1. Universidad Tecnológica de
Torreón.
Ejemplos de Distribuciones de
probabilidad.
-Bernoulli
- Binomial
-Poisson
-Normal
-Gamma
-T de student
Lizbeth Martinez.
2A

2. -BERNOULLI
1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la
probabilidad de sacar la carta 9?
° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.
P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111
° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.
P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888
2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder darles
un premio, pero la maestra los seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual
es la probabilidad de que salga el alumno numero 16?
° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16.
P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16.
P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.9375
3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al momento de
sacar alguno de ellos ¿que probabilidad hay para que pueda salir
premiado el boleto número 342?
° La probabilidad de que saque el boleto número 342.
P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 = 0.00292

3. ° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342.
P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342 = 0.99707
4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se
considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale
(1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un
lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es
decir, salir cara) y 1 (una cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos
los requisitos.
° La probabilidad de obtener cruz.
P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5
° La probabilidad de no obtener cruz.
P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5
Distribución Binomial
Ejemplo 1:
Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad
de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50,
1/6) y la probabilidad sería P(X=20):
Ejemplo 2:

4. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el
punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo
de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la
novela 2 personas?
B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2
2.¿Y cómo máximo 2?
Ejemplo 3:
Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la
misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas
actuales, la probabilidad de que una persona en estas
condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad
de que, transcurridos 30 años, vivan:
1. Las cinco personas.
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3
2.Al menos tres personas.

5. 3.Exactamente dos personas.
Ejemplo 4: Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la
probabilidad de que salgan más caras que cruces.
B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5
Ejemplo 5:
La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4.
Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acier te
exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de
que acierte por lo menos en una ocasión?
B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4
POISSON

6. Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de
contabilidad son muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que
si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes
n= 100
P=0.03
=100*0.03=3
x=5
Ejemplo2.- La producción de televisores en Samsung trae asociada
una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de
85 televisores, obtener la probabilidad que existan 4 televisores con
defectos.
n=85
P=0.02
P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746
X=4
=1.7
Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso
calcular la probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos
hablan ruso
n=20
P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418
X=3
=3
Ejemplo4.- El 8% de los registros contables de una empresa
presentan algún problema, si un auditor toma una muestra de 40
registros ¿Calcular probabilidad de que existan 5 registros con
problemas?
n=40
P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793

7. =3.2
X=5
Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen
defecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar
¿Calcular Probabilidad que existan 5 registros con problemas?
n=40
P=0.08
=10
NORMAL
1.- Una población normal tiene
una media de 80 una desviación
estándar de 14.0
µ = 80
σ = 14 z
a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y
90.0
p (75 ≤ x ≤ 90) 75 80 90
Probabilidad μ
acumulada.
z = 0.7611
z =0.3594
p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017
b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.

8. p(x ≤ 75)
Probabilidad
acumulada.
z 0.3594
p(x ≤ 75) = 0.3594
75 80
μ
c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y
70.0
p (55 ≤ x ≤ 70)
Probabilidad
acumulada.
z =0.2389
z =0.0367
55 70 80
p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022 μ
2.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de
préstamos en Down River Federal Savings tiene una
distribución normal, una media de $70,000 y una desviación
estándar de $20,000. Esta mañana se recibió una solicitud de
préstamo. ¿Cuál es la probabilidad
de que:
µ= $70,00
σ =$20,0
z
a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior?
p(x ≥ 80,000)
Probabilidad
acumulada.
–
z = 0.6915

9. p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085
70000 80000
μ
b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000?
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)
Probabilidad
acumulada.
–
z = 0.6915
–
z =0.4013
65000 70000 80000
μ
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902
c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.
p(x ≥ 65,000)
Probabilidad
acumulada.
–
z =0.4013
p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987
65000 70000
μ
3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población
de más de 250,000 habitantes, la media del tiempo de
viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El tiempo de
viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York,
donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que
la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de
Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal
y la desviación estándar es de 7.5 minutos.
µ = 38.3 min.

10. σ = 7.5 min. z
a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York
consumen menos de
30 minutos? µ = 1,200
p( x ≤ 30) σ = 225
Probabilidad
Probabilidad
acumulada.
acumulada.
5% = .0500 –
z 0.1335
=
p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3
μ
b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35
minutos?
p(30 ≤ x ≤ 35)
Probabilidad
acumulada.
–
z = 0.3300
–
z = 0.1335
30 35 38.3
μ
p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%
c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40
minutos?
p(30 ≤ x ≤ 40)
Probabilidad
acumulada.
–
z = 0.5910
–
z =0.1335
30 38.3
μ
p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 = 0.4575 = 45.75%
4.- Las ventas mensuales de silenciadores en el área de
Richmond, Virginia, tiene una distribución normal, con una
media de $1,200 y una desviación estándar de $225. Al

11. fabricante le gustaría establecer niveles de inventario de
manera que solo haya 5% de probabilidad de que se
agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los
niveles de inventario?
z
1 - 0.0500 = 0.9500
Valor z = 1.65
z
1.65 5% ó 0.0500
–
X=
x = 1,571.25 1,571.2
5
5.-En 2004 y 2005, el costo z medio anual
para asistir a una universidad privada en
Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución
de los costos anuales se rigen por una distribución de
probabilidad normal y que la desviación estándar es de
$4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadas
paga menos de ¿Qué cantidad?

12. –
z 1.64 95% ó 0.9500
x = 27,462. X=
27,46
275
µ = 20,082
σ = 4,500
Probabilidad Valor
acumulada. de z
95% = .9500 =
DISTRIBUCIÓN GAMMA
La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en la
ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable que
mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma
con parámetros a= n lambda(escala) y p=n (forma). Se denota
Gamma(a,p).
Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de
elementos físicos (tiempo de vida).
Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es
muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en
una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).
Ejercicio 1
El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de
Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una
hora hasta la llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del
segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).
Solución:
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

13. Gamma (a p)
a : Escala 60000
p : Forma 20000
Punto X 10000
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174
Media 0,3333
Varianza 0,0556
Moda 0,1667
La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.
Ejercicio 2
Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta
intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y
p=7,81, calcúlese:
1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

16. T DE STUDENT
Ejemplo 1: Un fabricante de focos afirma que su producto durará un
promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta
persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t
0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué
conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración
fue?:
520 521 511 513 510 µ=500 h
513 522 500 521 495 n=25
496 488 500 502 512 Nc=90%
510 510 475 505 521 X=505.36
506 503 487 493 500 S=12.07
SOLUCIÓN.
t= x -μ
SI n α = 1- Nc = 10%
v = n-1 = 24
t = 2.22
Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.

17. Ejemplo 2: El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10
días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone
el despertador acaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase,
mientras que 2 de cada 10 días en los que olvida poner el despertador,
llega a tiempo adar su primera clase.
(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.
(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar
su primera clase?
Solución:
En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamos
realizando. Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesor
Pérez y analizarlo en base a los siguientes sucesos.
(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:
O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertador
T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.
Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de
sucesos. A continuación traducimos en términos de probabilidad de los
sucesos anteriores todos los datos que nos dan en el enunciado.
P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .
(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por
tanto nos piden que calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema
completo de sucesos, podemos aplicar la formulas de la probabilidad
total, de donde tenemos que:
P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).
En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha
proporcionando el enunciado, sin embargo no conocemos directamente
el valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos que
P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se
puede escribir como: P(T¯) = + =0.69

18. Ejemplo 3: La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen
media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en
una muestra de tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a
20.5 mm:
P (μ<20.5)
Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados
de libertad
T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5
P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)
P (T<2.5) = 0.9902
P (μ<20.5)=0.9902
La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea
inferior a 20.5 mm es del 99.02%
Ejemplo 4:
Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los siguientes casos:
1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.
2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.
Solución.
1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica:
S [W · w0=95] = 0=95
Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:
- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.
- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso:
0=95=

19. - ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores
hasta cruzarnos en el punto w0=95.
Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad será
el valor:
w0=95 = 2=3534
Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la
primera columna, llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo
hacemos verticalmente hacia la primera fila la llegaremos al valor 0.95
(probabilidad acumulada).
Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas
probabilísticas que van desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el
percentil w0=25, tendremos que realizar la siguiente consideración:
S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]
Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica:
w0=25 = ¡w0=75
Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]
Por tanto, buscando en la tabla con los datos:
Grados de libertad: 3
Cola de probabilidad: 0.75
Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649
2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso
anterior, pero buscando en la fila 30 de la tabla. Resultando:
w0=95 = 1=6973
Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828
Ejemplo 5 :
Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01
Solución.
Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de
tener en cuenta que:
df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)
df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)

20. 0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)
El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado.
Por tanto: I9>7; 099 = 6=840