Números Reales y Plano Numérico

1. Números
Reales y Plano
Numérico
Leopoldo Torres
V-23.364.569

2. Definición de Conjuntos
En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos
considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un
conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores,
letras, figuras, etc.
Se dice que un elemento pertenece al conjunto si está definido
como incluido de algún modo dentro de él.
Algunos ejemplos son:
• A es el conjunto de los números naturales menores que 5.
• B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.
• C es el conjunto de las vocales a, e, i, o y u.
• D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.

3. Operaciones con Conjuntos
Las operaciones con conjuntos también conocidas
como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar
operaciones sobre los conjuntos para obtener
otro conjunto. De las operaciones con conjuntos
veremos las siguientes unión, intersección,
diferencia, diferencia simétrica y complemento.

4. Unión de Conjuntos
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para
formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que
queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A
y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto
formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de
B sin repetir ningún elemento.
El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el
siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar
la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se
forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de
unión.

5. Unión de Conjuntos
EJEMPLO:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de
estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
También se puede graficar
del siguiente modo:

6. Intersección de Conjuntos
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los
elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados
dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B,
estará formado por los elementos de A y los elementos de B que
sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos.
El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es
el siguiente: ∩.

7. Intersección de Conjuntos
EJEMPLO:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección
de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:

8. Diferencia de Conjuntos
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de
dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los
elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir
dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y
B, estará formado por todos los elementos de A que no
pertenezcan a B.
El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa
para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.

9. Diferencia de Conjuntos
EJEMPLO:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de
estos conjuntos será B-A={6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:

10. Diferencia simétrica de Conjuntos
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de
dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los
elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados
dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por
todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B.
El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia
simétrica es el siguiente: △.

11. Diferencia simétrica de Conjuntos
EJEMPLO:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia
simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

12. Complemento de un Conjunto
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los
elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en
el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el
conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el
conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal
pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto
A.
En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un
apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en
donde el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de
complemento.

13. Diferencia simétrica de Conjuntos
EJEMPLO:
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto
A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos
A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

14. Números Reales
Son cualquier número que se encuentre o corresponda con la recta real
que incluye a los números racionales y números irracionales, Por lo tanto,
el dominio de los números reales se encuentra entre menos infinito y más
infinito.
Las principales características de los números reales son:
• Orden. Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4 …
• Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios
vacíos, es decir, cada conjunto que dispone de un límite superior tiene un
límite más pequeño.
• Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por
el lado negativo. Por eso su dominio está entre menos infinito y más
infinito.
• Decimal. Los números reales pueden ser expresados como una expansión
decimal infinita.

15. El conjunto de los números reales se define como la unión de dos tipos
de números, a saber; los números racionales, los números irracionales.
A su vez, los números racionales se clasifican en:
a) Números Naturales (N), los que usamos para contar. Por ejemplo, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…
b) Números Enteros (Z), son los números naturales, sus negativos y el
cero. Por ejemplo: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…
Conjunto de los números reales
Números Reales

16. c) Números Fraccionarios, son aquellos números que se pueden
expresar como cociente de dos números enteros, es decir, son
números de la forma a/b con a, b enteros y b ≠ 0.
d) Números Algebraicos, son aquellos que provienen de la solución de
alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de
radicales libres o anidados. Por ejemplo, 3.
e) Números Trascendentales, no pueden representarse mediante un
número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas
funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y
exponenciales. El número π y e son irracionales trascendentes,
puesto que no pueden expresarse mediante radicales.
Conjunto de los números reales
Números Reales

17. La recta Real
La recta real o recta numérica es una construcción geométrica
unidimensional, o línea recta, la cual contiene todos los números
reales ya sea mediante una correspondencia biunívoca o mediante
una aplicación biyectiva, usada para representar los números como
puntos especialmente marcados, por ejemplo los números enteros
mediante una recta llamada recta graduada como la entera de
ordenados y separados con la misma distancia.
La recta real está nautralmente dividida en dos mitades idénticas
y simétricas respecto al origen, es decir el número cero. Además
esta recta numérica es una línea en la cual suelen graficarse los
números enteros como puntos que están separados por una
distancia uniforme. Nos permite localizar y comparar números así
como realizar operaciones de suma y resta.

18. Propiedades de los
Números Reales
PROPIEDAD OPERACIÓN DEFINICIÓN DEFINICIÓN
Asociativa
Suma y
Multiplicación
El modo en que se asocian o agrupan
los sumandos no influye en el
resultado de una suma. En el caso de
una multiplicación tampoco importa
la asociación pues el resultado será
siempre el mismo.
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐
Conmutativa
Suma y
Multiplicación
Tanto la suma como la multiplicación
de números reales cumplen con la
propiedad conmutativa que indica
que el orden no varía el resultado.
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
Cerradura
Suma y
Multiplicación
El resultado de sumar o multiplicar
dos números reales, también es
número real.
𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑅
𝑎𝑏 ∈ 𝑅

19. Propiedades de los
Números Reales
PROPIEDAD OPERACIÓN DEFINICIÓN DEFINICIÓN
Neutro
Suma y
Multiplicación
Si a un número real se le suma el cero
(neutro aditivo), se queda igual.
Sin un número real se multiplica por 1
(neutro multiplicativo), se queda igual.
𝑎 + 0 = 𝑎
𝑎 1 = 𝑎
Inverso
Suma y
Multiplicación
Si a un número se le suma su inverso, se
obtiene como resultado el 0 (neutro
aditivo).
Si un número se multiplica por su inverso
multiplicativo, se obtiene como resultado 1
(neutro multiplicativo).
𝑎 + −𝑎 = 0
𝑎
1
𝑎
= 1
Distributiva
Suma respecto
a la
multiplicación
El factor se distribuye a cada sumando. 𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐

20. Desigualdades
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden
existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través
de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o
igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas
expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de
esta índole, se emplea para denotar que dos objetos matemáticos
expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que,
aquellas que emplean:
• mayor que >
• Menor que <
• Menor o igual que ≤
• Mayor o igual que ≥

21. Propiedades de las Desigualdades
• Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo
valor, la desigualdad se mantiene.
• Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor,
la desigualdad se mantiene.
• Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la
desigualdad se mantiene.
• Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la
desigualdad se mantiene.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen
también las siguientes propiedades:
• Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número
negativo, la desigualdad cambia de sentido.
• Si se divide ambos miembros de la expresión por un número
negativo, la desigualdad cambia de sentido.

22. Definición de Valor Absoluto
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las
matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más allá de
su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se
conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin
importar si su signo es positivo o negativo.
En matemáticas, existe una definición de valor absoluto que se
expresa:
Esta definición se explica de la siguiente manera:
𝑥 = {𝑥, 𝑠𝑖 ≥ 0
{−𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0

23. Definición de Valor Absoluto
 x, si x ≥ 0. El valor absoluto es positivo si el número es positivo
(x > 0). Por ejemplo: |8| = 8, porque 8 > 0 (8 es mayor que 0). Si
el número es 0 (x = 0), el valor absoluto será cero: |0| = 0,
porque 0 = 0.
 -x, si x < 0. El valor absoluto es positivo si el número es negativo (x
< 0). Por ejemplo: |-8| = 8, porque -8 < 0 (-8 es menor que 0),
entonces el resultado del valor absoluto es -x = -(-8) = 8.

24. Definición de Valor Absoluto
 No negatividad. El valor absoluto siempre es positivo o igual a cero (|x|
≥ 0). Por ejemplo: |8| = 8 y |-8| = 8.
 Definición positiva. El valor absoluto de un número es 0 solo si este
número es igual a 0 (|x| = 0 ⇔ x = 0). Por ejemplo: |0| = 0.
 Propiedad multiplicativa. El valor absoluto del resultado de una
multiplicación es igual al resultado de la multiplicación de los valores
absolutos de los números que la componen (|x * y| = |x| * |y|). Por
ejemplo: |-4 * 5| = |-20| = 20 es igual a |-4| * |5| = 4 * 5 = 20.
PROPIEDADES

25. Definición de Valor Absoluto
 Desigualdad triangular. El valor absoluto del resultado de una suma es
menor o igual al resultado de la suma de los valores absolutos de los
números que la componen (|x + y| ≤ |x| + |y|). Por ejemplo: |-7 + 6| = |-
1| = 1 y |-7| + |6| = 7 + 6 = 13, entonces 1 < 13 (1 es menor que 13).
 Simetría. Un número positivo (por ejemplo, 15) y el mismo número, pero
negativo (por ejemplo -15) tienen el mismo valor absoluto: 15 (|-x| =
|x|).
 Identidad de indiscernibles. El valor absoluto del resultado de una
resta es igual a cero si esos sus números son el mismo (|x – y| = 0 ⇔ x =
y). Por ejemplo: |8 – 8| = |0| = 0, porque 8 = 8.
PROPIEDADES

26. Definición de Valor Absoluto
 Preservación de la división. El valor absoluto del resultado de una
división es igual al resultado de la división de los valores absolutos de
los números que la componen solo si el divisor no es igual a cero (|x / y|
= |x| / |y| si y ≠ 0). Por ejemplo: |4 / 2| = |2| = 2 es igual a |4| / |2| = 4
/ 2 = 2, porque 2 ≠ 0.
PROPIEDADES

27. Desigualdades con Valor Absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que
tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a
considerar:

28. Desigualdades con Valor Absoluto
Desigualdades de valor absoluto (<):
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .

29. Desigualdades con Valor Absoluto
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.

30. Desigualdades con Valor Absoluto
Desigualdades de valor absoluto (>):
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | > b ,
entonces a > b O a < - b .