Una reseña del desarrollo del Cálculo. Trabajo escolar para 5to Semestre de Bachillerato

1. Historia del CálculoUna pequeña historia del Cálculo Diferencial "Si he llegado a ver más lejos que otros, es por que me subí a hombros de gigantes". Sir. I. Newton

2. Historia del Cálculo Del legado de las matemáticas, el cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza. El cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral donde moran los infinitos: grandes y pequeños. Los orígenes del cálculo integral se remontan, al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que Arquímedes realizó en el siglo III a.C. "La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles." René Descartes

4. No se habían desarrollado aún el álgebra simbólica y la geometría analítica, que permitieron el tratamiento algebraico -y no geométrico- de las curvas, posibilitando enormemente los cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros."Las Matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la Filosofía.“ Isócrates

6. Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.

7. Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.Sólo dos cosas son infinitas, el universo y la estupidez humana… y no estoy seguro de lo primero. Albert Einstein

9. Historia del Cálculo El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Eudoxo y Arquímedes quisieron encontrar el área del círculo. En el siglo XVII Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes. Daría todo lo que sé, por la mitad de lo que ignoro. René Descartes

10. Historia del Cálculo Fue desarrollado por Newton alrededor de 1669. Leibniz trabajó en el mismo tema a partir del año 1684. Bernoulli, Euler y Lagrange lo desarrollaron ampliamente en el siglo XVII. Dirichlet, Cauchy y Weierstrass fueron quienes pusieron sus fundamentos sobre una base firme en el siglo XIX. Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. Galileo Galilei

11. Historia del Cálculo Aristóteles. Ya los griegos se habían preocupado de como tratar ese ente tan curioso -como difícil- que es el infinito. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. La regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como una colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. Para Tales... la cuestión primaria no era qué sabemos, sino cómo lo sabemos. Aristóteles

12. Historia del Cálculo Fue Eudoxo, discípulo de Platón y contemporáneo de Aristóteles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas. Eudoxo postuló que «toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada». Éste es el famoso principio de Arquímedesquien lo toma prestado a Eudoxo y que sirvió a aquel para superar la primera crisis de las Matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-. Comprender las cosas que nos rodean es la mejor preparación para comprender las cosas que hay mas allá. Hipatia

13. Historia del Cálculo Fue la necesidad de entender obras griegas difíciles como las de Arquímedes–que ya en el siglo XVII se habían recuperado -. Donde éste da su famosa estimación de Pi usando polígonos regulares inscritos y circunscritos a la circunferencia- que desembocó en el nacimiento del cálculo -. La primera parte del siglo XVII vio el nacimiento de la geometría analítica de Fermat y Descartes. La importancia de este descubrimiento consiste en que la geometría analítica permite el tratamiento algebraico de problemas geométricos. Cada curva matemática tiene una naturaleza propia, la exactitud de una ley, la expresión de una idea, la evidencia de una virtud. Eduardo Torroja

14. Historia del Cálculo Al asignar a las curvas, superficies, etc. fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación analítica. De esta forma encontrar tangentes, por ejemplo, se hacía extremadamente sencillo. René Descartes fue conocido como filósofo y fue quien presentó su obra “geometría” junto con otros dos tratados científicos: la dióptrica y los meteoros y les preparó un prólogo que se convertiría después en uno de los libros de filosofía más conocidos de la historia: El discurso del método. Si la gente no piensa que las matemáticas son simples, es solo porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida. Von Neumann

15. Historia del Cálculo Pierre de Fermat, fue jurista y aficionado a las matemáticas: probablemente el mejor aficionado que ha visto la historia, sin duda superior a muchos profesionales. Fermat no publicó, sin embargo, casi nada: sus obras aparecieron años después de su muerte editadas por su hijo. En el siglo XVII los matemáticos perdieron el miedo a los infinitos que, los griegos les habían tenido : Kepler y Cavalieri –discípulo de Galileo-, fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. El primer paso importante estaba dado. Sin matemáticas no se penetra hasta el fondo de la filosofía; sin filosofía no se llega al fondo de las matemáticas; sin las dos no se ve el fondo de nada. Bordas-Desmoulin

16. Historia del Cálculo Otros de los protagonistas de nuestra historia son: Grégoire de Saint- Vicent, jesuita discípulo de Clavius, quien publicó sus principales aportaciones en su Opus geometricum. John Wallis, miembro fundador de la Royal Society de Londres y editor de obras de Arquímedes. Wallis aritmetizó los indivisibles de Cavalieri asignándoles valores numéricos convirtiendo de esta forma el cálculo de áreas -hasta el momento algo meramente geométrico- en cálculos aritméticos más un primitivo proceso al límite haciendo además un uso descarado del infinito (∞). Dar ejemplo no es la principal manera de influir sobre los demás; es la única manera. Albert Einstein

17. Historia del Cálculo El trabajo de Wallis influyó enormemente en Newton quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo tuvieron los orígenes en el estudio que realizó del libro de Wallis en su época de estudiante en Cambridge. El mismo Wallis propone una genealogía del cálculo: Método de Exhausción (Arquímedes) Método de los indivisibles (Cavalieri) Aritmética de los infinitos (Wallis) Métodos de las series infinitas (Newton) Educación es lo que queda después de olvidar lo que se ha aprendido en la escuela. Albert Einstein

18. Historia del Cálculo Veamos ahora algo de los métodos infinitesimales relacionados con el cálculo de tangentes, que junto al de áreas constituyeron la base del cálculo. En la parte central del siglo XVII, las cantidades infinitesimales, los fantasmas de cantidades desaparecidas, como alguien las llamó en el siglo XVIII, fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculo de tangentes, áreas, volúmenes, etc.; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica: la voluntad. Albert Einstein

19. Historia del Cálculo Saint Vincent, Pascal, Wallis, ... siguieron los pasos de Kepler y Cavalieri; además de los infinitésimos cada vez usaban más fórmulas y menos dibujos: la geometría analítica cumplía su función de puente entre la geometría y el análisis. Si Isaac Barrow, el maestro de Newton en Cambridge la hubiera estudiado bien, podría haber arrebatado a su discípulo el descubrimiento del cálculo. La formulación de un problema, es más importante que su solución. Albert Einstein

20. Historia del Cálculo La geometría analítica amplió considerablemente el horizonte de las curvas geométricas. Un ejemplo claro fueron los logaritmos. Surgidos de la necesidad de ahorrar tiempo y evitar errores en los engorrosos cálculos usados por los astrónomos que tenían que realizar una ingente cantidad de multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces. Fueron descubiertos independientemente por Napier y Bürgi. Pienso, luego existo. René Descartes.

21. Historia del Cálculo La segunda edición de la obra de Napier Logaritmorum canonis descriptio ... de 1619 que incluía una explicación detallada de como se ha de elaborar una tabla de logaritmos no incluida en a primera edición de 1614. Este incremento de nuevas curvas hizo imprescindible el desarrollo de nuevos métodos para calcular tangentes. Uno de ellos fue el método de adigualdades de Pierre Fermat (conocido también como el Método de las Raíces Iguales), que servía además para calcular máximos y mínimos. El hombre es mortal por sus temores e inmortal por sus deseos. Pitágoras

22. Historia del Cálculo Los trabajos de Fermat sobre cuadraturas le hacen merecedor de un puesto de honor como precursor del cálculo. Newton en una carta descubierta en 1934 escribió en relación con sus ideas para el desarrollo del cálculo: «La indicación me la dio el método de Fermat para las tangentes. Aplicándolo a las ecuaciones abstractas directas e inversamente, yo lo hice general». Sin duda Fermat fue uno de los mejores matemáticos del siglo XVII Piensa como piensan los sabios, mas habla como habla la gente sencilla. Aristóteles

23. Historia del Cálculo Relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del XVII el llamado problema inverso de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus tangentes. El primero en plantear un problema de este tipo fue Florimond de Beaune, discípulo de Descartes, quien planteó, entre otros, el problema de encontrar la curva con subtangente constante. El propio Descartes lo intentó resolver sin éxito, siendo Leibniz el primero en resolverlo en la primera publicación de la historia sobre el cálculo infinitesimal. Lo que oyes lo olvidas, lo que ves lo recuerdas, lo que haces lo aprendes. Proverbio chino

24. Historia del Cálculo Un elemento esencial para el descubrimiento del cálculo era el reconocimiento de que el problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas inversos, de hecho, es por eso que la relación inversa entre la derivación y la integración es lo que hoy, con toda justicia y razón, llamamos Teorema Fundamental del Cálculo. Newton en su célebre frase «Si he llegado a ver más lejos que otros es por que me subí a hombros de gigantes» se refiere entre otros a su maestro y mentor Isaac Barrow. El que no se equivoca nunca es porque nunca hace nada. Mahoma

25. Historia del Cálculo Barrow fue probablemente el científico que estuvo más cerca de descubrir el cálculo. En el último cuarto del siglo XVII, Newton y Leibniz, de manera independiente, sintetizaron de la maraña de métodos infinitesimales usados por sus predecesores dos conceptos, los que hoy llamamos La Derivada y La Integral, desarrollaron reglas para manipular la derivada -reglas de derivación-y mostraron que ambos conceptos eran inversos- Teorema Fundamental del Cálculo- En la lección X de su obra Letiones opticae & geometricae Barrow demuestra su versión geométrica de dichoTeorema. Mientras me quede algo por hacer, no habré hecho nada. Julio César

26. Historia del Cálculo El primero en descubrir el cálculo fue Newton, pero su fobia a publicar le hizo guardar casi en secreto su descubrimiento. Newton gestó el cálculo en sus anni mirabilis (1665-1666) cuando se refugiaba en su casa materna de la epidemia de peste que asolaba Inglaterra. De hecho su primera obra sobre el cálculo De analyse per aequationes numero terminorum infinitas -que le valió la cátedra lucasiana que dejó su maestro Barrow- fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711 Lo último que uno sabe, es por donde empezar. Blaise Pascal

27. Historia del Cálculo La segunda obra de Newton sobre el cálculo fue escrita dos años más tarde en 1671 pero esperaría hasta 1737 para ver la luz !diez años después de su muerte y 66 después de escrita! Se trata de Demethodisserierum et fluxionum. En ella Newton describe sus conceptos de fluente -es una variable en función del tiempo- y fluxión de la fluente -la derivada respecto al tiempo de la fluente- como entidades propias, con unas reglas algorítmicas de fácil uso. ¡Triste época la nuestra! Es más fácil desintegrar un átomo que un prejuicio. Albert Einstein

28. Historia del Cálculo ¿Por qué Newton tardó tanto en publicar sus resultados? A parte de su peculiar personalidad y las distintas disputas que tuvo con muchos de sus contemporáneos, Newton era consciente de la débil fundamentación lógica de su método de cálculo de fluxiones -no obstante siempre hubo copias de sus trabajos circulando entre sus amigos- Este temor también está patente en su obra cumbre: Los Principia. Educar a un niño no es hacerle aprender algo que no sabía, sino hacer de él alguien que no existía. John Ruskin

29. Historia del Cálculo Leibniz, más conocido como filósofo, fue el otro inventor del cálculo. Su descubrimiento fue posterior al de Newton, aunque Leibniz fue el primero en publicar el invento. Lo hizo además usando una vía ciertamente novedosa en aquella época: para facilitar la difusión de sus resultados los publicó en una de las recién creadas revistas científico filosóficas el Acta Eroditorum que el mismo había ayudado a fundar. Eran ciertamente momentos importantes para la ciencia donde empezaron a aparecer las revistas científicas que permitirían luego y hasta nuestro días la difusión del conocimiento y los descubrimientos científicos. Educad a los niños y no será necesario castigar a los hombres. Pitágoras

30. Historia del Cálculo Durante una estancia en París -ya que era un afamado diplomático- Leibniz conoce a Huygens quien le induce a estudiar matemáticas. En 1673, luego de estudiar los tratados de Pascal, Leibniz se convence que los problemas inversos de tangentes y los de cuadraturas eran equivalentes. Leibniz comienza a desarrollar toda una teoría de sumas y diferencias infinitesimales que acabarían en la gestación de su cálculo por el año 1680 La mejor forma de librarse de un problema es resolverlo. Brendan Francis

31. Historia del Cálculo A diferencia de Newton, Leibniz si publica sus investigaciones en las mencionadas Actas con el título "Un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular género de cálculo para estos problemas“ También resuelve el ya mencionado problema de De Beaune, encontrando que la solución era el logaritmo. La mecánica es el paraíso de las ciencias matemáticas, porque con ella se alcanza el fruto matemático. Leonardo Da Vinci

32. Historia del Cálculo El siguiente artículo de Leibniz se llamó: "Sobre una geometría altamente oculta y el análisis de los indivisibles e infinitos“. También publicado en las Actas Eroditorum en 1686. En él aparece por primera vez la notación para la integral que todavía hoy usamos (∫). En el primero introduce la notación "dx" para el diferencial. Las matemáticas parecen dotar a uno de un nuevo sentido. Charles Darwin

34. Después, sobre si uno lo había copiado del otro.Acabaron estallando en un conflicto de prioridad que amargó los últimos años de ambos genios. No puedo imaginar a las matemáticas como algo difícil y aburrido. William Thomson Kelvin

35. Historia del Cálculo Primeramente la disputa se pudo evitar pues, los métodos de ambos genios tienen importantes diferencias conceptuales que indican claramente la génesis independiente de los mismos. Newton consideraba las curvas generadas por el movimiento continuo de un punto, basándose su cálculo diferencial en la medida de la variación de la misma -de su fluir-. Leibnitz consideraba una curva que se forma por segmentos de longitud infinitesimal cuya prolongación generaba la tangente en cada punto y de cuya geometría se obtiene la correspondiente relación entre las diferenciales. Hay que tratar de unir lentamente en la instrucción del niño el saber y el poder. Las matemáticas parecen ser, entre todas las ciencias, el único medio de satisfacer este fin. Immanuel Kant

36. Historia del Cálculo Incluso la fundamentación de ambos métodos es totalmente distinta. El de Newton fue resuelto totalmente mediante el concepto de límite. El de Leibniz tuvo que esperar hasta la década 1960-70 cuando aparece el Análisis no estándar de Abrahan Robinson. La polémica en cuestión se fraguó a finales del siglo XVII: por un lado Leibniz no había hecho ninguna alusión al cálculo infinitesimal de Newton -que el mismo Newton le había indicado que existían en sus Epistolae- además que en Holanda -como le aseguró Wallis- se atribuía el cálculo a Leibniz. Matemática es la reina de las ciencias. Carl Friedrich Gauss

37. Historia del Cálculo Los discípulos de Leibniz publican el primer libro sobre el cálculo: el Analyse des infinimentpetits que redactó el Marquéz de L'Hospital a partir de las clases particulares que le dio Juan Bernoulli. Primero el propio Newton hace publicar en el tercer volumen de las obras matemáticas de Wallis la correspondencia cursada con Leibniz las Epistolae prior & posterior donde este pedía a Newton le enviase resultados sobre series. Nada puedes enseñar a un hombre; sólo ayudarle a encontrarlo por sí mismo. Galileo Galilei

38. Historia del Cálculo Después Fatio de Duillier, amigo de Newton, acusa a Leibniz de haber plagiado a Newton, en su ya mencionada De quadratura curvarum. Newton alega: «En una carta escrita a Sr. Leibniz en 1676 y publicada por Wallis, menciono un método por el cual había encontrado algunos teoremas generales acerca de la cuadratura de figuras curvilíneas [...] Hace años yo presté un manuscrito conteniendo tales teoremas; y habiéndome encontrado desde entonces con varias cosas copiadas de él, lo hago público en esta ocasión ». La grandeza del hombre está en el pensamiento. Blaise Pascal

39. Historia del Cálculo En una reseña del De quadratura curvarum, publicada anónimamente -aunque era fácil reconocer a su autor: Leibniz - en 1705 en las Actas se dice «Para entender mejor este libro los siguientes hechos deben ser conocidos. Cuando una cantidad varía continuamente como, por ejemplo, una línea varía por el fluir de un punto que la describe, aquellos incrementos momentáneos son llamados diferencias [...] Y por tanto ha aparecido el cálculo diferencial y su converso, el cálculo sumatorio. Los elementos de este cálculo han sido publicados por su inventor el Dr. Gottfried Wilhelm Leibniz en estas. La mayor sabiduría que existe es conocerse a uno mismo. Galileo Galilei

40. Historia del Cálculo Sus varios usos han sido mostrados por él y por los Drs. y hermanos Bernoulli y por el Dr. Marquéz de L'Hospital. En vez de las diferencias Leibnitzianas, el Dr. Newton empleó, y ha empleado siempre, fluxiones». Esta reseña fue el detonante del mayor ataque contra Leibniz desde las Philosophical Transactions firmado por John Keill quien acusa abiertamente a Leibniz de plagio. Nunca he encontrado una persona tan ignorante que no se pueda aprender algo de ella. Galileo Galilei

41. Historia del Cálculo Leibniz protesta, y la Royal Society nombra una comisión -que resultó estar plagada de amigos de Newton- que luego de varias deliberaciones dictaminó que Newton fue el primero y no acusó a Leibniz de plagio -aunque tampoco rectificó las duras palabras de Keill-. Esta absurda guerra duró hasta principios del siglo XIX, cuando finalmente los matemáticos ingleses deciden adoptar la notación Leibnitziana, -que hasta el momento habían ignorado-, con gran perjuicio para los matemáticos ingleses ya que la matemática inglesa quedó aislada del resto de la del continente. El gran libro de la naturaleza está escrito en símbolos matemáticos. Galileo Galilei

42. Historia del Cálculo Como fueron apareciendo alguno de los conceptos: Función. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés R. Descartes para designar una potencia de x. Newton y Leibniz contribuyeron decisivamente al desarrollo del concepto de función. Descubrieron el desarrollo de funciones en serie de potencias. En 1755 Euler da la primera definición: "Si algunas cantidades dependen de otras de manera que varían cuando varían las últimas, entonces se dice que las primeras son función de las últimas. Nunca andes por el camino trazado, pues te conducirá únicamente hacia donde los otros fueron. Graham Bell

43. Historia del Cálculo Variable . Al matemático francés F. Viète se le ocurrió la idea de usar letras para representar las variables (normalmente X, Y y Z para los números reales y N para lo s enteros). Límites. Wallis (1616-1703) introduce el concepto de límite y el símbolo para el infinito (∞). Los conocimientos de los límites fueron asentados en el siglo XIX por Cauchy, Dedekind y Weierstrass. El hombre encuentra a Dios detrás de cada puerta que la ciencia logra abrir. Albert Einstein

44. Historia del Cálculo Continuidad. El hombre llegó al concepto abstracto de continuidad observando los medios densos que le rodean, tanto sólidos, líquidos como gaseosos. El concepto matemático de continuidad juega un gran papel en la hidrodinámica, la aerodinámica y la teoría de elasticidad. La definición de función continua en un intervalo fue dada por primera vez por Cauchy. El hombre que hace que las cosas difíciles parezcan fáciles, es el educador. Ralph Emerson

45. Historia del Cálculo Derivabilidad. Newton y Leibniz descubrieron ambos el concepto de derivada de manera independiente. Newton empezó a pensar en 1665 en la velocidad de cambio o fluxión de magnitudes. Sin embargo, fue Leibniz quien utilizó en primer lugar la notación para indicar simbólicamente el paso al límite cambiando D por d. Máximos y mínimos. El matemático suizo L. Euler proporcionó muchas de las herramientas matemáticas para la teoría de máximos y mínimos de cantidades escalares. Los que renuncian son más numerosos que los que fracasan. Henry Ford

46. Historia del Cálculo Regla de L' Hôpital. Fue descubierta por uno de los hermanos Bernoulli, Jean. Se conoce como "Regla de L' Hôpital", debido a que J.B. en su estancia en París enseñó matemáticas al joven marqués francés, G.F.A. de L' Hôpital y firmó con él un pacto, según el cual, a cambio de un salario regular, se comprometía a enviarle al marqués sus descubrimientos en matemáticas para que el marqués los utilizase a su voluntad. Los sabios rara vez hablan y los que hablan, rara vez son sabios. Tutang Ling

47. Historia del Cálculo El concepto de suma de Riemann para una función f, es anterior a Riemann. Las sumas llevan su nombre porque él dio las condiciones necesarias y suficientes para que una función acotada sea integrable. Su enfoque fue generalizado por Darbou (1875) y Stieltjes (1894). Realmente, el que amplió la teoría de la integración fue Lebesgue en 1902. No hay viento favorable para el que no sabe a donde va, Seneca

48. Historia del Cálculo BIBLIOGRAFÍA El Legado de las Matemáticas. http://euler.us.es/~libros/calculo.html Historia del Cálculo http://calculo.bitacoras.com/ Departamento de Matemáticas Murcia España. http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.bullas/dp/matema/indice.htm Elaboró: Prof. Carlos Vázquez López Academia de Matemáticas Preparatoria Federal por Cooperación No. 5 Nicolás Bravo Zihuatanejo Gro.