Transformações geométricas em CG

COMPUTAÇÃO GRÁFICA
Transformações geométricas

MARCO ANTONIO GARCIA DE CARVALHO Computação Gráfica
Fevereiro de 2009

Objetivos
• Entender os princípios da
transformações geométricas do tipo
translação, rotação e escalamento.

• Efetuar transformações geométricas
utilizando coordenadas homogêneas.

Fevereiro de 2009

Fundamentos

• Transformações geométricas envolvem
operações com vetores e matrizes, do tipo
soma e multiplicação, além de
conhecimentos básicos de álgebra e
geometria.

Fevereiro de 2009

Transformações básicas - OpenGL

• Translação
glTranslatef(dx, dy, dz);

• Escalamento
glScalef(sx, sy, sz);
• Rotação
glRotatef(ang, x, y, z);
Fevereiro de 2009

Translação
EXEMPLO 2D

y

posição inicial
posição final

x

Fevereiro de 2009

Translação
EXEMPLO 2D
Nova posição da figura para dx = 6 e dy = 2
P5 ’
P3 ’
8

6 P5
P3
P4 ’

4

P4
P1 ’ P2 ’
2

P1 = (1,1) P2 = (6,1)
0
2 4 6 8 10 12 14

Fevereiro de 2009

Translação
• É uma operação que desloca pontos em uma
determinada direção. Define-se através da equação:

P’ = P + T

tal que, para o caso 2D
x x' dx
P= y P’ = y’ T= dy

Onde x, y são os pontos originais; x’, y ’ são os pontos
deslocados; e dx, dy correspondem ao deslocamento
nas direções x e y, respectivamente.
Fevereiro de 2009

Escala
EXEMPLO 2D

y y

situação inicial

situação final

x x

Fevereiro de 2009

Escala
EXEMPLO 2D
Novo objeto para sx = 2
e sy = 2

4

P4 P3
2

6
P1 = (2,1) P2 = (6,1)
0 P4 ’ P3 ’
2 4 6 8
3
Situação inicial
P1’= (4,2) P2’ = (12,2)

0
3 6 9 12
Situação final

Fevereiro de 2009

Escala
• Escalamento pode tornar um objeto maior
ou menor. A equação abaixo define essa
operação.
P’ = S · P

x x' sx 0
P= y P’ = y’ S= 0 sy

Fevereiro de 2009

Rotação

EXEMPLO 2D

y y

situação inicial situação final

x x

Fevereiro de 2009

Rotação
EXEMPLO 2D
Novo objeto para θ =
45º
4 P4 P3

2

P3 ’
P1 = (2,1) P2 = (4,1)
0
2 4 6 8 P4 ’ P2 ’

Situação inicial
2
P1 ’

0
2 4 6
Situação final
Fevereiro de 2009

Rotação
• Rotaciona (gira) um objeto de um
determinado ângulo θ. É dada pela equação:

P’ = R · P

x x' cosθ -sinθ
P= y P’ = y’ R=
sinθ cosθ

Fevereiro de 2009

Rotação / Escala

• Como pode ser visto nos desenhos
anteriores, as operações de escalamento e
rotação também deslocam o objeto, pois
foram definidas a partir de um ponto na
origem.
• Portanto, para que não ocorra translação
desnecessária no objeto é preciso realizar as
seguintes etapas:

Fevereiro de 2009

Rotação / Escala
Objeto que se deseja modificar

1. Transladar o objeto para a origem

2. Rotacionar (ou efetuar o escalamento)

3. Transladar o objeto para a posição original

Fevereiro de 2009

Coordenadas homogêneas
• As operações matriciais diferem entre
adição (translação) e multiplicação (rotação-
escala). P’ = P + T
P’ = R · P
P’ = S · P

• Uma forma de tratar as transformações
através da mesma operação é expressar os
pontos em COORDENADAS HOMOGÊNEAS.
Fevereiro de 2009

• Todas as transformações são tratadas
através de multiplicações. Portanto, podemos
usar a expressão:

P’ = (R ou S ou T) · P

Fevereiro de 2009

• Em coordenadas homogêneas, uma terceira
coordenada é adicionada (caso 2D)
x
P= y
1

E as transformações são escritas na forma:
1 0 dx cosθ -sinθ 0 sx 0 0
T= 0 1 dy R= sinθ cosθ 0 S= 0 sy 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1

Fevereiro de 2009

Transformações 3D
• Matrizes de transformações para o caso 3D

Translação Escala
1 0 0 dx sx 0 0 0
0 1 0 dy 0 sy 0 0
T= S= 0 0 sz 0
0 0 1 dz
0 0 0 1 0 0 0 1

Fevereiro de 2009

Transformações 3D
Rotação y

x

Atenção!!! As rotações foram
z definidas no sentido anti-horário.

Fevereiro de 2009

Transformações 3D
Rotação
cosθ -sinθ 0 0 1 0 0 0
sinθ cosθ 0 0 0 cosθ -sinθ 0
Rz (θ) = Rx (θ) =
0 0 1 0 0 sinθ cosθ 0
0 0 0 1 0 0 0 1

cosθ 0 sinθ 0
0 1 0 0
Ry (θ) =
-sinθ 0 cosθ 0
0 0 0 1
Fevereiro de 2009

Transformações 3D
• Outras transformações
Cisalhamento Reflexão

Fevereiro de 2009

Transformações - OpenGL
• O OpenGL trabalha com matrizes de
transformações
• As operações são efetuadas via
multiplicação de matrizes, de acordo com o
estado existente
• Portanto, é necessário “carregar” a matriz
identidade
glLoadIdentity();

Fevereiro de 2009

• O OpenGL trabalha com matrizes de
transformações...
Utiliza-se o comando glMatrixMode
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
Parâmetro GL_PROJECTION antes dos
comandos que especificam o tipo de
projeção (glOrtho, por exemplo).
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
Parâmetro GL_MODELVIEW antes de
transformações geométricas.
Fevereiro de 2009


• Uma transformação pode alterar todos os
objetos na sequência: não desejado,
dependendo da aplicação
• OpenGL: escopo das transformações...
São utilizados comando glPushMatrix() e
glPopMatrix() para definir início e fim do bloco
de objetos onde será(ão) efetuada(s) a(s)
transformação(ões).
Fevereiro de 2009

• OpenGL: escopo das transformações...

glRotatef(...);
glPushMatrix ();
Objeto1
glPushMatrix ();
glPopMatrix ();
glRotatef(...);
Objeto2
Objeto1

glPopMatrix ();
Objeto2
Fevereiro de 2009

void display(void){
glClear (GL_COLOR_BUFFER_BIT);
glPushMatrix();

/* Cubo 1 */
glPushMatrix();
glTranslatef (-2.0, 0.0, 0.0);
glScalef (2.0, 1.0, 4.0);
glutWireCube (1.0);
glPopMatrix();
/* Cubo 2 */
glPushMatrix();
glRotatef (25.0, 0.0, 0.0, 1.0);
glTranslatef (2.0, 0.0, 0.0);
glScalef (2.0, 1.0, 4.0);
glutWireCube (1.0);
glPopMatrix();
/* Cubo 3 */
glPushMatrix();
glTranslatef (0.0, 2.0, 0.0);
glScalef (2.0, 1.0, 4.0);
glutWireCube (1.0);
glPopMatrix();
/* Cubo 4 */
glPushMatrix();
glTranslatef (0.0, -2.0, 0.0);
glScalef (2.0, 1.0, 4.0);
glutWireCube (1.0);
glPopMatrix();

glPopMatrix();
glutSwapBuffers();
MARCO ANTONIO GARCIA DE CARVALHO
} Computação Gráfica
Fevereiro de 2009

Para saber mais:
[MANSSOUR06] Capítulo 9

[ANGEL97] Capítulo 4

Executar programas do Nate Robins

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