1. Анхны Тоо<br />Нэг болон єєрєєсєє єєр тоонд хуваагдадгvй натурал тоог Анхны тоо гэж нэрэлдэг. Эхний хэдэн анхны тоонуудыг дурдвал: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 г.м... Харин 4, 6, 8, 9 г.м нь анхны тоо биш. Учир нь бид эдгээр тоонуудыг 4 = 2 2, 6 = 2 3, 8 = 2 2 2, 9 = 3 3 г.м - ээр єєр натурал тоонуудыг vржвэр болгон задалж болно. Эдгээр тоонуудыг зохиомол тоонууд гэдэг. Бас бид 1 - ийг анхны тоо гэж vздэггvй.<br />Я. И. Перельман - ий Сонирхолтой Алгебр номноос дараах vнэхээр гайхамшигтай хоёр теоремийг зээллээ. Хэрвээ чи энэ номыг уншиж байсан бол одоо энэ єгvvллэгийг цааш нь уншаад цагийн гарз биз ээ.<br />Анхны тоонуудын дунд зохиомол тооны хэсэг янз бvрийн уртаараа байдаг. Жишээ нь, 7, 11 гэсэн хоёр анхны тооны завсар 8, 9, 10 гэсэн гурван зохиомол тоо байна. <br />ТеоремИйм дан зохиомол тоонуудаас бvрдсэн хэсэг ямар ч урттай байж болно. Тэгэхлээр, сая, триллион г.м. олон зохиомол тоонууд дараалан оршиж болдог байна... Vvнд хязгаар гэж vгvй.<br />Баталгаа<br />Ямар нэгэн тооны факториал - ийг ингэж тодорхойлдог: n! = 1 2 3 ... n. Жишээ нь: 5! = 1 2 3 4 5 = 120 г.м...<br />Бид одоо шууд дараалсан зохиомол тоонуудыг бичиж чадна:<br />[(n + 1)! + 2], [(n + 1)! + 3], [(n + 1)! + 4], ... , [(n + 1)! + n + 1] г.м... Эдгээр тоонууд зохиомол тоонууд байна. Яагаад гэхлээр n + 1 ба n + 1 - ээс бага тоонууд (n + 1)! vржвэрт багтаж байна. Тиймээс [(n + 1)! + n + 1] = (n + 1)[n! + 1] гэж vржигднvvн болгон задалж болж байна.<br />Жишээ нь, хэрвээ бид 1000 дараалсан зохиомол тоог олъё гэвэл дээрх цуврал тоонуудыг аваад, n - ийн оронд 1000 - ийг оруулахад л болж байна. <br />Дэс дараалан орших зохиомол тооны урт хичнээн ч урт байж болно гэсэн дvгнэлт нь анхны тоонуудын цуваа тєгсгєлтєй юм байна гэсэн бодол тєрvvлж болох юм. Энийг худлаа болохыг Грекийн математикч, геометрийг vндэслэгч, Евклид олсон. Энэ баталгааг одоо бид vзэх болно.<br />ТеоремАнхны тоонуудад тєгсгєл байхгvй.<br />Баталгаа<br />Бид эсэргээс батлах гэсэн аргыг хэрэглэх болно. Эхлээд анхны тоонуудыг тєгсгєлтєй гээд, сvvлчийн анхны тоог p - гээр тэмдэглэе. p натурал тоо болохлээр бид p - гийн факториалыг олж болно. Энэ факториал дээр нэгийг нэмбэл:<br />p! + 1 = 1 2 3 ... p + 1<br />гэсэн тоо гарна. Энэ тоо нь p - гээс их (хамаагvй их) байна. Тэгэхлээр энэ бол анхны тоо биш (яагаад гэвэл p - г бид сvvлчийн анхны тоо гэсэн). Энэ нь зєрчил vvсгэж байна. Учир нь p! + 1 нь p - гээс бага ямар ч натурал тоонд хуваагдахгvй. Тэгэхлээр нэг эсгvй бол р - ээс их анхны тоо байна, эсгvй бол p! + 1 нь єєрєє анхны тоо.<br />Энэ теоремийг анх олсон Евклид нь хавтгайн геометрийн vндэслэгч гэдгийг мэдэж байхад илvvдэхгvй биз ээ.<br />Фермагийн Агуу Их Теорем (Сvvлчийн Теорем) <br />Vе vеийн математикчидийг гайхуулсаар ирсэн Фермагийн агуу их теоремийг математикийн хамгийн сонирхолтой оньсого байсан гэж хэлж болох билээ. Амархан мєртлєнгєєсєє хэцvv энэ теоремийг сvлжээндээ оруулахгvй бол хиймор сvлдэнд муу байх.<br />17 зуунд Францийн суут математикч Пьер Ферма (Pierre de Fermat) Грекийн математикч Диофантын бичсэн нэг номны хуудасны захын зайнд ингэж бичжээ:<br />quot;
Ямар нэгэн тооны хоёроос илvv зэрэг нь ийм зэргийн хоёр єєр тооны нийлбэр болж чадахгvй. Би энэ теоремийн vнэхээр гайхамшигтай баталгааг оллоо. Харамсалтай нь энд vvнийг дурдах зай алга.quot;
<br />Єєрєєр хэлбэл, Фермагийн баталсан гэж хэлээд байгаа энэ теорем нь ингэсэн vг билээ:<br />xn + yn = zn тэгшитгэл n > 2 байх нєхцєлд бvхэл тоон шийдтэй байж болохгvй.<br />Хялбар харагдах энэ теоремийг vе vеийн, хамгийн алдарт математикчид батлах гээд чадаагvй бєгєєд зєвхєн 1993 онд л Английн математикч Andrew Wiles баталжээ. Wiles - аас ємнє Эйлер, Гаусс, Жермайн, Кvммер зэргийн математикчид энэ теоремийг батлахыг оролдож байсан бєгєєд, зєвхєн тодорхой хэдэн зэргийн хувьд батлахаас цааш яваагvй билээ. Энэ теоремд ерєнхий баталгаа хэрэгтэй байжээ.<br />Бидний унших дуртай Перельманы quot;
Сонирхолтой Алгебрquot;
номонд энэ теоремийн тухай байдаг бєгєєд тэр номыг бичигдэх vед энэ теорем батлагдаагvй байсан. Тэгэхлээр энэ теорем 1993 онд батлагдсан тухай quot;
Сонирхолтой Алгебрquot;
- т юу ч байхгvй.<br />Wiles энэ теоремийг мэдээж ганцаарханаа дангаараа батлаагvй. quot;
Энэ бол 20-р зууны математикчидийн бvтээл.quot;
гэж тэрээр єєрєє хэлжээ.<br />Харин одоо хvртэл бидний сонирхолыг татаж байгаа нэг юм гэвэл Wiles 17-р зууны математикаас хол давсан 20-р зууны математикийг ашиглаж энэ теоремийг баталжээ. Тэгэхлээр 17-р зуунд Ферма vнэхээр єєр баталгаа олсон юм уу? Мэдээж, Ферма алдсан байж болно. Гэхдээ хэн мэдлээ? Нэг юм илэрхий байна: Фермагийн vеийн математикч ойлгохоор шинэ баталгаа олдохоос нааш энэ теорем оньсого хэвээрээ vлдэнэ.<br />Ном зvй: quot;
Fermat's Last Theorem: Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problemquot;
, by Amir D. Aczel; quot;
The Mathematical Universequot;
, by William Dunham; quot;
Сонирхолтой Алгебрquot;
, Я. И. Перельман<br /> Математикч Гvн Ухаанч Пифагор<br />Бэлтгэсэн Очоо<br />Грекийн агуу их гvн ухаанчдын нэг болох Пифагор м.э.є. 570 онд Грекийн арал Самос-т тєрж єсчєє. Тэрээр Египет болон Babylon1 - оор аялах явцдаа Anaximander2, Pherekydes3 нарын онолыг vзэж судалсан байна. Пифагор quot;
Самосын хоёрхогчquot;
Polykrates4 - ын улс тєрийн бодлоготой vл зєвшєлцсєний vvднээс м.э.є 532/531 онд Самосыг орхин Итали уруу аялсан бєгєєд тэндээ Кротон5 - д єєрийн нэрээр нэрлэгдэх quot;
шашин-тєрийн бvлэглэлquot;
байгуулжээ.<br />Тэрээр quot;
Бvх зvйл бол тоо юм! Математикийн зарчимаар л бvх зvйлс хувьсаж єєрчлєгдєж байдагquot;
гэсэн дvгнэлтийг дэвшvvлсэн байна.<br />Шавь нар нь тvvнийг Apolls6 - ын хойд дvр гэж єргємжилдєг байсан бєгєєд м.э.є 500 онд нас барсных нь дараагаар ч Пифагорын туулсан амьдрал нь олны дунд домог болон яригдсаар иржээ.<br />1 Одоогийн Иракийн газар нутагт оршиж байсан эртний хот; 2 Хязгааргvйн онол; 3 Газар дэлхий, бурхны vvслийн онол; 4 м.э.є. 538 оноос хойш Самосын хоёрхогч байсан бєгєєд м.э.є. 522 онд насан эцэслэжээ; 5 Одоогийн Италийн урд хэсэг, тэр vед Грекийн эзэмшилд байжээ; 6 Грекийн бурхдын нэг<br />Пифагорын Теорем<br />Тэгш єнцєгт гурвалжин: Гурвалжны а болон b талуудыг катет, c талыг гипотенуз гэх бєгєєд катетуудын хоорондох єнцєг 90 градус vvсгэнэ.<br />Пифагорын ТеоремТэгш єнцєгт гурвалжны катетууд квадратын нийлбэр нь гипотенузын квадраттай тэнцvv байна. Єєрєєр хэлбэл, a2 + b2 = c2<br />Баталгаа 1: Алгебрын баталгаа<br />Тэгш єнцєгт гурвалжны катетуудын хэмжээ (а, b) єгєгдсєн гэж vзвэл гипотенузын квадратыг буюу гипотенузын урттай (c) тэнцvv талтай кватрат дvрсийн талбайг (c2) олъё.<br />(а + b) урттай квадрат дvрсийн талбайгаас буюу (a + b)2 - аас нийт тэгш єнцєгт гурвалжнуудын талбайг хассантай c2 тэнцvv.<br />байна.<br />Баталгаа 2: Геометрийн баталгаа<br />Хэрэглээ<br />Тэгш єнцєгт гурвалжны єгєдсєн хоёр талыг ашиглан мэдэгдэхгvй байгаа талын уртыг олоход Пифагорын теорем чухал ач холбогдолтой болохыг дараах томъёоноос харна уу.<br />Ер нь Пифагорын теорем математик асар их vvрэг гvйцэтгэдэг.<br />Пифагорын теоремтой холбоотой бодлогуудыг эндээс олж бодоорой.<br />Пифагорын Тоонууд<br />(Я.И.Перелман - ы Сонирхолтой Алгебр номоос авав.)<br />a2 + b2 = c2<br />тэнцэтгэлийг хангадаг тоо томшгvй олон a, b, c тоо оршин байна. Тэдгээрийг Пифагоорын тоонууд гэж нэрлэдэг. Пифагорын теорем ёсоор ийм тоонууд нь ямар нэг тэгш єнцєгт гурвалжины талуудын урт болж чадна.<br />Хэрэв a, b, c нь пифагорын гуравт бол pa, pb, pc нь бас пифагорын гуравт vvсгэх нь илт байна. Vvнд p нь натурал тоон vржигдхvvн. Vvний эсрэг, хэрэв пифагорын гуравт ерєнхий vржигдэхvvнтэй байвал тэдгээрийг энэ ерєнхий vржигдэхvvнд хураахад дахин пифагорын гуравт гарна. Ийм учраас эхлээд зєвхєн харилцан анхны пифагорын гуравтыг судлах хэрэгтэй (бусад нь эдгээрийг бvхэл тоон p vржигдэхvvнээр vржvvлэхэд гарна).<br />a, b, c гэсэн тийм гуравт дотор нэг катет нь заавал тэгш, нєгєє нь сондгой тоо байдаг гэдгийг vзvvлье. Эсрэгээс сэтгэх арга хэрэглэе. Хэрэв хоёр катет хоёул тэгш байвал a2 + b2, тэгэхлээр, гипотенуз ч тэгш тоо байх ёстой. Энэ гурван тэгш тоо 2 гэсэн ерєнхий vржигдэхvvнтэй байх тул a, b, c гурав харилцан анхны гэдэгт харшилж байна. Ийм учраас a, b гэсэн хоёр катеты ядаж нэг нь сондгой тоо байх ёстой.<br />Єєр нэг боломж vлдлээ: хоёр катет хоёул сондгой, гиптенуз тэгш байх. Ийм байх боломжгvй гэдгийг батлахад хялбархан. Vнэхээр, хэрвээ катетууд<br />2x + 1, 2y + 1<br />дvрстэй байвал тэдгээрийн квадратын нийлбэр<br />4x2 + 4x + 1 + 4y2 + 4y + 1 = 4(x2 + x + y2 + y) + 2<br />- той тэнцvv, єєрєєр хэлбэл, 4-т хуваахад 2-той тэнцvv vлдэгдэл єгдєг тоо гарна. Гэтэл тэгш тоо бvрийн квадрат 4-т vлдэгдэлгvй хуваагдах ёстой. Иймд хоёр сондгой тооны квадратын нийлбэр тэгш тооны квадрат болж чадахгvй. Єєрєєр єгvvлбэл, бидний авсан 3 тоо пифагорын тоо vvсгэхгvй.<br />Ийнхvv a, b катетын нэг нь тэгш, нєгєє нь сондгой, иймээс a2 + b2 сондгой, тэгэхлээр гипотенуз c ч сондгой байна.<br />Тодорхой болгохын тулд а катетыг сондгой, b катетыг тэгш гэж vзье.<br />a2 = c2 - b2 = (c + b)(c - b)<br />байна. Баруун хэсэгт байгаа c + b, c - b vржигдэхvvнvvд харилцан анхны. Vнэхээр, хэрэв эдгээр тоо нэгээс ялгаатай ерєнхий анхны vржигдэхvvнтэй байвал<br />(c + b) + (c - b) = 2c<br />нийлбэр,<br />(c + b) - (c - b) = 2b<br />ялгавар,<br />(c + b) (c - b) = a2<br />vржвэр, єєрєєр хэлбэл, 2c, 2b, a2 тоо ерєнхий vржигдхvvнтэй байх ёстой. а сондгой учраас ерєнхий vржигдэхvvн 2-оос ялгаатай байна. Энэ ерєнхий vржигдэхvvнийг а, b, c гурвуул агуулах ёстой болно. Энэ нь боломжгvй хэрэг. Ийнхvv vvссэн зєрчил нь c + b, c - b хоёр харилцан анхны гэдгийг баталж байна.<br />Хэрэв харилцан анхны хоёр тооны vржвэр тооны квадрат байвал vржигдэхvvн тус бvр квадрат байх ёстой, є.х.:<br />Энэ системийг бодвол<br />дvрстэй байна. Vvнд m, n нь харилцан анхны сондгой тоо болно. Vvний эсрэг m, n хоёр ямар ч сондгой тоо байхад дээрх томъёо a, b, c гэсэн гурван пифагорын тоо єгч чадна гэдгийг уншигчид хялбархан шалгаж болно. Хэдэн пифагорын тоо дурдвал:<br />m=3, n=1 байхад 32 + 42 = 52m=5, n=1 байхад 52 + 122 = 132m=5, n=3 байхад 152 + 82 = 172m=7, n=3 байхад 212 + 202 = 292m=7, n=5 байхад 352 + 122 = 372 г.м.<br />Бусад бvх пифагорын тоонууд нэг бол ерєнхий vржигдэхvvнтэй, нэг бол иррационал тоонууд байна.<br />Пифагорын тоонууд нэлээд олон гайхалтай онцлогтой бєгєєд тэдгээрийг баталгаагvй дурдая:<br />1. Нэг катет нь гуравт хуваагдах тоо байна.2. Нэг катет нь заавал дєрєвт хуваагдах тоо байна.3. Пифагорын тоонуудын нэг нь тавд хуваагдах тоо байна.<br />Дээр дурдсан бvлэг пифагорын тоог ашиглаад эдгээр чанар vнэхээр байна гэдэгт уншигчид єєрсдєє vнэмшинэ.<br /> <br />