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日本認知心理学会研究法研究部会#1 多次元尺度構成法,その基礎と広がり
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Mds20190303
1.
多次元尺度構成法 その基礎と広がり 小杉考司(専修大学) MDS,使ってる?――心理学研究における応用可能性―― 日本認知心理学会 研究法研究部会/第1回研究会
2.
お品がき • MDSの基礎 • MDSの特徴と長短所 •
あらためて「距離」とは? • YH定理と計量的(Metric)MDS • 非軽量的(Non-Metric)MDS • MDSの応用 • 個人差を表現する方法(INDSCAL) • 地図に情報を描き加える方法(PREFMAP, Abelson Mappingなど) • 非対称関係に拡張する方法(HFM, Asymmetric von Mises Scalingなど ) 伴走サイト;https://kosugitti.github.io/JSCP_MDS_2019/
3.
Multi Dimensiona Scaling その特徴・Pros
and Cons • 特徴;「距離」の情報だけから地図を作ること • Pros; • 被験者への負担・介入・仮定が少ないデータからスケールを 作る醍醐味 • 順序尺度水準のデータでOK • 結果の空間に加筆修正できる自由度の高さ • Cons; • (データによるけど)結果の不安定さ • 推定アルゴリズムを考えるとちょっと面倒なことが多い
4.
具体例;Eurodist
5.
第二軸を 反転させました
6.
7.
地図 MDS
8.
距離の公理 • 2点x とyの距離をd(x,y)とすると, •
の条件を満たせば全て「距離」。 非負性(正定値性) 対称性 三角不等式
9.
dist関数 • にはdist関数が最初から入っている • データ行列を与えると距離行列にして返す
10.
dist関数 A B C
D 1 # # # # 2 # # # # 3 # # # # … # # # # A B C B # C # # D # # #下三角行列に変わる
11.
dist関数 • dist関数には様々なオプション・・・ • 6種類の距離!
12.
距離の一般化 を特に チェビシェフの距離 または 優勢次元距離という x y
13.
相関や共分散も • 相関係数は類似度を表す指標(とも言える) • 相関係数はベクトルのcosθ •
1-類似度=距離(と考えることもできる)
14.
心理データとしての距 離 • (非)類似性を距離とみなして用いることが一般的 • (非)類似性の心理データを取る利点 1.
被験者の自然な(総合的な)判断に任せられる;下位の評価次元を 実験者が準備することは研究者があらかじめどの属性が重要かを 決め打ちしているようなもの 2. 上と関連して,人の評価傾向(社会的望ましさバイアスなど)から 自由なデータを入手できる 3. 被験者には何らかの内的一貫性を求めており,データ収集時にそ の一貫性をチェックすることができる 高根芳雄(1980)多次元尺度法,東京大学出版会
15.
心理データとしての距 離• 尺度評定を用いる方法 • 刺激の混同率 •
代替価/連想価 • 刺激の汎化勾配 • 反応潜時 • ソシオメトリックなデータ 高根芳雄(1980)多次元尺度法,東京大学出版会 Si→Riの条件づけがあるとき,Pr(Ri|Sj)を類似性とする 2つの刺激が「同じ」か「違う」かを判断する課題 への反応潜時を類似性の指標とする
16.
千野直仁「多次元尺度構成法講義ノート」より
17.
根本的なメカニズム • サイズNの正方行列をM<<Nな2つのN×M行列の積の形に分 解できると,その行列の要素は座標になっているとみなせ る • そんな都合の良い行列の分解なんかできるの?→できます 距離行列 D A A’= N N N M M N
18.
データから距離へ v1 v2 v3
v4 … … … … vm 1 2 3 . . . . . . N ケ ス を 分 類 し た い の ? 変数を分類したいの? ー m×mの行列 N×Nの行列 行列の 分解へ
19.
距離と分析法 相関行列ならFA 分散共分散行列なら PCAやSEM 距離行列なら MDSやクラスター クロス集計表なら 双対尺度法 関係・関連を表す行列
20.
v1 v2 v3
v4 … … … … vm 1 2 3 . . . . . . N v1 v2 v3 v4 … … … … vm 1 2 3 . . . . . . N v1 v2 v3 v4 … … … … vm 1 2 3 . . . . . . N データの相と元 • 相mode;変数セットの種類 • 元way;変数セットの組合せ回数 v1 v2 v3 v4 … … … … vm 1 2 3 . . . . . . N 変数 個人 変数×個人 二相二元データ v1 v2 v3 v4 … … … … vm 1 2 3 . . . . . . N 時系列 変数×個人×時間 三相三元データ
21.
Metric MDS • MDSは各対象を空間内の点として表現する。その表現され たものを布置configurationと呼ぶ •
YHの定理ではある対象を中心に行列を分解したが,実際の MDSでは行列の二重中心化(行・列方向両方の平均を抜き取 る)を行うことで原点を中心にする • 原点は不動だが,先ほどの例のよ うに反転・回転の可能性はあり
22.
非計量的MDS • 計量MDSは距離データが比率尺度水準で得られている必 要があるが,人文社会科学系のデータの場合はそこまで 厳密に測定できている場合は少ない • そこで対象jとkの類似度を
,多次元空間での距離を としたとき, • となるように布置をきめる,というルールに弱める。 • 推定には不適合度Stressを目安にする(Kruscalの方法) ならば
23.
Stressの目安 • 次元数を決める時はStressを目安にする Kruscalの基準 https://mjin.doshisha.ac.jp/R/Chap_27/27.html 金「Rと多次元尺度構成法」のサイトより
24.
Stressの目安 • Stressをスクリープロットのように並べて判断することもある 岡太・今泉「パソコン多次元尺度構成法」共立出版 より 因子分析と違って 肘のところまで 採択する
25.
具体例
26.
具体例 isoMDS関数はStressを百分率(Stress*100)で出力。 これは0.00013671のことなのでExcellent!
27.
具体例 1〜9次元まで試して 各ストレスを保存 プロット 二次元で十分!
28.
具体例
29.
具体例 テンポ速い テンポ遅い 動きが大きい 動き小さい
30.
結果より • 軸は回転するので,提示された軸に意味付けしないこと • 解釈は多様だが,例えば対象に付与された座標を従属変 数として,他の説明変数で回帰分析を行うなどして「解 釈次元の妥当性」を考えることもできる(#緑の紐本
参照 ) • 元は距離データなので,クラスタ分析と組み合わせるこ ともできる • 列変数の地図を描くこともできます
31.
具体例
32.
個人差MDS • INDSCALという個人差を表現するモデルがあります • 個人iが対象jとkの類似度を
とつけたとします。 • 全ての個人の布置の原型となる共通布置空間では, • 個人の特徴は次元に対する重みとして考えられて,
33.
INDSCALのイメージ 共通布置
34.
INDSCALのイメージ 共通布置 Aはdim2を潰す dim1を引き延ばす
35.
INDSCALのイメージ 共通布置 Bはdim1を潰す dim2を引き延ばす
36.
INDSCALの特徴 • 重みwには推定のため, ,
などの 制約を課す • INDSCALは共通次元ができるので,軸の回転などの自由 度はなく,その解釈が可能 • INDSCALの重み行列wは対角行列だけど,対角の制約を 外したIDIOSCALという手法もある
37.
具体例 • 豊田(2018)に提供したデータの一部を抜粋 • 10の観光都市(札幌,飛騨高山,舞鶴,佐世保,志摩,秋 吉台,野沢,道後,由布院,宮古島)についてのイメージ を聞いた調査で,今回はその一部(5人分)をとりだしたもの •
INDSCALはsmacofパッケージでできる。リストになった 行列を渡すだけなので比較的楽チン。
38.
結果 30代女性 60代男性 50代女性 40代女性 50代男性
39.
地図に書き加える方法 • MDSで書かれた地図は対象の類似度を反映したもの • 地図に何らかの情報を追記することでよりリッチな可視 化 •
選好の情報を追加するPrefmap • 場にかかる力の情報を追加するAbelson Map ここでは2つご紹介
40.
Preference Mapping • 類似度空間の中に「個人の点」を追加する •
この個人の点は理想点を表す=理想点と対象の点との距 離が選好度を表す • 個人iの理想点座標を 対象jに対する選好度を とし このように表す ただし 回帰分析で解ける
41.
Preference Mapping • 先ほどの式を展開すると •
MDSで対象の座標( )は元待っているから,回帰分析を 行なって回帰係数を算出し,次の式で理想点を求められ る。 詳しくは岡太・今泉「パソコン多次元尺度構成法」共立出版を
42.
具体例 • 先ほどのM1の地図に自分の好みを書き込んでみよう 70 80
85 90 70 60 9050 85 70 ※個人の感想です
43.
さきほどのMDS布置を使います 二乗和などを付け加える 操作をしています 回帰分析で係数を算出 これを使います
44.
小杉の理想点
45.
結果 90点 85点 70点 多少の誤差はあるが同心円状に選好度が表現されている
46.
Abelson Mapping • Abelson(1954-55)が提唱したのは「電磁場」のメタファ •
ある点Pに加わる力(Valence)は対象との距離の二乗に反比 例して加算される • 地図上の任意の点のValenceを計算し,等高線を描くこと で態度空間を可視化する (1954−55). A technique and a model for multi-dimensional scaling. Public Opinion Quarterly, W
47.
具体例 • 先ほどのM1の地図に自分の好みを書き込んでみよう • 強調するために平均75を引いて中心化しています -5
+5 +10 +15 -5 -15 +15-25 +10 -5 ※個人の感想です
48.
小杉の「好き嫌いの境界」
49.
小杉の「好き嫌いの境界」 この両者は(審査員の評定では )似ているが(小杉の)好き嫌 いは逆=勾配が急なのでこの両 者の評価については心理的葛藤 が強い,と解釈できる
50.
非対称多次元尺度構成法 • 距離は「対称」だが,類似度は非対称なことが結構多い • 好きな人に嫌われる,いわゆるone
way love • ビールから発砲酒に変えたんです,という人は多くて もその逆は少ない • 人口の流入・流出や国際貿易の黒字・赤字 • 非対称情報に意味があるので,その情報を取り込みたい というニーズからの非対称MDS
51.
非対称多次元尺度構成法 • 距離空間が非対称性を許さない→空間の方をいじればいいじ ゃない→千野のHFM • ユークリッド空間に非対称情報を書き加えればいいじゃない •
→岡太・今泉の(楕)円モデル • →宿久先生のエッジモデル • →vonMises分布を使って対象に衣をまとわせる • →Abelson Mapの高さとして非対称性を表現
52.
Hermitian Form Model •
距離空間を複素空間に拡張すれば内積で距離を表せる • 行列を対称部と歪対称部に分解し,歪対称部を虚数にし たエルミート形式の距離行列を作ると,固有値が実数で 得られることが証明できるし,固有ベクトルが布置を表 す 歪対称部
53.
Hermitian Form Model =
+
54.
具体例 対象1 対象2 対象3 対象4
55.
具体例 対象1 対象2 対象3 対象4 読み取りポイント1 布置も複素数なので これで一次元 (実部が横軸,虚部が縦軸) 読み取りポイント2 空間が方向性を持つ。 固有値が負の空間は反時計回り 固有値が正の空間は時計回り 空間の向きが反時計回 りなので対象3は対象 1,2が順(=好き)方向 に歪んでいるが対象1,2 からは嫌われている 詳しくは千野直仁「非対称多次元尺度構成法」現代数学社を
56.
情報を書き足す系 岡田・今泉モデル J K j→kの距離は始点 の外縁から終点 を通って逆の外 縁まで
57.
出典;http://www.rd.dnc.ac.jp/~shojima/ams/jindex.htm
58.
出典;http://www.rd.dnc.ac.jp/~shojima/ams/jindex.htm
59.
vMモデルの出力例 • この分析は荘島先生のサイトにあるアプリを使って実行 することができます。興味がある人は是非! HFMの出力と比較してください
60.
まとめ • MDSは距離から地図を作る方法;ロバストな反応から精緻 な(多次元)尺度を作ることができるので,データによっては 面白い分析ができるかも • MDSは地図なので,地図の上に落書きしたり色を塗ったり と,モデルの加筆修正が比較的簡単にできる世界 •
非対称MDSは世界の中でも日本が特に抜きん出ている(岡 太・今泉・千野先生といったトップクラスがいる)ので,興 味がある人は行動計量学会の非対称部会をのぞいてみては
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