Tesegggc

Espectrometria de Lente Térmica: Teoria e Aplicações

Gláucia Grüninger Gomes Costa

Tese apresentada ao Instituto
de Física de São Carlos, da
Universidade de São Paulo,
para obtenção do título de
Doutor em Ciências: Física
Aplicada.

Orientador: Prof. Dr. Tomaz Catunda

São Carlos – 2005

Costa, Gláucia Grüninger Gomes

“Espectrometria de lente térmica em sólidos: teoria e aplicações.”
Gláucia Grüninger Gomes Costa – São Carlos, 2005

Tese (Doutorado) – Área de Física Aplicada do Instituto de Física de São
Carlos da Universidade de São Paulo
2005 - Páginas: 120

Orientador: Prof. Dr. Tomaz Catunda
1. Lente Térmica; 2. Espectrometria; 3. Difração; 4. Difração de Fraunhofer;
5. Difração de Fresnel

I. Título

À minha família

Aos meus amigos

Agradecimentos

Ao CNPq pelo suporte financeiro da minha pesquisa.

Ao Prof. Tomaz Catunda pela orientação e amizade durante
todo este período.

Aos amigos Acácio, Juraci, Sandro, Viviane, Samuel, Andréa,
Dione, Tânia, Daniel, Alessandra, Ariane, André, Josimar,
Carlos, Djalmir, Renato, Heitor, Rui, Arnaldo, Anderson e
Cacau pela amizade, incentivo e cooperação.
Às secretárias do departamento, aos funcionários amigos da
oficina mecânica e do Laboratório de Ensino e também as
bibliotecárias do Instituto pelo pronto atendimento, sempre
com muita simpatia e eficiência.

Índice
Lista de Figuras i
Resumo vi
Abstract vii

Capítulo 1 - Introdução 1

Capítulo 2 - Difração e a Integral de Difração de Fresnel-Kirchhoff _____________ 3
2.1. Difração e a Integral de Difração de Fresnel Kirchhoff 3
2.2. Integral de Difração de Fresnel-Kirchhoff 4
2.2.1 Abertura (Fenda Simples) e Obstáculo Retangulares 8
2.2.2 Abertura e Obstáculo Circulares 12
2.3. Aplicações da Integral de Difração de Fresnel-Kirchhoff 15
2.3.1 Propagação de um feixe Gaussiano 16
2.3.2 Laser de diodo 17
2.3.3 Módulo Experimental 20
2.3.4 Abertura (Fenda Simples) e Obstáculo Retangulares 22
2.3.5 Abertura e Obstáculo Circulares 29
2.3.6 Lentes 42

Capítulo 3 - Teoria da Lente Térmica Radial 48
3.1. Espectroscopia Fototérmica 48
3.1.1 Espectroscopia de Lente Térmica 49
3.2. Distribuição de Temperatura 50
3.3. Cálculo da distância focal da Lente Térmica 52
3.4. O modelo de Lente Térmica Radial Parabólico 55
3.4.1. Propagação de um feixe Gaussiano e seus parâmetros 56
3.5. O modelo Aberrante de Lente Térmica Radial 63
3.5.1 Lente Térmica Radial com Feixe Único 63

3.5.2 Comparação entre os modelos de Lente Térmica Parabólico e Aberrante de Feixe
Único 69
3.5.3 Modelo Aberrante de Lente Térmica Radial com Feixe Dois Feixes 71

Capítulo 4 - Lente Térmica Radial no Regime de θ grande 77
4.1. AutoModulação Transversal de Fase 77
4.1.1 Formação de Anéis 82
4.2. Módulo Experimental 84

Capítulo 5 - Conclusões e Perspectivas 91

Anexo 1 - Integral de Difração de Fresnel-Kirchhoff em Coordenadas Cilíndricas 93
Anexo 2 - Campo através de uma Abertura Retangular no plano de observação 96
Anexo 3 - Cálculo por uma Lente 99
.
Anexo 4 - Cálculo da Expressão do Termo Fonte q (r) para a L. T. Radial 102
Anexo 5 - Cálculo da Expressão da Distribuição da Temperatura para a L.T. Radial 104
Anexo 6 - Cálculo da Expressão da Fase devida à L.T. Radial 107
Anexo 7 - Cálculo da Integral relativa ao Campo no Detector devido à L. T. Radial 110
Anexo 8 - Cálculo da Integral relativa ao Campo no Detector devido à L. T. Radial no
Regime de θ grande 115

Referência Bibliográfica – 117

i

LISTAS DE FIGURAS

Figura.2-1 Campo difratando-se no plano (1) e observado no plano (2) (Figura retirada de [47])..............4

Figura 2-2 Padrão de difração de uma fenda de largura 2a. (a) A área sombreada corresponde à sombra
geométrica da fenda e as linhas tracejadas delimitam a largura do feixe difratado na
aproximação de Fraunhofer, ou seja, no campo distante. (b) A área sombreada, como em (a),
corresponde à sombra geométrica da fenda, as linhas tracejadas à largura do padrão de
Fraunhofer, no campo distante e as curvas sendo os padrões de difração obtidos nas posições
em que se encontram as setas na parte (a) da figura, e que correspondem aos números de
Fresnel NF = 10, 1, 0,5 e 0,1 (Figura retirada da referência [35])..............................................6

Figura 2-3 Enésima zona de Fresnel, com dimensão aN, distante d + N λ/2 do ponto de observação P.
NF = n representa o número de zonas (anéis ou faixas) que estão sendo exibidas pela abertura.
(Figura modificada de [15])........................................................................................................7

Figura 2-4 Fenda de largura 2a muito menor que o comprimento 2b (Figura modificada de
[3]).............................................................................................................................................8

Figura 2-5 Simulação da Intensidade (I) pelo ângulo θ (o qual fornece a posição no plano de observação)
de uma fenda simples na aproximação de Fraunhofer, onde se utilizou 2b = 0,2mm e
λ = 650nm. Em destaque a parte relativa às franjas formadas, e os mínimos de intensidade que
ocorrem em ± ν λ/2b, com ν = 1, 2, 3..... ...................................................................................9

Figura 2-6 Simulação da Intensidade pelo ângulo θ de uma fenda simples, na aproximação de Fresnel,
onde se utilizou 2a = 0,2mm e λ = 650nm..............................................................................11

Figura 2-7 Borda reta por onde ocorre a difração e o padrão observado, onde abaixo de A temos apenas a
região de sombra geométrica, sem iluminação, entre A e B temos a região de difração da
borda e além C se observa o padrão de franjas que ocorre pela interferência entre as ondas
secundárias e a frente de onda que não é difratada.. ................................................................12

Figura 2-8 Abertura Circular de raio a (Figura modificada de [3])............................................................13

Figura 2-9 Simulação do gráfico da Intensidade versus θ, no plano de observação, de uma abertura
circular de raio a = 0,5 mm, usando-se uma fonte de luz com λ = 650nm. Em destaque se
observa as franjas de difração e dois dos mínimos que ocorrem em: 7,9 10-4 e
1,44 10-3...................................................................................................................................14

Figura 2-10 Simulação da Intensidade versus raio (r2), no plano de observação, de uma abertura circular
de raio a = 0,5 mm, onde se utilizou um laser com λ = 650nm. Observando que dependendo
da posição temos o centro claro ou escuro, ou seja, um mínimo ou um máximo sendo
formado. Também é fornecido o número de Fresnel, NF, correspondente e a distância, d, ao
anteparo...................................................................................................................................15

Figura 2-11 Propagação de um feixe laser Gaussiano no modo TEM00, pelo campo próximo e campo
distante em relação à origem do sistema (Figura modificada de [34 ])..................................16

Figura 2-12 Feixe de Laser Gaussiano no modo TEM00, onde se observa o raio do feixe, w(z) .............17

Figura 2-13 Laser de semicondutor e suas característica [42]...................................................................18

ii

Figura 2-14 Sistema utilizado para a medida da divergência do feixe emitido pelo laser pointer.............19

Figura 2-15 Medida da divergência segundo os modos transversos paralelo e perpendicular, que foram
ajustados por uma Gaussiana...................................................................................................20

Figura 2-16 (a) Elementos difratores utilizados nos experimentos; (b) detalhe da placa contendo os
elementos difratores orifícios e obstáculos retangulares e circulares...............................21

Figura 2-17 (a) Esquema da montagem experimental para o estudo da difração; (b) Elementos utilizados
na montagem experimental para o estudo da difração..........................................................21

Figura 2-18 Curvas obtidas através dos dados experimental e simulado teoricamente da Intensidade
versus y2, na aproximação de Fresnel, de uma fenda de abertura 2a = 0,2mm, com o
anteparo colocado à d = 8,8 cm e o comprimento de onda do laser “pointer” sendo de
λ = 650 nm............................................................................................................................23

Figura 2-19 Padrão de Difração de uma fenda simples transladada para próxima ao laser pointer, com as
fotos tiradas pela câmara Watec, e o gráfico da Intensidade pela distância. Utilizou-se um
laser pointer com λ = 650nm, uma fenda de 0,2mm de abertura, e o anteparo estava distante
de 0,8cm à 51,3cm ..................................................................................................................24

Figura 2-20 Intensidade versus y2, na aproximação de Fresnel, de uma borda, onde se utilizou d = 50 cm
e λ = 650 nm, que serviu de ajuste para um padrão experimental que foi fotografado de
uma lâmina de barbear..........................................................................................................25

Figura 2-21 Padrão de Difração de uma borda reta (lâmina de barbear) transladada para próxima ao laser
pointer, com as fotos tiradas pela câmara Watec, e o gráfico da Intensidade pela distância.
Utilizamos um laser pointer de λ = 650nm e o anteparo estava distante de 0,8cm à
51,3cm.....................................................................................................................................27

Figura 2-22 Padrão de Difração de um obstáculo retangular, um fio, transladado para próxima ao laser
pointer, com as fotos tiradas pela câmera Sony, e o gráfico da intensidade pela distância.
Utilizamos um laser pointer de λ = 650nm, um obstáculo retangular de 0,2mm de abertura, e
o anteparo estava distante de 0,8cm à 51,3cm........................................................................28

Figura 2-23 Curvas da Intensidade versus y2, relativas ao dado experimental e à simulação, na
aproximação de Fresnel, de uma abertura circular de raio a = 0,25mm, com o anteparo
colocado à distância d = 1,53 cm e o comprimento de onda do laser pointer sendo
λ = 650 nm............................................................................................................................29

Figura 2-24 Padrão de Difração de uma abertura circular, transladada para próxima ao laser pointer, e o
gráfico da Intensidade pela distância, com as fotos tiradas pela câmera Watec. Utilizamos um
laser pointer de λ = 650nm, uma abertura circular com raio de 0,5mm, e o anteparo estava
distante de 0,8cm à 51,3cm.....................................................................................................31

gráfico da Intensidade pela distância, com as fotos tiradas pela câmara Watec. Utilizamos um

iii

gráfico da Intensidade pela distância, com as fotos tiradas pela câmara Watec. Utilizamos um

Figura 2-27 Padrão de Difração de um obstáculo circular, ou seja, do Ponto de Poisson, transladada para
próxima ao laser pointer, e o gráfico da Intensidade pela distância, com as fotos tiradas pela
câmara Watec. Utilizamos um laser pointer de λ = 650nm, um obstáculo circular com raio de
0,5mm, e o anteparo estava distante de 0,8cm à 51,3cm........................................................37

0,25mm, e o anteparo estava distante de 0,8cm à 51,3cm......................................................39

0,125mm, e o anteparo estava distante de 0,8cm à 51,3cm....................................................41

Figura 2-30 Esquema de propagação de uma onda por uma lente convergente.........................................42

Figura 2-31 Esquema de propagação de uma onda por uma lente divergente............................................43

Figura 2-32 Esquema de propagação de uma onda por uma lente plano-convexa....................................43

Figura 2-33 Intensidade de uma lente plano-convexa em função do seu raio a (cm), considerando-se λ =

650nm, d = f = 10cm, com f sobre o eixo e 8R 2f
−1 −4 −3 ( )
≈ 5 x 10 cm ...........................45

Figura 2-34 Comparação da Intensidade entre uma lente perfeita e uma lente que apresenta aberração
esférica, tomando-se λ = 650nm, d = f = 10 cm, com f sobre o eixo e
( 8R f )−
2
1
≈ 5 x 10
−4
cm
− 3 .Em destaque está-se mostrando que aproximadamente até um

raio de 0,4cm a lente com e sem aberração coincidem, assim, após esse valor de raio as
aberrações começam a aparecer...........................................................................................46

Figura 2-35 Comparação do perfil de Intensidade entre uma lente perfeita e uma lente que demonstra

aberração esférica, tomando-se λ = 650nm, d = f = 10cm, 8R 2 f
−1 −4
≈ 5 x 10 cm
−3
e ( )
(16R f )− 4
1
≈ 9 x 10
−1
cm
− 5 .................................................................................................47

Figura 3-1 Distribuição de Temperatura para a LT com relação à posição normalizada, para diversos
valores de (t/tc), simulado pelo programa Mathematica, onde se observa a forma parabólica
das curvas, próximas ao eixo...................................................................................................52

Figura 3-2 Gráfico de F/F∞ versus t/tc, simulado pelo programa Mathematica, onde se observa que a
distância focal da LT se aproxima rapidamente da distância focal dessa lente no estado
estacionário..............................................................................................................................55

iv

Figura 3-3 Sistema óptico para a análise do efeito da LT..........................................................................57

Figura 3-4 Dependência da Intensidade com a posição para a LT segundo o modelo parabólico, simulado
pelo programa Mathematica, com θ = 0.01..............................................................................60

Figura 3-5 Dependência da Intensidade com o tempo (normalizado) para a LT segundo o modelo
parabólico, onde θ = 0.01 e v = 1.............................................................................................61

Figura 3-6 Difração entre a LT e o Detector (Figura modificada de [33]).................................................63

Figura 3-7 Variação de fase relativa à coordenada radial, que consiste da parte devida ao caminho óptico
do feixe gaussiano (ΔΦG) e da parte devida ao gradiente do índice de refração induzido pelo
aquecimento da amostra ( ΔΦLT). (Figura modificada de [33])..............................................64

Figura 3-8 Distribuição de fase no plano de entrada da amostra, onde a variação de fase é apenas devida
à curvatura de fase do feixe gaussiano. (Figura modificada de [28])......................................65

Figura 3-9 A dependência da Intensidade com a posição normalizada, para o modelo de LT aberrante de
feixe único, onde θ = 0.01.......................................................................................................68

Figura 3-10 Dependência da Intensidade com o tempo normalizado para a LT segundo o modelo
aberrante de Feixe único, onde θ = 0.01 e v ≅ 1,73..............................................................68

Figura 3-11 Comparação entre as curvas de LT parabólica e aberrante de feixe único dependente com a
posição, onde θ = 0,01............................................................................................................69

Figura 3-12 Comparação entre as curvas de LT parabólica e aberrante de feixe único dependente com o
tempo, onde θ = 0.01, VParabólico = 1 e VAberrante = 1,73 ........................................................70

Figura 3-13 Simulação de ajuste do modelo de LT parabólica pelo aberrante...........................................70

Figura 3-14 Feixes de lasers de excitação e de prova passando por uma amostra que sofre o efeito de LT,
agindo sobre o feixe de prova.................................................................................................71

Figura 3-15 A dependência da Intensidade com a posição, para a LT, segundo o modelo aberrante de dois
feixes, onde: θ = 0,01, m = 46.................................................................................................75

Figura 3-16 A dependência da Intensidade com o tempo para a LT, segundo o modelo aberrante de feixe
duplo, θ = 0,01, m = 4, v = 1,73 .............................................................................................76

Figura 4.1 Simulação para o centro do feixe, da Intensidade normalizada em função de θ, para o arranjo
de feixe único (m=1) e dois feixes (m=46), com v = ± 1,73....................................................79

Figura 4-2 Simulação da Intensidade pela posição V = z/zc, comparando-se os valores obtidos com e sem
aproximação na expressão da Intensidade, para valores diferentes de θ, tomando-se por base
os limites de validade da aproximação (Tabela 2), para arranjos experimentais de um feixe e
de dois feixes. As curvas tracejadas representam a expressão com aproximação e a linha reta,
sem aproximação......................................................................................................................80

Figura 4-3 Dependência da Intensidade com o tempo para a LT de feixe único e de dois feixes, onde
v ≅ 1,73, onde a curva tracejada é obtida através da expressão com aproximação e a curva
cheia com a expressão sem aproximação................................................................................81

Figura 4.4 (a) Simulação da Intensidade em função da posição para diferentes tempos, após o início do
aquecimento da amostra, tomando-se v = 1,73, θ = 10, m = 1 .............................................. .83

v

Figura 4.4 (b) Simulação da Intensidade em função da posição para diferentes tempos, após o início do
aquecimento da amostra, tomando-se v = ± 1,73, θ = 10, m = 46...........................................84

Figura 4.5 Arranjo experimental utilizado para a LT utilizada para se fazer as fotos dos anéis................85

Figura 4.6 Amplitude do sinal de LT (em módulo) pela Potência, para os materiais Soda-Lime e
Zblan(Co) ..............................................................................................................................86

Figura 4.7 Dependência da Intensidade com o tempo para a Soda-Lime e zblan......................................86

Figura 4.8 Intensidade versus y2 do Padrão de Anéis, onde v = 2,7, θ= -4,8 e m=46. Para a parte (a)
t/tc ≅ 0.347 e para (b) t/tc ≅ 277. A curva em preto é o padrão obtido na foto e a em vermelho
o padrão obtido pela simulação ..............................................................................................87

Figura 4.9 Fotos do Padrão de Anéis cujo filme foi realizado com câmara digital Sony Digital Still
Camera DSC-F707, e o gráfico da Intensidade pela distância, na formação de uma lente
Divergente para diferentes tempos..........................................................................................88

Figura 4.10 Fotos do Padrão de Anéis cujo filme foi realizado com câmara digital Sony Digital Still
Camera DSC-F707, e o gráfico da Intensidade pela distância, na formação de uma lente
Convergente para diferentes tempos........................................................................................90

vi

Resumo

Neste trabalho propomos o estudo da Espectrometria de Lente Térmica, sua
teoria e aplicações, visto ser uma técnica de alta sensibilidade e que permite a medida
das propriedades termo-ópticas dos materiais, como a difusividade térmica (D), a
condutividade térmica (k), desvio do caminho óptico pela temperatura (ds/dT) - para
materiais sólidos - ou a variação do índice de refração em relação à temperatura (dn/dT)
- para líquidos e gases. Para isso inicialmente fizemos um estudo da teoria da difração.
Valendo-se da Integral de Difração de Fresnel Kirchhoff obtivemos a expressão
analítica da intensidade de um feixe de laser, difratado por diversos elementos ópticos
(aberturas e obstáculos circular e retangular, por exemplo), tanto para o regime da
difração de Fresnel, quanto da difração de Fraunhofer. Ainda no estudo da difração
propusemos um arranjo experimental muito simples, utilizando-se um laser pointer sem
a lente colimadora, permitindo que se obtenha, com grande facilidade, os padrões de
difração no campo próximo, o que é difícil nas montagens tradicionais.
Na seqüência fizemos uma revisão dos modelos de Lente Térmica
tradicionalmente utilizados, modelos parabólico e aberrante. E, na comparação que
realizamos entre eles, verificamos que pelos resultados obtidos através de simulações,
com o modelo parabólico se apresenta em grande desacordo (>50%) com os obtidos
com o modelo aberrante. Desta forma, concluímos que os dados da literatura obtidos na
década de 70 e que ainda são utilizados, merecem ser revistos.
Por fim, notamos na literatura um crescente interesse em lasers de alta potência,
principalmente pelos bombeados por lasers de diodo. Desta forma fizemos um estudo
valendo-se do modelo aberrante de Lente Térmica sob o regime de θ grande, no qual
procuramos verificar o limite de validade dos modelos de L.T. utilizados, observando o
surgimento de fenômeno da aberração esférica, juntamente com as estruturas de anéis.

vii

Abstract

In this work we have proposed the study of Thermal Lens Spectrometry, its
theory and applications, because it is a highly sensitive technique that allows the
measure of the thermo-optical properties of the materials, as the thermal diffusivity (D),
the thermal conductivity (k), the change of optical path length with temperature (ds/dT),
for solid materials or the change of refractive index with temperature (dn/dT), for
liquids and gases. Initially we studied the diffraction theory. We utilized the Fresnel
Kirchhoff Diffraction Integral to obtain the analytic expression of the beam laser
intensity, whose was diffracted for several optical elements, so much for the regime of
the Fresnel diffraction as the regime of the Fraunhofer diffraction. Continuing in the
study of the diffraction we proposed a very simple experimental apparatus where we
used a laser pointer without the collimator lens, allowing that it was obtained with great
facility the Fresnel diffraction patterns, which are difficult to observe in the common
experimental apparatus. In the sequence, we made a revision of the models of Thermal
Lens traditionally used, parabolic and aberrant models. And, in the comparison that we
accomplished among them, we verified that for the results obtained through simulations,
with the parabolic model it comes in great disagreement (>50%) with obtained them
with the aberrant model. This way, we concluded that literature’s data obtained in the
70ths and they are still used, they must be reviewed. Finally, we noticed in the literature
a growing interest in high power lasers. This way we made a study where we used the
aberrant model of Thermal Lens under the regime of great θ, in which we look for to
verify the limit of validity of the used models, observing the appearance of the spherical
aberration together with the rings structure.

Capítulo 1 – Introdução 1

Capítulo 1 Introdução

A Espectrometria de Lente Térmica tem demonstrado ser uma técnica de grande
relevância, visto a sua alta sensibilidade nas medidas das principais propriedades termo-
ópticas dos materiais como: difusividade térmica (D), condutividade térmica (k), desvio do
caminho óptico com a temperatura (ds/dT), para materiais sólidos, ou a variação do índice
de refração em relação à temperatura (dn/dT), para materiais líquidos ou gasosos.
Propriedades essas de grande importância na caracterização de materiais, visto a
possibilidade das aplicações tecnológicas desses materiais.
No intuito de melhorar a sensibilidade desta técnica de medida, alguns modelos
teóricos e experimentais têm sido desenvolvidos, com arranjos utilizando feixe único ou
dois feixes. Mas esses modelos são elaborados considerando a aproximação que o elemento
de fase inserido pela Lente Térmica (LT), que é proporcional à potência da lente e que por
sua vez é proporcional à potência de excitação do laser, deve ser muito pequeno. Porém,
com o crescente estudo de lasers de alta potência, surge a necessidade da verificação do
limite de validade dos modelos existentes, observando o surgimento de anéis, devido à
auto-focalização e auto-defocalização térmica, na ausência de convecção.
Para que possamos chegar ao estudo dessa última análise, o trabalho foi dividido em
três partes.
Inicialmente, no Capítulo 2, fizemos um estudo do fenômeno da difração sofrida por
um feixe luminoso ao atravessar um elemento óptico. Nessa análise uma poderosa
ferramenta matemática, a Integral de Difração de Fresnel-Kirchhoff (IDFK), é utilizada
para o estudo da modificação gerada no perfil de intensidade desse mesmo feixe no campo
de observação, podendo ele estar no campo próximo – difração de Fresnel, ou no campo
distante – difração de Fraunhofer. Para a observação experimental dos padrões de difração
dos elementos ópticos utilizados, propomos um arranjo experimental de baixo custo,
utilizando simplesmente um laser pointer e o elemento difrator, sem a sua lente colimadora.
Esse arranjo experimental nos permite a visualização dos padrões de difração tanto no
campo próximo como no campo distante, o que não é tão fácil de efetuar-se com os
arranjos experimentais clássicos, onde se utilizam lasers de HeNe.

Capítulo 1 – Introdução 2

Na seqüência de nosso estudo, no Capítulo 3, é apresentada uma revisão do estudo
da Lente Térmica, segundo o modelo parabólico, obtido através da matriz de transferência
de raios, e o modelo aberrante, que é um pouco mais complexo e foi obtido pela aplicação
da IDFK, sendo que este último modelo será demonstrado tanto para o arranjo experimental
de feixe único, como para o de dois feixes. Por meio desse estudo é proposta uma
comparação entre esses modelos, através de uma análise dos resultados obtidos levando à
verificação da diferença existente entre eles.
Mas esses modelos são desenvolvidos tomando-se que o elemento de fase inserido
pela LT é muito pequeno como observado anteriormente, assim, no Capítulo 4, levando-se
em consideração o crescente interesse em lasers de alta potência, abordamos o estudo da
Lente Térmica, tanto para feixe único como para dois feixes, sob o regime de Potência de
Lente (θ) grande. Neste regime, começa-se a observar o surgimento da aberração esférica e
por conseqüência o aparecimento de anéis, que são prejudiciais ao desenvolvimento de tais
lasers. Neste estudo são feitas algumas comparações entre os regimes de θ pequeno
(θ << 0,1), e de θ grande (θ >> 0,1), podendo-se assim verificar o limite para o qual os
modelos de LT utilizados atualmente são válidos.
No Capítulo 5, encerrando o trabalho, é apresentada uma conclusão final e os
possíveis trabalhos a serem desenvolvidos.

DIFRAÇÃO E A INTEGRAL DE DIFRAÇÃO DE
FRESNEL-KIRCHHOFF

Fenda Fio

Orifício Circular Obstáculo Circular

Borda reta Serra

Letra M Número 0,5
(Fotos Ilustrativas sobre o Capítulo)

Capítulo 2 – Difração e a Integral de Difração de Fresnel-Kirchhoff 3

Capítulo 2 Difração e a Integral de Difração de Fresnel-
Kirchhoff

Neste capítulo será apresentado o estudo da difração sofrida por um feixe
luminoso ao atravessar um elemento óptico. Verificaremos a modificação gerada no
perfil de intensidade desse feixe no campo de observação, que tanto pode estar no
campo próximo – difração de Fresnel – como no campo distante – difração de
Fraunhofer. Este estudo terá como principal ferramenta matemática a Integral de
Difração de Fresnel-Kirchhoff (IDFK), a qual servirá de base para a construção do
modelo que visa o estudo da Lente Térmica Radial, conteúdo do próximo capítulo.

2.1 Difração e a Integral de Difração de Fresnel Kirchhoff

A Óptica Geométrica prediz que ao se colocar um obstáculo ou uma abertura
diante de uma fonte pontual, observa-se em um anteparo a formação de uma sombra, ou
seja, um contorno bem definido desse objeto. Mas, em uma análise mais detalhada
dessa sombra, verifica-se a existência de franjas claras e escuras que não encontram
explicações nessa Teoria Corpuscular.
Grimaldi [1][2][3] , em 1665, foi o primeiro a descrever o fenômeno do desvio da
luz de sua propagação retilínea, o qual denominou difração, mas não conseguiu explicá-
lo. Born e Wolf [2] esclareceram, então, que “... Os problemas de difração estão entre
os mais difíceis encontrados na Óptica. As soluções que, de certo modo, podem ser
vistas como rigorosas são muito raras na teoria”.
Em 1678, Christiaan Huygens propôs o, atualmente, conhecido Princípio de
Huygens [2][3][4] o qual estabelece que, cada ponto de uma frente de onda primária
serve de fonte de ondículas esféricas secundárias, tal que a frente de onda primária em
um tempo posterior se torna a envoltória das ondículas, determinando a forma e a
direção da onda, quando esta se distancia de sua fonte.
Apenas em 1818 foi que Fresnel, através de uma explicação intuitiva, propôs
que o princípio de Huygens [1][2][3][4][6][7] poderia ser entendido como um fenômeno de
interferência, resultando assim no denominado princípio de Huygens-Fresnel. E em
1882, Kirchhoff inseriu uma base matemática sólida neste princípio, observando que o


mesmo poderia ser visto como uma conseqüência da equação de onda. Mas, deve-se
estar atento que mesmo a teoria de Kirchhoff é uma aproximação válida para pequenos
comprimentos de onda.

2.2 Integral de Difração de Fresnel-Kirchhoff

Para o estudo dos padrões de difração dos diversos elementos difratores
utilizaremos um campo monocromático se propagando num meio dielétrico.

Figura.2-1 Campo difratando-se no plano (1) e observado no plano (2) (Figura retirada de [47])

Vamos considerar que este campo elétrico se difrate numa abertura finita Σ,
descrito pelas coordenadas (x1, y1), pertencente a um plano infinito S, e que a uma
distância (z+d) se encontra o plano de observação de coordenadas (x2, y2) (Figura 2-1).
Segundo o princípio de Huygens-Fresnel, a amplitude complexa E(x2, y2) num ponto P2
é dada pela contribuição do campo ES de todos os pontos P1 componentes de Σ, que
pode ser descrita matematicamente pela IDFK:
r r
i exp( − i k . d 01 ) r
E (x 2 , y 2 ) = ∫∫ ˆ
cos (n . d 01 ) E S (x 1 , y 1 ) dx 1 dy 1 (2-1)
λ d 01
S

onde: λ = comprimento de onda, d01 = distância entre P1 e P2 e n = vetor normal à
ˆ
superfície Σ.
Para a eficácia dessa integral, duas aproximações para pequenos ângulos devem
ser consideradas. A primeira delas é que a fonte de luz deve estar localizada
r
centralmente em relação à abertura, de forma que cos( n . d 01 ) ≅ 1 , com precisão de 5%
ˆ

para ângulos menores que 180 [47]. A segunda é que a distância d deve ser muito maior


que a maior dimensão linear da abertura Σ, ou seja, d >>r1, onde r12 = x 1 + y 1 , e assim,
2 2

no denominador da integral: d01 ≈ d . Entretanto, na exponencial essa aproximação não é

mais válida, visto que k é muito grande, da ordem de 105 cm-1 para a luz visível. Dessa
forma, a IDFK pode ser escrita como:
i r r
E (x 2 , y 2 ) =
λd ∫∫ exp(− i k. d 01 )E S (x 1 , y 1 ) dx 1 dy 1 (2-2)
S

No estudo da difração que ocorre em diversos elementos ópticos, como aberturas
e obstáculos quer sejam circulares quer sejam retangulares, a primeira observação a ser
feita é em relação ao campo em que se deseja trabalhar, ou seja, se o estudo acontece no
campo próximo - difração de Fresnel - ou no campo distante - difração de Fraunhofer.
Se o estudo for realizado no campo próximo, a aproximação a ser utilizada é a
de Fresnel. Nesta aproximação, ao se calcular a distância d01, todas as distâncias radiais,
tanto do plano da abertura como do plano de observação, devem ser consideradas
(Anexo 1), e assim, a IDFK dada pela Equação (2-2) torna-se (Equação A1-5):

i   x2 + y 2 x x + y1y 2 
E(x 2 , y 2 ) = exp [− i ξ ] ∫∫ exp − ikd 1 1
− 2 1   E (x , y ) dx dy
λd   2d 2 d2  S 1 1 1 1
S   
(2-3)
 x2 + y 2 
onde: ξ = k d  1 + 2 2
 2d 2 

Mas, se o estudo ocorrer no campo distante, a aproximação a ser utilizada é a de
Fraunhofer. Nesta aproximação, como d >> r1, os termos quadráticos que aparecem,
devido ao plano da abertura, quando da aproximação de Fresnel, se tornam desprezíveis
e a IDFK para este caso é dada por (Equação A1-7):
i   x x + y1y 2 
E(x 2 , y 2 ) = exp [− i ξ ] ∫∫ expik  2 1   E S (x 1 , y 1 ) dx 1 dy 1 (2-4)
λd   d 
S

A evolução do padrão de difração em função da distância d, passando do campo
próximo ao distante, onde podemos observar a existência de franjas (máximos e
mínimos), pode ser visto na Figura 2-2.


Figura 2-2 Padrão de difração de uma fenda de largura 2a. (a) A área sombreada corresponde à sombra
geométrica da fenda e as linhas tracejadas delimitam a largura do feixe difratado na
aproximação de Fraunhofer, ou seja, no campo distante. (b) A área sombreada, como em (a),
corresponde à sombra geométrica da fenda, as linhas tracejadas à largura do padrão de
Fraunhofer, no campo distante e as curvas sendo os padrões de difração obtidos nas posições
em que se encontram as setas na parte (a) da figura, e que correspondem aos números de
Fresnel NF = 10, 1, 0,5 e 0,1 (Figura retirada da referência [35])

Essas franjas foram explicadas intuitivamente por Fresnel, através do fenômeno
de difração. Para isso ele propôs as denominadas zonas de Fresnel (Figura 2-3), que
nada mais são do que a divisão de uma frente de onda em zonas (anéis), que possuem
áreas iguais, cujos raios variam de λ/2, assim, a contribuição de uma zona sempre estará
fora de fase com a sua precedente.
Tomando-se uma abertura circular de raio a, sobre a qual incide uma frente de
ondas planas, o número de zonas exibidas através dela é traduzido pelo denominado
Número de Fresnel (NF). Supondo-se que nessa abertura são exibidas n zonas (Figura
2-3), ou seja, o Número de Fresnel NF = n, a enésima zona, distante d do ponto de
observação possuirá um raio an dado por:
λ
an = P2Q + n (2-5)
2
Como, pela Figura 2-3, an deve obedecer à condição:
an2 = (d + n λ/2)2 - d2 (2-6)
e, sendo λ << d, temos:


an2 = n λ d ⇒ NF = n = an2 / λ d (2-7)
Desta forma, o Número de Fresnel para essa abertura fica determinado pela
Equação (2-7) de onde notamos que ele pode variar tanto com o raio (a) quanto com o
comprimento de onda (λ) como com a distância (d) ao anteparo. Portanto, podemos
estabelecer que para o campo próximo – difração de Fresnel – NF é grande e para o
campo distante – difração de Fraunhofer – NF é pequeno.

Qn
d+
an nλ
O

0
/2

Q
d
o P2

Figura 2-3 Enésima zona de Fresnel, com raio an, distante d + n λ/2 do ponto de observação P. NF = n
representa o número de zonas (anéis ou faixas) que estão sendo exibidas pela abertura. (Figura
modificada de [15])

Na Figura 2-2 observamos um elemento difrator com abertura 2a sendo
iluminada por uma luz laser de comprimento de onda λ, e estando distante d de um
anteparo que pode se deslocar. Supondo que: 2a = 0,2mm e λ = 650nm, temos que N =
10 corresponde a uma distância do anteparo-elemento difrator d = 0,15cm; N = 5
corresponde a d = 0,31cm; N = 1 corresponde a 1,5cm; N = 0,5 corresponde a
d = 3,1cm; e, N = 0,1 corresponde a d = 15cm. Observamos (Figura 2-2(b)) que para
N = 0,5 as bordas da sombra geométrica coincidem com a largura do padrão de
Fraunhofer. Essa largura pode ser calculada através do ângulo de difração
sen θd = 2(λ / 2a), ou seja, para θ << 1 a largura do padrão é dada por ∆x = 2 d (λ / 2a).
No estudo dos padrões de difração, Fresnel [38] observou que, se A é a amplitude
total no ponto de observação P2, ela deve ser obtida pela soma da contribuição de todas
as An amplitudes das n zonas. Como zonas consecutivas estão fora de fase, as
contribuições das amplitudes se apresentarão com sinais opostos. Desta forma, a
amplitude resultante será oscilante, com máximos e mínimos, fornecendo um padrão
formado por franjas claras e escuras.


Supondo que uma abertura circular tenha raio a = 0,025cm, por onde se faz
incidir uma luz laser de comprimento de onda λ = 650nm, esteja a uma distância do
anteparo d = 4,80cm, o número de Fresnel correspondente será NF = 2, significando que
duas zonas estão expostas na abertura, e a intensidade apresentada será zero, visto que
como as zonas estão fora de fase suas amplitudes se cancelarão, e no anteparo se verá
um centro escuro, um ponto de mínimo. O mesmo ocorrerá quando d = 2,30cm que
corresponde a NF = 4. E entre essas duas distâncias o centro se apresentará claro visto
que NF = 3, e na soma das amplitudes é diferente de zero, e no anteparo se verá um
centro claro, um ponto de máximo. Desta forma, ao se deslocar o elemento difrator,
sempre que NF resultar par o centro se apresentará escuro e sempre que for ímpar se
apresentará claro.
Este é o tipo de padrão que obteremos nas Aberturas e Obstáculos Retangulares
ou Circulares, que veremos nos próximos tópicos.

2.2.1 Abertura (Fenda Simples) e Obstáculo Retangulares

Figura 2-4 Fenda de largura 2a muito menor que o comprimento 2b (Figura modificada de [3]).

Uma fenda (Figura 2-4) nada mais é do que uma abertura retangular no plano S,
que possui um comprimento 2b muito maior que sua largura 2a, sendo assim, apenas os
elementos em y são de interesse, e a forma da IDFK, para o seu estudo, dada pela
Equação (2-2) se reduzirá a:
r r
i exp( − i k . d 01 )
E ( y2 ) =
λ ∫ d 01
ES ( y 1 ) dy 1
y1


Se ES(y1) for constante sobre toda a fenda e se estivermos observando o perfil de
difração no campo distante, ou seja, segundo a difração de Fraunhofer, o campo, no
plano de observação, terá a sua forma dada pela Equação (2-4) que deve ser resolvida
em apenas uma dimensão, cuja solução é (Equação (A2-11)):
sen ( k θ b )
E( y2 ) = 2 b C (2-8)
( k θ b)
ES ( y 1 )
onde: C = i exp[− i ξ] e θ = y2 / d
λd
Como a intensidade é dada pelo módulo ao quadrado do campo e utilizando-se a
definição matemática da função sinc γ = sen2 γ / γ2, o padrão de difração terá sua
Intensidade dada por:

I = I 0 sinc 2 (k θ b ) (2-9)
A Figura 2-5 mostra a simulação, feita com o programa Mathematica, da
intensidade versus θ gerada por uma fenda, usando a Equação (2-9), podendo-se
também observar em destaque a parte relacionada às franjas de difração, onde os
mínimos se apresentam em múltiplos inteiros de λ / 2b.

0.05
1.0
0.04

0.8
Intensidade (u.a.)

0.03

0.6 0.02

0.01
0.4
0.00
0.005 0.010 0.015 0.020 0.025
0.2
λ/2b 2λ/2b

0.0
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025

θ (rad)
Figura 2-5 Simulação da Intensidade (I) pelo ângulo θ (o qual fornece a posição no plano de observação)
de uma fenda simples na aproximação de Fraunhofer, onde se utilizou 2b = 0,2mm e
λ = 650nm. Em destaque a parte relativa às franjas formadas, e os mínimos de intensidade que
ocorrem em ± ν λ/2b, com ν = 1, 2, 3, .....


Se o estudo for feito segundo a aproximação para o campo próximo, ou seja,
segundo a difração de Fresnel, a IDFK a ser utilizada é dada pela Equação (2-3), que
deve ser resolvida em uma dimensão.
Sendo ES(y1) constante sobre toda a fenda, o perfil de difração do campo, no
plano de observação, será dado por (Equação (A2-15)):

  ik   
E ( y 2 ) = C1 Erfi  (− b − y 2 ) − Erfi  i k ( b − y 2 )  (2-10)


  2d   2d 

onde: C1 =
i πd
2k
C exp
ik
( )
2 
 2 d y 2  e Erfi [z] é a função erro complexa (Equação
 
(A2-13))
A Intensidade, para este tipo de difração, é dada por (Anexo 2):
2
 ik   
I = I 0 Erfi  (− b − y 2 ) − Erfi  i k (b − y 2 ) (2-11)
 2d   2d 
Na Figura 2-6 temos a simulação da intensidade versus y2 gerada por uma fenda,
segundo a Equação (2-11). Através da análise dos padrões mostrados nessa Figura
podemos observar alguns aspectos interessantes. Primeiro notamos a existência de uma
simetria em todos os padrões. Uma segunda observação é que quando o anteparo está
próximo ao elemento difrator, a largura do padrão corresponde exatamente à largura da
abertura, e internamente aparecem oscilações, sendo que o centro pode ser um máximo
ou um mínimo. Essa intensidade máxima ou mínima, que nas fotos correspondem a
claro ou escuro, são explicadas através da teoria de zonas de Fresnel. Quando o número
de zonas de Fresnel exibidas pela abertura é ímpar, a soma das amplitudes resultará num
valor finito, e o padrão se apresentará com um máximo no centro, e quando o número de
zonas for par a soma será zero, visto que as zonas se apresentam fora de fase, o padrão
terá um mínimo em seu centro, como visto anteriormente. Uma outra observação é que
para uma grande distância, comparada ao tamanho da abertura, o padrão se apresenta
com um pico central ladeado de picos de menores intensidades, que é igual ao obtido na
aproximação de Fraunhofer (Figura 2.5), desta forma podemos afirmar que a difração de
Fraunhofer é apenas um caso especial da difração de Fresnel, quando esta é trabalhada a
grandes distâncias.


IêI0 IêI0
1 1

0.8 0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2 0.2

y2 y2
-0.015 -0.01 -0.005 0.005 0.01 0.015 -0.02 -0.01 0.01 0.02
d = 0,16 cm d = 0,31 cm

IêI0 IêI0
NF = 9,62 NF =4,96

1 1

0.8 0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2 0.2
y2 y2
-0.02 -0.01 0.01 0.02 -0.04 -0.02 0.02 0.04
d = 1 cm d = 3,1 cm

IêI0 IêI0
NF =1,54 NF =0,49

1 1

0.8 0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2 0.2
y2 y2
-0.1 -0.05 0.05 0.1 -0.1 -0.05 0.05 0.1
d = 7,5 cm d = 15 cm
NF =0,21 NF =0,10
Figura 2-6 Simulação da Intensidade pelo ângulo θ de uma fenda simples, na aproximação de Fresnel,
onde se utilizou 2a = 0,2mm e λ = 650nm.

Um caso interessante na aproximação de Fresnel é o de uma fenda com bordas
móveis em que a abertura pode tender ao infinito, e quando isso ocorre temos a
denominada borda reta (Figura 2-7).


C
B
Região de
sombra A
geométrica
Figura 2-7 Borda reta por onde ocorre a difração e o padrão observado, onde abaixo de A temos apenas a
região de sombra geométrica, sem iluminação, entre A e B temos a região de difração da
borda e além C se observa o padrão de franjas que ocorre pela interferência entre as ondas
secundárias e a frente de onda que não é difratada.

Pela Figura 2-7 observamos que o padrão de difração produzido pela borda
inclui a luz que penetra na região de sombra geométrica e um padrão de franjas externas
a essa região, pois de acordo com o princípio de Huygens, a borda ao ser alcançada pela
luz incidente torna-se uma fonte de ondas secundárias que interferirão com essa luz
incidente e produzirão o padrão de difração no anteparo. A diferença entre o máximo e
mínimo da intensidade vai diminuindo com a distância até chegar a uma intensidade
uniforme. A Intensidade deste padrão pode ser obtida aplicando-se a IDFK, através da
Equação (2-3), onde o campo no plano de observação deverá ter um de seus limites de
integração levado ao infinito.

2.2.2 Abertura e Obstáculo Circulares

Vamos supor uma frente de ondas, se propagando na direção z, incidindo no
plano difratante S, que contém uma abertura circular Σ de raio a, como mostra a Figura
2-8.
Para o estudo da intensidade obtida no plano de observação, pela simetria
existente no problema, a IDFK que será utilizada deve estar em coordenadas cilíndricas
(Anexo 1).


oy1

x1
y2
P1 x2
d01
r1 P2
θ r
d r2
o a

z

Figura 2-8 Abertura Circular de raio a (Figura modificada de [3])

Se o campo na abertura, ES (r1) for constante, e o estudo se der no campo
distante – difração de Fraunhofer – a equação a ser estudada é (Equação (A1-14)):
i k E (r1 ) a  k r1 r2 
E (r2 ) = exp [− i ξ ] ∫ J o   r1 dr1 (2-12)
d 0  d 
onde: J0(z) é a função de Bessel de ordem zero (Equação (A1-11)).
Desta forma, o campo no plano de observação é dado por:
 kar2 
J1 

E (r2 ) =
ik
E (r1 ) exp [− iξ ]
 d  (2-13)
d  kar2 
 
 d 
onde: J1(z) é a função de Bessel de ordem 1.
E a Intensidade encontrada será:
2
  kar2  
 J1  
  d 
I = I0  (2-14)
 kar2  
 
  

  d  
O padrão de difração para uma abertura circular, simulado pelo programa
Mathematica, é dado na Figura 2-9, onde observamos que é simétrico em relação ao
eixo ótico, dessa forma o máximo central, que representa a imagem da abertura circular,


será um círculo de luz chamado Disco de Airy, cujo primeiro mínimo ocorre em
θ = 1,22λ / 2a.

0.06

0.8

0.03 0,61λ/a 1,11λ / a
I(u.a.)

0.4
0.00
0.0010 0.0015 0.0020

0.0
0.0000 0.0008 0.0016

θ (rad)
Figura 2-9 Simulação do gráfico da Intensidade versus θ, no plano de observação, de uma abertura
circular de raio a = 0,5 mm, usando-se uma fonte de luz com λ = 650nm. Em destaque se
observa as franjas de difração e dois dos mínimos que ocorrem em: 7,9 10-4 e 1,44 10-3.

Ao estudarmos a abertura circular segundo a aproximação de Fresnel - campo
próximo -, com o campo nessa abertura, ES (r1), constante, utilizamos a Equação (2-3)
em coordenadas cilíndricas, ou seja (Equação (A1-13)):
∞ 
ik r2  kr r
E(r2 ) = exp (− i ξ )∫ exp- i k 1  J o ( 1 2 ) E S (r1 ) r1 dr1 (2-15)
d 
 2d 
 d
0

que não possui uma solução analítica.
A simulação do padrão de difração para a abertura circular é mostrada na Figura
2-10, onde a análise a ser feita para os padrões mostrados é a mesma que foi efetuada
para a abertura retangular.


IêI0 IêI0
1 1

0.8 0.8

0.6 0.6

0.4
0.4

0.2
0.2
r2
r2 -0.075 -0.05 -0.025 0.025 0.05 0.075
-0.06 -0.04 -0.02 0.02 0.04 0.06 d = 10 cm
d = 5 cm NF = 3,85
IêI0 IêI0
NF = 7,69

1 1

0.8 0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2 0.2

r2 r2
-0.075 -0.05 -0.025 0.025 0.05 0.075 -0.06 -0.04 -0.02 0.02 0.04 0.06
d = 15cm d = 20cm

IêI0
NF = 1,92
IêI0
NF = 2,56

1 1

0.8 0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2 0.2

r2 r2
-0.075 -0.05 -0.025 0.025 0.05 0.075 -0.06 -0.04 -0.02 0.02 0.04 0.06
d = 25 cm d = 35 cm
NF = 1,54 NF = 1,09
Figura 2-10 Simulação da Intensidade versus raio (r2), no plano de observação, de uma abertura circular
de raio a = 0,5 mm, onde se utilizou um laser com λ = 650nm. Observando que dependendo
da posição temos o centro claro ou escuro, ou seja, um mínimo ou um máximo sendo
formado. Também é fornecido o número de Fresnel, NF, correspondente e a distância, d, ao
anteparo.

2.3 Aplicações da Integral de Difração de Fresnel-Kirchhoff

A IDFK é um poderoso método para o estudo da difração que ocorre em
diversos elementos ópticos, quer sejam aberturas ou obstáculos de formas circulares ou


retangulares, como visto anteriormente. Da mesma forma, podemos dizer que,
experimentalmente, o laser pointer é um poderoso e facilitador componente na obtenção
dos padrões de difração. Nesta secção pretendemos demonstrar experimentalmente o
fenômeno da difração enfatizando as diferenças entre os regimes de Fresnel e
Fraunhofer. Para isto utilizaremos lasers de semicondutor que são de muito baixo custo.
Mostraremos que estes lasers, quando utilizados sem a lente colimadora, são muito
apropriados para demonstrar os principais aspectos do fenômeno de difração.

2.3.1 Propagação de um feixe Gaussiano

A Figura 2-11 mostra a propagação de um feixe gaussiano no espaço livre.

Região de campo próximo
Região de Região de
campo distante 2zc campo distante
w0
.θ
.z
Perfil de
Intensidade do Cintura do feixe
feixe gaussinao z=zc z=0 z=zc

Figura 2-11 Propagação de um feixe laser Gaussiano no modo TEM00, pelo campo próximo e campo
distante em relação à origem do sistema (Figura modificada de [34]).

O feixe laser gaussiano no modo fundamental, se propagando na direção z, tem a
amplitude de seu campo [30][31][32], próxima ao eixo óptico, dada por:

w0   2π z   1 iπ  
E(r, z) = E 0 exp - i − + φ − r2  −  (2-16)
w(z)   λ   w 2 (z) λR(z)  
  
onde: λ é o comprimento de onda (cm); φ é variação de fase adicional que depende de z
λz
de acordo com: tan φ = ; o termo quadrático (r2) da fase é determinado pelo raio
2
πw 0

 πi 
de curvatura do feixe R,  −  ; w(z) é o raio do feixe no qual a amplitude do campo
 λR 
cai para 1/e (Figura 2-12), e w0 é o valor mínimo desse raio. w(z) é dado por:


  2  2
2 λz  
 = w 2 1 +  z 
w (z) = w 0 1 + 
2    (2-17)
  zc 
  πw 2   0

  0   

 

E

E0
E0/e
W .r

Figura 2-12 Feixe de Laser Gaussiano no modo TEM00, onde se observa o raio do feixe, w(z)

e, R(z) é o raio de curvatura da frente de onda, de fase constante, que é dado por
  2 2  2
1 +  πw 0  
 = z 1 +  z c  
R(z) = z   (2-18)
  λz     z  

   
  

onde zc é a distância confocal, definida por:
2
πw 0
zc = (2-19)
λ
Pela Figura (2-11), a origem da frente de onda está localizada na cintura do
feixe, onde o raio deste é w0, assim, através da Equação (2-18), o raio de curvatura R(z)
se torna infinito, logo, neste ponto a frente de onda é plana, e, a sua curvatura se torna
mais intensa à distância ± zc do centro.
Em uma região central, denominada campo próximo, com um comprimento 2zc,
a secção transversal do feixe se mantém aproximadamente constante, mas quando
z >> zc, ou seja, no campo distante, o raio do feixe, w, aumenta com a propagação de
forma linear, tornando a divergência, θ, aproximadamente constante, assim:
w λ
θ ≡ tan −1   = (2-20)
 z  π w0

2.3.2 Laser de diodo

O laser utilizado em nossos experimentos, foi um laser pointer, que é um laser
de semicondutor, de fácil manuseio e aquisição além de ter um baixo custo. Visto que


[37] seu índice de refração é alto (n ~ 3.5), a própria refletividade de sua interface
semicondutor/ar (R ~ 0,30) é suficiente para que haja a ação laser, a qual necessita que a
emissão laser se propague numa pequena região em ambos os modos transversos
paralelo e perpendicular (Figura 2.13 ). Como as dimensões transversais da região ativa
são comparáveis ao comprimento de onda de emissão, esse tipo de laser possui uma
forte divergência, θ.

Figura 2-13 Laser de semicondutor e suas característica [42]

O laser pointer foi utilizado sem a sua lente colimadora, atuando assim como
uma fonte pontual emitindo ondas esféricas. No intuito de caracterizá-lo, inicialmente
medimos o seu comprimento de onda através do Monochromator Mod. 82-410 – Jarrel
Ash, e encontramos: λ=650nm. Depois, para obtermos a sua divergência e,
consequentemente, o seu raio tanto no modo transverso paralelo como perpendicular,
montamos o sistema mostrado na Figura 2-14.


Figura 2-14 Sistema utilizado para a medida da divergência do feixe emitido pelo laser pointer.

Esse sistema é constituído de uma base metálica, sobre a qual existe um disco
giratório que possui uma escala graduada em graus. Sobre esse disco foi fixado um
fotodetector de silício ligado a um multímetro. O laser pointer foi mantido fixo e
suspenso sobre o disco através de um parafuso que o prende à base metálica, mas era
possível rotacionar o laser a fim de se fazer as medidas em ambas as direções, paralela e
perpendicular, do modo transverso. Essa montagem permitiu que se fizesse uma
varredura do feixe medindo a tensão grau a grau e o gráfico obtido para a Intensidade
pela divergência ( em graus e em radianos), tanto para o modo transverso paralelo como
para o perpendicular é mostrado na Figura 2-15. O ajuste, da curva obtida, foi feito por
uma gaussiana, e permitiu que se encontrasse a divergência no modo transverso paralelo
sendo θ// = 0.11 rad e no modo transverso perpendicular θ ⊥= 0.5 rad. Utilizando-se as
Equações (2-17), (2-18) e (2-20), e sabendo-se que os dados experimentais usados
foram: λ = 650 nm e z = 3 cm (z é a distância do feixe de laser ao fotodetector)
obtemos que os raios dos feixes são: w0// = 1,88 µm, w0⊥ = 0,42 µm, w// = 0,329 cm e
w⊥ = 1,5 cm.


θ (graus)
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
1,0
I X θ//

0,8 Auste Gaussiano
y0 = 0.02 ±0.005

Intensidade (u.a.)
xc = 0.002 ±0.0004
w = 0.11 ±0.001
0,6 A = 0.13 ±0.002

0,4

0,2

0,0
-0,15 -0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

θ (rad)

θ (graus)
-30 -20 -10 0 10 20 30

1,0 I X θ⊥
Ajuste Gaussiano
Intensidade (u.a.)

0,8 y0 = 0.02 ± 0.01
xc = 0.03 ± 0.002
w = 0.53 ± 0.008
0,6 A = 0.63 ± 0.02

0,4

0,2

0,0
-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4
θ (rad)
Figura 2-15 Medida da divergência segundo os modos transversos paralelo e perpendicular, que foram
ajustados por uma Gaussiana.

2.3.3 Módulo Experimental

Os experimentos realizados, para a verificação dos padrões de difração,
constaram de um trilho óptico, pinos deslizantes, diversos elementos difratores (Figura
2-16), uma fonte de luz, ou seja, um laser pointer (Key Chain Laser – Made in China)
sem a lente colimadora, de comprimento de onda λ = 650nm e um anteparo.


Como elementos difratores foram utilizados uma placa de vidro contendo
aberturas e obstáculos retangulares e circulares (Figura 2-16 (b)) e uma lâmina de
barbear. Esses elementos foram fixados em pinos deslizantes colocados em um trilho
óptico (Figura 2-17(a))

(a) (b)
Figura 2-16 (a) Elementos difratores utilizados nos experimentos; (b) detalhe da placa contendo os
elementos difratores: orifícios e obstáculos retangulares e circulares.

Como anteparo, para captura do padrão de difração obtido, foi utilizado,
diretamente, uma câmara Watec 902H – Japan, sem sua lente focalizadora, em conjunto
com uma placa de aquisição Matrox – Meteor II, placa esta com módulo de leitura RS-
170, que já transfere, diretamente, a foto para o computador, a fim de que possam ser
trabalhadas. Também foi usada uma câmara digital Sony Digital Still Câmera DSC-
F707 para a aquisição dos padrões. Neste caso os padrões foram fotografados, por
transmissão, através de um papel vegetal, que serviu como anteparo de visualização.

Anteparo

Elemento Difrator

Laser

z
o o d
Trilho Óptico

(a)
(b)
Figura 2-17 (a) Esquema da montagem experimental para o estudo da difração; (b) Elementos utilizados
na montagem experimental para o estudo da difração.


Todos os padrões coletados nesses experimentos foram obtidos colocando o
elemento difrator, inicialmente, junto à fonte de luz (laser pointer), e depois o
transladando para próximo ao anteparo.
Essa forma de realizarmos os experimentos difere dos observados em diversos
livros textos e artigos [16][17][18][19][20], pela facilidade de demonstração em sala de
aula, visto a necessidade de uma pequena distância para se poder observar os padrões de
difração, em contraposição às grandes distâncias necessárias para os experimentos
usuais; pelos poucos e baratos elementos necessários para a montagem (Figura 2-17
(a)), em contraposição à necessidade de diversos elementos como lentes microscópicas,
lentes de grande distância focal, diafragma, filtros espaciais, laser de He-Ne, etc. Além
disso, através dessa montagem conseguimos observar os padrões de difração tanto para
o campo distante, como para com o campo próximo, o que não ocorre quando
utilizamos outro tipo de laser, como por exemplo, com o laser de He-Ne, que
normalmente se consegue observar apenas os padrões de difração no campo distante.
Cabe ressaltar que também não é necessária uma sala totalmente escurecida para se
realizar os experimentos.

2.3.4 Abertura (Fenda Simples) e Obstáculo Retangulares

Para o experimento com a abertura e o obstáculo retangulares, a montagem
utilizada é a descrita na Figura 2-17, e o elemento difrator foi a fenda e o fio,
respectivamente, que se encontram na placa da Figura (2-16(b)). Em ambos os casos, o
elemento difrator foi transladado, progressivamente, do laser pointer para próximo ao
anteparo.
Os padrões de difração relativos a uma fenda, como visto anteriormente, podem
ser obtidos através da IDFK, usando a Equação (2-11) para o campo próximo e a
Equação (2-9) para o campo distante. Assim, na Figura 2-18 temos as curvas, relativas
ao dado experimental e à simulação da Equação (2-11) feita com o programa
Mathematica, da Intensidade versus y2 onde se observa uma boa coerência entre elas.


IêI0

0.7

_____ dado experimental
0.6 _____ simulação

0.5

0.4
y2 H cmL
-0.1 -0.05 0.05 0.1
Figura 2-18 Curvas obtidas através dos dados experimental e simulado teoricamente da Intensidade
versus y2, na aproximação de Fresnel, de uma fenda de abertura 2a = 0,2mm, com o
anteparo colocado à d = 8,8 cm e o comprimento de onda do laser “pointer” sendo de
λ = 650 nm.

Na Figura 2-19 podem ser vistos os padrões obtidos para uma fenda simples de
0,2 mm de largura, que foram fotografados através de uma câmara Watec, bem como o
gráfico da intensidade pela distância de cada padrão.

z NF Foto do Padrão de uma Fenda Intensidade do padrão de difração
(cm)
3,5 0.44
1,0
Intensidade (u.a.)

0,8

0,6

0,4

-0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10

(foto com intensidade saturada) x (cm)

13,5 0.11
1,0
Intensidade (u.a.)

0,8

0,6

0,4

-0,15 -0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10 0,15
x (cm)


23,5 0.07
1,0

Intensidade (u.a.)
0,8

0,6

0,4

-0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3
x (cm)

33,5 0.046 1,0

Intensidade (u.a.)
0,8

0,6

0,4

-0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3
x (cm)
43,5 0.035 1,0
Intensidade (u.a.)

0,8

0,6

0,4

-0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
x (cm)
50,5 0.03 1,0
Intensidade (u.a.)

0,8

0,6

0,4

-0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3
x(cm)

Figura 2-19 Padrão de Difração de uma fenda simples transladada para próxima ao laser pointer, com as
fotos tiradas pela câmara Watec, e o gráfico da Intensidade pela distância. Utilizou-se um
laser pointer com λ = 650nm, uma fenda de 0,2mm de abertura, e o anteparo estava distante
de 0,8cm à 51,3cm.

No caso de uma fenda móvel em que a abertura tende ao infinito, o elemento
difrator nada mais é que uma borda reta. Esse elemento também pode ser estudado
através da IDFK dada pela Equação (2-11), onde se levou um dos limites da integral


para o infinito. As curvas com os dados experimental e o simulado pela teoria da
intensidade versus y2 está mostrada na Figura 2-20, onde se observa a concordância
entre elas.

_____ dado experimental
_____ simulação

Figura 2-20 Intensidade versus y2, na aproximação de Fresnel, de uma borda, onde se utilizou d = 50 cm
e λ = 650 nm, que serviu de ajuste para um padrão experimental que foi fotografado de uma
lâmina de barbear.

Na Figura 2-21 pode-se observar os padrões obtidos para uma borda reta, que no
caso foi uma lâmina de barbear, utilizando a montagem proposta na Figura (2-17) e que
também foi transladada do laser em direção ao anteparo.

z Foto do Padrão da Lâmina de Barbear Intensidade do padrão de difração
(cm)
1,3
1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60
x (cm)


2,3
1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65
x (cm)
5,3
1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
x (cm)

7,3
1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
x (cm)

8,3
1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
x (cm)


9,3
1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
x (cm)
Figura 2-21 Padrão de Difração de uma borda reta (lâmina de barbear) transladada para próxima ao laser
pointer, com as fotos tiradas pela câmara Watec, e o gráfico da Intensidade pela distância.
Utilizamos um laser pointer de λ = 650nm e o anteparo estava distante de 0,8cm à 51,3cm.

No estudo do obstáculo retangular, utilizamos o fio que está contido na placa de
vidro, mostrada na Figura 2-16(b). O padrão de difração, que foi fotografado por
transmissão usando uma folha de papel vegetal como anteparo pela câmera Sony, bem
como o gráfico da intensidade pela posição podem ser vistos na Figura 2-22.

z Foto do Padrão de um Obstáculo Retangular Intensidade do padrão de difração
(cm)
1,3 1,0

0,8

0,6

0,4

0,2
x (cm)
-0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2
3,3
1,0

0,8

0,6

0,4

0,2 x (cm)
-0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2

Tesegggc

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Ähnlich wie Tesegggc

Ähnlich wie Tesegggc (20)

Tesegggc