【目標】 1. 複数荷重が作用する はり の弾性ひずみエネルギーを計算できる 2. Betti および Maxwellの相反定理を説明できる https://www.slideshare.net/KazuhiroSuga/clipboards/i-2020 https://www.slideshare.net/KazuhiroSuga/clipboards/ii-2020

1. 相反定理
目標
2. Betti および Maxwellの相反定理を説明できる
ベッチ マックスウェル
1/10
1. 複数荷重が作用する はり の
弾性ひずみエネルギーを計算できる

2. はり のたわみと弾性ひずみエネルギー
P1 δ11U１
2
1
＝
P2 δ22U2
2
1
＝
P1
δ11 δ21
(a)
δ12 δ22
P2
(b)
δ1 δ2
P1 P2
場所1 場所２
δ1 δ11 δ12＝ ＋
δ2 δ21 δ22＝ ＋
たわみ(重ね合わせ)
U１ U2U ＋＝
エネルギー
U
δij i：位置，j：荷重
2/10

3. 荷重過程 A: P1 → P2 のエネルギー増分
O
O
δ21
( )UA2
2
1
＝ P2 δ2 δ21−
( )P1 δ11UA1
2
1
＝ P1 δ11＋ δ1−
P1
δ11 δ21
(i)
δ11
P1
(i)
δ1
(ii)
P2
δ2
(ii)
P2によるエネルギー増分
P1によるエネルギー増分
3/10
P1 P2
δ1 δ2
(ii)
一定
場所1 場所２
場所2の荷重 方向変位P2
荷重 によるP1

4. A: P1 → P2 の全弾性ひずみエネルギー
( )P1 δ11UA1
2
1
＝ P1 δ11＋ δ1−
P1
δ11 δ21
(i)
( )UA2
2
1
＝ P2 δ2 δ21−
δ12＝ U1＋P1 δ1 δ11 δ12＝ ＋∵
δ2 δ21 δ22＝ ＋∵
2
1
＝ P2 δ22
＝ U2
UA ＝ U1＋U2 δ12＋P1
全弾性ひずみエネルギー
4/10
P1 P2
δ1 δ2
(ii)
一定
場所1 場所２

5. 荷重過程 B: P2 → P1のエネルギー増分
δ12 δ22
P2
( )P2 δ22UB2
2
1
＝ P2 δ2 δ22−＋
O
O
( )UB1
2
1
＝ P1 δ1 δ12−
(i’)
δ22
P2
(i’)
δ2
(ii’)
δ12
P1
δ1
(ii’)
P1によるエネルギー増分
P2によるエネルギー増分
5/10
(ii’) P1 P2
δ1 δ2
一定
場所1 場所２
場所1の荷重 方向変位P1
荷重 によるP2

6. B: P2 → P1の全弾性ひずみエネルギー
δ12 δ22
P2
δ21＝ U2＋P2
( )UB1
2
1
＝ P1 δ1 δ12−
(i’)
( )P2 δ22UB2
2
1
＝ P2 δ2 δ22−＋
UB ＝ U1＋U2 δ21＋P2
全弾性ひずみエネルギー
2
1
＝ P1 δ11
＝ U1 δ1 δ11 δ12＝ ＋∵
δ2 δ21 δ22＝ ＋∵
6/10
(ii’) P1 P2
δ1 δ2
一定
場所1 場所２

7. エネルギー状態
UA ＝ U1＋U2 δ12＋P1 UB ＝ U1＋U2 δ21＋P2
A: P1 → P2 B: P2 → P1
UA ＝ UB
が同時に作用するときのP1, P2 エネルギー状態は一つ
全弾性ひずみエネルギー
δ12P1 δ21P2＝
7/10

8. O
δ11
P1
(i)
δ1
(ii)
O
δ22
P2
δ2
(i’) (ii’)
A: P1 → P2 B: P2 → P1
O
δ21
P2
δ2
(ii)
O
δ12
P1
δ1
(ii’)
δ12
δ21
P1による
エネルギー増分
P2による
エネルギー増分
P2によるエネルギー増分
δ12P1 δ21P2＝
荷重 による場所1の
荷重方向変位
P2
荷重 による場所2の
荷重方向変位
P1 8/10

9. 相反定理
δ12P1 δ21P2＝
Bettiの相反定理 Maxwellの相反定理
P1 P2＝if
δ12 δ21＝
P1 P2
P1
δ1
P2
δ2
2つの集中荷重が作用する弾性体
δ1 δ11 δ12＝ ＋ δ2 δ21 δ22＝ ＋
荷重 による場所2のP1荷重 による場所1のP2
荷重 方向変位荷重 方向変位
9/10

10. まとめ：相反定理
2. Betti および Maxwellの相反定理
Maxwellの相反定理
δ12 δ21＝δ12P1 δ21P2＝
Bettiの相反定理
1. 複数荷重が作用する はり の
弾性ひずみエネルギーの計算
重ね合わせの原理が成立しない
10/10場所2の荷重 方向変位P2
荷重 によるP1
場所1の荷重 方向変位P1
荷重 によるP2
P1 P2＝