Bài 3 gtln gtnn

1. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 34 -

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa: Giả sử hàm số ( )
y f x
 xác định trên tập D với D   .
0
( ) ,
max ( )
: ( )
D
o
f x M x D
M f x
x D f x M
và
0
( ) ,
min ( )
: ( )
o
D
f x m x D
m f x
x D f x m
2. Tính chất:
 Nếu hàm số ( )
y f x
 đồng biến trên [ ; ]
a b thì :
[ ]
[ ]
;
;
max ( ) ( )
min ( ) ( )
a b
a b
f x f b
f x f a
 Nếu hàm số ( )
y f x
 nghịch biến trên [ ; ]
a b thì :
[ ]
[ ]
;
;
max ( ) ( )
min ( ) ( )
a b
a b
f x f a
f x f b
B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN:
DẠNG 1: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN ĐOẠN [ ; ]
a b
 Bước 1: Tính ( )
f x .
 Bước 2: Giải ( ) 0
f x tìm được các nghiệm ( 1; )
i
x i n trên đoạn [ ; ]
a b (nếu có).
 Bước 3: Tính 1 2
( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )
n
f a f b f x f x f x .
 Bước 4: So sánh các giá trị vừa tính được và kết luận.
BÀI 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

2. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 35 -
Ví dụ 1.1: Tìm GTLN – GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
4 2
1 5
) 4
2 2
a y x x trên đoạn [ 1;3]. 3 2
) 8 16 9
b y x x x trên đoạn [1;3].
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
1
)
4
x
c y
x
trên đoạn [1;10]. 2
) 4
f y x .
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
Ví dụ 1.2: Cho hàm số ( )
y f x , [ 2 ; 3]
x có đồ thị như hình vẽ.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )
y f x trên đoạn
[ 2 ; 3].
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
Ví dụ 1.3: Cho hàm số ( )
y f x liên tục trên [ 3;2] và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ 3;2].
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….

3. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 36 -
Ví dụ 2: Tìm GTLN – GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
4
)
a y x
x
, 0
x .
2
1
)
1
x x
b y
x
trên khoảng (1;3).
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
C. DẠNG TOÁN NÂNG CAO:
Ví dụ 3.1: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
)
a 3 2
3
y x x m có giá trị nhỏ nhất của trên đoạn [ 1;1] bằng 0 .
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
)
b
2
1
x m
y
x
có giá trị lớn nhất trên đoạn [ 4;2] bằng 3 .
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
DẠNG 2: MIN - MAX CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG, NỬA KHOẢNG
 Bước 1: Tính () 0
f x .
 Bước 2: Lập bảng biến thiên và xét dấu () 0
f x .
 Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
DẠNG 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CHỨA THAM SỐ
 Bước 1: Tìm TXĐ.
 Bước 2: Tính đạo hàm ,
y giải phương trình 0
y .
 Bước 3: Tìm GTLN – GTNN của hàm số theo tham số.
 Bước 4: Theo YCBT m .

4. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 37 -
Ví dụ 3.2:
)
a Tìm m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 3
| 3 |
y x x m trên đoạn [0;2] bằng 3 .
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
)
b Tìm m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2
( ) | 2 1|
x
f x m
x trên đoạn [0;2] bằng 18 .
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
)
c Tìm m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
2
2 4
( )
2
x m m
x
x
x
f trên đoạn [ 1;1] bằng 3 .
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
)
d Cho hàm số ( )
1
x m
f x
x
. Tìm m sao cho
[0;1] [0;1]
max | ( ) | min | ( ) | 2
f x f x .
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….

5. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 38 -
Ví dụ 4.1: Một vật chuyển động theo quy luật 3 2
1
9 ( / ),
2
S t t m s với t (s) là khoảng thời gian tính
từ lúc vật bắt đầu chuyển động và S (m) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Tính vận tốc lớn
nhất của vật đạt được trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động.
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
Ví dụ 4.2: Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được
giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ
được cho bởi công thức 2
( )
1
t
C t
t
( / )
mg l . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu
của bệnh nhân cao nhất?
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
Ví dụ 4.3: Ông A dự định sử dụng hết 2
5 m kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật
không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích
lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
DẠNG 4: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG THỰC TẾ
 Bước 1: Chọn một đại lượng thích hợp làm biến số.
 Bước 2: Biểu diễn các dữ kiện còn lại của bài toán theo biến số.
 Bước 3: Chuyển bài toán thực tế sang bài toán quen thuộc.

6. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 39 -
D. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1: Tìm GTLN – GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
)
a 3
3 2
y x x trên đoạn [0;2]. )
b 4 2
8 18
y x x trên đoạn [ 1;3].
)
c 4 2
13
y x x trên đoạn [ 2;3]. )
d 3 2
3 1
y x x trên đoạn [ 1;1].
)
e
2 3
2
x
y
x
trên đoạn [ 1;1]. )
f
1
1
x
y
x
trên đoạn [0;2].
)
g 4 2
3 2
y x x trên đoạn [0;3]. )
h 3 2
3 1
y x x trên đoạn [ 1;1].
)
i 3 2
3 9 10
y x x x trên đoạn [ 2;2]. )
j 4 2
2 5
y x x trên đoạn [ 2;2].
)
k
1
2 1
x
y
x
trên đoạn [ 2;0]. )
l
1
1
x
y
x
trên đoạn [3;5].
)
m 3 2
7 11 2
y x x x trên đoạn [0;2]. )
n 4 2
2
y x x trên đoạn [ 1;2].
)
o
3
x
y
x
trên đoạn [ 2;3]. )
p 4 3 2
1
2
4
y x x x trên đoạn [ 3;3].
Bài 2: Tìm GTLN – GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
)
a
2
4
1
x x
y
x
trên đoạn [0;2]. )
b 2 2
y x
x
trên đoạn
1
;2
2
.
)
c
2
4
2 1
x x
y
x
trên đoạn [0;3]. )
d
2
2
x
y
x
trên đoạn [ 5; 3].
)
e
2
2 2
1
x x
y
x
trên đoạn
1
;2
2
. )
f
3
2 3 3
1
x x
y
x
trên đoạn [0;2].
)
g 2
2
y x x trên 2; 2 . )
h 2
2 5
y x x trên [ 1;3].
)
i 2
3 2
y x x . )
j 2 4
y x x .
)
k 2
1
y x x . )
l 2
| 3 2 |
y x x trên đoạn [ 10;10].
)
m 2
4
y x x . )
n 2 3 5 2
y x x .
Bài 3*: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
)
a 3 2
6 9
y x x x m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;2] bằng 4
 .
)
b
2
1
x m
y
x
đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;1] bằng 1 .
)
c
4
mx
y
x m
đạt giá trị lớn nhất bằng 5 trên đoạn [ 2;6].
)
d 4 2
1 19
30 20
4 2
y x x x m có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;2] không vượt quá 20.
Bài 4*: Cho hàm số ( )
y f x xác định và liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ
bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
(2 sin )
y f x . Tính giá trị của M m .

7. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 40 -
E. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:
Câu 1. (Minh họa 2020) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2
( ) 10 2
f x x x trên đoạn [ 1;2] bằng
A. 2 . B. 23. C. 22 . D. 7 .
Câu 2. (THPT QG 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số 3
( ) 3 2
f x x x
   trên đoạn [ 3;3]
 bằng
A. 16
 . B. 20. C. 0 . D. 4 .
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số
1
2 1
x
y
x



trên đoạn [1;3].
A. 0
M . B.
2
7
M . C. 3
M . D. 1
M .
Câu 4. Cho hàm số ( )
y f x
 liên tục trên [ 3;2] và có bảng biến thiên như sau:
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )
y f x
 trên [ 3;2]
 . Giá trị của
M m
 bằng
A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 .
Câu 5. Cho hàm số ( )
y f x có đạo hàm 2
( ) 3 4,
f x x x x  . Giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
y f x trên đoạn [ 4;2] bằng
A. (0)
f . B. ( 4)
f . C. (1)
f . D. (2)
f .
Câu 6. (THPT QG 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 3 2
7 11 2
y x x x
    trên đoạn [0;2].
A. 11
m  . B. 0
m  . C. 2
m   . D. 3
m  .
Câu 7. Cho hàm số ( )
f x liên tục trên [ 1;3]
 và có đồ thị như hình vẽ
bên. Gọi ,
M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
y f x
 trên [ 1;3]
 . Tính M m
 .
A. 11
m  .
B. 0
m  .
C. 2
m   .
D. 3
m  .
Câu 8. (Minh họa 2020) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
( ) 12 1
f x x x trên đoạn [ 1;2] bằng
A. 1. B. 37 . C. 33 . D. 12 .
Câu 9. (THPT QG 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
( ) 3 2
f x x x
   trên đoạn [ 3;3]
 bằng
A. 20. B. 4 . C. 0 . D. 16.
Câu 10. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số
3 1
( )
3
x
f x
x



trên đoạn [0;2].
A.
1
3
m . B. 5
m . C. 5
m . D.
1
3
m .
x
y'
y
3 2
1 1
0 0
+ +
3
0
0
0
1
2
2

8. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 41 -
Câu 11. (Minh họa 2019) Cho hàm số ( )
f x liên tục trên đoạn [ 1;3] và có đồ
thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
hàm số đã cho trên [ 1;3]
 . Giá trị của M m
 bằng
A. 0 .
B. 1.
C. 4 .
D. 5 .
Câu 12. (THPT QG 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số 3
( ) 3
f x x x
  trên đoạn [ 3;3]
 bằng
A. 18 . B. 2 . C. 18
 . D. 2
 .
Câu 13. Cho hàm số
1
( )
1
x
f x
x



. Kí hiệu
[0;2]
max ( )
M f x ,
[0;2]
min ( )
m f x . Khi đó M m
 bằng
A.
4
3
 . B.
2
3
 . C.
2
3
. D. 1.
Câu 14. (THPT QG 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
4 9
y x x
   trên đoạn [ 2;3]
 bằng
A. 201. B. 2 . C. 9 . D. 54 .
Câu 15. Cho hàm số ( )
y f x có đạo hàm 2
( ) ( 1)( 2) ,
f x x x x x  . Giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
y f x trên đoạn [ 1;2] bằng
A. ( 1)
f . B. (0)
f . C. (3)
f . D. (2)
f .
Câu 16. Cho hàm số ( )
f x liên tục trên đoạn [ 2;2]
 và có đồ thị như hình
vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã
cho trên [ 2;2]
 . Giá trị của 2M m
 bằng
A. 6.
B. 7 .
C. 4.
D. 5 .
Câu 17. (THPT QG 2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
2 7
y x x x
   trên đoạn [0;4] bằng
A. 259
 . B. 68 . C. 0 . D. 4
 .
Câu 18. (Minh họa 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
( ) 4 5
f x x x
   trên đoạn [ 2;3]
 bằng
A. 50 . B. 5 . C. 1. D. 122.
Câu 19. Cho hàm số ( )
y f x
 liên tục trên [ 3;2]
 và có bảng biến thiên như sau:
Gọi ,
M m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ( )
f x trên [ 3;2]
 . Tính M m
 .
A. 4. B. 5 . C. 6. D. 7 .
Câu 20. (THPT QG 2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2
13
y x x
   trên đoạn [ 1;2]
 bằng
A. 85. B.
51
4
. C. 25. D. 13.
Câu 21. (THPT QG 2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
3
y x x
  trên đoạn [ 4; 1]
  bằng
A. 4
 . B. 16
 . C. 0 . D. 4.
-4
2
f(x)
x
1
0 1
0
2
-3
y
x
-1
3
1
O
1
-2
2
-1

9. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 42 -
Câu 22. (THPT QG 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
( ) 3
f x x x
  trên đoạn [ 3;3]
 bằng
A. 18. B. 2. C. 18
 . D. 2
 .
Câu 23. Cho hàm số ( )
y f x
 xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:
Giá trị lớn nhất của hàm số ( )
y f x
 trên đoạn [ 2;2] bằng
A. 1. B. 3. C. 0 . D. 2.
Câu 24. (THPT QG 2017) Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số 4 2
2 3
y x x
   trên đoạn [0; 3].
A. 9
M  . B. 8 3
M  . C. 1
M  . D. 6
M  .
Câu 25. (THPT QG 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 4 2
13
y x x
   trên đoạn [ 2;3]
 .
A.
51
4
m  . B.
49
4
m  . C. 13
m  . D.
51
2
m  .
Câu 26. Gọi ,
M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
2 1
x
y
x



trên đoạn [ 2;0]
 .
Giá trị của 15M m
 bằng
A. 0 . B. 2. C.
76
5
. D.
74
5
 .
Câu 27. Cho hàm số ( )
y f x liên tục trên đoạn [ 1;2]
 và có đồ thị như hình
vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho
trên đoạn [ 1;2]
 . Giá trị của
M
Q
m
 bằng ?
A. 2
Q   . B. 2
Q  .
C. 1
Q  . D. 1
Q   .
Câu 28. Cho hàm số ( )
f x có đạo hàm 2
( ) ( 2) ( 3)
f x x x x , x  . Giá trị lớn nhất của hàm số đã
cho trên đoạn [0;4] bằng
A. (0)
f . B. (2)
f . C. (3)
f . D. (4)
f .
Câu 29. (THPT QG 2017) Một vật chuyển động theo quy luật 3 2
1
6
3
s t t với t (giây) là khoảng
thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng
thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật
đạt được bằng bao nhiêu?
A. 243 (m/s). B. 27 (m/s). C. 144 (m/s). D. 36 (m/s).
Câu 30. (THPT QG 2017) Cho hàm số
1
x m
y
x
(m là tham số thực) thỏa mãn
[2;4]
min 3
y . Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
A. 4
m . B. 3 4
m . C. 1
m . D. 1 3
m .
Câu 31. (THPT QG 2017) Cho hàm số
1
x m
y
x
(m là tham số thực) thỏa mãn
[1;2] [1;2]
16
min max
3
y y .
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 4
m . B. 2 4
m . C. 0
m . D. 0 2
m .