resumen

1. NÚMERO COMPLEJO (RESUMEN)
Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales
z = (a, b) / a  y b 
A su vez el primer elemento a se define como parte real de z y el segundo elemento b se
define como parte imaginaria de z
En el conjunto ℂ de los números complejos, se define la relación de igualdad:
Igualdad: z1=(a,b) z2=(c,d) : z = z2  a=c , b=d
O sea que dos complejos son iguales si tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria
Al número complejo (a,0) se denomina número complejo real (es el real a) y al número
complejo (0,b) se lo denomina número imaginario puro.
En resumen: para que un número complejo sea real debe tener su parte imaginaria igual
a cero. Para que un número complejo sea imaginario puro, debe tener su parte real
igual a cero
Los números reales pertenecen al conjunto ℂ
El número complejo (0,1) se define como la unidad imaginaria y se la llama i (i=(0,1))
Operaciones con números complejos:
1-Adición: z1=(a,b) , z2=(c,d): z1+ z2= (a+c , b+d)
2-Multiplicación: z1=(a,b) z2=(c,d) : z1 . z2= (ac-bd , ad+bc)
3-Resta: z1=(a,b) z2=(c,d): z1 - z2 = (a-c , b-d)
4-División: z1=(a,b) z2=(c,d) , con c≠0 y/o d≠0: z1 / z2= (
ac+bd
c2+d
2 ,
bc-ad
c2+d
2)
EJEMPLOS:
Si los número complejos son: z1=(3, -2) z2=(-4 , 1) entonces
z1+z2=(-1 , -1) , z1.z2= (-12-(-2) , 3+8) = (-10 , 11) , z1-z2= (7 , -3)
z1/z2= (
-12+(-2)
16+1
,
8-3
16+1
) = (-
14
17
,
5
17
)
Para realizar la operación, por ejemplo: -2.z1 , transformamos el -2 (número real) en
el complejo real: (-2 , 0)  -2.z1= (-2 , 0).(3 , -2)= (-6-0 , 4+0) = (-6 , 4)
OBSERVACIONES
1)i2
=i.i=(0, 1).(0, 1)=(0-1 , 0+0)=(-1 , 0) que es el real -1  i2
= -1 (&)
2)(a , b) = (a , 0) + (b , 0).(0 , 1) ya que (b, 0).(0, 1)=(0 , b)
(a , 0) es el real a , (b , 0) es el real b y (0 , 1) es la unidad imaginaria i , por lo
tanto el complejo (a, b) se puede escribir como: a + b.i (esto es lo que se conoce como
NOTACIÓN BINÓMICA DEL NÚMERO COMPLEJO)
La notación binómica nos permite trabajar más cómodamente con las operaciones=:
Si z1=(a,b)= a + b.i , z2=(c,d)=c + d.i  zz+z2= a+c + (b+d).i
zz.z2= (a+b.i).(c+d.i) = a.c+b.i.c+a.d.i+b.i.d.i = ac+bc.i+ad.i+bd.i2
=
(aplicando propiedad distributiva) ac+(bc+ad).i +bd(-1)= ac-bd+(ad+bc).i

2. EJEMPLOS: z1=(4 ,-2) , z2=(-3 , -1)  z1= 4 -2.i , z2= -3 - i
zz+z2= 1 -3.i , zz.z2=(4 -2.i).(-3 -i)= -12+6.i-4.i+8.i2
= -12-8+2.i = -16+2.i
5.z2= 5.(-3 – i) = -15 – 5.i
3)POTENCIAS DE i : i0
= 1 , i1
= i (por definición de potencia de exponentes 0 y 1)
i2
= -1 , i3
= i2
.i = -1.i = -i  i3
= -i , i4
= i3
. i = (-i).i = -i2
=-(-1)  i4
= 1
i5
= i4
. i = 1.i = i  i5
= i , i6
= i5
.i = i.i = i2
= -1  i6
= -1 , i7
= i6
.i = -1.i = -i i7
= -i
i8
= i7
.i= -i . i =-i2
= 1  i8
= 1 ………
siguiendo la secuencia:
Si el exponente es múltiplo de 4 la potencia de i será igual a 1 ,
Si el exponente es múltiplo de 4, más 1, la potencia será igual a i
Si el exponente es múltiplo de 4, más 2, la potencia será igual a -1
y si el exponente es múltiplo de 4, más 3, la potencia será igual a -i
Aplicando estas reglas, si queremos hallar la potencia i98
buscamos el múltiplo de 4
anterior a 98 (96) y por lo tanto el exponente es 96+2: múltiplo de 4 +2 y eso nos
indica que i98
= -1.
De igual manera si se quiere calcular i2001
= i (ya que 2001= 2000 +1 o sea:
múltiplo de 4 +1)
EJERCICIOS :
1-Calcula las siguientes potencias de i: i13
, i56
, i73
, i82
, i103
, i724
, i1005
, i5216
, i7253
2-Con los siguientes números complejos; z1=2+2.i , z2= (3 , -3) , z3= -5 + i , z4= 7
Z5= -2.i , z6=-4 -2.i , z7= 2 – i , z8= (-5, -1) , z9=(3 , 3)
realiza las siguientes operaciones:
z1 - z3= , z2. z3= , z4.z1= , -3.z1+2.z6= ,
z4.z5= , z4+z5= , z3+z5= , z2+z9= , z3.z5= , z2.z9= , z3/z1= , z7/z5= ,
(z5)9
= , (z7)2
= , (z2)2
-3.z5+ z6= , 2(z7)2
+ 3.z5-6.z2=
3-Determina el valor de a para que z=(3a-4, a2
-9) sea un: 1°)número real
2°)número imaginario puro
4-Halla el valor de h para que el número z=
3-2hi
4-3i
resulte se : 1°)imaginario puro 2°)real
RESOLVER UNA ECUACIÓN DE GRADO 2 EN EL CONJUNTO DE LOS COMPLEJOS
Recordemos que las ecuaciones de la forma: ax2
+bx+c=0 , donde a, b y c son coeficientes
reales, se resuelven con la fórmula: x=
-b±√b
2
-4ac
2a
En el conjunto de los números reales, cuando la expresión (b2
-4ac) es negativa, la
ecuación no tiene raíces reales. Sin embargo en el conjunto ℂ de los números complejos, si
tiene raíces complejas.
Ejemplo: 1)x2
+1=0  x2
= -1  x=  √-1 o sea que la solución en ℂ: x= i , x = -i

3. 2)x2
+9=0  x2
= -9  x=  √-9 =  √-1 . √9 = (i).(3) = 3.i o sea que las
raíces de esta ecuación en ℂ son: x=3.i , x=-3.i
3)x2
+2x+2=0  x=
-2±√4-8
2
 x=
-2±√-4
2
 x=
-2±√4.√-1
2
 x=
-2±2.i
2
=
-2
2
±
2.i
2
o sea que las raíces de la ecuación en ℂ son x= -1 + i , x = -1- i
4)4x2
-4x+37=0  x=
4±√16-592
8
 x=
4±√-576
8
 x =
4±√576.√-1
8
 x=
4±24.i
8

x=
4
8
±
24.i
8
 x=
1
2
 3.i o sea que las raíces de la ecuación en ℂ son: x = ½ +3.i ,
x= ½ -3.i
OBSERVACIÓN: Si una ecuación de segundo grado tiene la raíz compleja α= k+h.i  su
otra raíz compleja es: β=k–h.i
En los ejemplos anteriores se observa que las raíces complejas de las ecuaciones
planteadas son: ( i , -i) ; (3.i , -3.i) ; ( -1+i , -1-i) ; ( ½ +3.i , ½ -3.i)
DEFINICIÓN:
Dos números complejos de la forma k+h.i y k-h.i se denominan complejos conjugados
Si z=(a,b)=a+b.i entonces el conjugado de z (lo notamos: z
̅ ) es z
̅= (a, -b)=a-b.i
EJERCICIOS:
5-Resuelve las siguientes ecuaciones en el conjunto de los números complejos:
X2
+25=0 , 9 X2
+4=0 , -4 X2
-121=0 , X2
-6x+13=0 , X2
-8x+17=0 , - X2
+4x-29=0 ,
9X2
+12x+5=0 , -9 X2
+12x-29=0 , 16 X2
-48x+37=0 , X2
+2x+50=0
6-Determina los conjugados de los siguientes complejos: -2+i , 2i+4 , -2 , 5i ,
-3-4i , 8i-5
7-Si z=-5+3i , calcula: z+z
̅ , z-z
̅ , z. z
̅ , z/z
̅ , z
̅/z , z2
, z
̅2
, ( z+z
̅)2
Ejemplos de ecuaciones con complejos:
Si queremos resolver la ecuación: 2z+3i-4=-5i+6 procedemos como siempre despejando z:
2z=-3i+4-5i+6  2z= 10-8i  z=
10-8i
2
 z=5-4i
Más ejemplos:
Resolver la ecuación (2-i)z=-3+2i  z=
-3+2i
2-i
 (aplicando la fórmula del cociente:
z1 / z2= (
ac+bd
c2+d
2
bc-ad
c2+d
2) ) z=
-6-2
4+1
+
-3+4
4+1
.i  z=
-8
5
+
i
5
Resolver la ecuación: 3+i-2iz=(-2+3i)(3-5i)  -2iz=(-6+10i+9i-15i2
)-3-i , recordando
que i2
=-1  -2iz=-6+15+19i-3-i  -2iz= 6+18i  z=
6+18i
-2i
 z=
0-36
4
+
0+12
4
.i 
Z=
-36
4
+
12
4
i  z=-9+3i
Otra forma de resolución:
Resolver la ecuación en ℂ: (2-i)z=-3+2i
Sabiendo que el número que queremos hallar es complejo  z=a+bi  debemos resolver la
ecuación: (2-i)(a+bi)=-3+2i  2a-ai+2bi-bi2
=-3+2i  2a+b +(-a+2b)i=-3+2i por
igualdad de números complejos las partes reales e imaginarias de ambos números

4. complejos deben ser iguales, o sea: {
2a+b=-3
-a+2b=2
y en este caso nos quedaría resolver este
sistema para hallar z: 2b-2=a  2(2b-2)+b=-3  4b-4+b=-3  5b=-3+4  b=
1
5
a=2(
1
5
)-2=
2
5
-
10
5
= -
8
5
=a  z=-
8
5
+
1
5
i
EJERCICIOS
8-Resuelve las siguientes ecuaciones en ℂ: a)-2+2i+z=-3i+2 b)3i-2z=1
c)5+3i-iz=4+i d)1-6i+(2-i)z+5=-4-3i e)(-2+i)z=-3-i f)-2+iz=-3-i