OPTIMASI

Dasar-
Dasar-Dasar
Aljabar Linier

Dasar-dasar Aljabar Linier

MATRIKS

Pertemuan 1

Kompetensi Dasar : Memahami Definisi Matriks

Indikator : Mampu memahami definisi Matriks, mengetahui jenis-jenis
Matriks, operasi-operasi Matriks, dan kaidah-kaidah Matriks.

Isi :

A. Pengertian Matriks
Matriks adalah deretan elemen/objek/item.

ܽଵଵ ܽଵଶ ‫ڮ‬ ܽଵ௡
Contoh:

‫ۍ‬ ‫ې‬
‫ܽ ێ‬ଶଵ ܽଶଶ ‫ڮ‬ ܽଶ௡ ‫ۑ‬
A=‫ێ‬
‫ڭ‬ ‫ۑ ڭ‬
‫ێ‬ ‫ۑ‬
‫ܽۏ‬௠ଵ ܽ௠ଶ ‫ڮ‬ ܽ௠௡ ‫ے‬
(a11 …. amn) disebut suku-suku matriks/anggota matriks.

(am1 am2 ……. amn) untuk setiap m disebut baris ke m

(a1n a2n ….. amn) untuk setiap n disebut kolom ke n

Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut berukuran m x n

Matriks A di atas dapat ditulis A = (aij)mxn atau A = [aij]mxn

B. Jenis-jenis Matriks
Matriks Bujur Sangkar
Adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.
Contoh: A[aij]2x2 atau B[aij]3x3
Pada matriks bujur sangkar ada elemen lain yang disebut DIAGONAL
UTAMA. Perhatikan contoh matriks di bawah:

Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 1


Matriks Diagonal
Adalah Matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di luar diagonal utama = 0

1 0 0 2 0 0
(nol). Contoh:

൦0 2 0൪ atau ൦0 0 0൪
0 0 3 0 0 5

Matriks Satuan
Adalah Matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya = 1,
biasanya dinyatakan dengan I (identity)

1 0 0
Contoh:

1 0
I3 = ൦0 1 0൪ I2 = ቈ ቉
0 1
atau dan seterusnya.
0 0 1
Matriks mxn yang semua elemennya nol disebut Matriks Nol.

0 0 0
Contoh:

0 0 0
൦0 0 0൪ Matrika 3x3 ቈ ቉ Matriks 2x3
0 0 0
atau
0 0 0

Matriks Simetris

Adalah Matriks bujur sangkar [aij]nxn akan disebut matriks simetris,

jika aij = aji.



1 2 3
Contoh:

൦2 5 6൪ dimana a12 = 2 dan a21 = 2 atau a23 = 6 dan a32 = 6
3 6 4

Matriks Tranpose
Tranpose dari suatu matrik A dinyatakan denga A' atau AT dengan menukar
letak baris dengan kolom.

1 4
Contoh:

1 2 3
ቈ ቉ matriks A2x3 menjadi ൦2 5൪ matriks A3x2
4 5 6
3 6

C. Operasi pada Matriks
Penjumlahan dan Pengurangan
Dua buah matriks dapat dijumlahkan dan dikurangkan bila ukurannya sama,
dengan cara menjumlahkan/mengurangkan elemen-elemen yang seletak.

ܽଵଵ ܽଵଶ ܾଵଵ ܾଵଶ ܽଵଵ ൅ ܾଵଵ ܽଵଶ ൅ ܾଵଶ
Contoh:

ቈ ቉ + ቈ ቉= ቈ ቉
ܽଶଵ ܽଶଶ ܾଶଵ ܾଶଶ ܽଶଵ ൅ ܾଶଵ ܽଶଶ ൅ ܾଶଶ

Begitu juga sebaliknya dengan operasi pengurangan.

Perkalian Bilangan dengan Matriks
Suatu bilangan dapat dikalikan dengan sebuah matriks dengan cara mengalikan
bilangan tersebut dengan setiap elemen pada matriks.
Contoh:

k(aij)mxn = (kaij)mxn

misalnya:



ܽଵଵ ܽଵଶ ݇ܽଵଵ ݇ܽଵଶ
kቈ ቉=ቈ ቉
ܽଶଵ ܽଶଶ ݇ܽଶଵ ݇ܽଶଶ

Perkalian Matriks dengan Matriks
Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B dalam bentuk AB, dapat
dilakukan bila banyak kolom matriks A sama dengan baris matriks B.
Misalnya:
Amxn x Bmxn = Cmxn

ܾଵଵ ܾଵଶ
Contoh:

ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ ܿଵଵ ܿଵଶ
ቈ ቉ x ൦ܾଶଵ ܾଶଶ ൪ = ቈ ቉
ܽଶଵ ܽଵଶ ܽଵଷ ܿଶଵ ܿଶଶ
ܾଷଵ ܾଷଶ
dimana:

c11 = a11·b11 + a12·b21 + a13·b31

c 12 = a 11·b12 + a 12·b22 + a 13·b32

c 21 = a 21·b11 + a 12·b21 + a 13·b31

c 22 = a 21·b12 + a 12·b22 + a 13·b32

D. Kaidah-kaidah Matriks
1. A + B = B + A sifat komutatif
2. (A + B) + C = A + (B + C) sifat asosiatif

4. I · A = A
3. k(A + B) = kA + kB

5. 0 · A = 0; 0 + A = A; A + 0 = A
6. A · B ≠ B · A tidak komutatif
7. (A + B)’ = A’ + B’
8. (A – B)’ = A’ – B’
9. (A’)’ = A



10. (AB)’ = B’ · A’
11. (AB)C = A(BC) asosiatif perkalian

Evaluasi :

Diketahui matriks-matriks sebagai berikut:

1 2 3 2 3 4 3 5 4
A = ൦2 3 1൪, B = ൦4 2 3൪, C = ൦4 4 5൪
3 3 2 3 3 4 5 4 3

Carilah!

1. 3A + 2B – 4C
2. 2AB – 3BC
3. 5A'B + 2BC'
4. [AB]'
5. B'A'

Daftar Pustaka :

Howard Anton, Dasar-dasar Aljabar Linier, Penerbit Binarupa Aksara, jilid 1.



DETERMINAN

Pertemuan 2

Kompetensi Dasar : Memahami dan menentukan nilai Determinan Matriks

Indikator : Diharapkan mampu:

- Memahami definisi Determinan Matriks, dan dapat
menentukan nilai determinan dari suatu matriks (Determinan
tingkat 2 dan tingkat 3)
- Memahami menentukan Minor Matriks dan Kofaktor Matriks
- Menentukan nilai determinan dari suatu Matriks (Determinan
tingkat 3 ke atas) menggunakan Uraian Laplace
- Memahami sifat-sifat Determinan Matriks
- Mengerjakan beberapa contoh soal

Isi :

A. Definisi Determinan
Determinan matriks adalah nilai/harga yang diperoleh dari elemen-elemen matriks
bujur sangkar dengan suatu operasi tertentu dari matriks nxn sehingga akan
diperoleh Determinan Tingkat n.
Contoh: Matriks A maka determinan matriks A ditulis │A│

B. Menentukan Nilai Determinan suatu Matriks

ܽଵଵ ܽଵଷ
1. Determinan tingkat 2

Matriks A = ቈ ቉
ܽଶଵ ܽଵଷ
ܽଵଵ ܽଵଶ
│A│ = ቈ ቉ = a11· a22 - a12· a21
ܽଶଵ ܽଶଶ



3 4
Contoh:

A=ቈ ቉, maka
2 5

3 4
ቚ ቚ
2 5
│A│ =

= 3·5 – (4·2)
= 15 - 8
= 7

ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ

Matriks A = ൦ܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ ൪
ܽଷଵ ܽଷଶ ܽଷଷ

Ada dua cara untuk menentukan harga Determinan dari matriks A, yaitu:
a. Cara Khusus
Cara ini digunakan hanya untuk Determinan tingkat 3 saja.

= a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 – (a13·a22·a31 + a11· a23·

a32 + a12·a21·a33)

2 3 1 2 3
Contoh:

1. │A│ = อ1 2 3อ 1 2
2 2 4 2 2
= 2·2·4 + 3·3·2 + 1·1·2 – (1·2·2 + 2·3·2 + 3·1·4)
= 16 + 18 + 2 – (4 + 12 + 12)
= 36 – 28
= 8



b. Cara Umum
Digunakan untuk Determinan tingkat 3 dan seterusnya. Untuk mencari nilai
Determinan tingkat 3 dan seterusnya, terlebuh dahulu kita harus mencari
nilai Minor matriks dan Kofaktor (Cofaktor) matriks tersebut.
MINOR

Minor aij dari determinan tingkat n adalah determinan tingkat n-1

dengan elemen-elemen yang tidak tereliminasi jika baris dan kolom

melalui elemen-elemen aij dieliminasi dinyatakan dengan Mij.

Contoh:

1. │A│ = ൦ܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ ൪
M11 = a22·a33 - a23·a32, yang tereliminasi adalah baris ke 1 dan

kolom ke 1.

2. │A│ = ൦ܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ ൪
M23 = a11·a32 - a12·a31, yang tereliminasi adalah baris ke 2 dan

kolom ke 3.

KOFAKTOR (COFAKTOR)

Kofaktor dari elemen aij dari determinan tingkat n didefinisikan

dengan:

cij = (-1)i+j Mij
• jika i + j = genap maka cij = Mij;

• jika i + j = ganjil maka cij = -Mij



Contoh:

െ3 4 1
Diketahui Matriks A = ተ 3 2 5ተ
2 4 െ6

Carilah :

a. c12
b. c13
c. c23
Jawab:

3 5
c12 = - ቤ ቤ = - (-18 – 10) = 28
2 െ6
a.

3 2
c13 = ቤ ቤ = 12 – 4 = 8
2 4
b.

െ3 4
ቤ ቤ = -(-12 – 8) = 20
2 4
c. c23 =

Cara Umum biasa disebut juga dengan Uraian LAPLACE. Suatu
Determinan dapat diuraikan menjadi jumlah perkalian elemen-elemen pada
suatu baris/elemen-elemen pada sustu kolom maka akan menghasilkan
harga yang sama.

Contoh:

ተܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ ተ
• Menurut baris (misalnya baris ke 1)
a11·c11 + a12·c12 + a13·c13



• Menurut kolom (misalnya kolom ke 2)
a12·c12 + a22·c22 + a32·c32

2 1 3
Misalnya: mencari Determinan matriks

A = ተ2 3 2ተ maka:
3 3 1

2 1 3 2 1
Jika dicari dengan cara khusus

A = ተ2 3 2ተ 2 3
3 3 1 3 3
= 6 + 6 + 18 – (27 + 12 + 2)
= 30 – 41
= -11

Jika dicari dengan cara umum
a. Menurut baris, misalnya baris ke 1
= a11·c11 + a12·c12 + a13·c13
3 2 2 2 2 3
= 2· ฬ ฬ + 1· െ ቤ ቤ+3·ቤ ቤ
3 1 3 1 3 3
= 2(3 – 6) + (-(2 – 6) + 3(6 – 9)
= -6 + 4 + (-9)
= -11
b. Menurut kolom, misalnya kolom ke 1
= a11·c11 + a21·c21 + a31·c31
3 2 1 3 1 3
= 2·ቤ ቤ + 2· –ቤ ቤ + 3·ቤ ቤ
3 1 3 1 3 2
= 2(3 – 6) + 2·-(1-9) + 3·(2 – 9)
= -6 + 16 + (-21)
= -11



• Cara Umum

2 3 1 4
Misalnya diketahui matriks:

ተ3 2 5 1ተ
ተ1 2 3 4ተ
A=

2 3 1 5
a. Menurut baris ke 1
= a11·c11 + a12·c12 + a13·c13 + a14·c14
2 5 1 3 5 1 3 2 1 3 2 5
= 2·ተ2 3 4ተ + 3·െ ተ1 3 4ተ + 1·ተ1 2 4ተ + 4·െ ተ1 2 3ተ
3 1 5 2 1 5 2 3 5 2 3 1
= 2(30+60+2 – (9+8+50)) + 3(-(45+40+1 – (6+12+25))) + (30+16+3 –
(4+36+10)) + 4(-(6+12+15 – (20+27+2))
= 2(92-67) + 3(-(86-43)) + (49-50) + 4(-(33-49))
= 2(25) + 3(-43) + (-1) + 4(16)
= 50 + (-129) + (-1) + 64
= -16
b. Menurut kolom ke 2
= a12·c12 + a22·c22 + a32·c32 + a42·c42
3 5 1 2 1 4 2 1 4 2 1 4
= 3·െ ተ1 3 4ተ + 2·ተ1 3 4ተ + 2·െ ተ3 5 1ተ + 3·ተ3 5 1ተ
2 1 5 2 1 5 2 1 5 1 3 4
= 3(-(45+40+1 – (6+12+25))) + 2(30+8+4 – (24+8+5)) + 2(-(50+2+12 –
(40+2+15))) + 3(40+1+36 – (20+6+12))
= 3(-(86-43)) + 2(42-37) + 2(-(64-57) + 3(77-38)
= 3(-(43)) + 2(5) + 2(-(7)) + 3(39)
= (-129) + 10 + (-14) + 117
= -16



C. Sifat-sifat Determinan
1. │A│ = │A’│
2. Jika pada suatu determinan, elemen pada suatu baris atau kolom sama dengan 0

2 0 4
(nol) maka harga determinannya sama dengan 0 (nol). Contoh:

ተ1 0 4ተ = 0
2 0 5
3. Jika tiap elemen pada suatu baris atau kolom dikalikan dengan skalar k, maka

ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ ݇ܽଵଵ ݇ܽଵଶ ݇ܽଵଷ
harga determinan k dikali harga determinan semula.

kተܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ ተ = ተ ܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ ተ
ܽଷଵ ܽଷଶ ܽଷଷ ܽଷଵ ܽଷଶ ܽଷଷ
nilai skalar dikalikan dengan salah satu baris atau kolom.
4. Jika 2 baris atau 2 kolom ditukar tempatnya, maka harga determinan berubah

1 2 3
tanda, misalnya:

= ተ1 1 2ተ
2 3 1
= 1 + 8 + 9 – (6 + 6 + 2)
= 18 – 14
=4

1 1 2
Baris 1 dengan baris 2 ditukar tempatnya, maka

= ተ1 2 3ተ
2 3 1
= 2 + 6 + 6 – (8 + 9 + 1)
= 14 – 18
= -4
terbukti bahwa harga determinan berubah tanda.



5. Pada suatu determinan, jika 2 baris atau 2 kolom elemen-elemennya persis

1 2 3
sama, maka determinan tersebut sama dengan 0 (nol). Contoh:

= ተ1 2 3ተ
2 3 5
= 10 + 12 + 9 – (12 + 9 + 10)
= 21 – 21
=0
6. Suatu determinan nilainya tidak berubah bila kelipatan elemen-elemen pada
suatu baris atau kolom ditambahkan pada elemen-elemen baris atau kolom lain.
7. Determinan dari 2 matriks
│AB│ = │A│ · │B│
8. Nilai determinan dari matriks diagonal sama dengan hasil kali elemen-elemen

2 0 0
pada diagonal tersebut, misalnya:

A = ൦0 3 0൪
0 0 4
2 0 0
│A│ = ተ0 3 0ተ => kalikan elemen-elemen diagonalnya
0 0 4
│A│ = 2 · 3 · 4
│A│ = 24
Contoh sifat-sifat determinan

2 3 1 0 െ1 െ5
Sifat determinan ke 6

1. ተ1 2 3ተ = ተ1 2 3ተ
3 3 2 0 െ3 െ7
Baris ke 2 dikalikan -2 kemudian ditambahkan dengan baris ke 1.
Baris ke 2 dikalikan -3 kemudian ditambahkan dengan baris ke 3.

2 3 െ1 െ5 െ1 െ5
Mencari determinan berdasarkan kolom ke 1

ቤ + 1·െ ቤ ቤ + 0·ቤ ቤ
െ3 െ7 െ3 െ7 2 3
= 0·ቤ



= 0 + (-(7-15)) + 0

1 2 1 3 0 െ1 െ1 2
=8

ተ2 1 2 4ተ ተ0 െ5 െ2 2ተ
ተ1 3 2 1ተ ተ1 3 2 1ተ
2. =

െ3 1 2 3 0 10 8 6
Baris ke 3 dikalikan -1 kemudian ditambahkan dengan baris ke 1
Baris ke 3 dikalikan 3 kemudian ditambahkan dengan baris ke 3

െ1 െ1 2
Secara singkatnya dihasilkan

= 1 ·ተെ5 െ2 2ተ
10 8 6

െ1 െ1 2
Baris ke 1 dikalikan 10 kemudian ditambahkan dengan baris ke 3

=ተ 0 3 െ8ተ
0 െ2 26

3 െ8
Secara singkatnya dihasilkan

ቤ
െ2 26
= -1·ቤ

= -1(78 – 16)
= -62

Evaluasi :

Diketahui matriks-matriks sebagai berikut:

1 2 2 3
1 2 3 1 2 4 ‫ۍ‬ ‫ې‬
‫2ێ‬ 3 4 1‫ۑ‬
A = ൦4 3 2൪, B = ൦3 2 1൪ , C = ‫ێ‬ ‫ۑ‬
2 3 4 3 4 2 ‫3ێ‬ 2 1 2‫ۑ‬
‫3ۏ‬ 1 1 2‫ے‬



Carilah:

1. │A│
2. │B│
3. │C│
4. │A'│
5. │B'│
6. │AB│

dengan menggunakan cara khusus dan uraian Laplace

Daftar Pustaka :

Howard Anton, Dasar-dasar Aljabar Linier, Penerbit Binarupa Aksara, Jilid 1.



INVERS

Pertemuan 3

Kompetensi Dasar : Menentukan Invers Matriks

Indikator : Mampu menjelaskan definisi dari Invers Matriks, menyebutkan
beberapa sifat dari Invers Matriks serta mampu mengerjakan
beberapa contoh soal.

Isi :

Jika untuk matriks A dan B berlaku AB = BA = I, dimana I adalah matriks satuan. Yaitu
matriks dengan elemen pada diagonal utamanya sama dengan 1 dan elemen dikuar
diagonal utamanya bernilai 0. Maka matriks B disebut INVERS matriks A, ditulis B =
A-1, juga A = B-1 jadi dapat ditulis AA-1 = A-1A = I.

Salah satu cara menentukan A-1 adalah dengan rumus:

൫‫ܥ‬௜௝ ൯
ଵ ଵ
ሾ‫ିܣ‬ଵ ሿ =
|஺|

Dimana │A│= determinan matriks A

൫‫ܥ‬௜௝ ൯ = tranpose dari matrik ൫‫ܥ‬௜௝ ൯
ଵ

Jika │A│ = 0, maka matriks A tidak mempunyai Invers.

Matriks singuler sama dengan matriks yang determinannya = 0

Matriks non singuler sama dengan matriks yang determinannya ≠ 0

Bentuk ൫‫ܥ‬௜௝ ൯ disebut Adjoint A.



Contoh:

Tentukan invers dari matriks berikut:

1 െ3 2
A = ൦െ3 3 െ1൪
2 െ1 0

Jawab:

• │A│ = 0 + 6 + 6 – (12+ 1 + 0)

= -1

3 െ1
ሺ‫ܥ‬ଵଵ ሻ = ቤ ቤ = 0 – 1 = -1
െ1 0
•

3 െ1
ሺ‫ܥ‬ଵଶ ሻ = െ ቤ ቤ = -(0 – (-2)) = -2
2 0
•

െ3 3
ሺ‫ܥ‬ଵଷ ሻ = ቤ ቤ = 3 – 6 = -3
2 െ1
•

െ3 2
ሺ‫ܥ‬ଶଵ ሻ = െ ቤ ቤ = -(0 – (-2)) = -2
െ1 0
•

1 2
ሺ‫ܥ‬ଶଶ ሻ = ቤ ቤ = 0 – 4 = -4
2 0
•

1 െ3
ሺ‫ܥ‬ଶଷ ሻ = െ ቤ ቤ = -(-1 – (-6)) = -5
2 െ1
•

െ3 2
ሺ‫ܥ‬ଷଵ ሻ = ቤ ቤ = 3 – 6 = -3
3 െ1
•

1 2
ሺ‫ܥ‬ଷଶ ሻ = െ ቤ ቤ = -(-1 – (-6)) = -5
െ3 െ1
•

1 െ3
ሺ‫ܥ‬ଷଷ ሻ = ቤ ቤ = 3 – 9 = -6
െ3 3
•



െ1 െ2 െ3 െ1 െ2 െ3
Jadi ൣ‫ܥ‬௜௝ ൧ = ൦െ2 െ4 െ5൪, maka ൣ‫ܥ‬௜௝ ൧ = ൦െ2 െ4
ଵ
െ5൪
െ3 െ5 െ6 െ3 െ5 െ6

Sehingga:

ሾ‫ିܣ‬ଵ ሿ = ൫‫ܥ‬௜௝ ൯
ଵ ଵ
|஺|

െ1 െ2 െ3
ଵ
൦െ2 െ4 െ5൪
ିଵ
=
െ3 െ5 െ6

1 2 3
= ൦2 4 5൪
3 5 6

Pemeriksaan AA-1 = A-1A = I

AA-1 = I

1 െ3 2 1 2 3
= ൦െ3 3 െ1൪ ൦2 4 5൪
2 െ1 0 3 5 6

1 ൅ ሺെ6ሻ ൅ 6 2 ൅ ሺെ12ሻ ൅ 10 3 ൅ ሺെ15ሻ ൅ 12
= ൦െ3 ൅ 6 ൅ ሺെ3ሻ െ6 ൅ 12 ൅ ሺെ5ሻ െ9 ൅ 15 ൅ ሺെ6ሻ൪
2 ൅ ሺെ2ሻ ൅ 0 4 ൅ ሺെ4ሻ ൅ 0 6 ൅ ሺെ5ሻ ൅ 0

1 0 0
= ൦0 1 0൪, jadi keimpulannya adalah terbukti
0 0 1

A-1A = I

1 2 3 1 െ3 2
= ൦2 4 5൪ ൦െ3 3 െ1൪
3 5 6 2 െ1 0



1 ൅ ሺെ6ሻ ൅ 6 െ3 ൅ 6 ൅ ሺെ3ሻ 2 ൅ ሺെ2ሻ ൅ 0
= ൦2 ൅ ሺെ12ሻ ൅ 10 െ6 ൅ 12 ൅ ሺെ5ሻ 4 ൅ ሺെ4ሻ ൅ 0൪
3 ൅ ሺെ15ሻ ൅ 12 െ9 ൅ 15 ൅ ሺെ6ሻ 6 ൅ ሺെ5ሻ ൅ 0

1 0 0
= ൦0 1 0൪, kesimpulannya adalah terbukti
0 0 1

SIFAT-SIFAT INVERS MATRIIKS

ሾ‫ିܣ‬ଵ ሿିଵ = A
ଵ
1.

|‫ିܣ‬ଵ | =
|஺|
2.

ሾ‫ܣ‬ᇱ ሿିଵ = ሾ‫ିܣ‬ଵ ሿᇱ
ሾ‫ܤܣ‬ሿିଵ = ‫ି ܤ‬ଵ · ‫ିܣ‬ଵ
3.

4.

Evaluasi :

2 5 5
Diketahui matriks A = ൥െ1 െ1 0൩, tentukan A-1 jika ada!
2 4 3
1.

1 6 4
Diketahui matriks A = ൥ 2 4 െ1൩, tentukan A jika ada!
െ1 2 5
-1
2.

Daftar Pustaka :




SISTEM PERSAMAAN LINIER

Pertemuan4

Kompetensi Dasar : Memahami Sistem Persamaan Linier (SPL)


- Memahami definisi SPL dan mengetahui pemecahan SPL
menggunakan determinan.
- Memahami pemecahan SPL dengan menggunakan Matriks.
- Memahami pemecahan SPL yang mempunyai banyak
pemecahan (Himpunan Pemecahan).
- Menyelesaikan SPL yang bersifat homogen.

Isi :

A. Pendahuluan
Sistem Persamaan Linier adalah himpunan berhingga dari persamaan linier.

a. ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ 2
Contoh:

2‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬ൌ 6
b. ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 4
‫ݔ‬൅‫ ݕ‬ൌ0
Namun tidak semua persamaan linier memiliki penyelesaian (solusi), sistem
persamaan linier yang memiliki penyelesaian memiliki dua kemungkinan yaitu,
penyelesaian tunggal dan banyak penyelesaian.
Bentuk Umum
Persamaan Linier dalan n peubah (variabel) x1, x2, ..., xn berbentuk:

ܽଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܽ௡ ‫ݔ‬௡ ൌ ܾ

Dimana :

1. ܽଵ , ܽଶ , … . ܽ௡ ൌ konstanta


2. Tidak ada perkalian, akar atau bentuk sin, cos pada peubah

Harga ‫ݔ‬ଵ ൌ ‫ݏ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ ൌ ‫ݏ‬ଶ , … , ‫ݔ‬௡ ൌ ‫ݏ‬௡ , yang memenuhi persamaan di atas
disebut pemecahan atau penyelesaian atau solusi atau jawab dari persamaan di

Himpunan dari ‫ݏ‬ଵ , ‫ݏ‬ଶ , … , ‫ݏ‬௡ disebut himpunan penyelesaian.
atas.

Kumpulan persamaan-persamaan linier seperti di atas membentuk Sistem
Persamaan Linier (SPL)
Sistem Persamaan Linier dengan n peubah dan banyaknya m buah berbentuk:
ܽଵଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽଵଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽଵଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽଵ௡ ‫ݔ‬௡ ൌ ܾଵ
ܽଶଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽଶଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽଶଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽଶ௡ ‫ݔ‬௡ ൌ ܾଶ
‫ڭ‬
ܽ௠ଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽ௠ଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽ௠ଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽ௠௡ ‫ݔ‬௡ ൌ ܾ௠

Harga-harga ‫ݔ‬ଵ ൌ ‫ݏ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ ൌ ‫ݏ‬ଶ , … , ‫ݔ‬௡ ൌ ‫ݏ‬௡ yang serempak memenuhi m
persamaan-persamaan di atas disebut pemecahan SPL itu.
Sistem Persamaan Linier yang mempunyai pemecahan disebut konsisten dan
yang tidak mempunyai pemecahaan disebut inkonsisten (tidak konsisten)

ܽଵ ‫ ݔ‬൅ ܾଵ ‫ ݕ‬ൌ ܿଵ dengan grafik ݈ଵ
Kemungkinan-kemungkinan pemecahan dari suatu SPL, contoh:

ܽଶ ‫ ݔ‬൅ ܾଶ ‫ ݕ‬ൌ ܿଶ dengan grafik ݈ଶ
Kemungkinan-kemungkinan pemecahan:
1. Jika ݈ଵ sejajar ݈ଶ , maka tidak ada pemecahan dari SPL diatas
2. Jika ݈ଵ memotong ݈ଶ , maka ada 1 pemecahan dari SPL di atas
3. Jika ݈ଵ berimpit ݈ଶ , maka ada tidak terhingga banyaknya pemecahan.

B. Pemecahan Sistem Persamaan Linier dengan Menggunakan Determinan

ത
Pemecahan SPL dengan menggunakan Determinan biasanya disebut dengan
Metode Crammer. Suatu SPL yang berbentuk ‫ݔܣ‬ҧ ൌ ܾ dengan A adalah matrik
bujur sangkar dapat dikerjakan dengan Metode Crammer jika hasil perhitungan
menunjukkan bahwa det(A) ≠ 0. Penyelesaian yang didapatkan dengan metode ini
adalah penyelesaian tunggal.



ത
Diketahui suatu sistem persamaan linier berbentuk ‫ݔܣ‬ҧ ൌ ܾ dengan A adalah
ത
matriks bujur sangkar berukuran nxn dan det(A) ≠ 0 sedangkan nilai ‫ݔ‬ҧ dan ܾ
adalah:
‫ڭ‬
ܽ௡ଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽ௡ଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽ௡ଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽ௡௡ ‫ݔ‬௡ ൌ ܾ௡

ܽଵଵ ܽଵଶ … ܽଵ௡
Perhatikan determinan-determinan berikut:

ܽଶଵ ܽଶଶ … ܽଶ௡
D=ተ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ ڭ‬ተ
ܽ௡ଵ ܽ௡ଶ … ܽ௡௡
ܾଵଵ ܽଵଶ … ܽଵ௡
ܾଶଵ ܽଶଶ … ܽଶ௡
‫ܦ‬ଵ = ተ ተ
‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬
ܾ௡ ܽ௡ଶ … ܽ௡௡
ܽଵଵ ܾଵ … ܽଵ௡
ܽ ܾଶ … ܽଶ௡
‫ܦ‬ଶ = ተ ଶଵ ተ
‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬
ܽ௡ଵ ܾ௡ … ܽ௡௡

ܽଵଵ ܽଵଶ … ܽଵ௡ ܾଵ
Dan seterusnya sampai dengan

ܽଶଵ ܽଶଶ … ܽଶ௡ ܾଶ
‫ܦ‬௡ = ተ ተ
‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬
ܽ௡ଵ ܽ௡ଶ … ܽ௡௡ ܾ௡
Maka:

‫ݔ‬ଵ ൌ ‫ݔ‬ଶ ൌ
஽భ ஽మ
஽ ஽

‫ݔ‬ଷ ൌ ‫ݔ‬௡ ൌ
஽య ஽೙
஽ ஽
Contoh:
Diketahui SPL sebagai berikut:
3‫ݔ‬ଵ ൅ 2‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ ൌ െ4
‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ െ 2‫ݔ‬ଷ ൌ െ3
2‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൌ 3
Carilah nilai-nilai ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ dengan menggunakan metode Crammer!



3 2 െ1
Jawab:

D = อ1 െ1 െ2อ = -12 + 2 = -10
2 1 1
െ4 2 െ1
D1 = อെ3 െ1 െ2อ = -5 – 5 = -10
3 1 1
3 െ4 െ1
D2 = อ1 െ3 െ2อ = 4 + 16 = 20
2 3 1
3 2 െ4
D3 = อ1 െ1 െ3อ = -25 – 5 = -30
2 1 3
Maka:
஽భ ିଵ଴
‫ݔ‬ଵ =
஽ ିଵ଴
= =1

஽మ ଶ଴
‫ݔ‬ଶ =
஽ ିଵ଴
= = -2

஽య ିଷ଴
‫ݔ‬ଷ =
஽ ିଵ଴
= =3

C. Pemecahan Sistem Persamaan Linier dengan Menggunakan Matriks
Ketika dihadapi dengan masalah yang berkaitan dengan Sistem Persamaan Linier
terutama yang menggunakan banyak peubah, maka hal pertama yang dapat
digunakan untuk menyederhanakan permasalahan adalah dengan mengubah SPL
yang ada ke dalam bentuk matriks. Suatu SPL biasanya juga tidak didapatkan
secara langsung tetapi melalui penyederhanaan dari permasalahan yang terjadi
dalam kehidupan sehari-hari. Setelah diubah ke bentuk matriks, maka matriks
tersebut diubah ke bentuk matriks dalam bentuk matriks eselon baris tereduksi
untuk mendapatkan penyelesaian dari SPL.
Prosedur untuk mendapatkan matriks eselon baris tereduksi biasa disebut dengan
eliminasi Gauss-Jordan. Pada proses eliminasi tersebut operasi-operasi yang
digunakan disebut sebagai operasi baris elementer.



Dalam operasi baris elementer ini ada beberapa operasi yang dapat digunakan,
yaitu:
1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tidak sama dengan nol;
2. Mempertukarkan dua baris;
3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.

Dengan menggunakan operasi baris elementer, maka matriks eselon baris tereduksi
yang didapatkan akan ekuivalen dengan matriks awalnya sehingga penyelesaian
untuk matriks eselon baris tereduksi juga merupakan penyelesaian untuk matriks
awalnya. Matriks awal yang dimaksud adalah matriks yang diperbesar. Untuk
melihat secara lebih mudah definisi dari matriks diperbesar akan ditunjukkan
berikut ini:

Diketahui SPL dengan m peubah peramaan linier dan n peubah.

‫ڭ‬

ܽ௠ଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽ௠ଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽ௠ଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽ௠௡ ‫ݔ‬௡ ൌ ܾ௠

ܽଵଵ ܽଵଶ ‫ܽ ڮ‬ଵ௡ ‫ݔ‬ଵ ܾଵ
SPL di atas dapat ditulis dalam bentuk matris AX = B dengan

ܽଶଵ ܽଶଶ ‫ܽ ڮ‬ଶ௡ ‫ݔ‬ଶ ܾଶ
A=൦ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ ڭ‬൪, X = ൦ ‫ ڭ‬൪, B = ൦ ‫ ڭ‬൪
ܽ௠ଵ ܽ௠ଶ ‫ܽ ڮ‬௠௡ ‫ݔ‬௠ ܾ௠
Matriks yang memiliki ukuran nx1 atau 1xn biasa disebut vektor. Penulisan vektor
sedikit berbeda dengan penulisan matriks, yaitu menggunakan huruf kecil dengan

ത ത
cetak tebal atau digaris atasnya. Jadi matriks X dan B di atas biasa dituliskan
sebagai x dan b atau ‫ݔ‬ҧ dan ܾ sehingga SPL dapat ditulis dengan A‫ݔ‬ҧ = ܾ. Pada SPL

ത
yang berbentuk seperti ini, matriks A juga biasa disebut sebagai matriks konstanta.
Untuk penyelesaian SPL di atas maka dibuat matriks diperbesar dari A dan ܾ yang
ത
elemen-elemennya merupakan gabungan elemen matriks A dan vektor ܾ yang
ത
dinotasikan ൣ‫ܾ¦ܣ‬൧, yaitu:



ܽଵଵ ܽଵଶ ‫ܽ ڮ‬ଵ௡ ܾଵ
ത ܽଶଵ ܽଶଶ ‫ܽ ڮ‬ଶ௡ ܾଶ
ൣ‫ܾ¦ܣ‬൧ = ൦ ൪
‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬
ܽ௠ଵ ܽ௠ଶ ‫ܽ ڮ‬௠௡ ܾ௠
Untuk menyelesaikan SPL tersebut dilakukan eliminasi Gauss-Jordan seperti
ditunjukkan dalam contoh berikut:
a. x + 2y + 3z = 1
2x + 5y + 3z = 6
x + 8z = -6

1 2 3 1
carilah nilai x, y dan z!

ത
matriks diperbesar ൣ‫ܾ¦ܣ‬൧ = ൥2 5 3 6൩
1 0 8 െ6
ത
operasi baris elementer pada ൣ‫ܾ¦ܣ‬൧ menghasilkan:
1 2 3 1
= ൥2 5 3 6 ൩ ~ܾ2 െ 2ܾ1
1 0 8 െ6 ܾ3 െ ܾ1
1 2 3 1 ܾ1 െ 2ܾ2
= ൥0 1 െ3 4 ൩ ~
0 െ2 5 െ7 ܾ3 ൅ 2ܾ1
1 0 9 െ7 ܾ1 ൅ 3ܾ3
= ൥0 1 െ3 4 ൩ ~ܾ2 െ 3ܾ3
0 0 െ1 1
1 0 0 2
= ൥0 1 0 1൩
0 0 1 െ1
Maka pemecahan SPL di atas adalah: x = 2, y = 1, z = -1.
Keterangan:
Penulisan b1, b2 dan sebagainya pada proses di atas sifatnya tidak mutlak dan
hanya digunakan sebagai alat bantu dalam proses operasi baris elementer. Dalam
perhitungan selanjutnya penulisan ini mungkin tidak perlu dilakukan.

D. Sistem Persamaan Linier yang Mempunyai Banyak Pemecahan (Himpunan
Pemecahan)
Berikut ini adalah contoh soal untuk penyelesaian SPL dengan bentuk banyak
pemecahan (solusi). Untuk lebih jelasnya seperti apa bentuk SPL dengan banyak
solusi, perhatikan contoh soal berikut ini:


• x + 3y – 2z = 2
3x – y – 4z = 0
-2x + 4y + 2z = 2
carilah nilai x1, x2 dan x3!

1 3 െ2 2
matriks diperbesar:

= ൥ 3 െ1 െ4 0൩
െ2 4 2 2
1 3 െ2 2
= ൥0 െ10 2 െ6൩, baris kedua dikali -
ଵ
ଵ଴
0 10 െ2 6
1 3 െ2 2
= ቎0 1 െ ହ ହ ቏
ଵ ଷ

0 10 െ2 6
1 0 െହ
଻ ଵ
ହ
= ൦0 1 െହ ହ
ଵ ଷ൪

0 0 0 0
Maka SPL yang bersesuaian

x- ‫ݖ‬ൌ
଻ ଵ
ହ ହ

y- ‫ݖ‬ൌ
ଵ ଷ
ହ ହ
jadi,

xൌ ൅ ‫ݖ‬
ଵ ଻
ହ ହ

yൌ ൅ ‫ݖ‬
ଷ ଵ
ହ ହ
karena baris ke 3 adalah nol dan kolom yang tidak memiliki satu utama adalah
kolom ke 3 maka dapat diambil nilai z sembarang misalkan z = s, sehingga

xൌ ൅ ‫ݏ‬
ଵ ଻
ହ ହ

yൌ ൅ ‫ݏ‬
ଷ ଵ
ହ ହ
maka himpunan pemecahan:

ሼ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሽ dengan x ൌ ൅ ‫ݏ‬
ଵ ଻
ହ ହ



yൌ ൅ ‫ݏ‬
ଷ ଵ
ହ ହ

zൌs

atau,

൅ ‫ݏ‬
ଵ ଻
‫ݔ‬ ହ ହ
ቈ‫ ݕ‬቉ ൌ ൦ଷ ൅ ଵ ‫ ݏ‬൪
‫ݖ‬ ହ ହ
‫ݏ‬

E. Sistem Persamaan Linier Homogen
Suatu SPL dikatakan homogen jika setiap suku konstan sama dengan nol.
ܽଵଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽଵଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽଵଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽଵ௡ ‫ݔ‬௡ ൌ 0
ܽଶଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽଶଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽଶଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽଶ௡ ‫ݔ‬௡ ൌ 0
‫ڭ‬
ܽ௠ଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽ௠ଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽ௠ଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽ௠௡ ‫ݔ‬௡ ൌ 0

• Jika x1 = 0, x2 = 0, …, xn = 0 disebut pemecahan trivial
• Jika SPL homogen mempunyai pemecahan ≠ 1 disebut pemecahan non trivial
(banyak pemecahan)
• Jika banyaknya bilangan yang tidak diketahui lebih dari jumlah persamaan,
maka SPL homogen tersebut selain mempunyai jawaban trivial pasti
mempunyai jawaban non trivial.

Contoh:

Tentukan pemecahan SPL berikut:
x + 2y = 0
-x – 2y + z = 0
2x + 3y + z = 0

1 2 0 0
Jawab:

= ൥െ1 െ2 1 0൩
2 3 1 0



1 2 0 0
= ൥0 0 1 0൩
0 െ1 1 0
1 0 0 0
= ൥0 1 0 0൩
0 െ1 1 0
1 0 0 0
= ൥0 1 0 0൩
0 0 1 0

‫ݔ‬ 0
Pada matriks yang terakhir terlihat bahwa semua kolom matriks memiliki satu

utama sehingga penyelesaiannya adalah trivial yaitu ቈ‫ݕ‬቉ = ൥0൩
‫ݖ‬ 0

Evaluasi :

Selesaikan Soal-soal berikut:

1. Diketahui SPL sebagai berikut:
2x + 5y + 5z = 1
-1 + -1 = 1
2x + 4y + 3z = -1
Carilah pemecahan SPL di atas dengan menggunakan metode Crammer!
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Carilah pemecahan SPL di atas dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan
x + 2z = 1
-x + y – z = 0
2x + y + 5z = 3
Carilah pemecahan dari SPL di atas, apa kesimpulannya?

Daftar Pustaka :




VEKTOR dan RUANG VEKTOR

Pertemuan 5

Kompetensi Dasar : Memahami Vektor dan Ruang Vektor


- memahami definisi vektor dan beberapa operasi-operasi pada
Vektor
- memahami sistem koordinat pada Vektor
- memahami persamaan garis lurus pada Vektor dan syarat-
syarat persamaan garis pada Vektor
- memahami persamaan bidang datar pada Vektor dan syarat-
syarat persamaan garis pada Vektor
- memahami jenis-jenis ruang Vektor
- memahami Kombinasi Linier Vektor, Basis dan Dimensi
Vektor

Isi :

A. VEKTOR
Pendahuluan
Vektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah. Kecepatan, gaya dan
pergeseran merupakan contoh-contoh dari vektor karena semuanya memiliki
besar dan arah walaupun untuk kecepatan arahnya hanya positif dan negatif.
Vektor dikatakan berada di ruang-n (Rn) jika vektor tersebut mengandung n
komponen. Jika vektor berada di R2 maka dikatakan vektor berada di bidang,
sedangkan jika vektor berada di R3 maka dikatakan berada di ruang.
Secara geometris, di bidang dan di ruang, vektor merupakan segmen garis
berarah yang memiliki titik awal dan titik akhir. Vektor biasa dinotasikan
dengan huruf kecil tebal atau huruf kecil dengan ruas garis.



D C

A B

ሬሬሬሬሬԦ
Gambar 1.1 Bentuk Vektor

Dari gambar di atas terlihat beberapa segmen garis berarah (vektor) seperti‫,ܤܣ‬
ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ
‫ ܥܣ‬dan ‫ ܦܣ‬dengan A disebut sebagai titik awal. Sedangkan titik B, C dan D
disebut titik akhir. Vektor posisi didefinisikan sebagai vektor yang memiliki
titik awal O (untuk vektor di bidang, titik O adalah (0,0)).

Operasi-operasi pada Vektor
•
Misalkan ‫ ݑ‬dan ‫ݒ‬ҧ adalah vektor-vektor yang berada di ruang yang sama,
ത
Operasi Penjumlahan

maka vektor (‫ ݑ‬൅ ‫ݒ‬ҧ ) didefinisikan sebagai vektor yang titik awalnya =
ത
titik awal ‫ ݑ‬dan titik akhirnya = titik akhir ‫ݒ‬ҧ .
ത

Contoh:
Perhatikan gambar 1.1. Misalkan ‫ ܤܣ = ݑ‬dan ‫ݒ‬ҧ = ‫ , ܥܤ‬jika vektor ‫ݓ‬
ത ഥ
didefinisikan sebagai ‫ݒ + ݑ = ݓ‬ҧ , maka ‫ ݓ‬akan memiliki titik awal = A dan
ഥ ത ഥ
ሬሬሬሬሬԦ
titik akhir = C, jadi ‫ ݓ‬merupakan segmen garis berarah ‫ܥܣ‬
• Perkalian vektor dengan skalar
Vektor nol didefinisikan sebagai vektor yang memiliki panjang = 0.
Misalkan ‫ ݑ‬vektor tak nol dan k adalah skalar, k ‫ א‬R. Perkalian vektor ‫ݑ‬
ത ത
dengan skalar k, k‫ ݑ‬didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya ԡ‫ ݑ‬kali
ത തԡ
panjang ‫ ݑ‬dengan arah:
ത
Jika k > 0 ՜ searah dengan ‫ݑ‬
ത
Jika k < 0 ՜ berlawanan arah dengan ‫ݑ‬
ത



Contoh:

2u
u

-2u

• Perhitungan vektor

ത
Diketahui a dan b vektor-vektor di ruang yang komponen-komponennya
adalah ܽ = (ܽଵ , ܽଶ , ܽଷ ) dan ܾ = (ܾଵ , ܾଶ , ܾଷ ) maka:
ത
ത ത
ܽ + ܾ = (ܽଵ ൅ ܾଵ , ܽଶ ൅ ܾଶ , ܽଷ ൅ ܾଷ)
ത ത
ܽ - ܾ = (ܽଵ െ ܾଵ , ܽଶ െ ܾଶ , ܽଷ െ ܾଷ)
݇. ܽ = (݇ܽଵ , ݇ܽଶ , ݇ܽଷ )
ത
Jika ܿҧ = AB kemudian titik koordinat A = (ܽଵ , ܽଶ , ܽଷ ) dan B = (ܾଵ , ܾଶ , ܾଷ ),

ܿҧ = (ܾଵ െ ܽଵ , ܾଶ െ ܽଶ , ܾଷ െ ܽଷ )
maka:

Hasil kali titik, panjang vektor dan jarak antara dua vektor
•
ത
Hasil kali titik dua vektor jika diketahui komponennya
Diketahui ܽ = (ܽଵ , ܽଶ , ܽଷ ) dan ܾ = (ܾଵ , ܾଶ , ܾଷ ), hasil kali titik antara vektor
ത
ത
ܽ dan ܾ didefinisikan sebagai:
ത
ത ത
ܽ . ܾ = (ܽଵ . ܾଵ ) + (ܽଶ . ܾଶ ) + (ܽଷ . ܾଷ )

• Hasil kali titik dua vektor jika diketahui panjang vektor dan sudut

ത
antara dua vektor
Diketahui ܽ dan ܾ adalah dua buah vektor yang memiliki panjang berturut-
ത
turut ԡܽԡ dan ԡܾԡ sedangkan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor



adalah ߶, sudut ߶ ini terbentuk dengan cara menggambarkan kedua vektor

ത
pada titik awal yang sama.
Hasil kali titik antara vektor ܽ dan ܾ didefinisikan sebagai:
ത
ത ത
ܽ . ܾ = ԡܽԡԡܾԡ cos ߶, ߶ ‫ א‬ሾ0, ߨሿ

Dengan mengetahui besarnya ߶, akan diketahui apakah hasil kali titik akan
Jika hasil kali titik dua buah vektor berupa skalar.

ത ത
bernilai positif atau negatif.
ܽ . ܾ > 0 ՞ ߶ lancip, 0 ൑ ߶ < 900
ത ത ത
ܽ . ܾ = 0 ՞ ߶ 900, ܽ dan ܾ saling tegak lurus
ത
ത ത
ܽ . ܾ < 0 ՞ ߶ tumpul, 900 < ߶ ൑ 1800

ത ത
Contoh:
Diketahui ܽ = (1, -3) dan ܾ = (3k, -1), tentukan nilai k agar ܽ dan ܾ saling
ത ത
tegak lurus!

ത ത ത
Jawab
Agar ܽ dan ܾ saling tegak lurus, maka haruslah ܽ . ܾ = 0.
ത
ത ത
ܽ . ܾ = 3k + 3 = 0 ՜ k = -1

• Panjang (norm) vektor dan jarak antara dua vektor
Panjang vektor
Dengan menggunakan operasi hasil kali titik jika diketahui komponen
ܽ = (ܽଵ , ܽଶ , ܽଷ ) didapatkan bahwa
ത
ܽ . ܽ = ܽଵ ଶ ൅ ܽଶ ଶ ൅ ܽଷ ଶ
ത ത ….. (1)

ܽ . ܽ = ԡܽԡԡܽԡ cos 0 …...
ത ത (2), dalam hal ini sudut antara ܽ dan ܽ
ത ത
Dari definisi hasil kali titik lainnya, didapatkan bahwa

pastilah bernilai 0 karena keduanya saling berhimpit.
Dari persamaan (1) dan (2), didapatkan persamaan berikut:

ԡܽ ଶ = ܽ . ܽ ՜ ԡܽԡ = ሺܽ ܽ మ = ඥܽଵ ଶ ൅ ܽଶ ଶ ൅ ܽଷ ଶ
തԡ ത ത ത. തሻ
భ

ത
Jarak Antara dua Vektor
Jarak antara dua vektor ܽ dan ܾ didefinisikan sebagai panjang dari vektor
ത
(ܽ ത ) dan biasa dinotasikan dengan d(ܽ ܾ).
ത-ܾ ത, ത



ത, ത
d(ܽ ܾ) = ሺܽ ҧ െ ܾ ҧ . ܽ ҧ െ ܾ ҧሻమ
భ

= ට൫ܽଵ ଶ െ ܾଵ ଶ ൯ ൅ ൫ܽଶ ଶ െ ܾଶ ଶ ൯ ൅ ሺܽଷ ଶ െ ܾଷ ଶ ሻ

Secara geometris, dapat digambarkan seperti berikut ini:
B C

ത ሬሬሬሬሬԦ ത ሬሬሬሬሬԦ ത
Misalkan ܽ = ‫ ܥܣ‬dan ܾ = ‫ ,ܤܣ‬maka jarak antara ܽ dan ܾ merupakan
ത
A

ሬሬሬሬሬԦ
panjang dari ruas garis berarah ‫ܥܤ‬

Diketahui ‫ )1 ,1- ,2( = ݑ‬dan ‫ݒ‬ҧ = (1, 1, 2), tentukan besarnya sudut yang
ത
Contoh:

dibentuk oleh ‫ ݑ‬dan ‫ݒ‬ҧ !
ത

‫ݒ .ݑ‬ҧ = 2- 1 + 2 = 3
ത
Jawab

ԡ‫ݑ‬ԡ = ඥ2ଶ ൅ ሺെ1ሻଶ ൅ 1ଶ = √6
ԡ‫ݒ‬ԡ = √1ଶ ൅ 1ଶ ൅ 2ଶ = √6
௨ .௩
cos ߠ = = ଺ = ଶ ՜ ߶ = 600
ଷ ଵ
ԡ௨ԡԡ௩ԡ

ത ത ത ത
Beberapa sifat yang berlaku dalam hasil kali titik
ܽ·ܾ=ܾ·ܽ
ത ത ത ത ത
1.
ܽ · (ܾ ൅ ܿҧ) = ܽ · ܾ ൅ ܽ · ܿҧ
ത ത ത)· ത ത ത ത ത
2.
3. m(ܽ · ܾ) = (mܽ ܾ = ܽ ·(mܾ) = (ܽ · ܾ)m



Misal garis g melalui titik A(ܽଵ , ܽଶ , ܽଷ ) dan B (ܾଵ , ܾଶ , ܾଷ )
Persamaan Garis Lurus

g
Aሺܽଵ , ܽଶ , ܽଷ ሻ
. Bሺܾଵ, ܾଶ, ܾଷሻ
Cሺܿଵ , ܿଶ , ܿଷ ሻ
0 x1

x3

ሬሬሬሬሬԦ ൌ ሾܽଵ , ܽଶ , ܽଷ ሿ
Dimana:

0‫ܣ‬
ሬሬሬሬሬԦ
‫ ܤܣ‬ൌ ሾܾଵ െ ܽଵ , ܾଶ െ ܽଶ , ܾଷ െ ܽଷ ሿ
‫ ܺܣ‬ൌ ߣ‫ ׽- , ܥܣ‬൏ ߣ ൏‫׽‬
ሬሬሬሬԦ ൌ 0‫ ܣ‬൅ ‫ݔܣ‬
0‫ ݔ‬ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬԦ ൌ 0‫ ܣ‬൅ ߣ‫ܤܣ‬
0‫ ݔ‬ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ
Sehingga diperoleh persamaan vektor garis g yang melalui titik A dan B:

ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ ൌ ሾܽଵ , ܽଶ , ܽଷ ሿ ൅ ߣሾܾଵ െ ܽଵ , ܾଶ െ ܽଶ , ܾଷ െ ܽଷ ሿ

‫ݔ‬ଵ ൌ ܽଵ ൅ ߣሺܾଵ െ ܽଵ ሻ;
Dari persamaan vektor diatas diperoleh:

‫ݔ‬ଶ ൌ ܽଶ ൅ ߣሺܾଶ െ ܽଶ ሻ;
‫ݔ‬ଷ ൌ ܽଷ ൅ ߣሺܾଷ െ ܽଷ ሻ;
Ketiga persamaan di atas disebut persamaan parameter garis g.

ߣൌ ൌ ൌ
௫భ ି௔భ ௫మ ି௔మ ௫య ି௔య
Dari persamaan tersebut diperoleh:

௕భ ି௔భ ௕మ ି௔మ ௕య ି௔య
Sehingga diperoleh bentuk:

ൌ ൌ
௫భ ି௔భ ௫మ ି௔మ ௫య ି௔య
௕భ ି௔భ ௕మ ି௔మ ௕య ି௔య



ሺܾଵ െ ܽଵ ሻ ് 0, ሺܾଵ െ ܽଵ ሻ ് 0, ሺܾଵ െ ܽଵ ሻ ് 0
yang disebut dengan persamaan linier garis g dengan syarat:

Contoh:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 2, 3) dan B(3, 5, 6)
Jawab:
•
ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ = ሾ1,2,3ሿ ൅ ߣሾ3 െ 1,5 െ 2,6 െ 3ሿ
Persamaan vektor garis g:

ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ = ሾ1,2,3ሿ ൅ ߣሾ2,3,3ሿ
•
‫ݔ‬ଵ = 1 + 2ߣ
Persamaan parameter garis g:

‫ݔ‬ଶ = 2 + 3ߣ
‫ݔ‬ଷ = 3 + 3ߣ
• Persamaan linier garis g:

ൌ ൌ
௫భ ିଵ ௫మ ିଶ ௫య ିଷ
ଶ ଷ ଷ

Persamaan Bidang Datar
Persamaan bidang datar dapat ditentukan jika diketahui tiga titik yang tidak
terletak pada satu garis. Contoh:
Misalkan sebuah bidang datar melalui titik-titik P(‫݌‬ଵ , ‫݌‬ଶ , ‫݌‬ଷ ), Q(‫ݍ‬ଵ , ‫ݍ‬ଶ , ‫ݍ‬ଷ ) dan
R(‫ݎ‬ଵ , ‫ݎ‬ଶ , ‫ݎ‬ଷ )

Perhatikan suatu titik x(‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ) sembarang pada bidang PQR. Dari gambar
tersebut terlihat:



ሬሬሬሬԦ = ሬሬሬሬሬԦ ൅ ܲ‫ݔ‬
0‫ ܲ0 ݔ‬ሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬԦ 0ܲ
0‫ = ݔ‬ሬሬሬሬሬԦ ൅ ߣ൫ܲܳ ൯ ൅ ߤܴܲ

ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ = ሾ‫݌‬ଵ , ‫݌‬ଶ , ‫݌‬ଷ ሿ ൅ ߣሾ‫ݍ‬ଵ െ ‫݌‬ଵ , ‫ݍ‬ଶ െ ‫݌‬ଶ , ‫ݍ‬ଷ െ ‫݌‬ଷ ሿ ൅ ߤሾ‫ݎ‬ଵ െ ‫݌‬ଵ , ‫ݎ‬ଶ െ ‫݌‬ଶ , ‫ݎ‬ଷ െ ‫݌‬ଷ ሿ

P(‫݌‬ଵ , ‫݌‬ଶ , ‫݌‬ଷ , … ‫݌‬௡ ),
Persamaan di atas disebut dengan persamaan vektor PQR
Umumnya jika bidang tersebut melalui titik-titik
Q(‫ݍ‬ଵ , ‫ݍ‬ଶ , ‫ݍ‬ଷ , … ‫ݍ‬௡ ) dan R(‫ݎ‬ଵ , ‫ݎ‬ଶ , ‫ݎ‬ଷ , … ‫ݎ‬௡ ), maka persamaan vektor bidang PQR:
ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ = ሾ‫݌‬ଵ , ‫݌‬ଶ , ‫݌‬ଷ , . . ‫݌‬௡ ሿ ൅ ߣሾ‫ݍ‬ଵ െ ‫݌‬ଵ , ‫ݍ‬ଶ െ ‫݌‬ଶ , ‫ݍ‬ଷ െ ‫݌‬ଷ , … ‫ݍ‬௡ െ ‫݌‬௡ ሿ ൅

ߤሾ‫ݎ‬ଵ െ ‫݌‬ଵ , ‫ݎ‬ଶ െ ‫݌‬ଶ , ‫ݎ‬ଷ െ ‫݌‬ଷ , … ‫ݎ‬௡ െ ‫݌‬௡ ሿ

Contoh:
Tentukan persamaan bidang datar melalui titik-titik A(2, 1, 3), B(3, 2, 4) dan
C(4, 2, 5)!

ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ = ሾ2,1,3ሿ ൅ ߣሾ3 െ 2,2 െ 1,4 െ 3ሿ ൅ ߤሾ4 െ 2,2 െ 1,5 െ 3ሿ
Jawab:

ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ = ሾ2,1,3ሿ ൅ ߣሾ1,1,1ሿ ൅ ߤሾ2,1,2ሿ

Perkalian sebuah bidang datar yang melalui titik P(‫݌‬ଵ , ‫݌‬ଶ , ‫݌‬ଷ ) dengan vektor-
vektor arah ሾ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , ‫ݑ‬ଷ ሿ dan ሾ‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ , ‫ݒ‬ଷ ሿ maka persamaan vektor bidang

ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ = ሾ‫݌‬ଵ , ‫݌‬ଶ , ‫݌‬ଷ ሿ ൅ ߣሾ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , ‫ݑ‬ଷ ሿ ൅ ߤሾ‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ , ‫ݒ‬ଷ ሿ ……. (1)
tersebut:

‫ݔ‬ଵ = ‫݌‬ଵ ൅ ߣሺ‫ݑ‬ଵ ሻ ൅ ߤሺ‫ݒ‬ଵ ሻ …… (2)
Maka persamaan parameternya:

‫ݔ‬ଶ = ‫݌‬ଶ ൅ ߣሺ‫ݑ‬ଶ ሻ ൅ ߤሺ‫ݒ‬ଶ ሻ …… (3)
‫ݔ‬ଷ = ‫݌‬ଷ ൅ ߣሺ‫ݑ‬ଷ ሻ ൅ ߤሺ‫ݒ‬ଷ ሻ …… (4)
Jika ߣ dan ߤ di eliminir dari persamaan (2) dan (3) maka diperoleh:
௩మ ሺ௫భ ି௣భ ሻି௨మ ሺ௫మ ି௣మ ሻ
ߣ=
௨భ ௩మ ି௨మ ௩భ
௨భ ሺ௫మ ି௣మ ሻି௩భ ሺ௫భ ି௣భ ሻ
ߤ=
௨భ ௩మ ି௨మ ௩భ

Jika ߣ dan ߤ ini didistribusikan pada persamaan (4) maka diperoleh:
(‫ݑ‬ଵ ‫ݒ‬ଶ -‫ݑ‬ଶ ‫ݒ‬ଵ )(‫ݔ‬ଷ -‫݌‬ଷ )-‫ݑ‬ଷ {‫ݒ‬ଶ (‫ݔ‬ଵ -‫݌‬ଵ )-‫ݒ‬ଵ (‫ݔ‬ଶ -‫݌‬ଶ )}-‫ݒ‬ଷ {‫ݑ‬ଵ (‫ݔ‬ଶ -‫݌‬ଶ )-‫ݑ‬ଶ (‫ݔ‬ଵ -‫݌‬ଵ )} = 0



(‫ݑ‬ଶ ‫ݒ‬ଷ -‫ݑ‬ଷ ‫ݒ‬ଶ )(‫ݔ‬ଵ -‫݌‬ଵ ) + (‫ݑ‬ଷ ‫ݒ‬ଵ -‫ݑ‬ଵ ‫ݒ‬ଷ )(‫ݔ‬ଶ -‫݌‬ଶ ) + (‫ݑ‬ଵ ‫ݒ‬ଶ -‫ݑ‬ଶ ‫ݒ‬ଵ )(‫ݔ‬ଷ -‫݌‬ଷ ) = 0
atau

jika dirumuskan :
A = ‫ݑ‬ଶ ‫ݒ‬ଷ -‫ݑ‬ଷ ‫ݒ‬ଶ
B = ‫ݑ‬ଷ ‫ݒ‬ଵ -‫ݑ‬ଵ ‫ݒ‬ଷ
C = ‫ݑ‬ଵ ‫ݒ‬ଶ -‫ݑ‬ଶ ‫ݒ‬ଵ
persamaan di atas menjadi:
A(‫ݔ‬ଵ -‫݌‬ଵ ) + B(‫ݔ‬ଶ -‫݌‬ଶ ) + C(‫ݔ‬ଷ -‫݌‬ଷ ) = 0
A‫ݔ‬ଵ +B‫ݔ‬ଶ +C‫ݔ‬ଷ - (A‫݌‬ଵ +B‫݌‬ଶ +C‫݌‬ଶ ) = 0
misalkan:
-( A‫݌‬ଵ +B‫݌‬ଶ +C‫݌‬ଶ ) = D
maka persamaan linier bidang:
A‫ݔ‬ଵ +B‫ݔ‬ଶ +C‫ݔ‬ଷ +D = 0

ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ = ሾ‫݌‬ଵ , ‫݌‬ଶ , ‫݌‬ଷ ሿ ൅ ߣሾ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , ‫ݑ‬ଷ ሿ ൅ ߤሾ‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ , ‫ݒ‬ଷ ሿ
maka jika contoh soal di atas kita lanjutkan diperoleh:

ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ = ሾ2,1,3ሿ ൅ ߣሾ1,1,1ሿ ൅ ߤሾ2,1,2ሿ
‫݌‬ଵ = 2 ‫ݑ‬ଵ = 1 ‫ݒ‬ଵ = 2
‫݌‬ଶ = 1 ‫ݑ‬ଶ = 1 ‫ݒ‬ଶ = 1
‫݌‬ଷ = 3 ‫ݑ‬ଷ = 1 ‫ݒ‬ଷ = 2

A = ‫ݑ‬ଶ ‫ݒ‬ଷ -‫ݑ‬ଷ ‫ݒ‬ଶ = 1·2 – 1·1 = 1
maka:

B = ‫ݑ‬ଷ ‫ݒ‬ଵ -‫ݑ‬ଵ ‫ݒ‬ଷ = 1·2 – 1·2 = 0
C = ‫ݑ‬ଵ ‫ݒ‬ଶ -‫ݑ‬ଶ ‫ݒ‬ଵ = 1·1 – 1·2 = -1
D = -ሺ‫݌ܣ‬ଵ ൅ ‫݌ܤ‬ଶ ൅ ‫݌ܥ‬ଷ ሻ
= -(1·2+0·1+(-1·3))

maka persamaan linier di atas = ‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଷ ൅ 1 = 0
=1



B. RUANG VEKTOR
Ruang –n Euclidis
Pada saat pertama kali ilmu vektor dikembangkan, hanya dikenal vektor-vektor
di R2 dan R3 saja, tetapi dalam perkembangannya ternyata didapatkan
permasalahan yang lebih kompleks sehingga dikembangkan vektor-vektor di
ruang berdimensi 4, 5 atau secara umum merupakan vektor-vektor di Rn.
Secara geometris memang vektor-vektor di R4 dan seterusnya memang belum
bisa digambarkan, tetapi dasar yang digunakan seperti operasi-operasi vektor
masih sama seperti operasi pada vektor-vektor di R2 dan R3.Orang yang
mempelajari vektor-vektor di Rn adalah Euclidis sehingga vektor-vektor yang
berada di Rn dikenal sebagai vektor Euclidis, sedangkan ruang vektornya
disebut ruang –n Euclidis.
• Operasi standar/baku pada vektor Euclidis
Diketahui ‫ ݑ‬dan ‫ݒ‬ҧ adalah vektor-vektor di ruang –n Euclidis dengan:
ത
‫ݑ( = ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , … , ‫ݑ‬௡ ሻ dan ‫ݒ‬ҧ = (‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ , … , ‫ݒ‬௡ )
ത
• Penjumlahan Vektor
‫ݒ + ݑ‬ҧ = (‫ݑ‬ଵ ൅ ‫ݒ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ ൅ ‫ݒ‬ଶ , … . , ‫ݑ‬௡ ൅ ‫ݒ‬௡ )
ത
• Perkalian Titik
‫ݒ · ݑ‬ҧ = (‫ݑ‬ଵ · ‫ݒ‬ଵ ൅ ‫ݑ‬ଶ · ‫ݒ‬ଶ ൅ ‫ ڮ‬൅ ‫ݑ‬௡ · ‫ݒ‬௡ )
ത
• Perkalian dengan Skalar
݇‫ݑ݇( = ݑ‬ଵ , ݇‫ݑ‬ଶ , … , ݇‫ݑ‬௡ )
ത
• Panjang Vektor

ԡ‫ݑ‬ԡ = ሺ‫ݑ · ݑ‬ሻమ = ඥ‫ݑ‬ଵ ଶ ൅ ‫ݑ‬ଶ ଶ ൅ ‫ ڮ‬൅ ‫ݑ‬௡ ଶ
ത ത ത
భ

• Jarak antara Vektor

d(‫ݒ ,ݑ‬ҧ ) = ሺ‫ ݑ‬െ ‫ݒ‬ҧ · ‫ ݑ‬െ ‫ݒ‬ҧ ሻమ = ඥሺ‫ݑ‬ଵ െ ‫ݒ‬ଵ ሻଶ ൅ ሺ‫ݑ‬ଶ െ ‫ݒ‬ଶ ሻଶ ൅ ‫ ڮ‬൅ ሺ‫ݑ‬௡ ൅ ‫ݒ‬௡ ሻଶ
ത ത ത
భ

Contoh:

ത ത
Diketahui ܽ = (1,1,2,3) dan ܾ = (2,2,1,1) tentukan jarak antara ܽ dan ܾ!
ത ത



Jawab

ത ത
ܽ െ ܾ = (-1,-1,1,2)

ത, ത
d(ܽ ܾ) = ඥሺെ1ሻଶ ൅ ሺെ1ሻଶ ൅ ሺ1ሻଶ ൅ ሺ2ሻଶ = 7

Ruang vektor umum
Pada materi ini kita akan membahas koonsep-konsep tentang ruang vektor
dengan konsep yang lebih luas.

1. Jika vektor-vektor ‫ݒ ,ݑ‬ҧ ‫ א‬V, maka vektor ‫ݒ + ݑ‬ҧ ‫ א‬V
ത ത
Ada 10 syarat agar V disebut sebagai vektor, yaitu:

2. ‫ݒ + ݑ‬ҧ = ‫ݒ‬ҧ + ‫ݑ‬
ത ത
3. ‫ ݑ‬൅ ሺ‫ݒ‬ҧ ൅ ‫ݓ‬ሻ ൌ ሺ‫ ݑ‬൅ ‫ݒ‬ҧ ሻ ൅ ‫ݓ‬
ത ഥ ത ഥ
ത ത ത ത
4. Ada 0 ‫ א‬V sehingga 0 ൅ ‫ ݑ‬ൌ ‫ ݑ‬൅ 0 untuk semua ‫ א ݑ‬V. Dimana 0 adalah
ത ത

ത
5. Untuk setiap ‫ א ݑ‬V terdapat െ‫ א ݑ‬V sehingga ‫ ݑ‬൅ ሺെ‫ݑ‬ሻ ൌ 0
vektor nol;
ത ത ത ത
6. Untuk sembarang skalar ݇, jika ‫ א ݑ‬V, maka ݇‫ א ݑ‬V;
ത ത
7. ݇ ሺ‫ ݑ‬൅ ‫ݒ‬ҧ ሻ ൌ ݇‫ ݑ‬൅ ݇‫ݒ‬ҧ , ݇ sembarang skalar;
ത ത
8. ሺ݇ ൅ ݈ ሻ‫ ݑ‬ൌ ݇‫ ݑ‬൅ ݈‫ ݇ ,ݑ‬dan ݈ sembarang skalar;
ത ത ത
9. ݇ ሺ݈‫ ݑ‬ሻ ൌ ሺ݈݇ሻ‫ݑ‬
ത ത
10. 1‫ݑ = ݑ‬
ത ത

Dalam hal ini yang paling menentukan apakah V disebut ruang vektor atau
tidak adalah operas-operasi pada V tau bentuk dari V itu sendiri. Jika V
merupakan ruang vektor dengan operasi-operasi vektor (operasi penjumlahan
dan operasi perkalian dengan skalar) yang bukan merupakan operasi standar,
tentunya V harus memenuhi 10 syarat di atas, jika satu syarat saja tidak
terpenuhi maka tentunya V bukan merupakan ruang vektor.

Jika diketahui himpunan bagian vektor-vektor ሼ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , … , ‫ݑ‬௡ ሽ dalam ruang
Vektor Bergantung Linier dan Bebas Linier

vektor V maka:



݇ଵ , ݇ଶ , … , ݇௡ tidak semuanya nol sehingga berlaku ݇ଵ ‫ݑ‬ଵ ൅ ݇ଶ ‫ݑ‬ଶ ൅ ‫ ڮ‬൅
1. Himpunan tersebut dikatakan bergantung linier bila terdapat skalar-skalar

݇௡ ‫ݑ‬௡ ൌ 0
2. Himpunan tersebut dikatakan bebas linier jika dari persamaan ݇ଵ ‫ݑ‬ଵ ൅
݇ଶ ‫ݑ‬ଶ ൅ ‫ ڮ‬൅ ݇௡ ‫ݑ‬௡ ൌ 0 dihasilkan ݇ଵ ൌ ݇ଶ ൌ … , ݇௡ ൌ 0

Berdasarkan definisi:

1. Perhatikan sebuah vektor ‫ݑ‬
ത
a. Jika ‫ ݑ‬ൌ 0 (vektor nol) maka ݇‫ ݑ‬ൌ 0, untuk setiap ݇ ് 0, ini berarti
ത ത

b. Jika ‫ ݑ( 0 ് ݑ‬bukan vektor nol) maka ݇‫ ݑ‬ൌ 0 hanya dipenuhi jika
ത ത ത
vektor ol bergantung linier

݇ ൌ 0, jadi setiap vektor yang belum vektor nol adalah bebas linier

2. Jika ada dua vektor ‫ ݑ‬dan ‫ݒ‬ҧ yang berkelipatan, misalnya ‫ ݑ‬ൌ 2‫ݒ‬ҧ , maka:
ത ത
‫ ݑ‬െ 2‫ݒ‬ҧ = 0
ത
1‫ ݑ‬൅ ሺെ2ሻ‫ݒ‬ҧ = 0
ത
Jadi ada ݇ଵ ൌ 1 dan ݇ଶ ൌ െ2 yang memenuhi ݇ଵ ‫ ݑ‬൅ ݇ଶ ‫ݒ‬ҧ ൌ 0, ini berarti ‫ݑ‬
ത ത
dan ‫ݒ‬ҧ adalah dua vektor yang bergantung linier. Sehingga kesimpulannya

Berikut adalah contoh dua vektor dimana ‫ݒ ,ݑ‬ҧ dua vektor yang tidak
ത
adalah dua vektor yang berkelipatan selalu bergantung linier.

Jika diketahui ‫ = ݑ‬ሾ2,3ሿ dan ‫ݒ‬ҧ = ሾ1,4ሿ
ത
berkelipatan:

Perhatikan persamaan ݇ଵ ‫ ݑ‬൅ ݇ଶ ‫ݒ‬ҧ ൌ 0
ത
Untuk skalar-skalar ݇ଵ dan ݇ଶ :
= ݇ଵ ሾ2,3ሿ ൅ ݇ଶ ሾ1,4ሿ ൌ ሾ0,0ሿ
• 2݇ଵ ൅ ݇ଶ ൌ 0
݇ଶ = െ2݇ଵ
• 3݇ଵ ൅ 4݇ଶ ൌ 0
݇ଶ = െ ସ ݇ଵ
ଷ



Dari persamaan di atas tidak ada ݇ଵ dan ݇ଶ yang memenuhi ݇ଵ ‫ ݑ‬൅ ݇ଶ ‫ݒ‬ҧ ൌ 0,
ത
maka dapat disimpulkan ‫ ݑ‬dan ‫ݒ‬ҧ adalah dua vektor yang bebas linier (tidak
ത
berkelipatan linier)

ത
Diketahui 3 vektor ܽ ൌ ሾ2,1,3ሿ, ܾ ൌ ሾ1,0,2ሿ dan ܿҧ ൌ ሾെ3, െ1, െ5ሿ, periksa
Contoh:
ത
apakah ketiga vektor tersebut bebas linier atau bergantung linier

ത
Jawab:
Persamaan ݇ଵ ܽ ൅ ݇ଶ ܾ ൅ ݇ଷ ܿҧ ൌ 0
ത
฻ ݇ଵ ሾ2,1,3ሿ ൅ ݇ଶ ሾ1,0,2ሿ ൅ ݇ଷ ሾെ3, െ1, െ5ሿ ൌ ሾ0,0,0ሿ
֞ 2݇ଵ ൅ ݇ଶ െ 3݇ଷ ൌ 0 ….. (1)
֞ ݇ଵ ൅ 0 െ ݇ଷ ൌ 0 ….. (2)
֞ 3݇ଵ ൅ 2݇ଶ െ 5݇ଷ ൌ 0 ….. (3)
Diperoleh:
• Dari persamaan (2) didapat ݇ଵ ൌ ݇ଷ , persamaan ini di didistribusikan pada
persamaan (1)
• 2݇ଷ ൅ ݇ଶ െ 3݇ଷ ൌ 0
݇ଶ െ ݇ଷ = 0
݇ଶ = ݇ଷ
Sehingga:
2݇ଷ ൅ ݇ଷ െ 3݇ଷ ൌ 0
݇ଷ ൌ 0
Maka kita dapatkan ݇ଵ ൌ 0, ݇ଶ ൌ 0, ݇ଷ ൌ 0, sehingga kesimpulannya ketiga
vektor tersebut bergantung linier.

Suatu vektor ‫ݒ‬ҧ dikatakan kombinasi linier dari vektor ‫ݑ ,… ,2 ݑ ,1 ݑ‬n bila
ത ത ത
Kombinasi Linier

terdapat skalar-skalar ݇ଵ , ݇ଶ , … , ݇ଷ untuk setiap ‫ݒ‬ҧ ൌ ݇ଵ ‫݇ +1 ݑ‬ଶ ‫݇+…+2 ݑ‬௡ ‫ݑ‬n.
ത ത ത

1. Jika n vektor ‫ݑ ,… ,2ݑ ,1 ݑ‬n dimana n > 1 bergantung linier, maka
ത ത ത
Sifat-sifat Kombinasi Linier

paling sedikit terdapat 1 vektor yang dapat ditulis sebagai Kombinasi
Linier dari vektor-vektor lainnya.



2. Jika 1 diantara n vektor-vektor ‫ ݑ ,… ,2ݑ ,1ݑ‬n Kombinasi Linier dari n-1
ത ത ത

3. Jika n vektor-vektor ‫ݑ ,… ,2 ݑ ,1ݑ‬n bebas linier dan n+1 vektor-vektor
ത ത ത
vektor-vektor lainnya, maka n vektor tersebut bergantung linier.

‫ ݑ ,… ,2 ݑ ,1ݑ‬n, ‫ݒ‬ҧ bergantung linier, maka ‫ݒ‬ҧ kombinasi linier dari ‫,2ݑ ,1 ݑ‬
ത ത ത ത ത
…, ‫ ݑ‬n. Bila vektor-vektor ‫ݑ ,… ,2 ݑ ,1ݑ‬n bebas linier dan ‫ݒ‬ҧ bukan
ത ത ത ത
kombinasi linier dari ‫ ݑ ,… ,2ݑ ,1ݑ‬n maka ‫ ݑ ,… ,2 ݑ ,1 ݑ‬n dan ‫ݒ‬ҧ bebas
ത ത ത ത ത ത

4. Bila s = {‫ݑ ,… ,2 ݑ ,1ݑ‬n} himpunan bagian dari ruang vektor ‫ ݓ‬maka
ത ത ത ഥ,
linier.

bagian dari ‫ ݓ‬L(s) disebut ruang vektor yang dibentuk s.
ഥ.
himpunan semua kombinasi linier dari s ditulis L(s) adalah ruang

5. Suatu himpunan vektor ‫ ݑ ,… ,2ݑ ,1ݑ‬n disebut sistem pembentuk dari
ത ത ത
ruang vektor ‫ݒ‬ҧ ditulis ‫ݒ‬ҧ = L(‫ ݑ ,… ,2ݑ ,1 ݑ‬n) bila setiap vektor ‫ݒ‬ҧ anggota
ത ത ത
V dimana ‫ݒ‬ҧ ‫ א‬V kombinasi linier dari ‫ ݑ ,… ,2ݑ ,1 ݑ‬n.
ത ത ത

Diketahui vektor-vektor ‫݌‬ҧ ൌ ሾ2,1,3ሿ, ‫ ݍ‬ൌ ሾ0,1,2ሿ dan ‫ݎ‬ҧ ൌ ሾ2,2,4ሿ,
ത
Contoh:

periksalah apakah ‫݌‬ҧ kombinasi linier dari ‫ ݍ‬dan ‫ݎ‬ҧ !
ത

֞ ሾ2,1,3ሿ = ݇ଵ ሾ0,1,2ሿ+݇ଶ ሾ2,2,4ሿ
Jawab:

2 ൌ 0 ൅ 2݇ଶ , ֜ ݇ଶ ൌ 1 …. (1)
1 ൌ ݇ଵ ൅ 2݇ଶ ֜ ݇ଵ ൌ െ1 …. (2)
3 ൌ 2݇ଵ ൅ 4݇ଶ …. (3)
֜ untuk ݇ଵ ൌ െ1, ݇ଶ ൌ 1
֞ 3 = 2(-1) + 4·1
֞ 3 = -2 + 4
֞ 3 = 2 ֜ pernyataan ini tidak benar
Jadi tidak ada ݇ଵ , ݇ଶ yang memenuhi ‫݌‬ҧ ൌ ݇ଵ ‫ ݍ‬൅ ݇ଶ ‫ݎ‬ҧ , ini berarti ‫݌‬ҧ bukan
ത
kombinasi linier ‫ ݍ‬dan ‫ݎ‬ҧ
ത

Basis dan Dimensi
Setiap pembentuk yang bebas linier dari suatu ruang vektor V disebut Basis
dari ruang vektor tersebut karena vektor-vektor anggota V mungkin tak



terhingga banyaknya kecuali ruang vektor yang dibentuk vektor nol yaitu L(0)
dan misalkan dimensi V = m terhingga, maka dapat ditentukan banyak sekali n
vektor anggota V yang bebas linier sehingga dapat dipilih menjadi Basi V.
Suatu ruang vektor V dikatakan berdimensi n bila banyak maksimal vektor-

vektor berdimensi n maka vektor-vektor ‫ݑ ,… ,2ݑ ,1ݑ‬n dari V yang bebas linier
ത ത ത
vektor yang bebas linier ada n buah. Sifat dari dimensi yaitu jika V ruang

adalah pembentuk vektor V.

V = {ሾ2,3,4ሿ, ሾ1,1,2ሿ, ሾ1,2,2ሿ}
Contoh:

ܽ =ܾ൅ܿ֜ܽെܾെܿ ൌ 0
Jadi ܽ, ܾ, ܿ bergantung linier, sehingga dapat dikatakan ܽ, ܾ bebas linier, ܽ, ܿ
bebas linier dan ܾ, ܿ bebas linier.
Jika Rn = ሾܽଵ , ܽଶ , … , ܽ௡ ሿ maka disebut vektor dengan banyak komponen n
buah.
Misalkan V ruang vektor dan S = {‫ݏ‬ҧ1, ‫ݏ‬ҧ2, …, ‫ݏ‬ҧn}. S disebut basis dari V bila
memenuhi dua syarat, yaitu:

ത
1. S bebas linier. S dikatakan bebas linier jika persamaan
0 ൌ ݇ଵ ‫ݏ‬ҧ 1+݇ଶ ‫ݏ‬ҧ2+…݇௡ ‫ݏ‬ҧ n hanya memiliki penyelesaian ݇ଵ ൌ ݇ଶ ൌ ‫ ڮ‬ൌ
݇௡ ൌ 0 (atau jika diubah ke bentuk SPL, penyelesaiannya adalah trivial).
2. S membangun V. Dimana jika untuk setiap ‫ݒ‬ҧ ‫ א‬V, ‫ݒ‬ҧ merupakan kombinasi
linier dari S, yaitu: ‫ݒ‬ҧ =݇ଵ ‫ݏ‬ҧ1+݇ଶ ‫ݏ‬ҧ2+…݇௡ ‫ݏ‬ҧn, ݇ଵ , ݇ଶ , … , ݇௡ : skalar.
Basis dari suatu ruang vektor tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu.
Ada dua macam basis yang kita kenal yaitu basis standar dan basis tidak
standar.

1. S = {݁ҧ1, ݁ҧ2,…, ݁ҧ n}, dengan ݁ҧ 1, ݁ҧ 2,…, ݁ҧ n ‫ א‬Rn
Contoh Basis Standar:

݁ଵ = (1,0,…., 0), ݁ଶ = (0,1, …, 0),….., ݁௡ = (0,0, …, 1)
Merupakan basis standar dari Rn.
2. S = {1, ‫ ݔ ,ݔ‬ଶ , … . , ‫ ݔ‬௡ } merupakan basis standar untuk Pn (Polinom orde n)
1 0 0 1 0 0 0 0
3. S = ቄቂ ቃ,ቂ ቃ,ቂ ቃ,ቂ ቃቅ merupakan basis standar untuk M22.
0 0 0 0 1 0 0 1



vektor tersebut. Jadi dim R3=3, dim ܲଶ ൌ 3 dan dim M22=4 dan sebagainya.
Dimensi ruang vektor didefinisikan sebagai banyaknya unsur basis ruang

Suatu himpunan vektor dapat ditunjukkan merupakan himpunan yang bebas

vektor dan dim ruang vektor. Contoh jika diketahui ‫ݒ ,)2,1(=ݑ‬ҧ =(2,2), ‫ݓ‬
ത ഥ=(1,3)
linier atau membangun ruang vektor V hanya dengan melihat dari jumlah

dapat kita liha banyaknya vektor = 3 dan dim R2=2, sebenarnya tanpa
menghitung kita sudah bisa menyimpulkan bahwa himpunan vektor tersebut
tidak bebas linier karena agar bisa bebas linier maksimal jumlah vektor =
dim ruang vektor. Sebaliknya jika suatu himpunan vektor hanya memuat
vektor dengan jumlah kurang dari dim ruang vektor, maka dapat
disimpulkan bahwa himpunan ruang vektor tersebut tidak membangun.
Berdasarkan hal ini, maka suatu himpunan vektor kemungkinan bisa menjadi
basis ruang vektor berdimensi n jika jumlah vektornya = n. Jika jumlah vektor
< n maka tidak membangun sebaliknya jika jumlah vektor > n maka
bergantung linier.
Jika jumlah vektor = n, maka dapat dihitung nilai Determinan dari ruang yang
dibangun oleh himpunan vektor tersebut.

Jika Det ് 0, maka ia bebas linier dan membangun
Jika Det = 0, maka tidak bebas linier dan tidak membangun.
merupakan basis.



1 2 1 0 0 0 0 2
Contoh:

Tentukan apakah H = ቄቂ ቃ,ቂ ቃ,ቂ ቃ,ቂ ቃቅ merupakan basis M22!
1 1 0 1 0 1 1 3
Jawab
Jumlah matriks (bisa dipandang sebagai vektor di R4) dalam H = 4 = dim M22,
jadi untuk menentukan apakah H merupakan basis dari R4 atau bukan adalah
dengan melihat nilai determinan dari ruang yang dibangun oleh H.
Misalkan W adalah ruang yang dibangun oleh H, maka untuk sembarang w ‫א‬

0 ݇ଵ
W berlaku:
1 1 0
2 0 0 2 ݇ଶ ത
w=൦ ൪ ൦ ൪ = A݇
1 0 0 1 ݇ଷ
1 1 1 3 ݇ସ
untuk menentukan apakah H merupakan basis atau tidak adalah dengan

1 1 0 0
menghitung nilai det(A) dari SPL di atas.

1 0 0 1 1 0
2 0 0 2
ተ ተ= -2อ0 0 3อ + 2อ1 0 0อ= െ2 · 3 · 1 ൅ 2 · 1 · 1 ൌ െ4
1 0 0 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 3
Jadi H merupakan basis dari M22

Evaluasi :

1. ത ത
Tentukan jarak antara ܽ ൌ ሺ1,1,2,3ሻ dan ܾ ൌ ሺ2,3,4,5ሻ dan panjang masing-masing
vektor!
2. Tentukan persamaan garis lurus g melalui titik A=(2,3,1) dan sejajar BC bila

Diketahui garis g dengan persamaan ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ ൌ ሾ2,1,0ሿ ൅ ݇ሾ1,0, െ1ሿ. Periksalah
B=(4,-5,1) dan C=(2,7,-3)!
3.

Tentukan persamaan bidang datar W yang melalui titik ሾ0,0,0ሿ dan persamaan
apakah titik A=(1,1,1) dan B=(6,2,1) terletak pada garis g atau tidak!

g ൌ ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ ൌ ሾ1, െ1,0ሿ ൅ ݇ሾ2,1,1ሿ
4.

Daftar Pustaka :



OPTIMASI

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (20)

Ähnlich wie OPTIMASI

Ähnlich wie OPTIMASI (20)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (20)

OPTIMASI