Segunda Lista de Exercícios de Teoria Elementar dos Números

1. Universidade do Estado do Rio Grande do Norte
Campus Avan¸ado Prof. Jo˜o Ismar de Moura
c a
Departamento de Matem´tica e Estat´
a ıstica
Disciplina: Teoria Elementar dos N´ meros
u
Prof.:Laudelino Gomes Ferreira
Segunda Lista de Exerc´
ıcios
Exerc´
ıcio 1 Mostre as seguintes propriedades de n´meros pares e ´
u ımpares:
(a) Soma de dois n´meros pares ´ par.
u e
(b) Soma de dois n´meros ´
u ımpares ´ par.
e
(c) Produto de dois n´meros pares ´ par.
u e
(d) Produto de dois n´meros ´
u ımpares ´ ´
e ımpar.
(e) Soma de um n´mero par e um n´mero ´
u u ımpar ´ ´
e ımpar.
(f ) Produto de um n´mero par e um n´mero ´
u u ımpar ´ par.
e
Exerc´ıcio 2 Mostre que a diferen¸a entre os quadrados de dois inteiros consecutivos
c
´ sempre um n´mero ´
e u ımpar.
Exerc´
ıcio 3 Seja a um inteiro qualquer. Mostre que 3|a(a + 1)(a + 2).
Exerc´
ıcio 4 Calcule, utilizando o processo das divis˜es sucessivas:
o
(a) mdc(45, 21).
(b) mdc(−816, 7209).
(c) mdc(224, 192, 576).
Exerc´ ıcio 5 O m´ximo divisor comum de dois inteiros ´ 20. Para se chegar a esse
a e
resultado pelo processo das divis˜es sucessivas, os quocientes encontrados foram, pela,
o
ordem,2, 1, 3 e 2. Ache os n´meros.
u
Exerc´
ıcio 6 Calcular:
(a) mdc(n, n + 2), sendo n inteiro par.
(b) mdc(n, n + 2), sendo n inteiro ´
ımpar.
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a

2. Exerc´
ıcio 7 Prove que mdc(n, 2n + 1) = 1, para todo n ∈ N.
Exerc´
ıcio 8 Se n e k s˜o n´meros naturais n˜o nulos o mdc(n, n + k) = 1, prove
a u a
que mdc(n, k) = 1.
Exerc´
ıcio 9 Sejam a, b, c inteiros n˜o-nulos. Demonstre as afirma¸˜es abaixo:
a co
(a) Se a|bc e mdc(a, b) = 1, ent˜o a|c.
a
(b) Se a|bc e mdc(a, b) = d, ent˜o a|cd.
a
(c) Se a|c , b|c e mdc(a, b) = d, ent˜o ab|cd.
a
Exerc´
ıcio 10 Calcular:
(a) mmc(45, 21).
(b) mmc(−816, 7209).
(c) mmc(45, 21).
(d) mmc(1287, 507).
Exerc´ıcio 11 (EEA) Se transformarmos o n´mero 595 em uma soma de 5 n´meros
u u
´
ımpares consecutivos, quanto desses n´meros ser˜o ´
u a ımpares?
Exerc´ ıcio 12 (CEFET-RJ) Determine 3 n´meros naturais consecutivos cujo pro-
u
duto ´ 504.
e
Exerc´
ıcio 13 (EEA) O n´mero 4320 tem divisores positivos? Se tiver, quantos s˜o?
u a
ıcio 14 (ESA) O n´mero de divisores naturais de 24 × 32 × 5 ´ ?
Exerc´ u e
Exerc´ ıcio 15 (CES) O n´mero A = 23 · 3n · 52 tem 48 divisores positivos se n for
u
igual a?
ıcio 16 (ESA) Se o n´mero N = 2x · 32 tem 6 divisores positivos, o valor de
Exerc´ u
N ´?
e
Exerc´ ıcio 17 (FCC/TRT/2003) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamen-
tos com 132 comprimidos de analg´sicos e 156 comprimidos de antibi´tico. Dever´
e o a
distribu´
ı-los em recipientes iguais, contendo, cada um, a maior quantidade poss´ de
ıvel
um unico tipo de medicamento. Considerando que todos os recipientes dever˜o receber
´ a
a mesma quantidade de medicamento, o n´mero de recipientes necess´rios para essa
u a
distribui¸˜o ´:
ca e
(a) 24
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a

3. (b) 16
(c) 12
(d) 8
(e) 4
Exerc´ıcio 18 (EEA) Um antiqu´rio adquiriu 112 tinteiros, 48 esp´tulas e 80 canivetes.
a a
Deseja assum´-los em mostru´rios de modo a cada um conter o mesmo e o maior
a a
n´mero poss´ de objetos da mesma natureza. O total de objetos em cada mostru´rio
u ıvel a
ser´ de?
a
Exerc´ ıcio 19 (FCC/CEF/1998) Numa pista circular de autorama, um carrinho
vermelho d´ uma volta a cada 72 segundos e um carrinho azul d´ uma volta a cada
a a
80 segundos. Se os dois carrinhos partiram juntos, quantas voltas ter´ dado o mais
a
lento at´ o momento em que ambos voltar˜o a estar lado a lado no ponto de partida?
e a
(a) 6
(b) 7
(c) 8
(d) 9
(e) 10
Exerc´ ıcio 20 (FCC/TRE-PI/2002) Um m´dico receitou dois rem´dios a um pa-
e e
ciente: um para ser tomado a cada 12 horas e outro a cada 15 horas. Se `s 14 horas
a
do dia 10/10/2000 o paciente tomou ambos os rem´dios, ele voltou a tom´-los juntos
e a
novamente `s:
a
(a) 17 horas do dia 11/10/2000.
(b) 14 horas do dia 12/10/2000.
(c) 18 horas do dia 12/10/2000.
(d) 2 horas do dia 13/10/2000.
(e) 6 horas do dia 13/10/2000.
Exerc´ ıcio 21 (CPCAR/2002) Uma abelha-rainha dividiu as abelhas de sua colmeia
nos seguintes grupos para explora¸˜o ambiental: um composto de 288 batedoras e outro
ca
de 360 engenheiras. Sendo vocˆ a abelha-rainha e sabendo que cada grupo deve ser
e
dividido em equipes constitu´ıdas de um mesmo e maior n´mero de abelhas poss´
u ıvel,
ent˜o vocˆ redistribuiria suas abelhas em:
a e
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a

4. (a) 8 grupos de 81 abelhas.
(b) 9 grupos de 72 abelhas.
(c) 24 grupos de 27 abelhas.
(d) 2 grupos de 324 abelhas.
Exerc´ ıcio 22 (U. E. de Campinas) Uma sala retangular medindo 3m por 4, 25m
deve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados iguais. Supondo que n˜o haja espa¸o entre
a c
ladrilhos vizinhos, pergunta-se:
(a) Qual deve ser a dimens˜o m´xima, em cent´
a a ımetros, de cada um desses ladrilhos
para que a sala possa ser ladrilhada sem cortar nenhum ladrilho?
(b) Quantos desses ladrilhos s˜o necess´rios?
a a
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a