UC Fundamentos de tuberías en equipos de refrigeración m.pdf
CUADERNILLO DE TRABAJO BLOQUE 1.pdf
1. CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLOGICOS
Industrial y de Servicios No. 80
CUADERNILLO DE TRABAJO
Nombre del alumno(a):____________________________________________________________________Grupo:_______
Turno:______ Puntuación:____________
ÁLGEBRA
UNIDAD I
2. _____
Resuelve problemas
aritméticos y algebraicos
UNIDADES DE COMPETENCIA:
• Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos aplicando las propiedades de los
números positivos y expresiones algebraicas, relacionando rnagnitudes constantes y variables,
ernµleando las literales, para la representación y resolución de situaciónes y/o problemas aritméticos y
algebraicos, concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayuden a explicar y describir su realidad.
• Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de
situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.
SABERES REQUERIDOS PARA EL LOGRO DE LAS UNIDADES DE COMPETENCIA
CONOCIMIENTOS HABILIDADES VALORES
• Representación de números
positivos.
• Números decimales en
distintas formas: enteros,
fracciones y porcentajes.
• Jerarquía de operaciones
numéricas.
• Números reales y variables
algebraicas.
• Representación de números
reales.
• Cálculo del valor numérico
de una expresión algebraica.
• Aprecia la utilidad de los
números positivos y las
literales para modelar y/o
solucionar problemas.
• Disposición para utilizar
cálculo numérico al resolver
problemas cotidianos
• Operaciones aritméticas.
• Números decimales en
forma de enteros,
fracciones y porcentajes.
• Uso de la calculadora.
• Expresiones algebraicas con
literales
• Aporta puntos personales y
considera los de otras
personas al reflexionar sus
procesos de aprendizaje.
BLOQUE I
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Álgebra
1
3. Algo de historia ...
Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a.C.;
alrededor del año 500 a.C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la
necesidad de los números irracionales.
Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente
reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a
finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las
consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una
definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en
1871.
En realidad, el estudio riguroso de La canstrucción total de los números reales exige tener amplios
antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización
de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vias
distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e
infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de
Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de
manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y
pasando por matemáticos como De�cartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy
y Weierstrass.
Georg Cantor
Nació en San Petersburgo, Rusia en 1845
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Álgebra
2
4. Números reales
Nuestra numeración llamada arábiga se desarrolla en la India y es introducida a Europa
a través de España por los árabes, es un sistema de numeración decimal, porque tiene
como base el número 10, los símbolos que todos conocemos utilizados son: 1, 2, 3, 4, 5,...,
n, llamados dígitos.
Estos símbolos tienen un valor según la posición que tienen dentro de una cifra de "n" dígitos,
la 1ª posición llamada también de 1er orden son las unidades, el 2°decenas, el 3°
centenas, etcétera. Ubicadas de derecha a izquierda enseguida del punto decimal, donde
cada una de las posiciones van tomando 10 veces el valor de la anterior posición, por lo que
10 unidades es una decena 10 decenas son una centena, 10 centenas son uno unidad de
millar, etcétera.
Ejemplo: 3,407.00 donde el 7 está en la posición de las unidades, el 0 en las
decenas, el 4 en las centenas y el 3 en las unidades de millar.
Los números reales se clasifican según el siguiente diagrama:
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Álgebra
3
5. Operaciones básicas con números
La aritmética nos ayuda a realizar las operaciones básicas de la vida diaria, dentro de las
que veremos son suma, resta, multiplicación y división de enteros, racionales (fracciones),
decimales y la conversión entre ellos.
Los signos utilizados en las operaciones básicas como ya conocemos son +, - , x, ÷,
siendo el de la multiplicación (x) en ocasiones cambiado por(*) y en la división utilizamos el
signo (÷) también lo cambiamos por (/).
En esta unidad haremos un poco de calentamiento con operaciones aritméticas utilizadas
desde la primaria por ti, con el fin de entrar poco a poco al estudio de los números,
recordando algunos procedimientos básicos.
Algo de juego para comenzar... (Lamar 1998)
1) Pídele a un amigo que te vaya contestando rápidamente los sucesivos resultados de las
siguientes sumas:
1030 y 1030 (dirá 2,060)
(dirá 2,090)
y
30
y
10 (dirá¿?)
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Álgebra
4
9. a)
d)
g)
1250 X
15637 X
82
20509 * 204 =
b)
e)
h)
6290 X
72846 X
305
206 * 23 =
f)
i)
56234 x
506
6992 * 67 =
Actividad 3
Multiplicación de números enteros
1. Realiza las multiplicaciones siguientes sin utilizar calculadora:
43 175
b) 142315 X
76
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8
11. a) 2612 / 17 = 16543 / 36 =
g)
36936 =
38
13 1103907
e)
h)
76501 =
27
46 1158066
b)
f)
i)
728028 =
204
70 1250182
Actividad 4
División de números enteros
1. Realiza las siguientes divisiones sin utilizar calculadora:
c) 52778 / 6 =
d)
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Álgebra
10
12. Operaciones básicas con números racionales
Nota histórica: En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, famoso,
entre otras cosas por la serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal
para separar numerador y denominador en las fracciones.
Leonardo Fibonacci
Nació en 1170 en Italia
Llamamos número racional a la relación de 2 números expresados en forma de
fracción. También es sinónimo de quebrado.
Ejemplo: 3/4, 1/8, 1/2, etcétera
Dentro de los números racionales tenemos el numerador que es el número que está
arriba de la línea (división) el cual indica el número de partes que se están tomando de
la unidad o del todo.
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Álgebra
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13. El denominador que es el número que se escribe bajo la línea y es el número de partes
en que dividimos la unidad.
Ejemplo: 3
4
En éste caso el 3 sería el numerador y el 4 el denominador por lo que se toman 3 partes
de las 4 en que dividimos la unidad. Representado en un dibujo sería:
Donde la parte azul representan los 3/4 que estamos trabajando y la parte sin
sombrear es la parte que representa 1/4.
Cuando una fracción tiene el numerador más grande que el denominador se llama fracción
impropia, y ésta se puede transformar a una fracción mixta (cuando tenemos enteros y
fracción propia).
Ejemplo: 46/6 se convierte a fracción mixta dividiendo el numerador entre el
denominador y nos quedan 7 enteros con 4/6 o sea, 7 4/6.
Cuando la fracción tiene el numerador más pequeño que el denominador se llama
fracción propia. Ejemplo 2/7, 2/5, 4/9, 2/10, etcétera,
Podemos analizar las diferentes fracciones para encontrar sus
equivalencias. Observando que si el numerador y el denominador se pueden dividir
entre el mismo número se calculará su fracción equivalente
Ejemplos:
a) 18/4 = 9/2
b) 42/6 = 14/2
c) 26/8 = 13/4
dividiendo entre 2 tanto el numerador como el denominador.
dividiendo entre 3 tanto el numerador como el denominador.
dividiendo entre 2 tanto el numerador como el denominador.
Por lo tanto, podemos analizar en forma de series las fracciones equivalentes
simplemente multiplicando tanto el numerador como el denominador por el mismo número.
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Álgebra
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14. Ejemplos:
a) Fracciones equivalentes a 2/3:
2/3 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 14/21... 20/30
b) Fracciones equivalentes a 4/5:
4/5 = 12/15 = 20/25 = 36/45... 40/50
Dentro de los números racionales estudiaremos fracciones con igual y
diferente denominador con las diferentes operaciones.
Cuando realizamos suma o resta con iguai denominador solo debemos
sumar los numerosadores quedando el mismo denominador.
Ejemplos:
a) 1/3 + 5/3 + 2/3 = 8/3
b) 11/5 - 4 /5= 7/5
Después si analizamos que el numerador es más grande que el denominador
podremos convertir a fracción mixta, quedando:
a) 8/3 = 2 2/3
b) 7/5 = 1 2/5
Ejemplos:
Cuando realizamos suma o resta con diferente denominador solo
debemos calcular el mismo denominador llamado común denominador. Y
se realiza encontrando un número común a los denominadores o sea que
sea múltiplo común a ellos. O también podemos multiplicar los
denominadores entre ellos.
a + b = ad + bc
c d cd
a) 2/5 + 1/4 = encontrar el común denominador entre 5 y 4 sería el 20.
Y calculando las fracciones equivalentes de ellas (2/5 y 1/4) se
suman: 8/20 + 5/20 = 13/20
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Álgebra
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15. b) 9/7 - 1/2 = encontrar el común denominador entre 7 y 2 sería el 14.
Y calculando las fracciones equivalentes de ellas (9/7 y 1/2) se restan:
18/14 - 7/14 = 11/14
c) 7/3 + 1/6 = encontrar el común denominador entre 3 y 6 sería el 6.
Y calculando las fracciones equivalentes de ellas (7/3 y 1/6) se suman:
16/6 + 1/6 = 15/6
Encontramos la fracción mixta que es: 2 3/6
Cuando multiplicamos y dividimos fracciones se trabaja de forma diferente a la suma
y a la resta.
En la multiplicación el procedimiento será diferente ya que debemos multiplicar el
numerador de la primer razón con el numerador de la segunda razón y el
denominador de la primer razón con el denominador de la segunda razón. Y
después si es posible se simplifica a la mínima expresión.
Ejemplo:
2/5 * 6/4 = 2 * 6/5 * 4 = 12 /20 simplificando todo entre 4 queda:
El resultado así: 3/5
Escrito de otra forma: 2/5 x 6/4 = 2 x 6 =12/20 reducido: 3/5
5 x 4
En la división el procedimiento será diferente ya que debemos multipicar
numerador de la primera razón con el denominador de la segunda razón y el
denominador de la primera razón con el numerador de la segunda. Y después si
es posible se simplifica a la mínima expresión.
a . b = ad
c d bc
Ejemplo:
2/6 5/9 = 2 * 9/6 * 5 = 18/30 simplificando todo entre 2 queda: El
resultado así: 9/15
Escrito de otra forma:
÷
÷
÷
2. .5 = 2 * 9 = 18 = 9
6 9 6 * 5 30 15
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Álgebra
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16. Cuando sumamos, restamos, rnul�iplicamos o dividimos fracciones mixtas se sugiere
convertir primero él fracciones impropia� para trabajar con mayor facilidad las
operaciones.
Algo para comenzar...
l. En mi pecera tengo 18 peces. Los machos tienen 81 manchas cada uno y las hembras
27 manchas cada una . Si paso 2/3 de los machos a otra pecera ,¿ Cuántas manchas tienen
los peces que quedan en mi pecera original en total?
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Álgebra
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17. b) 4/7 = ________ = ________ e) 5/9 =_________ =________
d) 5/7 = ________ = ________ e) 2/3 = ________ = ________ f) 2/4= _________=_________
g) 7/5 = ________=________ h) 3/11=________ = ________ i) 3/8=________=________
a) 42/5 = b) 52/8= e) 12_/7 =
d) 31/3 = e) 28/12= f) 69/6 =
g) 29/4 = h) 21/2 = i) 31/9 =
Actividad 5
Conversión de números racionales a sus equivalentes
1. Encuentra 2 fracciones equivalentes a las siguientes fracciones:
a) 3/5 = ________ = ________
2. Encuentra la fracción mixta equivalente a las siguientes fracciones:
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
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18. 3. Encuentra las fracciones impropias equivalentes a las siguientes fracciones mixtas:
d) 10 3/8
=
4. Ubica en la recta numérica las siguiefltes fracciones y observa quienes son mayores y
menores entre ellas
-3
a)1/2
f) 13/4
b) -4/5
g) -10/4
-2
e) 2/3
h) 5/2.
-1 o
d)7/9
i)-17/5
1
d) -8/3
j) 23/7
2
e) 1/9
k) -8/5
3
a) 6 1/8 =
g) 4 ¾ = h) 2 3/8 = i) 1 7/8 =
f) 12 1/8 =
e) 5 1/2=
b) 9 1/4 = c) 7 ¾ =
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
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19. a) 2/5 + 3/9 =
d) 11/12 + 7/12 =
b) 2/4 + 5/8 =
e) 10/3 + 4/3 =
e) 6/10 + 3/8 =
f) 7 /5 + 6/5 =
2. Encuentra el resultado de las siguientes sumas de fracciones mixtas, reduciendo a la mínima expresión, o
encontrando fracciones mixtas cuando sea posible.
a) 4 3/11 + 6 4/11 = b) 7 4/5 + 10 5/8 =
Actividad 6
Suma de números racionales
1.Encuentra el resultado de las siguientes sumas, reduciendo a la mínima expresión, o encontrando
fracción mixta cuando sea posible:
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Álgebra
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20. b) 4 8/11 + 2 2/3 =
c) 11 3/7 + 3 6/7 =
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Álgebra
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21. 2. Encuentra el resultado de las siguientes restas de fracciones mixtas, reduciendo a la mínima
expresión, o encontrando fracción mixta cuando sea posible.
- -- --
Actividad 7
Resta de números racionales
1.Encuentra el resultado de las siguientes restas, reduciendo a la mínima expresión, o encontrando fracción
mixta cuando sea posible.
a) 8/5 - 4/5 =
d) 23/6 - 2/6 =
b) 11/9 - 7/9 =
c) 25/4 - 7/2 =
a) 8 5/7 - 3 6/7 = b) 9 3/8 - 2 7/8 =
c) 21 2/5 - 6 3/4 = d) 12 8/12 - 2 8/10 =
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Álgebra
20
22. b) (2/7)(2/9) =
e) 11/8 * 4/9 = d) 23/4 x 11/5 =
e) (4/7)(8/15) =
f) 13/3 * 4/� =
1. Encuentra el resultado de las siguientes multiplicaciones, reduciendo a la mínima expresión, o
encontrando fracción mixta cuando sea posible.
Actividad 8
Multiplicación de números racionales
a) 11/5 x 9/5 =
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23. 2. Encuentra el resultado de las siguientes multiplicaciones de fracciones mixtas, reduciendo a la
mínima expresión, o encontrando fracción mixta cuando sea posible.
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24. a)3/r.;_,._ 7 tr::.=
..., • I _,, b) 2/9-=- 3/6 =
e) 22/4 + 8i7 = d) 13/5 -=- 8/7 =
e) 5/6 + 5/2 == f) 9/4 + 1/5 =
1. Encuentra el resultado de las siguientes divisiones, reduciendo a la mínima expresión, o
encontrando fracción mixta cuando sea posible.
Actividad 8
División de números racionales
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Álgebra
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25. a) 12s/6 + 74/s = b)111/z +42/6 =
d) 8 1/ 5 + 3 5/ lú =
·
2. Encuentra el resultado de las siguientes divisiones, reduciendo a la mínima expresión, o encontrando
fracción mixta cuando sea posible.
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Álgebra
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26. Problemas de aplicación de fracciones
1. Lee con atención los enunciados, realiza el planteamiento y las operaciones correspondientes para resolverlos.
a) Rosi tenía 180 lápices y vendió las 3/5
partes de ellos, ¿Cuántos vendió?
c) El tanque de una gasera tiene una
capacidad de 48,800 litros, si está lleno en
sus 5/8 partes, ¿ Cuántos litros de
combustible hay en el tanque?
b) El primo Raúl aseguró su automóvil que
vale $28,000, en las 3/4 partes de su valor
¿En cuánto lo aseguró?
d) Al comenzar el año escolar Pedro pe-
saba 35 1/2 kilogramos, y medio año
después, su peso fué de 39 3/4. kilo-
gramos, ¿Cuántos kilogramos aumentó
durante ese tiempo?
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Álgebra
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27. e) Un pintor hizo un presupuesto para la
pintura de una casa. Según el
presupuesto, se necesitan 29 2/5 galones
de pintura. Si se han gastado ya 19 3/10
galones, ¿Cuántos le faltan para terminar el
trabajo?
f) ¿Cuántas botellas de 3/4 de litro de
capacidad se pueden llenar con 28 1/2 litro de
agua?
g) El padrino de Nicole prometió ayudarle h) Un terrateniente repartió una de sus
propiedades entre dos de sus hijos, al
mayor le dió 3/5 partes del terreno. Si la
extensión que le tocó a ese hijo fue de
1650 m2 cuál era la superficie total del
terreno originalmente?
a comprar un automóvil, si ella ahorraba
las 5/7 partes del valor del mismo. Cuando
Nícole ahorró $25,500 su padrino le dio el
dinero restante para la compra. ¿Cuánto
dinero le entregó el padrino?
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Álgebra
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28. _ ___
UNIDADES DE COMPETENCIA:
Utiliza magnitudes y
números reales
• Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos aplicando las
propiedades de los números positivos y expresiones algebraicas, relacionando
magnitudes constantes y variables, y empLeando las literales, para la representación y
resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos, concernientes a su
vida cotidiana y escolar, que le ayuden a explicar y describir su realidad.
• Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos,
provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y /o
algebraico.
SABERES REQUERIDOS PARA EL LOGRO DE LAS UNIDADES DE COMPETENCIA
• Formas distintas de
representación y
operaciones con números
reales.
• Ubica en la recta numérica
números reales y sus
simetricos, su valor
absoluto y relaciones de
orden.
• Reconoce las propiedades
fundamentales de las
operaciones aritmeticas
• Identifica: razones, tasas,
proporciones y variaciones
como formas de
comparación.
• Comprende el significado
de razón, tasa y proporción.
• Reconoce variaciones
directas e inversas.
• Operaciones con números
reales, utilizando
propiedades fundamentales.
• Emplea las propiedades
fundamentales de las
operaciones aritméticas en
la solución de problemas .
• Utiliza tasa, razones y
proporciones.
• Aprecia la utilidad de los
modelos matemáticos para
describir situaciones donde
las magnitudes mantienen
relaciones de variación
proporcional, directa e
inversa.
• Valora la importancia de
los números reales para
expresar magnitudes
variables, constantes,
discreta o continuas
• Variación proporcional
directa e inversa.
• Promueve el diálogo como
mecanismo para la
solución de conflictos.
BLOQUE II
CONOCIMIENTOS HABILIDADES VALORES
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Álgebra
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29. RECTA NUMÉRICA
La recta numérica nos ayuda a representar números reales (enteros, fracciones, decimales) tanto positivos
como negativos. Simplemente ubicando del lado derecho del cero a los positivos y del lado izquierdo del
cero a los negativos, y haciendo las proporciones correspondientes a los valores decimales o racionales del
entero.
Podemos representar los números enteros como puntos de una recta de la manera siguiente:
Son números racionales positivos los siguientes:
a) 2/3 b) -9/-4
Son números racionales negativos los siguientes:
a) -7/"- bJ 5/-2
Ejemplo:
c) -3/-2
c) 9/-4
Representa en la recta numérica los siguientes números racionales:
a) 7/2
Solución:
b) -5/2 c) 3/2
d) 7/5
d) -4/3
d) -1_/2
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Álgebra
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30. Además la recta numérica nos ayuda de forma visual a ubicar y reconocer cuales cantidades son
mayores y cuales menores, sabiendo que los números a la derecha de otro son mayores que este, por los
ubicados a su izquierda son menores. Sabiendo que el cero no es ni positivo ni negativo.
Los valores absolutos de los números indican que se ubican a la misma distancia del origen tanto los
positivos como los negativos, o sea que si ubicamos en la recta el -3 o el 3 quedan a la misma
distancia del cero ambos valores. A esto se le llama valor absoluto y se representa
simbólicamente con dos líneas verticales y dentro de ellas el número. De esta forma: |−3| ó también | 3 |.
En Internet existen un lugar donde puedes consultar más sobre el tema:
http://www.escolar.com/avanzado/matema068.htm y ahí encontrarás ejemplos sobre números con
signo.
Operaciones básicas de números con signo
Reglas de los signos en las operaciones
Para poder trabajar las operaciones de los números con signos primero debemos conocer las
reglas de los signos, las cuales dependen de la operación a realizar:
Cuando sumamos números o variables los signos se rigen bajo la regla de "signos iguales se
suman y se escribe el signos de ellos".
Ejemplo:
Suma las siguientes cantidades aplicando la regla de los signos:
1) 4 + 7 + 12 = +23
2) (-6) + (-13) + (-9)= -28
Cuando sumamos números o variables "signos diferentes se restan y se escribe el signo
del mayor".
Ejemplo:
Suma las siguientes cantidades aplicando la regla de los signos:
1) 6 + (-8) + (-12) = -20 +6 = -14
2) (-8) + (+12) + (-5)= -13 +12 = -1
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Álgebra
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31. Cuando restarnos números o variables los signos se rigen bajo la regla de "signo negativo antes de un
paréntesis todo lo que está dentro sale con signos diferentes" y después realizamos la regla como
suma de números de signos iguales o diferentes según el caso.
Ejemplo:
Resta las siguientes cantidades aplicando la regla de los signos:
a) (4 + 5) -(12 -4 -17) = +9 -12 +4 +17 � 30 -12 = 18
b) (-6) -(-14) -(-9)= -6 +14 +9 = +23 -6 = +17
c) (-15 +7) -(21 -14 -4) = -8 -21 +14 +4 = -29 +18 = -!f
d) (18 -lJ -t.) -(43 -5 -8) = -l -43 +5 +8 = -44 +13 = -31
Para aplicar estas reglas de los signos en la vida diaria podemos pensar en una persona que le gusta
hacer negocio y se dedica a comprar y vender objetos, de un dentista que tiene su consultorio en un
edificio con elevador y su auto lo deja estacionado en el sótano 3, de las temperaturas que se registran
en un termómetro en la ciudad de Chicago donde hace calor como frío extremos, etcétera.
Cuando multiplicamos o dividirnos números o variables los signos se rigen bajo la regla de:
· "signos iguales más (+) signos diferentes menos (-)" y después realizamos la operación
según el caso.
Cuando multiplicamos
Cuando dividimos
(+)(+)=+
(-)( -)=+
(-)(+)=
(+)(-)=-
(+)/(+)=+
(-)/(-)=+
( -)/(+)= -
(+)/(-)=-
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Álgebra
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33. a) 5/9 B) 32/15 e) -5/9 d) -19/5
e) 3/7 f) -17/4 g) -15/8 h)11/3
2. Investiga las temperaturas rnínimas y máximas que tienen durante el año diferentes ciudades
del mundo y represéntalos en uno recta numérica como:
a) Madrid
f) Londres
b) París
g) Lima
e) El Cairc
h) Washingtnn
d) Tehera;-; e) Miami
Actividad 9
Recta numérica
1. Representa en una recta numérica los siguientes números racionales.
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
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34. 3. De esas temperaturas que registraste ¿Dónde hace más frío?, ¿Dónde más calor?, ¿Cuál es la
diferncia entre la temperatura mínima y máxima de cada ciudad ?
_______________________________________________________________________
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Álgebra
33
35. a)-5 + (-9) + (-14) = b)�-9)(+8)(+i)(-5) =
d)(-15)(-25) = e)(-120)-;-(8) =
g)(+70)(-3)(+5)(+10) = h)-(37 + 41) + (8 + 18) =
j)(-40)(-30)(-8) = k)+13 -103 +34 +9 =
e)(-13) + (+6) + (-í5) =
f)(-17)(-5) =
i)(35)(-20) =
l)(-72)-;-(-12) =
Actividad 10
Reglas de los signos en las operaciones
1. Resuelve las operaciones siguientes según la regla para cada caso:
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Álgebra
34
36. n) (+120) + (+15)= o)(13 + 43) - (9 -15 -28) =
p) (+120)-;-(-40)= q) (+20)(-12)(+24)(+8)= r) (+30)(-11)(+4)(+10) =
-
s) +49 -18+54 = t) (+165) + (+15) = u) (+420)-;-(-20)=
-
2. ¿ De veras sabes restar? Realiza las siguienres restas con un compañero en forma mental,
utiliza un lápiz para anotar los resultados, pero antes de escribirlos pronúncialos.
1. Un millón
2. Un millón
3. Diez millones
4. Cincuenta millones
5. Dos millones
6. Tres millones
Menos diez
Menos diez mil
Menos cinco mil
Menos cien mil
Menos diez
Menos diez mil
Tiempo: Un minuto (n�to para pronunciar los resultados correctos aparte el tiempo que necesitas para escribirlos).
m) (-24) - (-29) - (-16)=
w) 19 - 5 - 8 + 6 = x) ( -7) (-9) (5) (-16) =
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
v) (19) ( - 5) ( - 8) (+ 6) =
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
35
37. Problemas de aplicación
1. Estamos en la planta 415 de un gran rascacielos del futuro y bajamos en un ascensor a la planta -5. ¿Cuánto
tiempo tardaremos si el ascensor tarda 2 segundos en bajar 5 pisos ?
2. Pitágoras, filósofo y matemático griego, nació el año 582 a.C. ¿Cuántos años han pasado hasta el
año 2020 d.C.?
3. Durante el ascenso a una montaña, la temperatura desciende 2 grados cada 210 m de ascenso.
¿A que altura habrá que ascender para alcanzar los -18 °C, si en el punto de partida la temperatura
es de 6 °C y éste está a una altitud de 320m?
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
36
38. Términos semejantes o comunes
Se reducen términos semejantes cuando sumamos o restamos términos iguales ( con las mismas
variables (letras) que tengan los mismos exponentes). Las a2
con las a2
, las x3 con las x3
, los
números solos ( constantes) con los números solamente y así con todos, deben ser iguales en
variables y exponente y siguen quedando los mismos términos ya que los exponentes de las variables
no cambian.
Ejemplo:
Reducir términos semejantes en los casos siguientes:
1) 5xy +8xy2 - 4x2y +20xy2 -14xy +9x2y = ( -4x2
y +9x2
y) + (8xy2 +20xy2 ) + (5xy -14xy) =
= +5x2y +28xy2 -9xy
2) 18x -15y +9z -(23z +31x -40y +9)= 18x -31x -15y +40y +9z -23z -9=
= -13x +25y -14z -9
Ejercicios de identidad
1. ¿Cuál de los siguientes escudos de abajo tienen más en común con el de arriba?
B e
A D
Solución: D
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
37
39. 2. ¿Cuál de los siguientes escudos de abajo tienen más en común con el de arriba?
Solución: C
A B C
D
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
38
41. Jerarquía de los signos de agrupación
Los signos de agrupación tienen cierta jerarquía para el orden de las operaciones entre ellos,
por lo que el orden será:
• Llaves { }
• Corchetes [ ]
• Paréntesis ( )
Dentro de esta jerarquía debemos aplicar reglas de los signos, como términos semejantes.
En el ejemplo siguiente podemos ver cómo se aplican todas éstas características:
-[3x -2y + (x -2y) -2(x +y) -3(2x + 1)] = -3x +2y -(x -2y) +2(x +y)+ 3(2x +1) =
-3x +2y -x +2y +2x +2y +6x +3 = -3x -x +2x +6x +2y + 2y +2y +3 = 4x +6y +3
Mientras el orden de las operaciones:
Se efectúan primero el contenido de los paréntesis. De las operaciones, la de mayor prioridad
es la potenciación, seguida de la multiplicación y la división y, para terminar, la suma y la
resta. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
Ejemplo:
[6*(7 + 3*5) + 18/3 - 4]*3 =
l. Corchetes, paréntesis, multiplicación
[6*(7 + 3*5) + 18/ 3 - 4]*3 =
[6*(7 + 35) + 18/3 - 4)*3 =
2. Corchetes, paréntesis, suma
[6*(7 + 35) + 18/3 - 4]*3 = [6*42 + 18/3 - 4]*3
3. Corchetes, multiplicación, división
[6*42 + 18/3 - 4]*3 =
[252 + 6 - 4]*3 =
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
40
44. Algo de historia ...
El primer intento de representar de representar números demasiado grandes, fue emprendida por el
matemático y filósofo griedo Arquímedes, descrita en su obra El contador de Areia en el siglo III a. C.
ideó un sistema de representación numerica para estimar cuántos granos de arena existían en el
universo. El número estimado por él era de 1063 granos. Nótese la coincidencia del exponente con el
número de casilleros del ajedrez sabiendo que para valores positivos, el exponente es n-1 donde n es el
número de dígitos, siendo la última casilla la Nº64 el exponente sería 63 (hay un antiguo cuento del
tablero de ajedrez en que al último casillero le corresponde -2 elevado a la 63- granos).
A través de la notación científica fue concebido el modelo de representación de los números reales
mediante coma flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres Quevedo (1914), Konrad Zuse
(1936) y George Robert Stibitz (1939).
Leonardo Torres Quevedo
( 1914)
Nació en Santa Cruz de Iguña (Santander)
Fue el ingeniero español más reconocido.
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
43
45. • El exponente es positivo cuando la cantidad es muy grande y el punto se recorre a la
izquierda hasta tener solo un entero y hasta 2 decimales
Ejemplo:
2'900,000,000,000 = 2.90 X 10 12 doce representa los 12 lugares que se recorrió el punto decimal
para que la cantidad pueda escribirse de forma más reducida, además algunas calculadoras
científicas no tienen espacio para escribirse muchos dígitos y se utiliza esta forma para facilitarlo.
• El exponente es negétivo cuando la cantidad es muy pequeña y el punto decimal se recorre a
la derecha hasta tener un solo entero hasta con 2 decimales.
Ejemplo:
0.000 000 000 000 504 = 5.04 X 10-13 el 13 representa los 13 lugares que se recorrió el punto
decimal para que la cantidad pueda escribirse de forma más reducida.
Las calculadoras científicas tienen una tecla que por lo general es EXP para convertir las cantidades
muy grarides o pequeñas a exponenciales.
La notación científica se aplica a potencias expresadas en números decimales por lo que podemos
explicar que los exponentes positivos en números de base 10 se escriben:
103 = 1000 101 = 10 107 = 10 000 000 1015 = 1 000 000 000 000 000
Mientras que los exponentes negativos en números de base 10 se escriben:
10-8 = 0.00000001
Notación científica
La notación científica se utiliza para representar cantidades muy pequeñas y muy grandes de forma
más corta y fácil de manejar. En éste procedimiento se utiliza la multiplicación del símbolo: X10
debiendo tener el 10:
10-2 = 0.01 10-4 = 0.0001 10-6 = 0.000001
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
44
46. a) 245 000 000 000 000 000 =
b) 0.000 000 000 193 =
e) 8 905 000 000 000 =
d) 0.000 000 905 =
__
---
e) 7 152 000 000 000 000 =
fl 0.000 000 000 000 437 =
g) 0.000 582 =
h) 2 290 000 000 000 000 000 =-
i) 0.000 008 =
Nombre: ____________________________________________________________Grupo:________
Actividad 13
Notación científica
1. Convierte las cantidades siguientes en notación científica, dentro del recuadro de la derecha.
Matemáticas I
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
45
47. a) 1 000 000 000 =
b) 0.000 000 000 000 000 1=
e) 100 000 000 =
d) 0.000 000 000 01 =
e) 10 000 000 =
fl 0.000 000 000 1 =
g) 0.000 01=
h) 1 000 000 000 000 000 =-
i) 0.001 =
Actividad 14
Notación decimal como potencias
1. Convierte las cantidades siguientes en potencias de 10, dentro del recuadro de la derecha.
109
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
46
48. Razones y proporciones
Llamamos razón a la comparación de 2 cantidades, dividiendo la magnitud de una entre la
magnitud de la otra. Donde el antecedente es el 1er término de una razón o el numerador y el
consecuente es el 2° término de la misma razón o el denominador. Cuando comparamos
cantidades o magnitudes debemos expresarlas en las mismas unidades de medición.
Llamamos proporción a la expresión que nos indica que dos razones son iguales. Teniendo en las
proporciones elementos llamados extremos que son el primero y cuarto términos mientras que el
segundo y tercero términos se llaman medios.
Llamamos tasa al tipo especial de proporción o razón que incluye una medida de tiempo en el
denominador. Los componentes de una tasa son el numerador, el denominador, el tiempo específico
en el que el hecho ocurre y usualmente un multiplicador, potencia de 10, que convierte una
fracción decimal en un nº entero. El concepto de tasa está asociado con la rapidez de un
fenómeno por unidad de tiempo.
Hay razones que se les llama velocidad, densidad, el interés, la tasa de crecimiento, etcétera.
Ejemplo: 4 : 5 :: 16 : 20 En la forma horizontal
4 = 16 En la forma de división o razón
En estas dos formas de expresar proporciones tenernos que el 4 y el 20 son los llamados
extremos de la proporción, mientras que el 5 y el 16 son los medios de la proporción.
Si multiplicamos estos números entre ellos nos dan como resultado 80, o sea (4 x 20) y (5 x 16).
También podemos conocer variaciones directamente proporcionales como inversamente
proporcionales dentro del análisis de razones y proporciones. Donde según esta variación
llamaremos tasa de variación. En las variaciones directamente proporcionales existe la regla donde
el cociente es constante o sea si "x" crece "y" crece y estamos hablando que existe una constante
donde la grafica se observa lineal.
5 20
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
47
49. Análisis de ecuaciones proporcionales
Procedimiento:
·1 Se escribe la fórmula de variación adecuada al ejercicio:
Si A es directamente proporcional a B, entonces A = kB
Si A es inversamente proporcional a B, entonces A= k/B
Si A es directamente proporcional a B y C, entonces A = kBC
Si A es directamente proporcional a B e inversamente proporcional a C, entonces A= kB/C
2. Se sustituyen les supues�os en la fámula y se despeja la constante de proporcionalidad k.
3. Se sustituyen, el valor de la constante de proporcionalidad k, hallado en el paso anterior, y
las cantidades dadas en la pregunta, en la fórmula; y se despeja y calcula la cantidad
incógnita.
Ejemplos:
1) x es proporcional a y. Si x = 9 cuando y= 6, encuentra cuando y = 8. Solución:
Corno x es proporcional a y, entonces: x = ky (1)
Sustituyendo x = 9 y= 6 en (1), se obtiene:
9 = k (6) por lo tanto k = 9/6 = 3/2 (2) De tal modo que
x = 3/2 y [(2) en (1)]
Pero y= 8 de modo que x = (3/2)(8) = 24/2 por lo tanto x = 12
2) x es proporcional a y. Si y= 3 cudndo x= 2, calcula cuando x= 24
Solución: Como x es proporcional a y, entonces: x = ky (1)
Sustituyendo 2 = k (3) k = 2/3 (2)
De tal modo que x = 2/3 y [(2) en (1)]
Sustituimos x = 24
24 = 2/3 y por lo tanto despejamos 2y = (24)(3) 2y = 72 y= 72/2
Obtenemos: y =36
3) La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200
g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo
adaptar la receta para cinco personas?
Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa
esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: donde la constante sería: 5/4.
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
48
50. Y la gráfica que representaría dicho ejemplo seria una línea recta.
En la variación inversamente proporcional ocurre algo diferente si "x" aumenta "y" disminuye o si "x"
disminuye "y" aumenta, y la gráfica queda en una curva característica que analizaremos enseguida.
4) Tres pintores tardan 10 días en pintar una bodega. ¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer
el mismo trabajo?. AL aumentar el número de pintores disminuye el tiempo que se tarda en
pintar La bodega, como el número de pintores se multiplica por 2, el número de días que se
emplean en pintar se divide por 2. Así tardarán 5 días.
En la siguiente tabla aparece el registro de distancias y tiempos de las carreras realizadas durante
las competencias en un campeonato escolar.
Podemos analizar ¿ Quien recorrió más distancia? Mari Jo ¿ Quién corrió durante menos tiempo?
Alexa ¿Quién corrió rnás rápido? Mari Jo
La velocidad es una magnitud que se mide poniendo en relación otras dos magnitudes: la distancia
y el tiempo, por ello la velocidad es una razón.
Si analizamos una razón conocida como tasa de crecimiento de un población en especial podemos
analizarla sabiendo que es el porcentaje que representa el incremento de la población durante un
año, con respecto a la población que había al iniciar ese año. Y esta tasa representa un incremento
relativo de una población.
Ejemplo:
ALUMNO
DISTANCIA
(METROS)
TIEMPO
(SEGUNDOS)
VELOCIDAD
(m/s)
ALEXA 120 13.9 120/13.9 = 8.63
BRENDA 200 20 200/20 = 10
VERONICA 450 51.4 450/51.4 = 8.75
MARI JO 500 99 500/ 99 = 5.05
ENTIDAD POBLACIÓN INCREMENTO
TASA DE
CRECIMIENTO
SAN PEDRITO 1 180, 125 12, 825 1.08%
SAN JUANITO 375, 890 10, 420 2.77%
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
49
51. Otros términos importantes a conocer son: tasa de interés, densidad de población los cuales podrás
investigar para conocer la relación de los valores que implican ellos y comentar con tus compañeros para
tomar una conclusión respecto a esos términos.
Tasa de interés:
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
Densidad de la población:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Crecimiento directamente proporcional:
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Tasa de variación:
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
50
52. b) Un terreno de 770 km2 de superficie en 2 lotes, donde uno es 5 /6 del otro. ¿Cuánto mide
cada lote?. Exprésalo en forma de razones y calcula la medida de cada lote.
Actividad 15
Razones y proporciones
1. Expresa en los siguientes problemas las razones y calcula las proporciones donde se indica:
a) Matías tiene $200 mientras Sofía tiene $1400, escribe la razón de lo que tiene Matías con
respecto a Sofía y la razón de lo que tiene Sofía con respecto a la cantidad de Matías.
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
51
53. e) Dos grupos de Baile tienen 120 bailarines, ¿Cuántos bailarines tiene cada grupo si la razón de
baile folklórico y baller esta en razon de 3/5?
d) Obtén los términos faltantes de las proporciones siguientes:
2) 24 '" lli
15 45
3) � = 120
8 24
y=
m=
s =
e) Si por el consumo de 45 cm3
se pagan $60, ¿Cuárto se pagará por un consumo de 30cm3?
_
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
52
54. ! f) Un auto veloz recorre 450 km a una velocidad de 150 km/hr, ¿Qué diistancia recorrerá en el mismo
tiempo a 180 km por hora?
_ _ - --
g) Dos albañiles construyeron un muro de 16 metros de superficie en cuatro horas, ¿qué superficie
construiran cinco albañiles en seis horas? Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El
número de albañiles y el tiempo de trabajo.
h)Dos autos recorren exactamente el mismo camino. Al primero le ha tomado tres lloras y media llegar al
destino viajando a una velocidad promedio de 75km/h. El segundo viaja a 100km/h. ¿Cuánto tiempo ha
tardado en llegar?
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
53
55. i) Un automóvil consume 4 galones de gasolina por 160 km de recorrido, ¿Cuántos kilómetros
recorre con 20 galones?
j) Una cuadrilla formada por 8 obreros trabaja un muro de una nave industrial en 12 días.
¿Cuántos obreros debe tener la cuadrilla para hacer el mismo trabajo en 4 días?
k) En una granja avícola hay 450 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se
compran 100 gallinas más, ¿En cuánto tiempo comeran la misma cantidad de grano?
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
54
56. 2. De !as siguientes tablas calcula la columnafaltante según los datos dados:
a) Respecto a ciertos bancos de una ciudad se investigaron los datos siguientes, averigua cuál
es el branco que más conviene por los intereses más bajos que cobra en los préstamos.
b) Los datos que se dan en la siguiente tabla corresponden a dos poblaciones del mundo encuentra la
tasa de crecimiento correspondiente.
BANCO
CANTIDAD
PRESTADA
DESPUES DE
UN AÑO DE
COBRO
CANTIDAD QUE
CORRESPONDE
A INTERESES
TASA DE
INTERES ANUAL
BANCO 1 $ 140,500 $ 165,000
BANCO 2 $ 1,500 $ 1,800
BANCO 3 $ 12,450 $ 15,900
BANCO 4 $ 160,000 $ 198,000
ENTIDAD POBLACIÓN INCREMENTO
TASA DE
CRECIMIENTO
SAN JULIAN 10, 281,825 852,050 %
SAN MARCOS 49,004,890 154,070 %
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
55
57. Lenguaje algebraico
Dentro de las matemáticas existe un lenguaje especial para poder plantear situaciones de la
vida diaria en forma matemática, donde se interpreten con signos, números, variables,
exponentes, etcétera. Enunciados verbales en notación algebraica.
Aquí podemos utilizar sinónimos, para poder plantear en lenguaje verbal el enunciado
matemático.
Para decir:
Sumar: Agregar, adicionar, incrementar, aumeritar, etc.
Restar: Disminuir, reducir, decrementar, sustraer, la diferencia, etc.
Multiplicar: Incrementado en, aumentado en, factorizado, por, multiplicado, doble, triple, etcétera.
Dividir: Repartir, tercera, mitad, cuarta, etc.
Exponente: elevado, afectado, cuadrado, cubo, a la cuarta, etcétera.
Ejemplos de aplicación:
Lenguaje común representado en expresiones algebraicas:
a) El cubo de un número cualquiera disminuido en 7 unidades: x3 - 7
b) La suma de dos números cualquiera más 4: (x + y) + 4
c) Un número disminuido en el cubo de otro es igual a 25: x - y3 = 25
Expresiones algebraicas representadas en lenguaje común:
2m2 = El doble de un número al cuadrado
m2 + x2 = La suma de dos números al cuadrado
(m + x) 2
= El cuadrado de la suma de dos números cualquier.
(y - z)3 = El cubo de la diferencia de dos números cualquiera
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
56
58. a)Término algebraico:
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
b) Coeficiente numérico:
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
c) Parte literal:
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
d) Exponente de la parte literal:
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
f) Expresión algebraica:
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
g) Signo:
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
Actividad 16
Terminología básica
1. Investiga y escribe los conceptos siguientes:
e) Grado:
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
57
59. Problema
2. Resuelve el problema siguiente con expresión algebraica según los datos:
La edad de Ramiro y la de Mauricio suman 116 años. Si Ramiro es 12 años mayor
que Mauricio, ¿Qué edad tienen Ramiro y Mauricio?
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
58
60. __
Actividad 17
Enunciados verbales y expresiones algebraicas
1. Completa las partes que faltan de la tabla utilizando palabras de significado matemático:
ENUNCIADO VERDAL EXPRESIÓN ALGEBRAICA
1. El doble de un número, más el
triple del mismo
2. m2
+ n2
3. La suma de dos números al cubo
4. 2x – x/3
5. El cociente de un número al
cuadrado entre el doble de otro
número al cubo
6. z2
+ 3v2
7. El triple de la suma de dos
números elevados al cuadrado
8. (m – p)3
9. Dos números elevados a la cuarta
potencia dividiendo a otro número al
cubo
10. (a3
– b3
)2
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
59
61. 2.Realiza las expresiones; algebraicas de los siguientes enunciados:
3.Realiza los enunciados de las siguientes expresiones algebraicas:
a) La suma de dos números cualesquiera es
12.
b) La raíz cuadrada de la suma de dos
números.
c) El triple de un número disminuido en 4
d) La diferencia de dos números
e) La mitad de un número cualquiera.
f) Tres números consecutivos
a) 2x – 3y
b)
(a – b)2
c) b/3
d) 1/4a
e)
x3
+ p2
f)
3m3
______________________________________________________________________________________________________________________________
Álgebra
60
