación y la gráfica que representan los lugares geométricos
siguientes:
a) La ordenada es el doble de la abscisa.
y=2x
x y
-3
-2
-1
0
1
2
7. b) El cuadrado de la ordenada es igual a 4 veces su abscisa.
y2 = 4x
Despejamos para poder sustituir, tabular y graficar.
y = √4x
x y
-3
-2
-1
0
1
2
3
8. Gráficas y simetría
Cuando se tiene una ecuación de dos variables y se quiere graficar su lugar
geométrico, es necesario analizar algunas propiedades de las gráficas:
1) Intersecciones con los ejes. Son los valores en los que la línea del lugar
geométrico cruza los ejes coordenados.
*El punto en el que corta la gráfica el eje x sucede cuando: y=0
* El punto en el que corta la gráfica el eje y sucede cuando: x=0
2) Simetría. En un plano cartesiano, dos puntos son simétricos si están a la misma
distancia de un punto (x0, y0).
9. Hay dos tipos de simetría:
• Con los ejes:
Si f(x)= f(-x) es simétrica respecto al eje y.
Si f(y)= f(-y) es simétrica respecto al eje x.
• Con el origen
Si se cumple las dos anteriores.
10. Ejemplos:
Intersección con los ejes:
a) 5x-3y-15=0
Con el eje x (y=0)
5x – 3(0) -15 = 0
5x -15 =0
5x = 15
x= 15/5
x=3
La intersección con x es en (3,0)
11. Con el eje Y (x=0)
5(0) -3y -15 =0
-3y-15=0
-3y=15
Y= 15/-3
y= -5
La intersección en y es en (0, -5)
12. b) 36x2 + 64y2 = 2304
Con el eje x (y=0)
36x2 + 64(0)2 = 2304
36x2 = 2304
x2 = 2304/36
x2 = 64
x=8 x=-8
Por lo tanto, las parejas ordenadas son (8,0) y (-8,0)
Con el eje y (x=0)
36(0)2 + 64y2 = 2304
64y2 = 2304
y2 = 2304/64
y2 = 36
y=6 y=-6 Por lo tanto las parejas ordenadas son (0,6) y (0,-6)
13. Simetría
a) 5x-3y-15=0
Evalúa la ecuación en x=-x
5(-x)-3y-15=0
-5x-3y-15=0
No hay simetría con el eje y porque f(x) ≠ f(-x).
Evalúa la ecuación en y=-y
5x-3(-y)-15=0
5x+3y-15=0
No hay simetría con el eje x porque f(y) ≠ f(-y).
Y por lo tanto no hay simetría con el origen.
14. Simetría
b) 36x2 + 64y2 = 2304
Evalúa la ecuación en x=-x
36(-x)2 + 64y2 = 2304
36x2 + 64y2 = 2304 Si hay simetría con el eje y porque f(x) =f(-x).
Evalúa la ecuación en y=-y
36x2 + 64(-y)2 = 2304
36x2 + 64y2 = 2304 Si hay simetría con el eje x porque f(y) = f(-y).
Y por lo tanto SI hay simetría con el origen.
15. Evaluación sumativa
1) Encuentra el lugar geométrico que representa cada una de las siguientes condiciones:
a) El cuadrado de la abscisa es 8 veces la ordenada.
b)La ordenada es la mitad de la abscisa.
c) La ordenada es el doble de la abscisa mas 6 unidades.
d) El cuadrado de la abscisa es 20 veces la ordenada.
2) Halla los cortes y la simetría con los ejes de los lugares geométricos cuyas ecuaciones son:
a) x2 + 4y2 – 4 = 0
b) 3x2 + 3y2 = 12
c) y2 +4y – x -12 = 0
