Ejercicios diagrama de cuerpo libre

1. MECÁNICA ESTRUCTURAL
DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE
INSTRUCTOR
GENARO PENAGOS CRUZ
ESTUDIANTE
CARLOS ANDRES AVENDAÑO LOPEZ
UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA, SECCIONAL ALTO MAGDALENA
PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL
SEMESTRE 2021-2
GIRARDOT, CUNDINAMARCA
2021

2. Equilibrio de cuerpo rígido en dos dimensiones
4.28 Una palanca AB está articulada en C y se encuentra unida a un cable de control en A. Si
la palanca se somete a una fuerza horizontal en B de 500 N, determine a) la tensión en el
cable y b) la reacción en C.
Para la solución del ejercicio planteado, se desarrolla mediante las siguientes etapas:
1. Dibujar un diagrama de cuerpo libre mediante representación gráfica para analizar las
fuerzas que actúan sobre el objeto.
 La figura muestra dos puntos fijos con pasadores, uno en C y otro en D, lo que
significa que tienen reacciones en x y en y, sin movimiento.
 Se determina sumatoria de momentos con respecto a C.
 El cable AD, está sometido a una tensión con dirección negativa.
 Mediante la geometría compleja calculamos los ángulos para encontrar componentes
en x y en y de los momentos alrededor de C.
 El ejercicio nos brinda como dato ángulo de 30° entre la palanca y el eje x. Los
ángulos opuestos por el vértice son iguales, por lo tanto ángulo θ=30°.
200mm
C
A
120°
r
α
Dy
Dx
Cx
30°
30°
Cy
Ty
B
A
C
A
C
D
TAD
30°
120°
α
α
30°
500N
y
x
D
Tx
B
C
α a=250mm
c
500N

3. 2. Para el siguiente paso se determina aplicar las ecuaciones de equilibrio en el plano:
ƩM = 0 ƩFx = 0 ƩFy = 0
3. Se aplican funciones trigonométricas, teorema de seno y teorema de coseno para
calcular el ángulo del triángulo que forma Tensión AD, para encontrar las
componentes horizontales y verticales.
4. Utilizando nuevamente funciones trigonométricas se puede calcular r, que para éste
caso corresponde al radio vector de posición. Considerando que se puede encontrar
con internos y externos, el ángulo que se necesita.
 Con la ley del coseno se puede calcular r, que es el radio vector de posición y
posteriormente poder encontrar el ángulo alpha (α). Por ángulos alternos e internos se
puede calcular.
 Para determinar el ángulo de 120 en C, se toman los 30° grados que da el ejercicio y
por ángulos opuestos por el mismo vértice son iguales, es decir los 30 grados más 90
grados que forma el ángulo recto son 120 grados (β)
 Luego, con la ley del seno se puede calcular el ángulo α.
Ley de coseno
r² = a²+d²-2*(a)(d)cos(β)
𝑟 = √(2502 + 2502 − 2(250)(250)cos⁡
(120)
𝑟 = 433.01𝑚𝑚
Tx = Txsen(30)
Ty = -Txcos(30)
Ley de seno
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑑
=
𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑟
𝑠𝑒𝑛𝛼
250
=
𝑠𝑒𝑛120
433 .01
𝑠𝑒𝑛𝛼
250
=
𝑠𝑒𝑛120
433 .01
𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1 (
(250)∗𝑠𝑒𝑛(120)
𝑠𝑒𝑛(433.01)
)
𝛼 = 30°

4.  Se calculanlosradiosde las fuerzasde las componentesde latensiòn.
5. En el siguiente paso se calcula el radio de la fuerza aplicada en el punto B.
6. Se realiza sumatoria de momentos con respecto a C, multiplicando cada una de sus
fuerzas por sus respectivos radios. De allí se despeja y calculamos la tensión en el
cable.
7. Por último, se calcula la reacción en C, realizando sumatoria de fuerzas en x y en y
mediante las funciones trigonométricas, obteniendo el resultado del ejercicio.
Cx
𝜃
Rc
x
y
𝑦 = 250 ∗ 𝑠𝑒𝑛(30) = 125𝑚𝑚
𝑥 = 250 ∗ cos⁡
(30) = 216.51𝑚𝑚
MB = Fxd
𝑐 = 200 ∗ 𝑠𝑒𝑛(30)
𝑐 = 100𝑚𝑚
ƩMC = 0
ƩM = R⁡x⁡F
ƩM = 500(100) + (125) ∗ (T*sen(30))-(Tcos(30))*(216.51)=0
50000 = T(−62.5 + 187.50)
T =
50000
(−62.5 + 187.50)
=
50000
125
T = 400N⁡
Ʃ𝐹𝑥 = 𝐶𝑥 − 500 + 𝑇 ∗ 𝑠𝑒𝑛(30) = 0
𝐶𝑥 = 500 − 400 ∗ 𝑠𝑒𝑛(30) = 0
𝐶𝑥 = 500 − 200
𝐶𝑥 = 300𝑁

5. Ʃ𝐹𝑦 = 𝐶𝑦 − 𝑇 ∗ 𝑐𝑜𝑠(30) = 0
𝐶𝑦 = 400 ∗ 𝑐𝑜𝑠(30) = 0
𝐶𝑦 = 346.41𝑁
 Obtenido los resultados de las componentes en C (Cx, Cy), se puede calcular la
reacción de C, mediante el método del paralelogramo. Posteriormente, al formarse
un ángulo rectángulo, se calcula la reacción en C, utilizando el teorema de
Pitágoras.
𝐶 = √(𝐶𝑥)2 + (𝐶𝑦)2
𝐶 = √(300)2 + (346.41)2
𝐶 = 458.25𝑁
 La dirección de la reacción en C, anteriormente encontrada, se puede calcular a
través de la función inversa de la tangente.
𝑇𝑎𝑛𝜃 =
𝐶𝑦
𝐶𝑥
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1(
346.41𝑁
300𝑁
)
𝜃 = 49.1°
Equilibrio de un cuerpo rígido en tres dimensiones
4.113 Una tapa de 20 kg en la abertura de un techo tiene bisagras en las esquinas A y B. El
tejado forma un ángulo de 30° con la horizontal y la tapa se mantiene en posición horizontal
mediante la barra CE. Determine a) la magnitud de la fuerza ejercida por la barra y b) las
reacciones en las bisagras. Suponga que la bisagra en A no ejerce ninguna fuerza de empuje
axial.
F
M=20kg
Ay
Ax
By
Bx

6. 1. Para el siguiente ejercicio, iniciamos interpretando sobre la figura las reacciones que
actúan alrededor de B.
2. Luego se determina aplicar las siguientes ecuaciones que llevan a la respuesta:
M = R x F F = F (λ)
ƩF = 0 ƩM = 0
3. Se determinan conceptos de geometría compleja para encontrar ángulo que se
forma en el vértice C. La suma de los ángulos en un triángulo rectángulo es igual a
180°.
4. Con el ángulo tetha encontrado, se puede calcular la fuerza CE de las componentes,
mediante funciones trigonométricas y la masa que actúa en el el punto C, se
convierte a una fuerza Newton utilizando la formula W = mg, donde W es la fuerza, m
es la masa y g es la aceleración de la gravedad (gravedad = 9.81m/s2).
 Con el ángulo encontrado se calculan las componentes de CE.
FCE = Fx = 𝐹(𝑠𝑒𝑛(75))
Fy = F(cos(75))
FCE = F(Fx + Fy) = F(0.96i + 0.25j)
 El ejercicio anuncia que la ventana tiene una masa en C de 20 kg, que
corresponde al peso de la propia ventana. Ya que dicho peso lo entrega el
ejercicio en kg, debemos saber la fuerza que ejerce en Newton. Por lo tanto, el
valor de 20 kg lo multiplicamos por la aceleración de la gravedad.
w = 20𝑘𝑔𝑥9.81𝑚/𝑠2 =⁡-196.2jN
5. Se continúa con el cálculo de la sumatoria de momentos que actúan alrededor de B,
utilizando la ecuación del producto cruz.
ƩF = 0 ƩM = 0
90°
15°
15°
75°
C
A
E
M=20kg

7. Producto cruz
ƩMB = (RBA
)x(Ax+Ay)+⁡(RBC
)x⁡F(096i + 0.25j)+(RBF
)x(-196.2j)
 Componentes en x, y, z de los radios desde B. Mediante el producto cruz
calculamos la sumatoria de momento alrededor de B. El radio desde B hasta F se
calculan sus componentes dividiendo en 2, las medidas planteadas en el ejercicio,
ya que la fuerza sobre la tapa actúa en el centro de la misma.
RBA = 0.6𝑘⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡RBC = (0.9𝑖 + 0.6𝑘)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡RBF = (0.45𝑖 + 0.3𝑘)
 Luego se reemplazan los radios encontrados en la sumatoria de momentos y
calculamos la ecuación.
ƩMB = (0.6𝑘)x(Ax+Ay)+⁡(0.9𝑖 + 0.6𝑘)x⁡F(096i + 0.25j)+(0.45𝑖 + 0.3𝑘)x(-196.2j)
Ʃ𝑀𝐵 = (0.6𝑗(𝐴𝑥) − 0.6𝑖(𝐴𝑦)) + 𝐹(0.22𝑘 + 0.57𝑗 − 0.15𝑖) + (−88.29𝑘 + 58.86𝑖)
 Continuamos con la sumatoria de momentos en el eje x, en el eje y, en el eje z.
Ʃ𝑀𝐵𝑥 = 0 = −0.6(𝐴𝑦) − 0.15(𝐹)+ 58.86 (1)
Ʃ𝑀𝐵𝑦 = 0 = 0.6(𝐴𝑥) − 0.57(𝐹) (2)
Ʃ𝑀𝐵𝑧 = 0 = 0.22(𝐹)− 88.29⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝐹 =
88.29
0.22
= 401.3𝑁 (3)
 Luego se reemplaza la fuerza de 401.3N en las ecuaciones (1) y (2).
0 = −0.6(𝐴𝑦) − 0.15(401.3𝑁) (1)
0 = −0.6(𝐴𝑦) − 60.19
𝐴𝑦 =
60.19
−0.6
= −100.31𝑁
0 = 0.6(𝐴𝑥) − 0.57(401.3𝑁) (2)
0 = 0.6(𝐴𝑥) − 228.74𝑁
𝐴𝑥 =
228.74𝑁
0.6
= 381.235𝑁

8.  Luegopara encontrarlas reaccionesde lasbisagras,se procede acalcular la sumatoriade
todaslas componentesde lasfuerzasencontradas.Asi llegamosal resultadofinal del
ejercicio.
ƩF = Ax+Ay+Bx+By+Bz+FCE-W
ƩFx = 0=381.2+Bx+0.96(401.3)
𝐵𝑥 = −0.96(401.3) − 381.2
𝐵𝑥 = −(−385.248 − 381.2)
𝐵𝑥 = −(−385.248 − 381.2)
𝐵𝑥 = 385.248 + 381.2) = 766.44𝑁
ƩFy⁡ = ⁡0 = −100.3 + 𝐵𝑦 + 0.25(401.3) − 196.2
𝐵𝑦 = 196.17𝑁
ƩFz⁡ = ⁡0 = Bz = 0