Εξισώσεις β βαθμού Γ΄Γυμνασίου

1. ΦΥΛΛΟΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥΒΑΘΜΟΥ(Χωρίςτην χρήση τύπων)
Ότανσεμία εξίσωσηεμφανίζεταιοάγνωστοςστοτετράγωνο,τουλάχιστον μία φορά,τότε
λέμε ότιέχουμε δευτέρουβαθμού εξίσωση.
Η εξίσωση αχ2
+βχ+γ=0 με α≠0 ονομάζεταιεξίσωσηδεύτερουβαθμούμε ένανάγνωστο.
Οι αριθμοία,β,γονομάζονταισυντελεστέςτηςεξίσωσης. Ο αριθμόςγ λέγεταισταθερόςόρος.
Οποιαδήποτεεξίσωσηπεριλαμβάνειμονώνυμα πρώτουκαιδεύτερουβαθμούκαιαριθμούς
μπορεί με εφαρμογήιδιοτήτωννα αναχθείστην κανονικήή γενική μορφήτης εξίσωσης:
αχ2
+βχ+γ=0 με α≠0
 Η εξίσωση χ2
+3χ=0 έχει α=1, β=3, γ=0
 Η εξίσωση χ2
-7=0 έχει α=….., β=……, γ=…….
 Η εξίσωση 2χ2
=3χ-1 γίνεται………………… ……… με α=……., β=……., γ=……….
 Η εξίσωση 4χ2
+5χ-3=2χ2
-7χ+4 γίνεται…………………………………. (την φέρνουμεστην
κανονική,γενικήμορφή) μεα=……, β=……., γ=…….
 Η εξίσωση χ(χ+2)-1= 4χ2
+5χ-3 γίνεται………………………………….
Με α=……,β=………, γ=……….
Παρατηρούμεότιηεξίσωσηδευτέρουβαθμούείναιτογνωστότριώνυμο.Θα μελετήσουμε
απλέςμορφέςτου τριωνύμου:
 Ανείναιβ=0 , τότε τοτριώνυμοπαίρνειτην μορφή αχ2
+γ=0. Αν οι αριθμοία και γ είναι
ετερόσημοι, τότετοτριώνυμογίνεταιδιαφορά τετραγώνων,οπότεεύκολαβρίσκουμε
τις ρίζες με παραγοντοποίηση.
Ανοι α και γ είναιομόσημοι, τότεη εξίσωσηείναιαδύνατη.Π.χ να λυθούν οι
εξισώσεις 2χ2
-8=0……………………………..
καιχ2
+5=0
 Αν γ=0, τότετο τριώνυμοπαίρνειτημορφή αχ2
+βχ=0 . Παραγοντοποιούμεκαι
φθάνουμεστησχέσηχ(αχ+β)=0. Η οποία ισχύει όταν χ=0 ή αχ+β=0 καισυμπεραίνουμε
ότι οι λύσεις της εξίσωσηςείναιχ=0 ή χ=-β/α.π.χ Να λυθείη εξίσωση
4χ2
+20=0……………………………….
Ποια είναιη μία λύση που έχει πάντοτεηπαραπάνωεξίσωση;…………………………….
 Χ2
=α Αν α>0 η εξίσωση έχει λύσειςχ=√ 𝛼 καιχ=-√ 𝛼. Εάν α=0 τότεχ=0 καιτέλοςεάν α<0
η εξίσωσηείναιαδύνατη.Π.χΝα λυθούν οι εξισώσεις χ2
=169………………………….. και
2χ2
=5…………………………
 Σε πολλέςπεριπτώσειςγίνεταιεύκολα παραγοντοποίησηγιατίείναικάποια γνωστή
ταυτότητα.Π.χ Να λυθεί η εξίσωση4χ2
+4χ+1=0……………………….
 Συμπλήρωσητετραγώνου. Η μέθοδοςτης συμπλήρωσηςτετραγώνου μπορείνα
εφαρμοστεί σεόλεςτις εξισώσειςδευτέρουβαθμού.Σχηματίζουμεστοπρώτομέλος
ένα ανάπτυγμα τετραγώνουτηςμορφής(χ+ψ) 2
ή (χ-ψ)2
Π.χ Να λυθείη εξίσωση

2. χ2
+15χ-16=0 (Πολλαπλασιάζουμεόλουςτουςόρουςτης εξίσωσηςμε 4α).Οπότε έχουμε
4χ2
+60χ-64=0 (Μεταφέρουμεστοβ΄μέλοςτον σταθερόόροκαιστοα΄μέλος
δημιουργούμεπαράστασητηςμορφήςα2
+2αβή α2
-2αβ) καιέχουμε(2χ)2
+2.2χ.15=64
στη συνέχεια (Για να συμπληρωθείτο ανάπτυγμα τετραγώνουπροσθέτουμεκαιστα
δύο μέλητο β2
) έχουμε(2χ)2
+2.2χ.15+152
=64+152
= (2χ+15)2
=289 και 2χ+15=√289 ή
2χ+15=-√289 2χ+15=17 ή 2χ+15=-17 και καταλήγουμεστιςλύσειςχ=1 και χ=-16
 Να λυθεί η εξίσωση 2χ2
+3χ-2=0………………………………………………………..
 Εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερουτου δευτέρου. Εξισώσεις μεγαλύτερουτουδευτέρου
βαθμούτις παραγοντοποιούμεσεπαράγοντεςπρώτουήδευτέρουβαθμούκαι
χρησιμοποιούμετηνσχέση αν Α.Β.Γ=0 όπου Α,Β,Γπολυώνυμα τότε κάποιοςαπότους
παράγοντεςπρέπεινα είναιμηδέν.Π.χ Να λυθείη εξίσωση
χ4
-16=0……………………………………… (Παραγοντοποιούμετην εξίσωσησεπαράγοντες
μικρότερουβαθμού)
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να χαρακτηρίστετις παρακάτωπροτάσειςµεΣ αν είναι σωστέςκαι µε Λ αν είναι
λανθασµένες
α) Η εξίσωσηx 2
−9 = 0 έχει λύση το3
β) Η εξίσωση αx 2
+ βx + γ = 0 είναιδευτέρουβαθµού
γ) Αν η εξίσωσηαx 2
+ βx + γ = 0 έχει λύση το 1 τότεα + β + γ = 0 Σ
δ) Η εξίσωσηx 2
−5x = 0 δενέχει λύση το5
2. Ναλυθούν οι εξισώσεις
i) (x −3)(x + 7) = 0 ii) (2x −4)(5x + 7) = 0 iii) x(3x +5)(5x −3) = 0
3. Ναλυθούν οι εξισώσεις.
i) (2x2
+ 5x)(x2
−64) = 0
ii) (x + 1)(3 −2x) = 4x2
−9
iii) (x 2
+ 2x + 1)(x3
+ 5x) = 0