Ito Lemması olarak bilinen stokastik analiz ve modelleme tekniği, stokastik modellerin çözümünde olağanüstü katkı sağlayan bir yaklaşım olarak yaygın bir şekilde uygulanıyor.

1. ITO LEMMASI
Doc. Dr. Kutlu MERİH
Ito Lemması olarak bilinen stokastik analiz ve
modelleme tekniği, stokastik modellerin
çözümünde olağanüstü katkı sağlayan bir yaklaşım
olarak yaygın bir şekilde uygulanıyor.

2. Ito’nun Lemması
• Stokastik modellerin çözümünde olağanüstü katkı
sağlayan bir yaklaşım. Önce tek değişkenli fonksiyon
etrafında fikir geliştirelim.
• Şimdi reel değerli, f(X): RR olan bir fonksiyon
verilsin.
• Bunun Taylor serisi açılımı aşağıdaki gibidir;
f(X+D)=f(X)+fX(X) D+(1/2)fXX(X) D2
+(1/6)fXXX(X) D3+o(D3)
• Burada fX ifadeleri f fonksiyonunun X değişkenine göre kısmi türevlerini gösteriyor.
)o(Δ(X)Δ)f/(
(X)Δ)f/((X)Δff(X)Δ)f(X
XXX
XXX
33
2
61
21



3. Ito’nun lemması
X “standart” bir değişken ise; D2 nin değeri o(D)
mertebesindedir.
Yani D->0 için sıfır olur.
f(X+D)=f(X)+fX(X) D+o(D)
f(X+dX)=f(X)+fX(X)dX+o(D)
df(X)=fX(X)dX

4. Ito’nun lemması
• Şayet X rasgele (stokastik) değişken ise, (difuzyon ile
oluşan) bu halde dX2 değeri sıfıra gitmeyecektir.
dX=adt+sdW
(dX)2=a2(dt)2+2asdtdW+s2(dW)2
(dX)2=s2dt
• Burada daha önce diferansiyel çarpımları ile ilgili
yaptığımız çalışmanın yararını görüyoruz.

5. Ito’nun lemması (tek değişken)
• Şimdi tek değişkenli fonksiyonumuzun açılımına
tekrar dönelim. DİFUZYON çalışmasında bulduğumuz
(dW)2 burada işimize yarayacak.
f(X+dX)=f(X)+fX(X) dX+(1/2)fXX(X) (dX)2
df(X)=fX(X) dX+(1/2)fXX(X) (dX)2
df=fXdX+(1/2)fXX(X) (dX)2
df=fXdX+(1/2)s2fXX(X) dt
• Şimdi çok değişkenli esas modelimizi inceleyebiliriz

6. Ito’nun lemması (çok değişken)
• Şimdi f = f(X,t) şeklinde bir çok değişkenli fonksiyon ise ve dX
= adt + sdW olarak verilmiş ise, en az iki defa türetilebilir
olma koşulu ve çok değişkenli Taylor açılımı yardımı ile elde
edilen Ito formülü aşağıdaki gibidir:
df=(afX+(1/2)s2fXX+ft)dt+sfXdW

7. Ito’nun lemması (çok değişken)
• X bir stokastik süreç olsun. a ve s nın (Xt, t) ye bağlılığı
varsayılmış fakat açıkça gösterilmemiştir.
• Şimdi Yt = f(Xt, t) yeni bir stokastik süreç olup bunun
diferansiyeli aşağıdaki gibi verilir.
• Burada f(.) fonksiyonunun Xt ve t ye göre iki kere türetilebilen
sürekli bir fonksiyon olduğu unutulmamalıdır.
• Gerçekte Ito formülü için sadece fx, fxx, ve ft türevlerinin
varlığı ve sürekliliği yeterlidir.
tttxttxxttttxt dWtXfdttXftXftXfdY ssa ),(]),(),(),([ 2
2
1 

8. Ito’nun lemması (çok değişken)
f(Xt + dt, t + dt) fonksiyonunun (Xt, t) civarında ikinci
mertebeden Taylor serisi açılımı ile dYt diferansiyeli;
dYt=f(Xt+dt, t+dt)-f(Xt,t)
)(),(2
))(,())(,(
),(),(),(),(
2
1
2
2
12
2
1
residualRdtdXtXf
dttXfdXtXf
dttXfdXtXftXfdttXf
ttxt
tttttxx
ttttxtdtt



Şimdi popüler deyim: “gösterilebilir ki dt  0 iken
R  0 olacaktır”.

9. Ito’nun lemması (çok değişken)
• Şimdi dXt, dt, ve dt2 terimlerinin ne olacaklarını biliyoruz fakat
(dXt)2 ve dXtdt terimlerinin durumu ne olur?
000)(
00 22


dtdWdtdtdX
dtdt
tttt
tt
sa
ss
dttdWtttdWtdtt
tdWtdtttdX
sasa
sa
22222
2)(2)(


Beklenen değeri dt olarak biliniyordu. Bu değeri alıyoruz

10. Ito’nun lemması (çok değişken)
• Taylor’s seri açılımında her şeyi toparlarsak;
tdWtttXxfdttttXxxfttXtftttXxf
ttXfdtttdXtXf
ttXfdttdttXftdY
ssa ),(]2),(
2
1),(),([
),(),(
),(),(



Ito formülünü elde ederiz.

11. Ito Lemması
• DS bağıntımızın çok ufak Dt, değerleri için geçerli olduğunu
kabul edelim, şimdi f fonksiyonu S ve t değişkenleri cinsinden
tanımlanmış olsun ve iki kere türetilebilsin.
f = (S,t)
• Bu fonksiyon ufak Dt değerleri için aşağıdaki bağıntıyı
gerçekler;
)2()()()22
2
2
2
1( totS
S
f
tS
S
f
t
f
S
S
f
f DD


D








D ss

12. İSPAT:
Şimdi F yukarıdaki gibi tanımlanmış olsu. Bu iki değişkenli fonksiyona Taylor
açılımını uygularsak ikinci mertebeden terimlere kadar Df için aşağıdaki bağıntı
yazılabilir,
)(
2
2
2
2
2
12
2
2
2
1 totS
Sf
f
t
t
f
S
S
f
t
t
f
S
S
f
f DDD


D


D


D


D


D
Burada DS için daha önceki bağıntımızı yerine koyarsak,
).()(
2
2
2
2
2
1
2)(
2
2
2
1)(
tottStS
Sf
f
t
t
f
tStS
S
f
t
t
f
tStS
S
f
f
DDDD


D



DD


D


DD


D
s
ss
So
).(2
32
2
2
2
2
2
2
1222
2
2
2
1
2
3
2
2
2
222
2
2
2
1
totS
St
f
tS
St
f
t
t
f
tS
S
f
tS
S
f
tS
S
f
t
t
f
tS
S
f
tS
S
f
f
DD


D


D


D



D


D


D


D


D


D
ss
ss
Açılımı elde edilir. Biraz karışık görünse de sadece iki değişkenli bir
Taylor açılımıdır.

13. Şimdi, Dt son derecede küçük bir değer olarak (diferansiyel) düşünüldüğünden,
Dt nin 1. dereceden yüksek üslerini ihtiva eden terimler sıfıra gider ve bu ifade
basitleşir.
)()()222
2
2
2
1(
)(222
2
2
2
1
totS
S
f
tS
S
f
t
f
S
S
f
f
totS
S
f
t
t
f
tS
S
f
tS
S
f
f
DD


D








D
DD


D


D


D


D
ss
ss
Bu ifade ile Ito lemması arasındaki tek fark ilk terimindeki 2 katsayısıdır.
Bunu gidermek için,
.
E(2Dt) = Dt[E(2)] = Dt (  ~ N(0,1) olduğu için.)
22)2()4(
2
)22()24()2(
)(2
tEE
tEtEtVAR
tott
D



 



 DDD
DDD




14. )()(
)22
2
2
2
1(
totS
S
f
tS
S
f
t
f
S
S
f
f
DD



D








D
s
s
Elde edilir ve (2) bağıntısı ile verilen lemma gerçeklenmiş olur.
Buna göre 2Dt varyansı 0 civarında ise ve,
2Dt nin beklenen değeri Dt ise, 2Dt = Dt + o(Dt) olur ve

15. Ito’nun lemması (uygulamala-1)
• Bir stokastik süreç Yt = Wt
2, t  0, bağıntısı ile verilsin.
• Burada Wt standart Brown hareketidir. Yt ile bunun
karesinin davranışını araştıracağız. dYt diferansiyeline
bakalım;
• Lemmayı kullanabilmek için Önce Xt, sonra f() ve fx, fxx, ve
ft değerleri hesaplanır.
• Sonra


tttt
tttttt
XTfveXtXfY
dWdXboyleceWXve
],0[:),(
10
2
sa
0),(2),(2),(  tXfvetXfXtXf tttxxttx

16. Ito’nun lemması (uygulamala-1)
• dYt için Ito lemması ile aşağıdaki bağıntı elde edilir:
• Buna göre Yt yine bir stokastik süreçtir. Drifti (a) = 1
ve volatilitesi = (s) = 2Wt. Olarak bulunur.
tttt
ttt
tttxttxxttttxt
WXdWWdt
dWXdtX
dWtXfdttXftXftXfdY



21
12]12002[
),(]),(),(),([
2
2
1
2
2
1 ssa

17. Ito’nun lemması (uygulama-2)
• Bir aritmetik Brown hareketi için dinamik denklemi ,
Xt=at+sWt
• Şimdi bir St stokastik süreci So > 0.
St = f(Xt, t); f(Xt, t) = So.exp(Xt)
• Olarak verilsin.
fx=So.exp(Xt) fxx=Soexp(Xt) ft=0
• Ito lemması ile dSt diferansiyeli;
• Buradan görüyoruz ki St bir Geometrik Brown hareketidir.
ttt
ttttt
dWSdtS
dWXSdtXSXSdS


ssa
ssa
])[(
)exp(])exp()exp([
2
2
1
0
2
02
1
0

18. Ito Analiz Tekniği
• Bu iki uygulamadan görüyoruz ki, Ito lemması ve analiz tekniği
stokastik süreçlerin incelenmesinde ve uygun modellerin
geliştirilmesinde vazgeçilemeyecek bir yardımcı tekniktir.
• Ito formülasyonu stokastik süreçlerin analizinde karşımıza çok
sık çıkan kısmi diferansiyel denklemlerin – KDD (fokker-
planck ısı denklemi gibi) çözümlenmesinde çok güçlü bir
destek sağlar.
• Türev ürünlerin fiyatlarının hesaplanmasında genellikle
kullanılan Black-Scholes teknikleri Ito formulasyonu sayesinde
elde edilmiştir. (başka bir sunumun konusu)

19. Finansal Uygulama
• Varsaylım ki X rasgele değişkeni, drift a ve volatilite s
ile bir geometrik Brownian hareketine tabidir.
• Değeri V olan bir finansal aktif sürekli olarak Xdt
getirisi sağlamaktadır.
• V bir ortalama a oranı ile exponansiyel olarak
büyümektedir. Nakit akışında ise bazı riskler söz
konusu olmaktadır.
• Ekonomi risk-nötral yapıdadır, ve risksiz faiz oranı r
değeri ile sabittir.
• Bu yatırımın değeri nedir?

20. Finansal Uygulama
1. V = V(X), ve V fiyatı zamana tabi değil.
dV = VxdX + 0.5 VxxdX2,
dX = aXdt + sXdW,
dX2= s2X2dt
Ito lemması ile;
dV = [aXVx+0.5 s2X2Vxx]dt +sXVxdW
2. Beklenen kapital kazancı:
E[dW] = 0 olduğu için;
ECG = E[dV] = [aXVx+0.5 s2X2Vxx]dt
3. Beklenen nakit akışı:
ECF = X dt

21. Finansal Uygulama
4. Toplam getiri:
TR = ECG + ECF = [aXVx+X+0.5s2X2Vxx]dt
5. Getiri V üzerine yağılan risksiz yatırımla aynı düzeyde olmalı
rVdt = [aXVx+X+0.5s2X2Vxx]dt
6.Buna göre KDD:
rV = aXVx+X+0.5s2X2Vxx
rV = aXVx+X+0.5s2X2Vxx
Şeklini alır.

22. Finansal Uygulama
Bunu çözmek için çeşitli teknikler vardır.
X ikiye katlanırsa V fiyatı da ikiye katlansın; Yani V ile X oransal
olsun;
Buna göre; V = X, Vx= , and Vxx=0, olur ve denklem;
r X= aX+X
 = 1/(r- a)
V(X) = X/(r- a)
Olarak elde edilir.